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求数列通项公式专题总结(二)


专题总结:求数列通项公式(二)
王展硕

求数列 {an } 的通项公式; 变式 6. 已知在正整数数列

{an } 中,前 n 项和 S n 满足

类型 1、 Sn ? f (an )
?S1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(n ? 1) 解 法 : 利 用 an

? ? 与 ?S n ? S n?1 ? ? ? ? ? ? ? (n ? 2)
an ? S n ? S n?1 ? f (an ) ? f (an?1 ) 消去 S n (n ? 2) 或
与 S n ? f (S n ? S n?1 ) (n ? 2) 消去 an 进行求解。 例 1 已 知 无 穷 数 列 ?a n ? 的 前 n 项 和 为 Sn , 并 且

Sn ?

1 ( a n ? 2) 2 8

b {a } (1) 求证: n 是等差数列 (2) 若 n


?

1 a n ? 30 2 ,

{bn } 的前 n 项和的最小值

类型 2、 an?1 ? kan ? b 型(其中 k、b 为常 数, kb ? 0 , k ? 1 )

an ? Sn ? 1(n ? N * ) ,求 ?a n ? 的通项公式?
Sn ? 1 ? an , ? an?1 ? Sn?1 ? Sn ? an ? an?1 , ?
1 1 ?1? an ?1 ? an ,又 a1 ? , an ? ? ? . 2 2 ?2?
变式 1. 已知数列 ?an ? 中,a1 ?
n

a 解:设 n?1

? m ? k (an ? m)



an?1 ? kan ? km ? m
比较系数: km

?m ?b

m?


b k ?1

1 , 前 n 项和 S n 与 an 3
a1 ?



{a n ?

b } k ? 1 是等比数列,公比为 k ,首项为

的关系是 S n ? n(2n ? 1)an ,求 an 变式 2. 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且满足

b k ?1


an ?

2S n ? 2an ? n ? 3 (n ? N * ) .
求数列 {an } 的通项公式

b b ? (a1 ? ) ? k n ?1 k ?1 k ?1 b b ) ? k n ?1 ? k ?1 k ?1
知 数 列

∴ 例 1

a n ? (a1 ?


( n ? 1 ) b 变式 3. 已知数列 {a n } 的前 n 项和 S , n? n
其中 {bn } 是首项为 1,公差为 2 的等差数列. 求数列

?an ?



,

a1 ? 1 , an ? 2an?1 ? 1(n ? 2) ,求 ?an ? 的通项公式.
【解析】:利用 (an ? x) ? 2(an?1 ? x) , an ? 2an?1 ? x , 求得 x ? 1 ,

{a n } 的通项公式;
变 式 4. 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 Sn , a1 ? 1 ,

an?1 ? 2Sn (n ? N* ) .求数列 ?an ? 的通项 an
变式 5. 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且满足

an ? 1 ? 2(an?1 ? 1) , ? ?an ?1? 是首项为 a1 ? 1 ? 2 ,
公比为 2 的等比数列, 即 an ? 1 ? 2 ? 2n?1 , an ? 1 ? 2n ,? an ? 2n ? 1 变式 1.已知数 {an } 的递推关系为 a n ?1 ?

2S n ? 2an ? n ? 3 (n ? N * ) .

2 a n ? 4 ,且 3
1

a1 ? 1 求通项 an

变 式

4.

已 知 数 列

?a ?
n

满 足 a1 ? 1 ,

an ?1 ? an ?

1 n(n ? 1) ,求 ?an ?的通项公式。

类型 3、 an?1 ? an ? f (n) 型,( f (n) 可求 前 n 项和),利用
an ? a1 ? (a2 ? a1 ) ????(an ? an?1 ) 求通项公式的
方法称为累加法。 例 1. 已 知
*

类型 4
解:可设 ∴

an?1 ? kan ? an ? b 型
an?1 ? A(n ? 1) ? B ? k (an ? An ? B)

{an } 的 首 项 a1 ? 1 , an?1 ? an ? 2n

an?1 ? kan ? (k ? 1) An ? (k ? 1) B ? A
A?
解得:

( n ? N )求通项公式。 解:

?(k ? 1) A ? a ? ∴ ?(k ? 1) B ? A ? b
B? b a ? k ? 1 (k ? 1) 2


a k ?1 ,

an ? an?1 ? 2(n ? 1) an?1 ? an?2 ? 2(n ? 2) an?2 ? an?3 ? 2(n ? 3) …… a3 ? a 2 ? 2 ? 2

