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9.2两条直线的位置关系、距离公式


第二节两条直线的位置关系、距离公式

星子中学数学组 郭清山

2015年1月27日星期二

【考点分析】 (1)考查两条直线的平行、垂直关系; (2)考查两点间的距离公式及点到直线的距离公式的应用. 【复习指导】 (1)对于两条直线的位置关系问题,求解时要注意斜率不存在 的情况,注意平行、垂直时直线方程系数的关系;

(2)熟记距离公式,如两点之间的距离、点到直线的距离、两 条平行线之间的距离.

知 识 梳 理 1.两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行:对于两条不重合的直线 l1、l2,其斜率分别 1 __________.特别地,当直线 l1、l2 的斜 为 k1、k2,则有 l1∥l2?□ 2 ____. 率都不存在时,l1 与 l2□ 与 Ax+By+C=0 平行的直线, 可设为 Ax+By+m=0(m≠C).

? 直线Ax+By+C=0的方向向量: a ? ( B,? A) ? (1, k )

两直线l1 :A 1 x+B 1 y+C 1 =0, l2 :A 2 x+B 2 y+C 2 =0平行或 重合用方向向量表示为:A1B2 ? A2 B1 ? 0

(2)两条直线垂直:如果两条直线l1、l2斜率存在,设为k1、 3 ______________,当一条直线斜率为零,另一 k2,则l1⊥l2? □ 4 __________. 条直线斜率不存在时,两直线□ 与Ax+By+C=0垂直的直线可设为Bx-Ay+n=0.

●判断两条直线的位置关系时,首先应分析直线的斜率是 否存在.两条直线都有斜率,可根据判定定理判断,若直线无 斜率时,要单独考虑.
? 直线Ax+By+C=0的方向向量: a ? ( B,? A) ? (1, k )

两直线l1 :A 1 x+B 1 y+C 1 =0, l2 :A 2 x+B 2 y+C 2 =0重合用 方向向量表示为: A A ? B B ? 0
1 2 1 2

2.两直线相交 (1)交点:直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0的
? ?A1x+B1y+C1=0, 公共点的坐标与方程组? ? ?A2x+B2y+C2=0

的解一一对应.

5 ______,交点坐标就是方程组的解. (2)相交?方程组有□ 6 ________. (3)平行?方程组□ 7 __________. (4)重合?方程组有□

3.三种距离公式 8 ___________. (1)点A(x1,y1)、B(x2,y2)间的距离为|AB|=□ 9 _____. (2)点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离为d=□ (3)两平行直线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2= 10 __________________. 0(C1≠C2)间的距离为d=□

⊙①求点到直线的距离时,应先化直线方程为一般式.② 求两平行线之间的距离时,应先将方程化为一般式且x,y的系 数对应相等.

4.有关直线的对称问题 (1)中心对称: ①若点 M(x1,y1)及 N(x,y)关于点 P(a,b)对称,则由中点坐
? ?x=2a-x1, 标公式得? ? ?y=2b-y1.

②直线关于点的对称,其主要方法是:在已知直线上取两点, 利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标,再由两 点式求出直线方程,或者求出一个对称点,再利用 l1∥l2,由点斜 式得到所求直线方程.

(2)轴对称: ①点关于直线的对称: 若两点 P1(x1, y1)与 P2(x2, y2)关于直线 l: Ax+By+C=0 对称, 则线段 P1P2 的垂直平分线是对称轴 l,
?x1+x2? ?y1+y2? ? ? ? ? ? ?A + B ? 2 ? ? 2 ?+C=0, ? ? ? ? ? 由方程组? ? A? ?y2-y1· ?- ?=-1, ? ?x2-x1 ? B?

可得到点 P1 关于 l 对称的点 P2 的坐标(x2, y2)(其中 B≠0, x1≠x2).
②直线关于直线的对称: 此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决,有两种情况: 一是已知直线与对称轴相交;二是已知直线与对称轴平行.

题型一

两条直线的平行与垂直

【例 1】 已知直线 l1:ax+2y+6=0 和直线 l2:x+(a-1)y +a2-1=0. (1)试判断 l1 与 l2 是否平行; (2)l1⊥l2 时,求 a 的值.
解析:(1)方法一:当 a=1 时, l1:x+2y+6=0, l2:x=0,l1 不平行于 l2; 当 a=0 时,l1:y=-3, l2:x-y-1=0,l1 不平行于 l2; 当 a≠1 且 a≠0 时,两直线可化为
1 a l1:y=-2x-3,l2:y= x-(a+1), 1-a
方法有二: 1:斜率,2、向量

?-a= 1 , ? 2 1-a l1∥l2?? ?-3≠-?a+1?, ?
否则 l1 与 l2 不平行.

解得 a=-1,

综上可知,a=-1 时,l1∥l2,

方法二:由 A1B2-A2B1=0,得 a(a-1)-1×2=0,由 A1C2 -A2C1≠0,得 a(a2-1)-1×6≠0, ? ?a?a-1?-1×2=0, ∴l1∥l2?? 2 ? ?a?a -1?-1×6≠0,
2 ? a ? -a-2=0, ?? 2 ?a=-1, ? ?a?a -1?≠6,

故当 a=-1 时,l1∥l2,否则 l1 与 l2 不平行.

