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第二章 2.1 2.1.1 第一课时 根式


2.1

1 理解教 材新知

知识点一 知识点二 题型一 题型二 题型三

第 二 章

2.1.1 第一 课时 根式

2 突破常 考题型 3 跨越高 分障碍

4 应用落 实体验

随堂即时演练 课时达标检测

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2.1
2.1.1

指数函数
指数与指数幂的运算

第一课时

根式

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根式
[提出问题]
(1)若 x2=9,则 x 是 9 的平方根,且 x=± 3; (2)若 x3=64,则 x 是 64 的立方根,且 x=4; (3)若 x4=81,则 x 是 81 的 4 次方根,且 x=± 3; (4)若 x5=-32,则 x 是-32 的 5 次方根,且 x=-2.

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问题1:观察(1)(3),你认为正数的偶次方根都是两个吗? 提示:是.

问题2:一个数的奇次方根有几个?
提示:1个.

问题 3:由于 22=4,小明说,2 是 4 的平方根;小李说, 4 的平方根是 2,你认为谁说的正确?
提示:小明.

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[导入新知]

根式及相关概念 (1)a 的 n 次方根定义: 如果 xn=a ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根,其中 n>1, 且 n∈N*.

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(2)a的n次方根的表示:

n 的奇偶性 n 为奇数 n 为偶数
(3)根式:

a 的 n 次方根的表示符号 a 的取值范围 n a R [0,+∞)

n ± a

式子 a叫做根式,这里 n 叫做 根指数 ,a 叫做被开方数 .

n

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[化解疑难] 根式记号的注意点 (1)根式的概念中要求 n>1,且 n∈N*. (2)当 n 为大于 1 的奇数时, a 的 n 次方根表示为 a(a∈R); 当 n 为大于 1 的偶数时, a(a≥0)表示 a 在实数范围内的一个 n 次方根,另一个是- n
? n a,从而? ?± ?n ? a? =a.

n

n

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根式的性质
[提出问题]

问题

? 3 1:? ?

?3 ? ? ,? 3 2? ?

?3 ? ? ,? 4 -2? ?

?4 ? 2? 分别等于多少?

提示:2,-2,2. 3 4 3 3 4 4 3 4 问题 2: ?-2? , 2 , ?-2? , 2 分别等于多少? 提示:-2,2,2,2.

问题 3:等式 a2=a 及( a)2=a 恒成立吗?
提示:当 a≥0 时,两式恒成立;当 a<0 时, a2=-a, ( a)2 无意义.
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[导入新知]
根式的性质 (1)( a)n= a (n为奇数时,a∈R;n为偶数时,a≥0, 且n>1).
a ?n为奇数,且n>1?, ? ? (2) an=? ? ? |a| ?n为偶数,且n>1?.

n

n

(3) 0= 0 . (4)负数没有 偶次 方根.
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n

[化解疑难] ( a) 与 an的区别 (1)当n为奇数,且a∈R时,有 a =( a)n=a; (2)当n为偶数,且a≥0时,有 a =( a)n=a. n
n

n

n

n

n

n

n

n

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根式的概念

[例1]

(1)下列说法:①16的4次方根是2;② 16的运算结 n a 对任意a∈R都有意义;

4

果是± 2;③当n为大于1的奇数时, ④当n为大于1的偶数时, n

a 只有当a≥0时才有意义.其中说

法正确的序号为________. (2)若 3 1 有意义,则实数a的取值范围是________. a-3
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[解析]

4 (1)①16 的 4 次方根应是± 2;② 16=2,所以

正确的应为③④. (2)要使 3 1 有意义,则 a-3≠0,即 a≠3. a-3

∴a 的取值范围是{a|a≠3}.

[答案] (1)③④

(2){a|a≠3}

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[类题通法] 判断关于 n 次方根的结论应关注两点 (1)n 的奇偶性决定了 n 次方根的个数; (2)n 为奇数时,a 的正负决定着 n 次方根的符号.

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[活学活用] 已知 m10=2,则 m 等于 A. 10 2 B.- 10 2 ( )

C. 210

10 D. ± 2

解析:∵m10=2,∴m 是 2 的 10 次方根. 又∵10 是偶数, ∴2 的 10 次方根有两个,且互为相反数. 10 ∴m=± 2.

答案:D
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利用根式的性质化简求值
[例 2] 化简:

n (1) ?x-π?n(x<π,n∈N*); (2) 4a
2

? 1? -4a+1?a≤2?. ? ?

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[解] (1)∵x<π,∴x-π<0, 当 n 为偶数时, ?x-π?n=|x-π|=π-x; 当 n 为奇数时, ?x-π?n=x-π. 综上, n
? ?π-x, n ?x-π? =? ? ?x-π,

n n

n为偶数,n∈N*, n为奇数,n∈N*.

1 (2)∵a≤2,∴1-2a≥0. ∴ 4a2-4a+1= ?2a-1?2=|2a-1|=1-2a.

