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黑龙江省哈尔滨市第九中学2009届高三数学模拟考试理科试题


哈尔滨市第九中学 2009 年高三模拟考试 数学试题(理科)
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一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一个是符合题目要求的)
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1.复数 z1 ? 3 ? i, z 2 ? 2 ? i, 则
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br />
z1 在复平面内的对应点位于 z2
C.第三象限 D.第四象限





A.第一象限

B.第二象限

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2. 设集合 A ? B ? R, 映射f : A ? B定义为x ? x 3 ? x ? 2, 则在映射 下, 的原象所成 2 f 的集合是
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( B.{1,0,-1} C.{1,-1} D.{9}



A.{1}

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, 3.已知向量 a与b不共线 且AB ? a ? 2b, BC ? ?4a ? b, CD ? ?5a ? 3b ,则四边形
ABCD 是
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( B.矩形 C.梯形 D.菱形



A.平行四边形

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4.设抛物线 y 2 ? 4x上一点P到直线y ? ?1 的距离是 5,则 P 到抛物线焦点 F 的距离为 (
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A.5 或 10

B.4 或 9

C.5

D.4

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5.已知角 ? ? (0,2? ), 且?的终边上一点的坐标为 (sin
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5? 5? , cos ), 则? 等于 ( 6 6
D.



A.

2? 3

B.

5? 3

C.

5? 6

7? 6

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?x ? y ? 2 ? 0 y ? , 6.6.已知点 ( x, y )在不等式组?3 x ? y ? 2 ? 0, 所确定的平面区域内则 的最大值为 x ?x ? 2 ?


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A.2 B.1 C.0 D.-1 7.正四棱椎 P—ABCD 的顶点都在同一个球面上,若底面 ABCD 的外接圆是球的大圆,异 面直线 PA 与 BC 所成的角是 ( )
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A.

? 3

B.

? 4

C.

? 6

D. arccos

6 6

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1

8. 已知 f ( x) ? ?
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?(3a ? 1) x ? 4a, x ? 1 是(??,??) 上的减函数,那么 a 的取值范围是( ?log2 x, x ? 1
1 3



A. (0,1)

B. ( 0, )

C. [ , )

1 1 7 3

D. [ ,1)

1 7

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9.关于 x的程9| x| ? 4 ? 3| x| ? m ? 0有解, 是m ? ?4 的
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A.充要条件 B.充分而不必要的条件 C.必要而不充分的条件 D.既不充分也不必要的条件 10.由 1,2,3,4,5 组成的无重复数字的三位数中,既含有奇数字又含偶数字的有(
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A.72 11.把函数 y ? sin( x ?

B.54

C.48

D.35-33

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5? )的图象沿向量 a ? (?m,0) 的方向平移后,所得的图象的解析 6
( )

式为 y ? cos x, 则m 的最小正值是
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A.

? 6

B.

5? 6

C.

2? 3

D.

5? 3

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12. 某通讯公司国际长途资费为通话 x分钟话费f ( x) ? ?

?3.6,0 ? x ? 2 其 ?3.6 ? 0.9(0.5 ? [ x ? 1] ? 1), x ? 2
( )

中 [ x]是不超过x 的最大整数,那么按此资费通话 5 分钟 42 秒的话费应是
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A.6.3
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B.6.75

C.5.385

D.7.2

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第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
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二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在答题卡上) 13.若互不相等的实数

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a, b, c依次成等差数列c, a, b依次成等比数列且a ? 3b ? c ? 10,则 a= , ,
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14.过双曲线的右焦点作倾斜角为 60°的直线,与双曲线的左右两支各交于一点,则双曲 2 线的离心率的取值范围是 0 10 2 0 15.已知 (3 ? x) ? a0 ? a1 (1 ? x) ? a2 (1 ? x) ? ? ? a10 (1 ? x)10 , 则a8 ? 9 16.一个三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上,已知正三棱柱的底面边长是 2, 0 高是 3,则该三角形面积的最大值为 4 2 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 1 0 3 0 2 9 0 4
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17. (本小题满分 10 分)

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在 ?ABC 中, 角A, B, C所对的边长分别是 a, b, c, 且 cos A ? (1)求 sin
2