方法二避免了复杂的分类讨论,但切记:在A1B2-A2B1= 0的条件下,必须有A1C2-A2C1≠0,若A1C2-A2C1=0,则 两直线重合。

(2)方法一:当 a=1 时,l1:x+2y+6=0,l2:x=0, l1 与 l2 不垂直,故 a=1 不成立; 当 a=0 时,l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1 不垂直于 l2; 当 a≠1 且 a≠0 时, 1 a l1:y=-2x-3,l2:y= x-(a+1), 1-a
? a? 1 2 ? ? 由 -2 · =-1?a=3. ? ? 1-a

点评:(1)当直线的方程中存在字母参数时,不仅要考虑到斜率存在的一 般情况,也要考虑到斜率不存在的特殊情况.同时还要注意 x、y 的系数 不能同时为零这一隐含条件. (2)在判断两直线的平行、垂直时,也可直接利用直线方程的系数间的关 系()方向向量得出结论.

2 方法二:由 A1A2+B1B2=0 得 a+2(a-1)=0?a=3.

题型二 【例 2】

两条直线的交点问题

求经过直线 l1:3x+2y-1=0 和 l2:5x+2y+1=0

的交点,且垂直于直线 l3:3x-5y+6=0 的直线 l 的方程.
从交点这一条件思考方法有 二:1、点斜式,2、直线系 从垂直这一条件思考方法有: 垂直的直线系。

? ?3x+2y-1=0, 解析:方法一:先解方程组? ? ?5x+2y+1=0, 得 l1、l2 的交点坐标为(-1,2), 3 5 再由 l3 的斜率5求出 l 的斜率为-3, 于是由直线的点斜式方程求出 l: 5 y-2=-3(x+1),即 5x+3y-1=0.

方法二:由于 l 过 l1、l2 的交点,故 l 是直线系 3x+2y-1+λ(5x+2y+1)=0 中的一条, 将其整理,得(3+5λ)x+(2+2λ)y+(-1+λ)=0. 5 1 其斜率- =-3,解得 λ=5, 2+2λ 代入直线系方程即得 l 的方程为 5x+3y-1=0.
方法三:由于 l⊥l3,故 l 是直线系 5x+3y+C=0 中的一条, 而 l 过 l1、l2 的交点(-1,2), 故 5×(-1)+3×2+C=0,由此求出 C=-1, 故 l 的方程为 5x+3y-1=0.

3+5λ

方法三:由于 l 过 l1、l2 的交点,故 l 是直线系 3x+2y-1+λ(5x+ 2y+1)=0 中的一条, 将其整理,得(3+5λ)x+(2+2λ)y+(-1+λ)=0. 其斜率- 3+5λ 5 1 =-3,解得 λ=5, 2+2λ

代入直线系方程即得 l 的方程为 5x+3y-1=0.

答案:5x+3y-1=0.

点评:运用直线系方程,有时会给解题带来方便,常见的直 线系方程有: (1)与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是Ax+By+m=0 (m∈R且m≠C); (2)与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程是Bx-Ay+m=0 (m∈R); (3)过直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0的交点 的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0 (λ∈R),但不 包括l2.

题型三

距离公式的应用

【例 3】 已知点 P(2,-1). 选择适当的形式 (1)求过 P 点且与原点距离为 2 的直线 l 的方程; (2)求过 P 点且与原点距离最大的直线 l 的方程,最大距离是多少?

解析: (1)过 P 点的直线 l 与原点距离为 2, 而 P 点坐标为(2, -1), 可见,过 P(2,-1)且垂直于 x 轴的直线满足条件, 此时 l 的斜率不存在,其方程为 x=2. 若斜率存在,设 l 的方程为 y+1=k(x-2), 即 kx-y-2k-1=0. |-2k-1| 3 由已知得 =2,解得 k=4. 2 k +1
此时 l 的方程为 3x-4y-10=0. 综上,可得直线 l 的方程为 x=2 或 3x-4y-10=0.

题型三

距离公式的应用

【例 3】 已知点 P(2,-1). (2)求过 P 点且与原点距离最大的直线 l 的方程, 最大距离是多 少?
如何解决最值问题?

解: (2)作图可得过 P 点与原点 O 的距离最 大的直线是过 P 点且与 PO 垂直的直线, 如图.

1 由 l⊥OP,得 klkOP=-1.所以 kl=-k =2. OP 由直线方程的点斜式得 y+1=2(x-2), 即 2x-y-5=0. 即直线 2x-y-5=0 是过 P 点且与原点 O 距 |-5| 离最大的直线,最大距离为 = 5. 5

点评:求点到直线的距离时,要注意把直线方程化成一般式 的形式;求两条平行线之间的距离时,可先把两平行线方程中 x,y的对应项系数转化成相等的形式,再利用距离公式求解.也 可转化成点到直线距离求解.

题型四

对称问题及其应用
线线对称问题?

【例 4】 (1)已知直线 l:x+2y-2=0.