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[类题通法] 根式化简应注意的问题
? n (1)? ? ?n n ? 已暗含了 a?

a有意义, 据 n 的奇偶性不同可知 a 的取

值范围. n n (2) a 中的 a 可以是全体实数, a 的值取决于 n 的奇偶性.
n

n

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[活学活用] 求下列各式的值: (1) ?x-2? ;(2) 3-2 2+( 1- 2)3.
解:(1) 8
? ?x-2,x≥2, 8 ?x-2? =|x-2|=? ? ?2-x,x<2.

8

8

3

(2)因为 3-2 2=12-2 2+( 2)2=( 2-1)2, 所以 3-2 2+( 1- 2)3= ? 2-1?2+1- 2= 2-1+1- 2=0.
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3

条件根式的化简
[例 3] 是 A.x>0,y>0 C.x≥0,y≥0 B.x>0,y<0 D.x<0,y<0 (1)若 xy≠0,则使 4x2y2=-2xy 成立的条件可能 ( )

(2)设-3<x<3,求 x2-2x+1- x2+6x+9的值.

(1)[解析] ∴xy≤0.

∵ 4x2y2=2|xy|=-2xy,

又∵xy≠0,∴xy<0,故选 B.
[答案] B
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(2)[解]

原式= ?x-1?2- ?x+3?2=|x-1|-|x+3|.

∵-3<x<3, ∴当-3<x<1 时,原式=-(x-1)-(x+3)=-2x-2. 当 1≤x<3 时,原式=(x-1)-(x+3)=-4.
? ?-2x-2 ?-3<x<1?, ∴原式=? ? ?-4 ?1≤x<3?.

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[类题通法] 有条件根式的化简 (1)有条件根式的化简问题, 是指被开方数或被开方的表达 式可以通过配方、拆分等方式进行化简. (2)有条件根式的化简经常用到配方的方法. 当根指数为偶 数时,在利用公式化简时,要考虑被开方数或被开方的表达式 的正负.

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[活学活用] 若 n<m<0,则 m2+2mn+n2- m2-2mn+n2等于( A.2m C.-2m B.2n D.-2n )

解析:原式= ?m+n?2- ?m-n?2 =|m+n|-|m-n|, ∵n<m<0,∴m+n<0,m-n>0, ∴原式=-(m+n)-(m-n)=-2m.

答案:C
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n 5.忽略n的范围导致式子 an?a∈R?化简出错
[典例]
[解析]

化简 ?1+ 2? + ?1- 2?4=________.
3 ?1+ 2? + ?1- 2?4=(1+ 2)+|1- 2|=
3

3

3

4

4

1+ 2+ 2-1=2 2.
[答案] 2 2

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[易错防范] 1.本题易忽视 ?1- 2? >0,而误认为 ?1- 2?4= 1- 2而导致解题错误. 2.对于根式 an的化简一定要注意 n 为正奇数还是正 偶数,因为 an=a(a∈R)成立的条件是 n 为正奇数,如果 n 为正偶数,那么 an=|a|. n n n 4
4

4

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[活学活用] 当 a,b∈R 时,下列各式恒成立的是 A.( a- b)4=a-b B.( a+b)4=a+b 4 4 C. a4- b4=a-b D. ?a+b?4=a+b 4 4 4 4 ( )

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解析:当且仅当 a=b≥0 时,( a- b)4=a-b; 当且仅当 a≥0,b≥0 时, a - b4=a-b; 当且仅当 a+b≥0 时, ?a+b?4=a+b. 由于 a,b 符号未知,因此选项 A,C,D 均不一定恒成立. 选项 B 中,由 a+b可知 a+b≥0,所以( a+b)4=a+b. 故选 B. 4 4 4 4
4

4

4

4

答案:B
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[随堂即时演练] ? 1? 2 1.化简 ?1-2x? ?x>2?的结果是 ? ?

(

)

A.1-2x C.2x-1

B.0

D.(1-2x)2 1 2 解析:∵ ?1-2x? =|1-2x|,x>2,
∴1-2x<0, ∴ ?1-2x?2=2x-1.

答案:C
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2.下列式子中成立的是 A.a -a= -a3 C.a -a=- -a3

( B.a -a=- a3 D.a -a= a3

)

解析:要使 a -a有意义,则 a≤0, 故 a -a=-(-a) -a=- ?-a?2?-a?=- -a3, 故选 C.

答案:C

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3.若 x>3,则 x2-6x+9-|2-x|=________.

解析: x2-6x+9-|2-x|= ?x-3?2-|2-x|= |x-3|-|2-x|=x-3-(x-2)=-1.
答案:-1
2 2

4.化简( a-1) + ?1-a? + ?1-a?3=________.

3

解析:由根式 a-1有意义可得 a-1≥0,即 a≥1, ∴原式=(a-1)+(a-1)+(1-a)=a-1.
答案:a-1
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5.已知 a<b<0,n>1,n∈N ,化简 ?a-b? + ?a+b?n.

*

n

n

n

解:∵a<b<0,∴a-b<0,a+b<0. 当 n 是奇数时,原式=(a-b)+(a+b)=2a; 当 n 是偶数时,原式=|a-b|+|a+b| =(b-a)+(-a-b)=-2a. ∴ ?a-b? + ?a+b?n
? ?2a,n为奇数, =? ? ?-2a,n为偶数.

n

n

n

“课时达标检测”见“课时
跟踪检测(十二)”

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