B?C ? cos 2 A 的值; 2

4 . 5

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(2)若 b ? 2, ?ABC的面积S ? 3, 求a.
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18. (本小题满分 12 分) 甲、乙等五名大冬会志愿者被随机地分到黑大、体院、理工、亚布力四个不同的比赛场 馆服务,每个场馆至少有一名志愿者。 (1)求甲、乙两人同时到黑大场馆服务的概率;
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(2) 设随机变量 ? 为这五名志愿者中到黑大场馆服务的人数, ? 的分布列及数学期望。 求
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19. (本小题满分 12 分) 如图,正方形 ABCD 和 ABEF 的边长均为 1,且它们所在平面互相垂直,G 为 BC 的中 点。 (1)求点 G 到平面 ADE 的距离; (2)求直线 AD 与平面 DEG 所成的角。
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3

20. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? px ?

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p ? 2 ln x. x

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(1)若 f (x) 在其定义域内为单调递增函数,求 p 的取值范围; (2) p ? 当
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1 时, 直线 y ? b与函数 y ? f ( x) 的图象有 3 个交点, 求实数 b 的取值范围。 2

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21. (本小题满分 12 分) 已知 E、F 是 x 轴上的点,坐标原点 O 为线段EF的中点,G、P 是坐标平面上的动点,
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点 P 在线段 FG 上, | FG |? 10, | EF |? 6, ( PE ? (1)求 P 的轨迹 C 的方程;
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1 EG ) ? EG ? 0 2

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(2) B 为轨迹 C 上任意两点, OE ? ? OA ? (1 ? ? )OB , 为 AB 的中点, ?OEM A, 且 M 求 面积的最大值。
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22. (本小题满分 12 分) 已知各项均为正数的数列 {an } 的前n项和S n 满足S1 ? 1.且6S n ? (an ? 1)(an ? 2)

(n ? N * )
(1)求 {an } 的通项公式; ( 2 ) 设 数 列 {bn }满足an (2 ? 1) ? 1, 并记Tn为 bn } { 的前n 项 和 , 求 证 :
b

3Tn ? 1 ? log2 (an ? 3), (n ? N * )

4

参考答案
一、选择题 DBCABA ACBBDA 二、填空题 13.-4 14. (2,??) 三、解答题 17.解: 15.180 16. 2 3

B?C A 1 1 59 ? cos 2 A ? cos 2 ? 2 cos 2 A ? 1 ? 2 cos 2 A ? cos A ? ? 2 2 2 2 50 4 3 cos A ? ? sin A ? 5 5 1 又? S ? bc sin A ? 3,? c ? 5 7分 2 sin 2

5分

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2b cos A ? 13

9分

a ? 13

10 分

18.解: (1)记甲、乙两人同时到黑大场馆服务为事件 A,那么
3 A3 1 P( A) ? 2 4 ? , C5 A4 40

即甲、乙两人同时到黑大场馆服务的概率是 (2)随机变量 ? 可能取的值为 1,2。

1 . 40

4分

事件“ ? =2”是指有两人同时到黑大场馆服务, 则 P(? ? 2) ?
3 C52 A3 1 ? , 3 4 C5 A4 4

所以 P (? ? 1) ? 1 ? P (? ? 2) ?

3 , 4

? 的分布列是

?
P

1

2

3 4

1 4

5

3 1 5 ? 的数学期望 E? ? 1 ? ? 2 ? ? 4 4 4
19. (1)? BC // AD, AD ? 平面ADE

? BC // 平面 ADE。
点 G 与平面 ADE 的距离即为点 B 到平面 ADE 的距离,连结 BF 交 AE 于 H, 则 BF ? AD ? BF ? 平面 ADE, ? BH 即为点 B 到平面 ADE 的距离 3 分 在 Rt?ABE中, BH ?

AE 2 ? . 2 2 2 2
6分

点 G 到平面 ADE 的距离为

(2)设 DE 中点为 O,连结 OG、OH,

1 1 AD , BG ? AD. 2 2 ? 四边形 BHOG 为平行四边形,? GO//BH。 由(1)知, BH ? 平面 ADE, ?GO ? 平面 ADE,又 OG ? 平面 DEG,
则 OH // AD , BG // AD , OH ?