{an ? An ? B} 是以 a1 ? A ? B 为首项, k 为
n?1

公比的等比数列 ∴ an ? An ? B ? (a1 ? A ? B) ? k ∴ an ? (a1 ? A ? B) ? k 代入即可
n?1

? a2 ? a1 ? 2 ?1
an ? a1 ? 2[1 ? 2 ? ? ? (n ? 1)] ? n 2 ? n
∴ an ? n ? n ? 1
2

? An ? B 将 A、B

1 a n ? a n ?1 ? 2n ? 1 a ? 1 2 例 1. 已知: 1 ,n ? 2 时, ,


{an } 的通项公式。
解:

变式 1.已知数列 {an } 满足 an?1 ? an ? 2n ? 1 ,a1 ? 1 , 求数列 {an } 的通项公式。 变式 2. 已知数列 {an } 满足 an?1 ? an ? 2 ? 3n ? 1 求数 ,a1 ? 3 , 列 {an } 的通项公式。 变式 3. 已知数列 {an } 中 , a1 ? 1 , an ? 3n?1 ? an-1 (n ? 2) 求 数列 ?an ? 的通项公式.

1 a n ? An ? B ? [a n ?1 ? A(n ? 1) ? B] 2 设
an ? 1 1 1 1 a n ?1 ? An ? A ? B 2 2 2 2

? 1 ? A?2 ? ? 2 ? ? ? 1 A ? 1 B ? ?1 ? 2 ∴ ? 2

? A ? ?4 ? 解得: ? B ? 6
2

∴ a1 ? 4 ? 6 ? 3

an
解:原递推式可化为:

1 {an ? 4n ? 6} 是以 3 为首项, 2 为公比的等 ∴
比数列

a ? ? ? 3n ? 2(a ? ? ? 3n ? 1) n ?1 n
① 比 较 系 数 得

1 a n ? 4n ? 6 ? 3 ? ( ) n ?1 2 ∴ an ? 3 2 n ?1 ? 4n ? 6

? ? ?4

, ① 式 即 是 : .

an ?1 ? 4 ? 3n ? 2(a n ? 4 ? 3n ?1 )



类型 5

an?1 ? kan ? q n 型 ( q ? 0 )

n ?1 { a ? 4 ? 3 } 是一个等比数列, 则数列 n

a n?1 k a n 1 ? ? n ? n ?1 n ?1 q q q 等式两边同时除以 q 得 q a Cn ? n qn 令
可归为

其首项

a1 ? 4 ? 31?1 ? ?5 ,公比是 2.

C n ?1


k 1 ? Cn ? q q

∴ ∴

an ? 4 ? 3n?1 ? ?5 ? 2n?1

{C n }

an?1 ? kan ? b 型

n ?1 n ?1 a ? 4 ? 3 ? 5 ? 2 即 n .
n 变 式 1. 已 知 数 列 {an } 满 足 an?1 ? 2an ? 3? 2 ,

例 1. 已知

{an } 中,a1 ? 1 ,an ? 2an?1 ? 2n

a ( n ? 2 )求 n 。
a n a n ?1 ? n ?1 ? 1 n 2 由 an ? 2an?1 ? 2 得 2
n

a1 ? 2 ,求数列 {an } 的通项公式。
变 式 2. 已 知 数 列

{an }





求数列 ?an ? 的通项公式。 an?1 ? 2an ? 3? 5n,a1 ? 6 , ∴ 变 式 3. 已 知 数 列

{


an an 1 } ? ? (n ? 1) n 2 成等差数列, 2 n 2

{an }





an ? n ? 2n ? 2n?1
n 类型 6 an?1 ? Aan ? Bq ( A、B、q

an?1 ? 3an ? 5 ? 2n ? 4,a1 ? 1,求数列 {an } 的通项公
式。

为常数,下同)型,可化为

类型 7、 an?1 ? f (n) ? an 型。
(1)若 f ( n) 是常数时,可归为等比数列。

an?1 ? ? ? q n?1 ? A(an ? ? ? q n ) 的
形式. 例 1. 在 数 列

(2)若 f ( n) 可求积,利用恒等式

?an ?





an ? a1

a a2 a3 ??? n (an ? 0, n ? 2) 求通项公式的方 a1 a2 an?1
1 2n ? 1 an ? a n ?1 3, 2n ? 1 (n ? 2)
3

a1 ? ?1, an?1 ? 2an ? 4 ? 3n?1 , 求 通 项 公 式

法称为累乘法。

例 1:已知:

a1 ?

