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2015年南通密题高考模拟试(南通市数学学科基地命题)1-5


2015 年高考模拟试卷(1)南通市数学学科基地命题

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分 . a ? bi 1.设 a, b ? R , . ? 2 ? 3i ,其中 i 是虚数单位,则 a ? b ? 1? i 2.已知集合 P ? ?x x ? a? , Q ? ? y y ? sin ? ,? ? R? .若 P ? Q ,则实数 a 的取值范围是 3.为了了解一片 经济林的生长情况,随机测量了其中 100 株树木 的底部周长(单位: cm ),所得数据如图.则在这 100 株树木 中,底部周长不小于 100cm 的有 株. r r r r r r r 4.设向量 a ? (1, m) , b ? (m ? 1,2) ,且 a ? b ,若 (a ? b) ? a ,则实数 m ? 5.如图所示的流程图的运行结果是 . 6.将边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,使 BD ? a , 则三棱锥 D ? ABC 的体积为 . 7.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 a1 ? 9 , a4 ? a6 ? 2 . 当 S n 取最 大值时, n ? . ? ? 1 8.已知 ? ? ? ? ,且 cos 4? ? ,则 cos 4 ? ? sin 4 ? ? . 4 4 5 9 .若在区间 ( ?1,1) 内任取实数 a ,在区间 (0,1) 内任取实数 b ,则直线
ax ? by ? 0 与圆 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 1 相交的概率为
2 2





第 3 题图

开始
a ? 5, S ? 1

. Y S ? S ?a 1 输出 S 10.设函数 f ( x) ? sin(2x ? ), x ?[? , a] 的值域是 [? ,1] ,则实数 a 的取值 2 6 6 a ? a ?1 范围为 . 结束 1 第 5 题图 11 . 已知函数 f ( x) 满 足 : 当 x ? ?1,3? 时 , f ( x) ? ln x ,当 x ?[ ,1) 时, 3 1 1 . f ( x) ? 2 f ( ).若在区间[ ,3] 内,函数 g ( x) ? f ( x) ? ax(a ? 0) 恰有一个零点,则实数 a 的取值范围是 x 3 x2 y 2 12. 设椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 和圆 O : x 2 ? y 2 ? b 2 , 若椭圆 C 上存在点错误! 未找到引用源。 , 使得过点 P a b 引 圆 O 的两条切线,切点分别为 A 、 B ,满足 ?APB ? 60? ,则椭圆错误!未找到引用源。的离心率的取值范 围是 . n n 3 3 13.设数列 {an } 的通项公式为 an ? ( )n?1 ,则满足不等式 ? ? ? ai 的正整数 n 的集合为 . 2 i ?1 ai i ?1

a?4

N

?

?

14.设函数

f ( x) ? 3x ? 3? x ? 2 x ,则满足 ( x ? 2) f (log 1 x) ? 0 的 x 的取值范围是
2



二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分. 15. (14 分)在 ?ABC 中, A, B, C 的对边分别为 a , b, c ,且 b tan A ? (2c ? b) tan B . uuu r uuu r (1)求角 A 的大小; (2)设 AD ? BC , D 为垂足,若 b ? 2 , c ? 3 ,求 AD ? AC 的值.

16. (本小题满分 14 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, PD ? BC , G 为 PA 上一点. (1)求证:平面 PCD ? 平面 ABCD ; (2)若 PC ∥平面 BDG ,求证: G 为 PA 的中点. P

G
D
A

-1-

C

B

17. (14 分)如图,某城市有一条公路从正西方 AO 通过市中心 O 后转向东偏北 ? 角方向的 OB .位于该 市的某大学 M 与市中心 O 的距离 OM ? 3 13km ,且 ?AOM ? ? .现要修筑一条铁路 L,L 在 OA 上设一站 A ,在 OB 上设一站 B,铁路在 AB 部分为直线段,且经过大学 M .其中 3 tan ? ? 2 , cos ? ? , AO ? 15km . B 13 (1)求大学 M 与站 A 的距离 AM ; (2)求铁路 AB 段的长 AB . L
L M
?

L

?
O

A

18. (16 分)设椭圆 C :

x2 y 2 3 ,直线 y ? x ? 2 与以原点为圆心、椭圆 C ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 e ? 2 a b 2 的短半轴长为半径的圆 O 相切. (1)求椭圆 C 的方程; 1 (2)设直线 x ? 与椭圆 C 交于不同的两点 M , N ,以线段 MN 为直径作圆 D .若圆 D 与 y 轴相交于不同 2 的两点 A, B ,求 ?ABD 的面积; (3)如图, A1 、 A2 、 B1 、 B2 是椭圆 C 的顶点, P 是椭圆 C 上除顶点外的任意点,直线 B2 P 交 x 轴于点 F , 直线 A1 B2 交 A2 P 于点 E .设 A2 P 的斜率为 k , EF 的斜率为 m ,求证: 2m ? k 为定值. E y
B2

P
A1

O

A2

F x

B1
第 18 题图

19. (16 分)已知函数 f ( x) ? ln x , g ( x) ? f ( x) ? ax 2 ? bx ,其中函数 y ? g ( x) 的图象在点 (1, g (1)) 处的切线平 行于 x 轴. (1)确定 a 与 b 的关系; (2)若 a ? 0 ,试讨论函 数 g ( x) 的单调性; 1 1 (3)设斜率为 k 的直线与函数 y ? f ( x) 的图象交于两点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 ) ,求证: ? k ? . x2 x1

20. ( 16 分)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,满足 an ? Sn ? An 2 ? Bn ? C ( A ? 0, n ? N * ) . ①设 bn ? an ? n ,若 a1 ?

