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江苏省宿迁市沭阳县如东中学2016届高三上学期9月段考数学试卷 Word版含解析


2015-2016 学年江苏省宿迁市沭阳县如东中学高三(上)9 月段考数学试卷

一、填空题: 1.已知集合 A={1,2,3},B={1,2,5},则 A∩B=__________.

2.设复数 z1=2+2i,z2=2﹣2i,则

=__________.

3.在△ABC 中,若
<

br />=

=

,则△ABC 是__________三角形.

4. (实) 若函数

在区间 (0, 1]上是减函数, 则实数 a 的取值范围是__________.

5.已知函数 f(x)=sin(2ω x﹣ 值为__________.

) (ω >0)在区间(0,

)上单调递增,则 ω 的最大

6.曲线 y=2lnx 在点(e,2)处的切线(e 是自然对数的底)与 y 轴交点坐标为__________.

7.设方程 2lnx=10﹣3x 的解为 x0,则关于 x 的不等式 2x﹣3<x0 的最大整数解为__________.

8.若不等式 x ﹣logmx<0 在(0, )内恒成立,则实数 m 的取值范围为__________.

2

9.已知函数 f(x)=x +2x﹣3,集合 M={(x,y)|f(x)+f(y)≤0},集合 N={(x,y)|f (x)﹣f(y)≥0},则集合 M∩N 的面积是__________.

2

10.设一次函数 f(x)为函数 F(x)的导数,若存在实数 x0∈(1,2) ,使得 f(﹣x0)=﹣f (x0)<0,则不等式 F(2x﹣1)<F(x)的解集为__________.

11.在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,两定点 A,B 满足| {P| =x +y

|=|

|=

?

=2,则点集

,|x|+|y|≤1,x,y∈R}所表示的区域的面积是__________.

12.在△ABC 中,已知 AB=5,BC=3,∠B=2∠A,则边 AC 的长为__________.

13.设



为单位向量,非零向量 =x

+y

,x、y∈R.若



的夹角为

,则

的最大值等于__________.

14.已知 f(x)=2mx+m +2,m≠0,m∈R,x∈R.若|x1|+|x2|=1,则 __________.

2

的取值范围是

二、解答题: 15. (14 分)已知向量 =( sin2x+2,cosx) , =(1,2cosx) ,f(x)= .

(Ⅰ)求函数 f(x)的最小正周期及对称轴方程; (Ⅱ)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c 若 f(A)=4,b=1,△ABC 的面积为 求 a 的值. ,

16. (14 分)设 f(x)=log2 (1)求 a 的值;

﹣x 为奇函数,a 为常数.

(2)判断并证明函数 f(x)在 x∈(1,+∞)时的单调性; (3)若对于区间上的每一个 x 值,不等式 f(x)>2 +m 恒成立,求实数 m 取值范围.
x

17. (14 分)如图,一个半圆和长方形组成的铁皮,长方形的边 AD 为半圆的直径,O 为半圆 的圆心,AB=1,BC=2,现要将此铁皮剪出一个等腰三角形 PMN,其底边 MN⊥BC. (1)设∠MOD=30°,求三角形铁皮 PMN 的面积;

(2)求剪下的铁皮三角形 PMN 面积的最大值.

18. (16 分) 在△ABC 中, a,b,c 分别为角 A、B、C 的对边, 的面积为 6,D 为△ABC 内任一点,点 D 到三边距离之和为 d. (1)求角 A 的正弦值; (2)求边 b、c; (3)求 d 的取值范围.

,a=3, △ABC

19. (16 分)已知函数 f(x)=ax ﹣x +bx(a,b∈R) ,f′(x)为其导函数,且 x=3 时 f(x) 有极小值﹣9. (1)求 f(x)的单调递减区间; (2)若 g(x)=2mf′(x)+(6m﹣8)x+6m+1,h(x)=mx,当 m>0 时,对于任意 x,g(x) 和 h(x)的值至少有一个是正数,求实数 m 的取值范围; (3)若不等式 f′(x)>k(xlnx﹣1)﹣6x﹣4(k 为正整数)对任意正实数 x 恒成立,求 k 的最大值.