求数列

{an } 的通项。

解:

1 1 , ? 2? an?1 an

?1? 1 1 ? ?2 ,? ? ? 是以 an?1 an ? an ?

an an?1 an?2 a3 a2 2n ? 1 2n ? 3 2n ? 5 5 3 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? an?1 an?2 an?3 a2 a1 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 3 7 5 2n ? 1
a n ? a1 ? 3 1 ? 2n ? 1 2n ? 1

1 ?1 为 首 项 , 公 差 为 2 的 等 差 数 列 . a1
1 1 . ? 1 ? 2( n ? 1) ,? an ? 2n ? 1 an



变式 1. 已知 a1 ? 1 , an ? n(an?1 ? an ) (n ? N * ) ,求数 列 ?a n ? 通项公式. 变式 2. (2004 年全国 I 第 15 题,原题是填空题)已 知数列 {an } 满足 例 2 已知 求

{an } 中, a1 ? 4 ,

an ? 4 ?

4 a n?1 ( n ? 2 )

an 。

an?1 ? 2 ? 2 ?
? (n ?1)an?1 (n ? 2) ,
解:

a1 ? 1 ,an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ?
求 {an } 的通项公式。

4 2(an ? 2) ? an an

1
∴ a n ?1 ? 2

?
1

an 1 1 ? ? 2(an ? 2) 2 an ? 2 ( n ? 1 )
? 1 1 ? an ? 2 2 ( n ? 1 ) 设

变式 3. 已知数列 求

?an ? 满足

a1 ?

2 n a n ?1 ? an 3, n ?1 ,



a n ?1 ? 2

an 。

bn ?

n a n ?1 ? an { a } n ? 2 且 a1 ? 2 求数 变式 4. 已知 n 中,
列通项公式。

1 an ? 2
bn ?1 ? bn ? 1 ( n ? 1) 2

即 ∴

类型 8、

an?1 ?

can an ? d (c ? 0, d ? 0)
的形式的方法叫倒数

{bn } 是等差数列
1 1 1 n ? ? (n ? 1) ? ? a n ? 2 a1 ? 2 2 2

1 d 1 1 ? ? 取倒数变成 an ?1 c an c
变换. 例 1 已 知 数 列



an ?

2 ?2 n

?an ?

(n ? N * ) 中 ,

例 3. 已 知 数 列 { an } 满 足 : a1 =

3 , 且 an = 2

a1 ? 1 , an ?1 ?

an ,求数列 ?an ? 的通项公式. 2an ? 1 an 取 倒 数 得 : 2an ? 1

3na n-1 (n ? 2,n ? N?) 求数列{an}的通项公 2a n-1+n- 1
式; 解:(1)将条件变为:1-

【 解 析 】 : 将 an ?1 ?

n 1 n-1 1- ) =( ,因此 an 3 a n-1

4

{1-

n 1 1 }为一个等比数列,其首项为 1- = , a1 3 an

定 ( 即 把 a1 , a2 , x1 , x2 和 n ? 1,2 , 代 入
n?1 ,得到关于 A、B 的方程组); an ? Ax1n?1 ? Bx2

公比

1 1 n ? 3n n , 从而 1- = n , 据此得 a n = n (n?1) 3 3 -1 an 3

( 2 ) 当 x1 ? x 2 时 , 数 列 ?an ? 的 通 项 为

变 式 1. 已 知 数 列 { an } 中 a1 ? 1 且 a n ?1 ? ( n ? N ),,求数列的通项公式。 变式 2.数列 ?an ? 中,a1 ? 1 ,an ?1 ? 变 式

an an ? 1

an ? ( A ? Bn) x1n?1 ,其中 A,B 由 a1 ? ? , a2 ? ? 决定
( 即 把

a1 , a2 , x1 , x2 和 n ? 1,2 , 代 入

2an , (n ? N ? ) an ? 2
=1,

an ? ( A ? Bn) x1n?1 ,得到关于 A、B 的方程组)。

3、 3. 在 数 列 { an } 中 , a 1

an ? 2 ? A ? an ?1 ? B ? an

型,可化为

(n ? 1)an ?1 ? nan ,求 an 的表达式。
{a } 变式 4. 数列 n 中,


an ? 2 ? ?an ?1 ? ( A ? ? ) ? (an ?1 ? ?an )
的形式。 例 11 在数列{ an }中, a1

a n?1

2 n?1 ? a n ? n ?1 2 ? a n , a1 ? 2 ,

? ?1, a2 ? 2 ,当


{an } 的通项。 {an } 中,a1 ? 1 ,其前 n 项和 S n 与 an 满
2 n

n? N
求通项公式



an?2 ? 5an?1 ? 6an

变式 5. 已知

an ?


2S 2S n ? 1 ( n ? 2 )

an .

