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广东省普宁市华侨中学2015-2016学年高二数学上学期第四次月考试题 理


普宁市华侨中学 2015-2016 学年度第一学期第四次月考考试 高二理科数学试卷
本试卷分选择 题和非选择题两部分,满分为 150 分. 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的) 1.已知全集 U ? R ,集合 A ? ? x ?2 ? x ? 2? , B ? x x 2 ? 2 x ?

0 ,则 A ? B ? ( A. ?0, 2 ? 2.如果 cos ? ? B. ? 0, 2? C.

?

?



? 0, 2?

D. ?0, 2? )

1 ?? ? ,且 ? 是第四象限的角,那么 cos ? ? ? ? =( 5 2? ?
B.

A. ?

1 5

1 5

C. ?

2 6 5

D.

2 6 5


3.设等差数列 ?an? 的前 n 项和为 Sn ,若则 a 2 ? a8 ? 15 ? a 5 , S 9 =( A.18 B.36 C.45 D.60

4.执行图 1 所示的程序,输出的结果为 20,则判断框中应填入的条件为( A. a ≥ 5 B. a ≥ 4 C. a ≥ 3

)

D. a ≥ 2

3 _ 主视图 _ 侧视图 _

3 _ _ 4 俯视图 _
) D. 6

图(2) _

图1

5.一个棱锥的三视图如图(2)所示,则这个棱锥的体积为( A. 12 B.16 C. 36

6、设 m,n 是两条不同的直线,α ,β 是两个不同的平面,下列命题中正确的是( A、若 α ⊥β ,m? α ,n? β ,则 m⊥n C、若 m⊥n,m? α ,n? β ,则 α ⊥β 7.若 0 ? x ? y ? 1 ,则( A. 3 ? 3
y x



B、若 α ∥β ,m? α ,n? β ,则 m∥n D、若 m⊥α ,m∥n,n∥β ,则 α ⊥β

) C. log4 x ? log4 y D. ( ) ? ( )
x

B. log x 3 ? log y 3

1 4

1 4

y

1

8.不等式

3x ? 1 ? 1 的解集是( 2? x



3 ? A. ? ? x | ? x ? 2? 4 ? ?
3? C. ? ? x | x ? 2或x ? ? 4? ?

B. ? x |

? ?

3 ? ? x ? 2? 4 ?

D. ?x | x ? 2?

? x ?1 ? 9.已知变量 x , y满足条件 ? y ? 2 ,则 x ? y的最小值是 ( ) ?x ? y ? 0 ?
A. 1 B.2 C.3 D.4 )

10 已知两定点 A(-2,0),B(1,0),如果动点 P 满足 PA ? 2 PB ,则点 P 的轨迹是 ( A. 直线 B. 圆
x

C.
y

椭圆 )

D.

抛物线

11.设 x, y ? R ,且 x ? y ? 4 ,则 5 ? 5 的最小值是( A. 9 B.25 C. 50 D.162

12.已知 P 是 以F1、F2为焦点的椭圆 若 A.

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上的一点, a2 b2
)

???? ???? ? 1 PF1 ? PF2 ? 0, tan ?PF1 F2 ? ,则此椭圆的的离心率为( 2
5 3
B.

2 3

C.

1 3

D.

1 2

二、填空题: 13 如果直线 l1 : 2 x ? ay ? 1 ? 0 与直线 l2 : 4x ? 6 y ? 7 ? 0 平行,则 a 的值为 14. 如右图,函数 f ( x ) 的图象是折线段 ABC,其中点 A,B,C 的坐标分别为(0,4) , (2,0) , (6,4) , y A C 则 f ( f (1)) = . 4

x2 y2 1 15 椭圆 + =1 的离心率 e = , 2 9 k ?8
则 k 的值是

3 2 1 B
0

1

2

3

4

5

6

x

2 2 16. 命题 p :?x ? [1, 2] , x ? m ? 0 ,命题 q :?x ? R, x ? mx ? 1 ? 0 ,若命题 p ? q 为真命题,

则实数 m 的取值范围为

2

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 17. (本题满分 10 分)
x 设命题 p : 函数 f ( x ) ? ( a ? ) 是 R 上的减函数,命题 q : 函数 f ( x) ? x ? 4 x ? 3

3 2

2

在 ?a,4? 上递增.若“ p 且 q ”为假命题,“ p 或 q ”为真命题,求 a 的取值范围. 18. (本题满分 10 分) 已知 ?ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c , (1)求角 C ; (2)若向量 m ? (1, sin A) 与 n ? (2, sin B) 共线,求 a 、 b 的值.

3 sin C cos C ? cos 2 C ?