①求直线 l1:y=x-2 关于直线 l 对称的直线 l2 的方程; ②求直线 l 关于点 A(1,1)对称的直线方程.
线点对称问题?

(2)光线由 A(-5, 3)点入射到 x 轴上 B(-2,0)点,又反射到 y 轴上的 M 点,再经 y 轴反射,求第二次反射线所在直线 l 的方程.

(3)已知点 P(2,4)、Q(3,1),直线 l:x-y+1=0. ①在 l 上求一点 M,使|PM|+|QM|最小,并求出最小值; ②在 l 上求一点 N,使|QN|-|PN|最大,并求出最大值.

? ?y=x-2, 解析:(1)①由? ? ?x+2y-2=0, 解得交点 P(2,0).
在 l1 上取点 M(0,-2), M 关于 l 的对称点设为 N(a,b), ?a b-2 ?2+2· 2 -2=0, 则? b+ 2 ????-1???· ?? 2? a =-1, 解得
?12 14? N? 5 , 5 ?,∴l2 的方程为 ? ?

7x-y-14=0.

②设所求的直线方程为 x+2y+m=0. 在 l 上取点 B(0,1),则点 B(0,1)关于点 A(1,1)的对称点 C(2,1) 必在所求的直线上,∴m=-4, 即所求的直线方程为 x+2y-4=0.

题型四

对称问题及其应用

【例 4】(2)光线由 A(-5, 3)点入射到 x 轴上 B(-2,0)点,又反 射到 y 轴上的 M 点,再经 y 轴反射,求第二次反射线所在直线 l 的方 程.

(2)点 A(-5, 3)关于 x 轴的对称点 A′(-5,- 3)在反射光线所在的直线 BM ? 2 ? 3 上,可知 lBM:y= 3 (x+2),∴M?0,3 3?. ? ?
3 又第二次反射线的斜率 k=kAB=- 3 , ∴第二次反射线所在直线 l 的方程为 3 2 y=- 3 x+3 3,即 x+ 3y-2=0.

题型四 【例 4】

对称问题及其应用

(3)已知点 P(2,4)、Q(3,1),直线 l:x-y+1=0.

①在 l 上求一点 M,使|PM|+|QM|最小,并求出最小值; ②在 l 上求一点 N,使|QN|-|PN|最大,并求出最大值.

解:(3)①如图,连接 PQ 与直线 l 交 于点 M,则|PM|+|QM|=|PQ|为最小, 此时由两点间距离公式可得|PQ|= ?3-2?2+?1-4?2= 10.

1-4 由 P(2,4)、Q(3,1),可得 kPQ= =-3, 3-2 故 PQ 所在直线方程为 y-4=-3(x-2), 即 3x+y-10=0.

? 9 ? ?x=4, ?3x+y-10=0, 由? 解得? ? ?y=13. ?x-y+1=0, 4 ? ?9 13? 故 M 点的坐标为?4, 4 ?. ? ? ②作点 P 关于 l 的对称点 P′.
?y0-4 ? ×1=-1, ?x0-2 设 P′(x0,y0),则? ?x0+2 y0+4 ? - 2 +1=0, ? 2 ? ?x0=3, 解得? 故 P′(3,3). ? ?y0=3. 连接 QP′并延长交直线 l 于点 N,

此时,|QN|-|PN|=|QN|-|P′N|=|QP′|最大,且最大值为 |QP′|= ?3-1?2+?3-3?2=2. ∵Q(3,1),P′(3,3),∴PQ方程为x=3.
? ?x=3, 由? ? ?x-y+1=0. ? ?x=3, 解得? ? ?y=4.

故N点坐标为(3,4).

点评:解决这类对称问题要抓住两条:一是已知点与对称点的连 线与对称轴垂直;二是以已知点和对称点为端点的线段的中点在 对称轴上.

易错警示系列(36) 忽视对斜率存在性的讨论致误 【示例】 已知直线 l1:(t+2)x+(1-t)y=1 与 l2:(t-1)x+(2t +3)y+2=0 互相垂直,则 t 的值为__________. t+2 错解:直线 l1 的斜率 k1=- , 1-t
直线 l2 的斜率 k2=- , 2t+3 t-1

∵l1⊥l2,∴k1· k2=-1, ? t+2? ? t-1 ? ? ? ?- ? 即?- · =-1,解得 t=-1. ? ? ? ? 1-t? ? 2t+3?
错因分析: l1⊥l2?k1· k2=-1 的使用条件是 l1、 l2 的斜率都存在, 错解漏掉了斜率不存在的情形.

正确解答:(1)当l1,l2的斜率都存在时, 由k1· k2=-1得t=-1. (2)若l1的斜率不存在, 1 2 此时t=1,l1的方程为x=3,l2的方程为y=-5, 显然l1⊥l2,符合条件; 3 若l2的斜率不存在,此时t=- , 2 易知l1与l2不垂直, 综上可知t=-1或t=1.

误区警示: 根据两条直线的斜率判断两直线平行或垂直 时,要特别注意斜率是否存在,对于斜率不存在的情况要单独考 虑.斜率相等并不是两直线平行的充要条件,斜率互为负倒数也不 是两直线垂直的充要条件.

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