? 平面DEG ? 平面ADE

? 过点A作AM ? DE于M , 则AM ? 平面 DEG,
? ?ADE 为直线 AD 与平面 DEG 所成的角
在 Rt?ADE中 tan ADE ? , 9分

2.

? ?ADE ? arctan 2,
? AD与平面DEG所成的角为arctan 2
12 分

法(2)(1)建立坐标系, A(0,1,0), D(1,1,0), E (0,0,1), G ( ,0,0) :

1 2

1 ? AD ? (1,0,0), AE ? (0,?1,1), AG ? ( ,?1,0) 2
设平面 ADE 的法向量 n1 ( x, y, z)

?x ? 0 ?? ? n1 ? (0,1,1) ?? y ? z ? 0
?点G到产面ADE的距离为

3分

2 2

6分

6

(2) DE ? (?1,?1,1), GE ? ( ,0,?1) 设平面 DEG 的法向量 n2 ( x, y, z)

1 2

?? x ? y ? z ? 0 ? ? ?1 ? n2 ? (2,?1,1) ?2 x ? z ? 0 ?
? cos? ? 6 3

9分

? AD与平面DEG所成的角为arcsin

6 3

12 分

20.解: (1) f ?( x) ? p ?

p 2 1 2 ? ? P(1 ? 2 ) ? 2 x x x x

要使 f ( x)在其定义域 0,??) 内为单调增函数, ( 只需 f ?( x)在(0,??)内满足f ?( x) ? 0 恒成立。 由 f ?( x) ? 0 ? p (1 ? 2分

1 2 )? ?0? p ? 2 x x

2 1 x? x

? p?(

2 1 x? x

) max ( x ? 0)

3分

?

2 1 x? x
2 1 x? x

?

2 1 2 x? x

? 1, 且 x ? 1 时等号成立

4分

故(

) max ? 1? p ? 1

5分

(2)当 p ?

1 x 1 x 2 ? 4x ? 1 时, f ( x) ? ? ? 2 ln x, f ?( x) ? 2 2 2x 2x 2

6分

令 f ?( x) ? 0得x ? 2 ? 3 当 x变化时, f ?( x), f ( x) 的变化情况如下表:

x

(0,2 ? 3)

2? 3

(2 ? 3,2 ? 3)

2? 3

(2 ? 3,??)

7

f ?(x)

+

0 极大值

-

0 极小值

+

f (x)

? 3 ? 2 ln(2 ? 3)
10 分 由 f (e ) ?
10

3 ? 2 ln(2 ? 3)

e10 1 ? 10 ? 20 2 2e

A ? ? 3 ? 2 ln(2 ? 3 )

1 1 ? 2? 3 ? ? 1, ln(2 ? 3 ) ? (?2,0), A ? 4 ? 3 ? f (e10 ) 2 e 2? 3
同理 f (e
?10

e10 1 )?? ? 10 ? 20 ? 3 ? 2 ln(2 ? 3 ). 2 2e

所以当直线 y ? b与函数y ? f (x) 的图象有 3 个交点时,实数 b 的取值范围为

3 ? 2 ln(2 ? 3) ? b ? ? 3 ? 2 ln(2 ? 3)
21.解: (1)取 EG 的中点为 H,则

12 分

1 EG ? PH ? PH ? EG ? 0 2 ? PH ? GE 2分 ? PH 是 EG 的垂直平分线 PE ?

? PE |?| PG | |

? PE | ? | PF |?| GF |? 10 ?| EF |? 6 |
4分

? P 点的轨迹是以 E、F 为焦点,长轴长为 10 的椭圆
设其轨迹方程为

x2 y2 ? ? 1, a2 b2
2 2 2

则 2a ? 10, a ? 5,2c ? 6, c ? 3, b ? a ? c ? 16

?

x2 y2 ? ?1 25 16

5分

(2)?OE ? ? OA ? (1 ? ? )OB ? ? OA ? OB ? ? OB

?OE ? OB ? ? (OA ? OB)
? BE ? ? BA?A、B、E 三点共线
? E(?3,0)设AB所在直线方程为 ? my ? 3 x
8

?x ? m y ? 3 ? 2 整理关于 y 的方程为: ?x y2 ?1 ? ? ? 25 16

(16m 2 ? 25) y 2 ? 96my ? 256 ? 0(? ? 0恒成立)
? y1 ? y 2 ? 96 m 16 m 2 ? 25

M点的纵坐标为y M ?

y1 ? y 2 48m ? 2 16m 2 ? 25

9分

? S ?DEM ?