(1)当 C ? 1 时,

3 9 , a2 ? .求实数 A, B 的值,并判定数列 ?bn ? 是否为等比数列; 2 4 B ?1 ②若数列 ?an ? 是等差数列,求 的值; A n 3 1 1 ? ? 1? 2 ? 2 , (2)当 C ? 0 时,若数列 ?an ? 是等差数列, a1 ? 1 ,且 ?n ? N * , ? ? n ? 1 i ?1 ai ai ?1

求实数 ? 的取值范围.
-2-

第Ⅱ卷(附加题,共 40 分) 21.[选做题]本题包括 A、B、C、D 四小题,每小题 10 分; A. (选修4-1:几何证明选讲) 如图,设 AB 、 CD 是圆 O 的两条弦,直线 AB 是线段 CD 的垂直平分线.已知 AB ? 6, CD ? 2 5 ,求线段 AC 的长度.

C

B

D A

B. (选修4-2:矩阵与变换) ?1 a ? 若点 A(2,1) 在矩阵 M ? ? ? 对应变换的作用下得到点 B(4,5) ,求矩阵 M 的逆矩阵. ?b ?1? C. (选修4-4:坐标系与参数方程)

? 3 ? 在极坐标系中,设圆 C 经过点 P ,圆心是直线 ? sin( ? ?) ? 与极轴的交点,求圆 C 的极坐标方程. ( 3, ) 3 2 6

D. (选修4-5:不等式选讲) 设 a , b, c 均为正数, abc ? 1 .求证:

1 1 1 ? ? ? a? b? c. a b c

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分. 22. (本小题满分 10 分)已知数列 ?an ? 满足 a1 ? ?1 , an?1 ?

(3n ? 3)an ? 4n ? 6 , n ? N* . n

?a ? 2? (1)求证:数列 ? n ? 是等比数列; ? n ? 3n ?1 4 1 , n ? N * ,求证:当 n ? 2 , n ? N * 时, bn?1 ? bn? 2 ? ? ? b2n ? ? (2)设 bn ? . an ? 2 5 2n ? 1

23. (本小题满分 10 分) 如图,已知点 F (0, p) ,直线 l : y ? ? p(其中p为常数且p ? 0) , M 为平面内的动点,过 M 作 l 的垂线,垂 uuu u r uuu r uuur uuu r 足为 N ,且 NM ? NF ? FM ? FN . (1)求动点 M 的轨迹 C 的方程; (2)设 Q 是 l 上的任意一点,过 Q 作轨迹 C 的切线,切点为 A 、 B . ①求证: A 、 Q 、 B 三点的横坐标成等差数列; y ②若 Q (?4, ? p ) , AB ? 20 ,求 p 的值. M

F

O

x

l

N

-3-

-4-

2015 年高考模拟试卷(2)南通市数学学科基地命题

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分 . 1.已知集合 A ? {1, k ? 1} , B ? {2,3} ,且 A ? B ? {2} ,则实数 k 的值为 2.设 (1 ? 2i) ? a ? bi(a, b ? R) ,其中 i 是虚数单位,则 ab ?
2





s ? 0, n ? 1

3.已知 y ? f ( x) 是奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x2 ? ax(a ? R) ,且 f (2) ?6 ,则 a ? . 4.右图是某算法流程图,则程序运行后输出的结果是 . 5.设点 P , A , B , C 是球 O 表面上的四个点, PA , PB , PC 两两互相垂 cm 2 . 直,且 PA ? PB ? PC ? 1cm ,则球的表面积为 6.已知 ? ? {( x, y) | x ? y ? 6, x ? 0, y ? 0} , A ? {( x, y) | x ? 4, y ? 0, x ? 2 y ? 0} ,若向区域 ? 上 随机投掷一点 P ,则点 P 落入区域 A 的概率为 . 7.将参加夏令营的 500 名学生编号为: 001, 002,? ,500 ,采用系统抽样的方法抽取一个容 量为 50 的样本, 且随机抽得的号码为 003 , 这 500 名学生分住在三个营区, 从 001 到 200 在第一营区,从 201 到 355 在第二营区,从 356 到 500 在第三营区,则第三个营区被抽 中的人数为 . 8. ?ABC 中,“角 A, B, C 成等差数列”是“ sin C ? ( 3 cos A ? sin A)cos B ”成立的的 条件. (填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一) x2 y 2 9.已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) ,以右顶点为圆心,实半轴长为半径的圆被双曲线的一条 a b 渐近线分为弧长为 1: 2 的两部分,则双曲线的离心率为 . 2 ? 2? 4 4 10.已知 cos ? ? sin ? ? ,? ? (0, ) ,则 cos(2? ? ) ? . 3 2 3 11.已知正数 a1 , a2 , a3 , a4 依次成等比数列,且公比 q ? 1 .将此数列删去一个数后得到的数列(按 原来的顺序)是等差数列,则公比 q 的取值集合是 . D C 12. 如图,梯形 ABCD 中, AB / / CD , AB ? 6 , AD ? DC ? 2 , uuu r uuu r uuu r uuu r 若 AC ? BD ? ?12 ,则 AD ? BC ? . 13.设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边 a , b, c 成等比数列,则 sin B 的取值范围是 . A sin A 第 12 题图 14.设函数 f ( x) 满足 f ( x) ? f (3x) ,且当 x ? [1,3) 时, f ( x) ? ln x .若在区间 [1,9) 内,存在 3 个不同的实数 f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x3 ) ? ? ? t ,则实数 t 的取值范围为 x1 , x2 , x3 ,使得 . x1 x2 x3 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分. 15. (14 分)在 ?ABC 中, C ? A ?

第 4 题图

B

?

2 (2)若 BC ? 6 ,求 ?ABC 的面积.

, sin A ?