3

2

20. (16 分)已知函数 f(x)=(x﹣a) (x﹣b) ,a,b 是常数. (1)若 a≠b,求证:函数 f(x)存在极大值和极小值; (2)设(1)中 f(x)取得极大值、极小值时自变量的值分别为 x1、x2,令点 A(x1,f(x1) ) , B(x2,f(x2) ) .如果直线 AB 的斜率为﹣ ,求函数 f(x)和 f′(x)的公共递减区间的长 度; (3)若 f(x)≥mxf′(x)对于一切 x∈R 恒成立,求实数 m,a,b 满足的条件.

2

三、附加题(共 4 小题,每小题 10 分共 40 分,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步 骤) 21.求函数 y=sin (2x+
2

)的导数.

22.将水注入锥形容器中,其速度为 4m /min,设锥形容器的高为 8m,顶口直径为 6m,求当 水深为 5m 时,水面上升的速度.

3

23.证明下列命题: (1)若函数 f(x)可导且为周期函数,则 f′(x)也为周期函数; (2)可导的奇函数的导函数是偶函数.

24.已知 f(x)=lnx,g(x)= 于点(1,0)

+mx+n,直线 l 与函数 f(x) ,g(x)的图象都相切

(1)求直线 l 的方程及 g(x)的解析式; (2)若 h(x)=f(x)﹣g′(x) (其中 g′(x)是 g(x)的导函数) ,求函数 h(x)的值 域.

2015-2016 学年江苏省宿迁市沭阳县如东中学高三(上)9 月段考数学试卷

一、填空题: 1.已知集合 A={1,2,3},B={1,2,5},则 A∩B={1,2}.

考点:交集及其运算.

专题:计算题. 分析:利用交集的定义找出 A,B 的所有的公共元素组成的集合即为 A∩B. 解答: 解:∵集合 A={1,2,3},B={1,2,5}, ∴A∩B={1,2} 故答案为:{1,2}. 点评:本题主要考查两个集合的交集的定义和求法,属于基础题.

2.设复数 z1=2+2i,z2=2﹣2i,则

=i.

考点:复数代数形式的乘除运算. 专题:计算题. 分析:把复数代入表达式,复数的分母、分子同乘分母的共轭复数,化简复数即可. 解答: 解:因为复数 z1=2+2i,z2=2﹣2i, 所以 = = = = =i.

故答案为:i. 点评:本题考查复数代数形式的混合运算,复数的分母实数化,是解题的关键,是基础题.

3.在△ABC 中,若

=

=

,则△ABC 是等腰直角三角形.

考点:正弦定理. 专题:解三角形. 分析:由条件利用正弦定理可得 sinA=cosA,sinB=cosB,可得 A=B= 形为等腰直角. 解答: 解:△ABC 中,∵ = = ,再由正弦定理可得 , = = , ,故 C= ,可得三角

故有 sinA=cosA,sinB=cosB,∴A=B= 故三角形为等腰直角,

,∴C=

故答案为:等腰直角. 点评:本题主要考查正弦定理的应用,根据三角函数的值求角,属于基础题.

4. (实)若函数 0)∪(1,3].

在区间(0,1]上是减函数,则实数 a 的取值范围是(﹣∞,

考点:利用导数研究函数的单调性;函数单调性的性质. 专题:计算题. 分析:先求导函数,由函数 在区间(0,1]上是减函数,可得导函数小于等

于 0 在区间(0,1]上恒成立,从而可求实数 a 的取值范围. 解答: 解:显然 a≠0, 求导函数可得:

∵函数

在区间(0,1]上是减函数,



在区间(0,1]上恒成立

∴ ∴a≤0 或 1<a≤3 ∵a≠0 ∴实数 a 的取值范围是(﹣∞,0)∪(1,3] 故答案为: (﹣∞,0)∪(1,3] 点评:本题重点考查导数知识的运用,考查恒成立问题,解题的关键是利用导函数小于等于 0 在区间(0,1]上恒成立建立不等式.

5.已知函数 f(x)=sin(2ω x﹣ 值为 .

) (ω >0)在区间(0,

)上单调递增,则 ω 的最大

考点:正弦函数的图象. 专题:二项式定理. 分析:由条件利用正弦函数的增区间可得 2ω ? 解答: 解:由函数 f(x)=sin(2ω x﹣ 2ω ? ﹣ ≤ , ﹣ ≤ ,由此求得 ω 的最大值. )上单调递增,可得

) (ω >0)在区间(0,

求得 ω ≤ ,故 ω 的最大值为 , 故答案为: . 点评:本题主要考查正弦函数的增区间,属于基础题.

6.曲线 y=2lnx 在点(e,2)处的切