1 ,且 c ? 3 2

19. (本题满分 12 分) 已知数列 {an } 中, a1 ? 3 , an?1 ? 2an ?1 ( n ? 1, n ? N ) (1) 求数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn ?

1 2n ,数列 {bn } 的前 n 项和为 Sn ,求证: S n ? . 3 an an ?1

20. (本题满分 12 分) 某啤酒厂为适应市场需要,2015 年起引进葡萄酒生产线,同时生产啤酒和葡萄酒,2015 年啤酒生产量为 16000 吨,葡萄酒生产量 1000 吨。该厂计划从 2016 年起每年啤酒的生产 量比上一年减少 50%,葡萄酒生产量比上一年增加 100%,试问: (1)从 2015 年起(包括 2015 年) ,经过多少年啤酒与葡萄酒的年生产量之和最低? (2)从 2015 年起(包括 2015 年) ,经过多少年葡萄酒的生产总量不低于该厂啤酒与葡萄酒生产总 量之和的

2 ?(生产总量是指各年年产量之和) 3

21. (本题满分 14 分) 如图,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为矩形,且 PA=AD=1,AB=2, ?PAB ? 120? , ?PBC ? 90? . (1)求证:平面 PAD ? 平面 PAB ; D C (2)求三棱锥 D-PAC 的体积; (3)求直线 PC 与平面 ABCD 所成角的正弦值.
A B

P

22. (本题满分 12 分)
3

已知椭圆 C :

x2 y 2 6 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,椭圆短轴的一个端点与两个焦 2 a b 3

5 2 . (1)求椭圆 C 的方程; 3 (2)已知动直线 y ? k ( x ? 1) 与椭圆 C 相交于 A 、 B 两点. 1 ①若线段 AB 中点的横坐标为 ? ,求斜率 k 的值; 2 ???? ???? 7 ②若点 M ( ? , 0) ,求证: MA ? MB 为定值. 3
点构成的三角形的面积为

4

高二理科数学第一学期第四次月考试卷答案 一、选择: ADCBA DCBBB CA 二、填空题: 三、解答题: 13、-3 14、0 15. 4 或-

5 4

16. (?2, 1]

(或 -2< m ≤1)

3 3 5 ? 1得 ? a ? ? ………2分 2 2 2 ? f ( x) ? ( x ? 2)2 ?1 ,在 ?a,4? 上递增, 得2 ? a ? 4 ????4 分 ? p 且 q 为假, p 或 q 为真, ??5 分 ? p 、 q 一真一假. 3 ?a?2 , 若 p 真 q 假得, 2 5 若 p 假 q 真得, ? a ? 4 . ??9 分 2 3 5 综上所得, a 的取值范围是 ? a ? 2 或 ? a ? 4 . ??10 分 2 2 1 2 18. 解:? 3 sin C cos C ? cos C ? 2
17. 解:由 0 ? a ?

?

3 1 sin 2C ? cos 2C ? 1 2 2

即 sin(2C ?

?
6

) ? 1 …………2分

?C ? ? 0, ? ? ? 2C ?

?
6

?

?
2

,解得 C ?

?
3

??5 分

(2)? m与n 共线,? sin B ? 2 sin A ? 0 。 由正弦定理

a b ? ,得 b ? 2a ,① ??7 分 sin A sin B

? c ? 3 ,由余弦定理,得 9 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos
联立方程①②,得 ?

?

3

,② ??9 分

? ?a ? 3 ? ?b ? 2 3

??10 分

19. 解: (1)由 a n?1 ? 2a n ? 1, 得 a n?1 ? 1 ? 2(a n ? 1) ,??2 分
5

又 a1 ? 1 ? 2 ,所以 {an ? 1} 是等到比数列? a n ? 1 ? 2 n ,即 an ? 2 n ? 1 (2) bn ?

??6 分

2n 2n 1 1 ? n ? n ? n?1 n?1 a n a n?1 (2 ? 1)(2 ? 1) 2 ? 1 2 ? 1
1

?8 分

? Sn ? (

1 1 1 1 1 1 ? 2 )?( 2 ? 3 ) ? ... ? ( n ? n ?1 ) 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 1 1 ? ? n ?1 ??11分 3 2 ?1

?

1 2
n?1

?1

? 0,? S n ?