3 . (1)求 sin C 的值; 3

A1 B1

16. (14 分) 如图,在斜三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,侧面 A1 ACC1 是边长为 2 的菱形,
?A1 AC ? 60? .在面 ABC 中, AB ? 2 3 , BC ? 4 , M 为 BC 的中点,

C1

过 A1 , B1 , M 三点的平面交 AC 于点 N . (1)求证: N 为 AC 中点; (2)求证:平面 A1 B1MN ? 平面 A1 ACC1 .

A M
第 16 题图

N C

B

-5-

17. (14 分)某商场为促销要准备一些正三棱锥形状的装饰品, 用半径为 10cm 的圆形包装纸包装. 要求如下: 正三棱锥的底面中心与包装纸的圆心重合,包装纸不能裁剪,沿底边向上翻折,其边缘恰好达到三棱锥 的顶点,如图所示.设正三棱锥的底面边长为 xcm ,体积为 Vcm3 . (1)求 V 关于 x 的函数关系式; (2)在所有能用这种包装纸包装的正三棱锥装饰品中, V 的最大值是多少?并求此时 x 的值.

(第 17 题图) 图

x2 y 2 2 ,并且椭圆经过点 (1,1) ,过原点 O 的直线 l ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 a b 2 与椭圆 C 交于 A、 B 两点,椭圆上一点 M 满足 MA ? MB . (1)求椭圆 C 的方程; 1 1 2 (2)证明: 为定值; (3)是否存在定圆,使得直线 l 绕原点 O 转动时, AM 恒与该定 ? ? OA2 OB2 OM 2 y 圆相切,若存在,求出该定圆的方程,若不存在,说明理由.
18. (16 分)已知椭圆 C :

B

O
A
第 18 题图

x

19. (16 分)已知数列 {an } 是等差数列, {bn } 是等比数列,且满足 a1 ? a2 ? a3 ? 9 , b1b2b3 ? 27 . (1)若 a4 ? b3 , b4 ? b3 ? m . ①当 m ? 18 时,求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; ②若数列 {bn } 是唯一的,求 m 的值; (2)若 a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 均为正整数,且成等比数列,求数列 {an } 的公差 d 的最大值.

20. ( 16 分)设函数 f ( x) ? ax2 ? e x (a ? R) 有且仅有两个极值点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) . (1)求实数 a 的取值范围; (2)是否存在实数 a 满足 f ( x1 ) ? e 3 x1 ?如存在,求 f ( x) 的极大值;如不存在,请说明理由.
2

-6-

第Ⅱ卷(附加题,共 40 分) 21.[选做题]本题包括 A、B、C、D 四小题,每小题 10 分; A. (选修4-1:几何证明选讲) 如图,AD 是∠BAC 的平分线,圆 O 过点 A 且与边 BC 相切于点 D, 与边 AB、AC 分别交于点 E、F,求证:EF∥BC.
B

A · O

E

F C

D

B. (选修4-2:矩阵与变换)

?1 0 ? ? ?4 3 ? B?? 已知 ? ? ? ,求矩阵 B . ?1 2? ? 4 ? 1?

C. (选修4-4:坐标系与参数方程)在极坐标系中,圆 C 是以点 C (2, ? ) 为圆心, 2 为半径的圆. 6 5? (1)求圆 C 的极坐标方程; (2)求圆 C 被直线 l : ? ? ? 所截得的弦长. 12

?

D. (选修4-5:不等式选讲) 设正数 a , b, c 满足 a ? b ? c ? 1 ,求

1 ? 1 ? 1 的最小值. 3a ? 2 3b ? 2 3c ? 2

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分. 22. (10 分)直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,已知 AB ? AC , AB ? 2 , AC ? 4 , AA1 ? 3 . D 是 BC 的中点. (1)求直线 DB1 与平面 A1C1 D 所成角的正弦值; (2)求二面角 B1 ? A1 D ? C1 的大小的余弦值.
B1 A1
C1

A

C

D

23.(10 分)设 n ? N * 且 n ? 4 ,集合 M ? ?1, 2,3,?, n? 的所有 3 个元素的子集记为 A1 , A2 ,?, AC3 .
n

(1)求集合 A1 , A2 ,?, AC3 中所有元素之和 S ;
n
3 C2015

(2)记 mi 为 Ai (i ? 1,2,?, C ) 中最小元素与最大元素之和,求
3 n

?m
C
i ?1 3 2015

i

的值.

-7-

2015 年高考模拟试卷(3)南通市数学学科基地命题

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分 . 1.已知集合 M ? x | x2 ? 2x ? 0 , N ? ?x | x ? 1? ,

?

?

开始

a

( ?R M) ?N= 则 . N a< 4 2.如果 a ? 1 ? bi 与 -b ? i 互为共轭复数( a, b ? R, i 为虚数单位) , Y 输出 b 则 | a ? bi | = . b 2b + a 3.如右图,该程序运行后输出的结果为 . 结束 1 a a +1 4. 在△ABC 中, ∠C=90° , M 是 BC 的中点,AC ? 1 . 若 sinB= , 则 AM =________. 3 5. 某单位有 A, B, C 三部门, 其人数比例为 3∶4∶5, 现欲用分层抽样方法抽调 n 名志愿者支援西部大开发 . 若 在 A 部门恰好选出了 6 名志愿者,那么 n=________.
6.函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? )(? ? 0, 且 | ? |?
f (0) 的值为

1, b

1

?

2

) 的部分图像如图所示,则

. 7.连续抛掷两颗骰子得到的点数分别是 a,b,则函数 . f ( x) ? ax2 ? bx 在 x ? 1 处取得最值的概率是 8.在等差数列 ?an ? 和等比数列 ?bn ? 中,已知 a1 ? ?8, a2 ? ?2, b1 ? 1, b2 ? 2 ,那么满足 an ? bn 的 n 的所有取值构成的集合是 . 9.已知如图所示的多面体 EF ? ABCD 中,四边形 ABCD 是菱形,四 ? 边形 BDEF 是矩形,ED⊥平面 ABCD,∠BAD= .若 BF=BD 3 =2,则多面体的体积 . a 10.如果关于 x 的方程 x ? 2 ? 3 有两个实数解,那么实数 a 的值是 x
E

D F

C



A

B

11.设

?? x ? a ?2 , x? 0, ? f ? x? ? ? 1 x ? ? a, x ? 0. ? ? x

若 f ? 0 ? 是 f ? x ? 的最小值,则实数 a 的取值范围为

.