解:①式可化为:

1 { } {a } (1)求证: S n 为等差数列 (2)求 n 的通
项公式

an?2 ? ?an?1 ? (5 ? ? )(an?1 ? ?an )
比较系数得 可化为:

? =-3 或 ? =-2,不妨取 ? =-2.①式

类型 9、 an?2 ? pan?1 ? qan (其中 p,q 均 为常数)。
(特征根法):对于由递推公式

an ? 2 ? 2an ?1 ? 3(an ?1 ? 2an )


an?2 ? pan?1 ? qan , a1 ? ? , a2 ? ? 给出的数列

{an?1 ? 2an } 是 一 个 等 比 数 列 , 首 项

?an ? ,方程 x
程。

2

? px ? q ? 0 ,叫做数列 ?an ? 的特征方

a2 ? 2a1 =2-2(-1)=4,公比为 3.
∴ 果有:

an?1 ? 2an ? 4 ? 3n?1 . 利用上题结

若 x1 , x 2 是特征方程的两个根, ( 1 ) 当 x1 ? x 2 时 , 数 列 ?an ? 的 通 项 为
n?1 ,其中 A,B 由 a1 ? ? , a 2 ? ? 决 an ? Ax1n?1 ? Bx2

an ? 4 ? 3n?1 ? 5 ? 2n?1 .
例 1 数列 ?an ? :
5

3an?2 ? 5an?1 ? 2an ? 0(n ? 0, n ? N )
a1 ? a, a2 ? b ,求 an



变式 1. 【2002 年上海高考题】 若数列{ 且 an ?1

an }中,a1 =3

? a n 2 (n

是正整数),则它的通项公式是

解(特征根法):的特征方程是: 3x ? 5 x ? 2 ? 0 。
2

an =
类型 11 周期型
解法:由递推式计算出前几项,寻找周期。

? x1 ? 1, x 2 ?

2 , 3

? an ? Ax

n?1 1

? Bx

n?1 2

2 ? A ? B ? ( ) n ?1 。 又 由 3

a1 ? a, a2 ? b ,于是

?a ? A ? B ? A ? 3b ? 2a ? 2 ?? ? b ? A ? B ?B ? 3(a ? b) ? 3 ?
2 a n ? 3b ? 2a ? 3(a ? b)( ) n ?1 3
变 式 1. 已 知 数 列

例 1 若数列 ?an ? 满足 a n ?1 故

1 ? 2a n , (0 ? a n ? ) ? ? 2 ?? , 若 1 ?2a ? 1, ( ? a ? 1) n n ? 2 ?

a1 ?

6 ,则 a 20 的值为___________。 7

?an ?

变 式 【 2005 湖 南 文 5 】 已 知 数 列 {an } 满 足 中 ,

a1 ? 1 , a2 ? 2 , a n ? 2
key : an ?
变 式

2 1 ? a n ?1 ? a n ,求 an 。 3 3

a1 ? 0, an?1 ?

an ? 3 3an ? 1

(n ? N * ) ,则 a 20 =()

7 3 1 n ?1 ? (? ) 。 4 4 3
2.
n?

A.0 数 列

B. ? 3

C. 3





?an ?
*





a1 ? 1 , a ?2
的通项公式;

3? a, 2 ? n ? a 31 ?n

求数列 a 2 n? ( an ? N

)

类型 12 平方(开方)法

.

【例 1】

若数列{

an

}中,

a1 =2



r 类型 10 an?1 ? pan ( p ? 0, an ? 0)

2 an ? 3 ? an ?1

(n

? 2 ),求它的通项公式

解法:这种类型一般是等式两边取对数后转化为

an?1 ? pan ? q ,再利用待定系数法求解。
例 1 已知数列 { an } 中,a1 ? 1, a n ?1 ? 求数列 ?an ? 的通项公式 . 解 : 由



an .
解 将

1 2 ? a n (a ? 0) , a

2 an ? 3 ? an ?1

两边平方整理得

lg a n ?1

1 2 ? an a 1 ? 2 lg a n ? lg , a a n ?1 ?

两 边 取 对 数 得

2 2 2 2 an ? an ?1 ? 3 。数列{ a n }是以 a1 =4 为首
项 , 3 为 公 差 的 等 差 数 列 。

令 bn ? lg an ,则 bn ?1 ? 2bn ? lg 系数法解得: a n ? a ( )

1 ,再利用待定 a

2 2 an ? a1 ? (n ? 1) ? 3 ? 3n ? 1

。因为

1 a

2 n ?1

an >0,所以 an ? 3n ? 1 。
6


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