1 3

??12 分

6

20. 解:设从 2015 年起,该车第 n 年啤酒和葡萄酒年 生产量分别为 an 吨和 bn 吨,经过 n 年后啤酒和葡萄酒 各年生产量的总量分别为 An 吨和 Bn 吨。 (1)设第 n 年啤酒和葡萄 酒生产的年生产量为 Dn 吨,

32000 , 2n ( n ? N*) ,?2 分 bn ? 1000(1 ? 100%)n?1 = 500 ? 2n , 32000 则 Dn ? an ? bn = + 500 ? 2n 2n 64 n 64 n = 500( n ? 2 ) ? 500 ? 2 n ? 2 ? 8000 ,?5 分 2 2 64 n 当且仅当 n ? 2 ,即 n ? 3 时取等号, 2
依题意, an ? 16000(1 ? 50%)n?1 = 故经过 3 年啤酒和葡萄酒生产的年生产量最低, 为 8000 吨。 ??6 分 (2)依题意,

Bn 2 ? ,得 Bn ? 2 An , An ? Bn 3 1 16000[1 ? ( ) n ] 2n ? 1 2 ∵ An ? ? 32000 ? n , 1 2 1? 2 n 1000[1 ? 2 ] Bn ? ? 1000(2n ? 1) ?9 分 1? 2 2n ? 1 ∴ 1000(2n ? 1) ? 32000 ? n ? 2 , 2 n n 6 ∵ 2 ? 1 ? 0 ,∴ 2 ? 64 ? 2 ,∴ n ? 6 ,
2 。?12 分 3

故经过 6 年葡萄酒各年生产的总量不低于啤酒各年 生产总量与葡萄酒各年生产总量之和的

21. (本题满分 14 分) 【答案】(1)证明:∵ABCD 为矩形 ∴ AD ? AB 且 AD // BC ??? 1 分 ∵ BC ? PB ∴ DA ? PB 且 AB ? PB ? B ??? 2 分 ∴ DA ? 平面 PAB ,又∵ DA ? 平面 PAD ∴平面 PAD ? 平面 PAB ??? 4 分 (2) ∵ VD?PAC ? VP?DAC ? VP? ABC ? VC ?PAB ??? 5 分 由(1)知 DA ? 平面 PAB ,且 AD // BC ∴ BC ? 平面 PAB ??? 7 分 ∴ VC ? PAB ? 1 S?PAB ? BC ? 1 ? 1 PA ? AB ? sin ?PAB ? BC 3 3 2
1 3 3 ??? 9 分 ? ?1? 2 ? ?1 ? 6 2 6

(3)由(1)知 DA ? 平面 PAB ,∵ AD ? 面 ABCD ∴平面 ABCD⊥平面 PAB, 在平面 PAB 内, 过点 P 作 PE⊥AB,垂足为 E, 则 PE⊥平面 ABCD,连结 EC, 则∠PCE 为直线 P C 与平面 ABCD 所成的角 ?? 11 分 在 Rt△PEA 中,∵∠PAE=60°,PA=1, ∴ PE ? 3 ,又 PB2 ? PA2 ? AB2 ? 2PA ? AB cos120? ? 7 2 ∴ PC ? PB2 ? BC2 ? 2 2
3 PE 6 . 2 在 Rt△PEC 中 sin ? ? ? ? PC 2 2 8

z D C

A

B y

P

x

即直线 PC 与平面 ABCD 所成角的正弦值 6 .??? 14 分 8

22. 解: (1)因为

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 满足 a 2 ? b2 ? c 2 , 2 a b

c 6 , ? a 3 1 5 2 ? b ? 2c ? 2 3

x2 y 2 5 ? ?1 解得 a ? 5, b ? ,则椭圆方程为 5 3 5 3 2 2 x y ? ? 1 中得: (2)(1)将 y ? k ( x ? 1) 代入 5 5 3 2 2 2 2 (1 ? 3k ) x ? 6k x ? 3k ? 5 ? 0 ??7 分
2 2

??6 分

? ? 36k 4 ? 4(3k 2 ? 1)(3k 2 ? 5) ? 48k 2 ? 20 ? 0 ,
x1 ? x2 ? ? 6k 2 3k 2 ? 1

因为 AB 中点的横坐标为 ? 解得 k ? ?

6k 1 1 ?? ,所以 ? -1, 2 3k ? 1 2 2

2

3 3

??9 分

(2)由(1)知 x1 ? x2 ? ? 所以

6k 2 3k 2 ? 5 x x ? , 1 2 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1

???? ???? 7 7 7 7 MA ? MB ? ( x1 ? , y1 )( x2 ? , y2 ) ? ( x1 ? )( x2 ? ) ? y1 y2 3 3 3 3 7 7 ? ( x1 ? )( x2 ? ) ? k 2 ( x1 ? 1)( x2 ? 1) 3 3

7 49 ? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? ( ? k 2 )( x1 ? x2 ) ? ? k 2 3 9
3k 2 ? 5 7 6k 2 49 2 ? ( ? k )( ? ) ? ? k2 2 2 3k ? 1 3 3k ? 1 9 4 2 ?3k ? 16k ? 5 49 4 ? ? ? k2 ? 2 9 3k ? 1 9 ?12 分 ? (1 ? k 2 )


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