12.已知椭圆 则
FG OH

a2 x2 y 2 O , F , G , x ? 的中心、右焦点、右顶点依次为 直线 与 x 轴交于 H 点, ? ? 1( a ? 3) a2 3 a2 ? 3

取得最大值时 a 的值为

. .

??? ? ??? ? ??? ? ???? ??? ? BA BC 3 BD 13.在四边形 ABCD 中, AB ? 2 , AD ? BC , ??? ? ? ??? ? ? ??? ? ,则四边形 ABCD 的面积是 BA BC BD
?log 1 ( x ? 1), x ? ?0,1? ? 14. f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,若当 x ? 0 时, f ( x) ? ? 2 ,则关于 x 的函 ? 1 ? x ? 3 , x ? 1, ?? ? ? ?
数 F ( x) ? f ( x) ? a(?1 ? a ? 0) 的所有零点之和为 (用 a 表示) 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分. 15. (本小题满分 14 分)如图,在 xoy 平面上,点 A(1, 0) ,点 B 在单位圆上, ?AOB ? ? ( 0 ? ? ? ? ) 3 4 ? (1)若点 B(? , ) ,求 tan(? ? ) 的值; 5 5 4 ??? ? ??? ? ???? ??? ? ???? 18 ? (2)若 OA ? OB ? OC , OB ? OC ? ,求 cos( ? ? ) . 13 3

y B

C
O
A
x

第 15 题图

-8-

16. (本小题满分 14 分) 在四棱锥 P ? ABCD 中, 平面PAC ? 平面 ABCD , ?ABC 是边长为 4 的正三角形, AC 与 PN 1 ? . BD 的交点 M 恰好是 AC 中点,又 ?ADC ? 120? ,点 N 在线段 PB 上,且 P NB 3 (1)求证: PA ? BD ; N (2)求证: MN / / 平面 PDC .
A D M B C

17.(本小题满分 14 分)2014 年 8 月以“分享青春,共筑未来”为口号的青奥会在江苏南京举行, 为此某商店经销一种青奥会纪念徽章,每枚徽章的成本为 30 元,并且每卖出一枚徽章需向相关部门上缴 ,设每枚徽章的售价为 x 元(35 ? x ? 41).根据市场调查,日销售量与 e x ( e a 元( a 为常数, 2 ? a ? 5 ) 为自然对数的底数)成反比例.已知当每枚徽章的售价为 40 元时,日销售量为 10 枚. (1)求该商店的日利润 L( x) 与每枚徽章的售价 x 的函数关系式; (2)当每枚徽章的售价为多少元时,该商店的日利润 L( x) 最大?并求出 L( x) 的最大值.

18.(本小题满分 16 分) 已知椭圆 E :

x2 y 2 2 . ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点 2,1 ,离心率为 2 a b 2 (1) 若 A 是椭圆 E 的上顶点,F1 , F2 分别是左右焦点, 直线 AF1 , AF2 分别交椭圆于 B , C , 直线 BO 交 AC 于 D,求证 S?ABD : S?ABC ? 3 : 5 ; (2)若 A1 , A2 分别是椭圆 E 的左右顶点,动点 M 满足 MA2 ? A1 A2 ,且 MA1 交椭圆 E 于点 P . ??? ? ???? ? 求证: OP ? OM 为定值.

?

?

1 19.(本小题满分 16 分)已知函数 f ( x) ? ax2 ? ln x , g ( x) ? ?bx ,设 h( x) ? f ( x) ? g ( x) . 2 2 (1)若 f ( x) 在 x ? 处取得极值,且 f ?(1) ? g (?1) ? 2 ,求函数 h(x)的单调区间; 2 xx (2)若 a ? 0 时函数 h(x)有两个不同的零点 x1,x2.①求 b 的取值范围;②求证: 1 2 2 ? 1 . e

20.(本小题满分 16 分)若数列 ?Cn ? 满足① cn cn? 2 ? cn?1 ,②存在常数 M ( M 与 n 无关) ,使 cn ? M .则称数列 (1)设 S n 为等比数列 ?an ? 的前 n 项和,且 a4 ? 2, S4 ? 30 ,求证:数列 ? S n ? 是“和谐数列” ; 的充要条件为 0 ? q ? 1 .

?cn ? 是“和谐数列”.

(2)设 ?an ? 是各项为正数,公比为 q 的等比数列,S n 是 ?an ? 的前 n 项和,求证:数列 ? S n ? 是“和谐数列”

-9-

第Ⅱ卷(附加题,共 40 分) 21.[选做题]本题包括 A、B、C、D 四小题,每小题 10 分;请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答 . .................... A. (选修4-1:几何证明选讲)如图,AB 是圆 O 的直径,D 为圆 O 上一点,过 D 作圆 O 的切线交 AB 的 延长线于点 C.若 AB = 2 BC , D 求证: ?A ? ?C .
A O B C

?2 a ? B. (选修4-2: 矩阵与变换) 已知矩阵 M ? ? 其中 a , b 均为实数, 若点 A(3, ?1) ?, ?b 1 ? 在矩阵 M 的变换作用下得到点 B(3,5) ,求矩阵 M 的特征值.