1 1 48 | m | 72 | m | | OE || y M |? ? 3 ? ? ? 2 2 2 16m ? 25 16m 2 ? 25

72 25 16 | m | ? |m|

10 分

? 当 16 | m |?

5 25 ,即 m ? ? 时, 4 |m|

16 | m | ?

25 ? 40, |m|
12 分

9 S ?DEM 最大值为 . 5

22.解: (1)解:由 a1 ? S1 ?

1 (a1 ? 1)( a1 ? 2), 6

解得 a1 ? 1或a1 ? 2由假设a1 ? S1 ? 1, 因此 a1 ? 2. 1分

又由 a n ?1 ? S n ?1 ? S n ?

1 1 (a n ?1 ? 1)( a n ?1 ? 2) ? (a n ? 1)( a n ? 2), 6 6

得 an?1 ? an ? 3 ? 0或an?1 ? ?an , 因 an ? 0,? an?1 ? an ? 3 ? 0 从而 {an } 是公差为 3,首项为 2 的等差数列, 故 {an } 的通项为 an ? 3n ? 2. (II)证法一:由 a n (2
bn

5分

? 1) ? 1可解得bn ? log2 (1 ?

1 3n ) ? log2 an 3n ? 1

6分

9

3 6 3n ) 7分 2 5 3n ? 1 3 6 3n 3 2 ) . 因此 3Tn ? 1 ? log 2 (a n ? 3) ? log 2 ( ? ? 2 5 3n ? 1 3n ? 2 3 6 3n 3 2 ) 令 f ?(n) ? ( ? ? ,则 2 5 3n ? 1 3n ? 2
从而 Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? log 2 ( ? ?

f (n ? 1) 3n ? 2 3n ? 3 3 (3n ? 3)3 ? ( ) ? . f (n) 3n ? 5 3n ? 2 (3n ? 5)(3n ? 2)2
因 (3n ? 3) 3 ? (3n ? 5)(3n ? 2) 2 ? 9n ? 7 ? 0, 故 f (n ? 1) ? f (n) 特别的 f (n) ? f (1) ? 11 分

27 ? 1. 10

从而 3Tn ? 1 ? log(an ? 3) ? log f (n) ? 0, 即 3Tn ? 1 ? log2 (an ? 3) 12 分 7分

证法二:同证法一求得 bn 及Tn 。 由二项式定理知当 c ? 0 时,不等式

(1 ? c) 3 ? 1 ? 3c 成立。
由此不等式有 3Tn ? 1 ? log 2 2(1 ? ) (1 ? ) ? (1 ?
3 3

1 2

1 5

1 3 ) 3n ? 1

3 3 3 ? log 2 2(1 ? )(1 ? ) ? (1 ? ) 2 5 3n ? 1 5 8 3n ? 2 ? log 2 2 ? ? ? ? log 2 (3n ? 2) ? log 2 (a n ? 3). 2 5 3n ? 1
证法三:同证法一求得 bn 及Tn 。 令 An ? 7分

12 分

3 6 3n 4 7 3n ? 1 5 8 3n ? 2 ? ? , Bn ? ? ? , Cn ? ? ? 2 5 3n ? 1 3 6 3n 4 7 3n ? 1 3n 3n ? 1 3n ? 2 3n ? 2 3 ? ? ,因此 An ? An Bn C n ? . 11 色 因 3n ? 1 3n 3n ? 1 2 2 6 3n 3 3 ) ? log 2 2 An 从而 3Tn ? 1 ? log 2 2( ? ? 3 5 3n ? 1

? log2 2 An Bn Cn ? log2 (3n ? 2) ? log2 (an ? 3).

12 分

10


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