C. (选修4-4:坐标系与参数方 程) 在直角坐标系中, 以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,两种坐标系取相同的单位长度.已 3 ? x ?2? t ? ? 5 知曲线 C1 : ? ( t 为参数) 和曲线 C2 : ? sin 2 ? ? 2cos? 相交于 A、B 两点,求 AB 中点的直角坐标. 4 ?y ? t ? 5 ?

D. (选修4-5:不等式选讲)已知实数 a,b,c,d 满足 a ? b ? c ? d ? 3 , a 2 ? 2b2 ? 3c 2 ? 6d 2 ? 5 ,求 a 的 取值范围. 【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分. 22. (本小题满分 10 分)甲、乙、丙三位同学商量高考后外出旅游,甲提议去古都西安,乙提议去海上花园 厦门,丙表示随意.最终,三人商定以抛硬币的方式决定结果.规则是:由丙抛掷硬币若干次,若正面 朝上,则甲得一分、乙得零分;若反面朝上,则乙得一分、甲得零分,先得 4 分者获胜.三人均执行胜 者的提议.若记所需抛掷硬币的次数为 X. (1)求 X ? 6 的概率; (2)求 X 的分布列和数学期望.

23. (10 分)在数学上,常用符号来表示算式,如记 ? ai = a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ,其中 i ? N , n ? N ? .
i ?0

n

i (1)若 a 0 , a1 , a 2 ,…, a n 成等差数列,且 a0 ? 0 ,求证: ? ? ai Cn ? ? an ? 2n?1 ; i ?0 i 1) i bi C] (2)若 ? (1 ? x) k ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ? a2 n x 2 n , bn ? ? a2 i ,记 d n ? 1 ? ?[( ? n ,且不等式 t ? (d n ? 1) ? bn

n

2n

n

n

k ?1

i?0

i ?1

恒成立,求实数 t 的取值范围.

- 10 -

2015 年高考模拟试卷(4)南通市数学学科基地命题

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分 . 1. 全集 U ? ?1,2,3,4,5? ,集合 A ? ?1,3, 4? , B ? ?3,5? ,则 CU ( A ? B) ?



2. 已知复数 z 满足 (1 ? i ) z ? ?1 ? 5i ,( i 是虚数单位),则复数 z 的共轭复数 z = . 3. 已知 4 瓶饮料中有且仅有 2 瓶是果汁饮料,从这 4 瓶饮料中随机取 2 瓶,则所取两瓶中至少有一瓶是果汁 饮料的概率是 . 4. 某鲜花店对一个月的鲜花销售数量(单位:支)进行统计,统计时间是 4 月 1 日至 4 月 30 日,5 天一组分组 统计,绘制了如图的鲜花销售数量频率分布直方图.已知从左到右各长方形的高的比为 2∶3∶4∶6∶4∶1, 且第二组的频数为 180,那么该月共销售出的鲜花数(单位:支)为 . a ?1 5. 如图程序运行的结果是 . 频率 b ?1 x2 组距 ? y 2 ? 1 的右准线 6. 顶点在原点且以双曲线 i?4 3 为准线的抛物线方程是 . While i ? 5 7. 给出下列命题: a ? a?b (1)若两个平面平行,那么其中一个平面内的直线 b ? a ? 2b 一定平行于另一个平面; i ? i ?1 (2)若两个平面平行,那么垂直于其中一个平面的 End While 0 5 10 15 20 25 30 日期 直线一定垂直于另一个平面; Print b (第 4 题图) (3)若两个平面垂直,那么垂直于其中一个平面的 直线一定平行于另一个平面; (第 5 题图) (4)若两个平面垂直,那么其中一个平面内的直线一 定垂直于另一个平面. 则其中所有真命题的序号是 . π π ( ?? ) ?f ?( ?x? ) 8. 已知 f ( x) ? 3sin(2 x ? ) , 若存在 ? ? (0, ) , 使 fx 对一切实数 x 恒成立, 则? = . 6 2 ? ?2x-y≥0, 9. 设实数 x,y,b 满足?y≥x, ,若 z=2x+y 的最小值为 3, 则实数 b 的值为 . ?y≥-x+b ? 10. 若 x ? 0, y ? 0, 则
x? y x? y

的最小值为



→ → 11. 在 Rt△ABC 中,CA=CB=2,M,N 是斜边 AB 上的两个动点,且 MN= 2,则 CM · CN 的取值范围 为 . 12. 在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为(x-1)2+y2=4,P 为圆 C 上一点.若存在一个定圆 M,过 P 作圆 M 的两条切线 PA, PB, 切点分别为 A, B, 当 P 在圆 C 上运动时, 使得∠APB 恒为 60 度, 则圆 M 的方程为 . (x1 , f ( x1 ))与原点 重合, Q( x2 , f ( x2 )) 又在曲线 13.三次函数 y ? f ( x) 的两个极值点为 x1 , x2 . 且 P

y ? 1 ? 2x ? x 2 上,则曲线 y ? f ( x) 的切线斜率的最大值的最小值为_________.
14. 设各项均为正整数的无穷等差数列{an},满足 a54=2014,且存在正整数 k,使 a1,a54,ak 成等比数列,则 公差 d 的所有可能取值之和为 . 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分. 15.(14 分)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, tan C ? sin A ? sin B . cos A ? cos B (1)求 C ; (2)若△ABC 的外接圆直径为 1,求 a ? b 的取值范围. S

16.14 分)在正四棱锥 S ? ABCD 中,底面边长为 a ,侧棱长为 2a , P 为侧棱 SD 上的一点.

P D C

SP 6a 3 时,求 的值; PD 18 (2)在(1)的条件下,若 E 是 SC 的中点,求证: BE // 平面APC
(1)当四面体 ACPS 的体积为

A B

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17. (14 分)如图是一个半圆形湖面景点的平面示意图.已知 AB 为直径,且 AB ? 2 km, O 为圆心, C 为圆 周上靠近 A 的一点, D 为圆周上靠近 B 的一点,且 CD ∥ AB .现在准备从 A 经过 C 到 D 建造一条观

AC , C 到 D 是线 段 CD .设 ?AOC ? x rad ,观光路线总长为 y km . 光路线,其中 A 到 C 是圆弧 ? (1)求 y 关于 x 的函数解析式,并指出该函数的定义域; (2)求观光路线总长的最大值.

C

D
O

A

B

(第 17 题图)

x2 y 2 18. (本小题满分 16 分)如图, 设椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、 右焦点分别为 F 1 , F2 ,点 D 在椭圆上, a b 2 | FF | .(1)求该椭圆的标准方程; DF1 ? F1F2 , 1 2 ? 2 2 , ?DF1F2 的面积为 2 | DF1 | (2)是否存在圆心在 y 轴上的圆,使圆在 x 轴的上方与椭圆两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相
互垂直并分别过不同的焦点?若存在,求圆的方程,若不存在,请说明理由.

19. (本小题满分 16 分)已知函数 g ? x ? ? a ln x, f ? x ? ? x ? x ? bx .
3 2

(1)若 f ? x ? 在区间 ?1, 2? 上不是单调函数,求实数 b 的范围;
2

(2)若对任意 x ??1, e? ,都有 g ? x ? ? ? x ? (a ? 2) x 恒成立,求实数 a 的取值范围;

? f (?x) x ?1 ,对任意给定的正实数 a ,曲线 y ? F ?x ? 上是否存在两点 P, Q , ? g ( x) x ?1 使得 ?POQ 是以 O ( O 为坐标原点)为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在 y 轴上?请说明理由.
(3)当 b ? 0 时,设 F ? x ? ? ?

20. (16 分)已知 a,b 是不相等的正数,在 a,b 之间分别插入 m 个正数 a1,a2,?,am 和正数 b1,b2,?, bm,使 a,a1,a2,?,am,b 是等差数列,a,b1,b2,?,bm,b 是等比数列. a3 5 b (1)若 m=5,b =4,求a的值; 3 (2)若 b=λa(λ∈N*,λ≥2),如果存在 n (n∈N*,6≤n≤m)使得 an-5=bn,求 λ 的最小值及此时 m 的值; (3)求证:an>bn(n∈N*,n≤m).

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第Ⅱ卷(附加题,共 40 分) 21.[选做题]本题包括 A、B、C、D 四小题,每小题 10 分;请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答 . .................... A. (选修4-1:几何证明选讲)如图,⊙O 的直径 AB 的延长线与弦 CD 的延长线相交于点 P,E 为⊙O 上 一点,AE=AC,求证:∠PDE=∠POC. E A C
(第 21-A 题图)

?1 2? ?5 8 ? B. (选修4-2: 矩阵与变换) 若二阶矩阵 M 满足:M ? ??? ?. ?3 4? ?4 6? (Ⅰ)求二阶矩阵 M ; 2 2 (Ⅱ)若曲线 C : x ? 2 xy ? 2 y ? 1 在矩阵 M 所对应的变换作用下得
到曲线 C ? ,求曲线 C ? 的方程.

· O

B D

P

C. (选修4-4:坐标系与参数方程)已知点 P(?1 ? 2 cos ? , 2 sin ? ) (其中 ? ? ?0, 2? ?) ,点 P 的轨迹记为 曲线 C1 ,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,点 Q 在曲线 C2 : ? ? (Ⅰ)求曲线 C1 的极坐标方程和曲线 C2 的直角坐标方程; (Ⅱ)当 ? ? 0 , 0 ? ? ? 2? 时,求曲线 C1 与曲线 C2 的公共点的极坐标.
1 2 cos(? ?

?
4

上.
)

y D. (选修4-5:不等式选讲)已知 x,y,z 均为正数.求证: x + + z ≥1 + 1 + 1 . yz zx xy x y z

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分. 22. (本小题满分 10 分)从集合 M ? {1, 2,3, 4,5,6,7,8,9} 中任取三个元素构成子集 {a, b, c} (1)求 a , b, c 中任意两数之差的绝对值不小于 2 的概率; (2)记 a , b, c 三个数中相邻自然数的组数为 ? (如集合 {3, 4,5} 中 3 和 4 相邻,4 和 5 相邻,

? ? 2) ,求随机变量 ? 的分布率及其数学期望 E (? ) .

23. (本小题满分 10 分)设整数 n≥3,集合 P ? {1,2,3,?,n},A,B 是 P 的两个非空子集.记 an 为所有 满足 A 中的最大数小于 B 中的最小数的集合对(A,B)的个数. (1)求 a3; (2)求 an.

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2015 年高考模拟试卷(5)南通市数学学科基地命题 一.填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分 . π 1.函数 y=2sin(3x+ )的最小正周期为 . 6 2. 设复数 z 满足 z(1+2i)=2-i,则|z|= . 1 3.集合{x|-1≤log110<- ,x∈N*}的真子集的个数是 . 2 x 4.从{1,2,3,?,18}中任取两个不同的数,则其中一个数恰好是另一 个数的 3 倍的概率为 . 5.运行如图的算法,则输出的结果是 .

x←0 While x<30 x ← x+2 x ← x2 End While Print x
第5题

6.某校从参加高三年 级期中考试的学生中随机抽取 60 名学生,将其数学成绩(均为整 数)分成六段[40,50),[50,60),…,[90,100]后得到如图的频率分布直方图,请你根据频率分布直方图中 的信息,估计出本次考试数学成绩的平均分为 . 7.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,E,F 分别为线段 AA1,B1C 上的点,则三棱锥 D1-EDF 的体积为 . 8.已知圆 C 过点(1,0),且圆心在 x 轴的正半轴上.直线 l:y=x-1 被圆 C 所截得的弦长为 2 2,则过圆心 且与直线 l 垂直的直线的方程为 . 9.已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,并且对任意正整数 n 均有 Sn+2=4Sn+3.则 a2= . 10.已知集合 A={x|x2+2x-8>0},B={x|x2-2ax+4≤0}.若 a>0,且 A∩B 中恰有 1 个整数,则 a 的取值范围 是 . → → → 11.已知点 A(1,-1),B(4,0),C(2,2).平面区域 D 由所有满足 AP =λ AB +μ AC (1<λ≤a,1<μ≤b)的点 P(x, y)组成的区域.若区域 D 的面积为 8,则 a+b 的最小值为 . 1 3 12.设函数 f(x)=ax+ sinx+ cosx 的图象上存在两条切线垂直,则 a 的值是 . 2 2 13.实数 x、y、z 满足 0≤x≤y≤z≤4.如果它们的平方成公差为 2 的等差数列,则 |x-y|+|y-z|的最小可能值 . 14.若实数x, y满足x-4 y=2 x-y,则x的取值范围是 . 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分. 15.(本小题满分 14 分)已知△ABC 的内角 A 的大小为 120°,面积为 3 . (1)若 AB ? 2 2 ,求△ABC 的另外两条边长; uuu r uuu r (2)设 O 为△ABC 的外心,当 BC ? 21 时,求 AO ? BC 的值.
B1

C1
A1

16.(本小题满分 14 分)已知直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, D, E 分别为
AA1 , CC1 的中点, AC ? BE ,点 F 在线段 AB 上,且 AB ? 4AF .

E C 第 16 题 ? F D

⑴求证: BC ? C1 D ; ⑵若 M 为线段 BE 上一点,试确定 M 在线段 BE 上的位置, 使得 C1 D / / 平面 B1 FM .

B

A

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17.(本小题满分 14 分)汽车从刹车开始到完全静止所用的时间叫做刹车时间;所经过的距离叫做刹车距离. 某型汽车的刹车距离 s(单位米)与时间 t(单位秒)的关系为 s ? 5t 3 ? k ? t 2 ? t ? 10 , 其中 k 是一个与汽车的速 度以及路面状况等情况有关的量. (1)当 k=8 时,且刹车时间少于 1 秒,求汽车刹车距离; (2)要使汽车的刹车时间不小于 1 秒钟,且不超过 2 秒钟,求 k 的取值范围.

18.(本小题满分 16 分)在平面直角坐标系 xOy 中,设椭圆 T 的中心在坐标原点,一条准线方程为 y ? 2 ,且 经过点(1,0). (1)求椭圆 T 的方程; (2)设四边形 ABCD 是矩形,且四条边都与椭圆 T 相切.求证:满足条件的所有矩形的顶点在一个定圆上;

19.(本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? 1(a ? R), f ? ( x)是f ( x) 的导函数. (1)若 x ?[?2, ?1] ,不等式 f ( x) ≤ f ?( x) 恒成立,求 a 的取值范围; (2)解关于 x 的方程 f ( x) ?| f ?( x) | ; (3)设函数 g ( x) ? ?

? f ?( x), f ( x) ≥ f ?( x) ,求 g ( x)在x ?[2, 4] 时的最小值. ? f ( x), f ( x) ? f ?( x)

20.(本小题满分 16 分) 已知数列{an}满足 a1=a(a>0,a∈N*),a1+a2+?+an-pan+1=0(p≠0,p≠-1,n ∈N*). (1)求数列{an}的通项公式 an; (2)若对每一个正整数 k,若将 ak+1,ak+2,ak+3 按从小到大的顺序排列后,此三项均能构成等差数列,且公差 为 dk.①求 p 的值及对应的数列{dk}. ②记 Sk 为数列{dk}的前 k 项和,问是否存在 a,使得 Sk<30 对任意正整数 k 恒成立?若存在,求出 a 的最大 值;若不存在,请说明理由.

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第Ⅱ卷(附加题,共 40 分) 21.[选做题]本题包括 A、B、C、D 四小题,每小题 10 分; A. (选修4-1: 几何证明选讲) 如图, AB、 CD 是圆的两条平行弦, BE//AC, BE 交 CD 于 E、 交圆于 F, 过 A 点的切线交 DC 的延长线于 P, PC=ED=1, PA=2. (1)求 AC 的长; (2)求证:BE=EF.

B. (选修4-2:矩阵与变换)已知二阶矩阵 M 有特征值 ? ? ?1 及对应 的一个特征向量 e1 ? ? ? ,并且矩阵 M 对应的变换将点 ?1,1? 变换成 ? 0, ?3? . (1)求矩阵 M; (2)已知向量 α ? ? ? ,求 M 5 α 的值.

?1 ? ?2?

? 2? ?8 ?

? 2 t ?x ? ? 2 (t是参数) ,圆 C 的极坐标 C. (选修4-4:坐标系与参数方程)已知直线 l 的参数方程是 ? 2 ? y? t?4 2 ? 2 ?
方程为 ? ? 2 cos(? ?

?
4

(1)求圆心 C 的直角坐标; ).

(2)由直线 l 上的点向圆 C 引切线,求切线长的最小值. D. (选修4-5:不等式选讲)已知函数 f ( x) = x - 1 + x - 2 . 若不等式
a + b + a - b ≥ a f ( x)

(a ? 0, a, b ? R) 恒成立,求实数 x 的范围.

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.
1 22. (本小题满分 10 分)某学生在校举行的环保知识大奖赛中,答对每道题的概率都是 , 答错每道题的概 3 2 率都是 ,答对一道题积 5 分,答错一道题积-5 分,答完 n 道题后的总积分记为 Sn . 3 (1)答完 2 道题后,求同时满足 S1=5 且 S 2 ? 0 的概率; (2)答完 5 道题后,设 ? ?| S5 | ,求 ? 的分布列及其数学期望.

23. (本小题满分 10 分)一个非空集合中的各个元素之和是 3 的倍数,则称该集合为“好集” . 记集合 {1,2,3,?,3n}的子集中所有“好集”的个数为 f(n). (1)求 f(1),f(2)的值; (2)求 f(n)的表达式.

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2015 年高考模拟试卷(1) 参考答案南通市数学学科基地命题

一、填空题

2 3 15 ; a ; 7. 5 ; 8. 12 5 5 ? ? 1 1 1 1 1 9. ; 10. [ , ] ; 11. ( ,6ln 3] ; 【解析】 当 x ?[ ,1) 时, ? ( 由条件得,f ( x) ? 2 f ( ) ? 2ln ? ?2ln x , 1 ,3] , 16 6 2 e 3 x x x 函数 g ( x) ? f ( x) ? ax( a ? 0) 恰有一个零点 ? 方 程 f ( x) ? ax (a ? 0) 有 唯 一 解 , 在 直角 坐 标 系内 分 别 作 出 1 y ? f ( x) 与 y ? ax (a ? 0) 的图象,当直线 y ? ax 经过点 ( , 2ln 3) 时, a ? 6 ln 3 6 ln 3 ,当直线 y ? ax 和曲线 3 1 1 f ( x) ? ln x 相切时,切点为 (e,1) ,此时 a ? ,由图象可知,当 ? a ? 6ln 3 时,函数 y ? f ( x) 与 y ? ax (a ? 0) e e 的图象由唯一的交点. 3 12. [ ,1) ; 【解析】在四边形 OAPB 中, ?APB ? 60? , ?OAP ? ?OBP ? 90? , OA ? OB ? b ,? OP ? 2b ,由 2 3 c 3 ? e ? 1 . 13. {1,2,3}; 题意得, 2b ? a ,即 2 a 2 ? c2 ? a ,化解得 ? ,又在椭圆中 e ? 1 ,? 2 a 2 3 3 3 【解析】 由于数列 {an } 的通项公式为 an ? ( )n?1 , 所以数列 {an } 为等比数列, 首项为 a1 ? , 公比 q1 ? ; 2 2 2 n n n n 1 3 1 2 2 数 列 { } 也 是 等 比 数 列 , 首 项 为 , 公 比 q2 ? . 不 等 式 ? ? ? ai 等 价 于 3? ? ? ai , 即 an 3 3 i ?1 ai i ?1 i ?1 ai i ?1
1. 6 ; 2. [1, ??) ; 3. 70 ; 4. 1 ; 5. 20 ; 6.
2 n 3 n 1? ( ) 1? ( ) 3 ? 2 ,解之得 2 ? ( 2 )n ? 1 ,? n ? N ? , ?n 只能取 1, 2, 3 . 14. (0,1) ? (2, ??) ; 【解析】 3? 2 3 9 3 1? 1? 3 2 x ? ? f ( x) ? 3 ln 3 ? 3? x ln 3 ? 2 ? (3x ? 3? x )ln 3 ? 2 ? 2ln 3 ? 2 ? 0 , ? 函 数 f ( x) 在 (??, ??) 上 单调递 增,且 x?2?0 ?x ? 2 ? 0 ? ? ? f (0) ? 0 ,? ( x ? 2) f (log 1 x) ? 0 ? ?log x ? 0 或 ?log x ? 0 ,解得 x ? 2 或 0 ? x ? 1 . 1 1 2 ? ? ? 2 ? 2 二、解答题 sin A sin B 15. (1)? b tan A ? (2c ? b) tan B , ? 由正弦定理,得 sin B ? , ? (2sin C ? sin B) ? cos A cos B 又? 在 ?ABC 中, sin B ? 0 , ? sin A cos B ? 2sin C cos A ? cos A sin B , ? 1 即 sin( A ? B) ? 2sin C cos A , 又? sin( A ? B) ? sin C ? 0 , ? cos A ? , 又? 0 ? A ? ? ,? A ? ; 3 2

, 3 3 1 1 ? a ? 7 ,? BC ? AD ? AB ? AC ? sin A ,即 7 ? AD ? 3 ? 2 ? , 2 2 2 ???? ???? ???? ???? ???? 2 3 21 ? AD ? , ? AD ? AC ? AD ? AC cos ?CAD ? AD ? 27 . 7 7 ABCD ? BC ? CD ? PD ? BC 16.(1)? 底面 为矩形, ,又 , CD, PD ? 平面PCD , PD ? CD ? D , ? BC ? 平面 PCD , 又? BC ? 平面ABCD , ? 平面 ABCD ? 平面 PCD ; (2)连接 AC ,交 BD 于 O ,连接 GO , ? PC / / 平面 BDG , 平面 PCA ? 平面 BDG ? GO , ? PC / / GO , PG CO ,? 底面 ABCD 为矩形, ? O 是 AC 的中点,即 CO ? OA , ? ? GA OA ? PG ? GA , ? G 为 PA 的中点.

(2) 由余弦定理, a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A , ? b ? 2 , c ? 3 , A ?

?

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17. (1)在 ?AOM 中, AO ? 15 , ?AOM ? ? 且 cos ? ? 由 余 弦 定 理 得 ,
2 A M ? 2 O ?A 2 2 O ?M

3 13

, OM ? 3 13 ,
3 13

? (3 13) 2 ? 152 ? 3 13 ? 15 ? ? O c o A? s O ? M A O? 2 M

? 13 ? 9 ? 15 ?15 ? 2 ? 3 ?15 ? 3 ? AM ? 6 2 ,即大学 M 与站 A 的距离 AM 为 6 2km ; ? 72. 3 2 AM OM ?AOM 中, ? cos ? ? ? sin ? ? ? (2) , 且 ? 为锐角, , 由正弦定理得, , sin ? sin ?MAO 13 13
2 6 2 3 13 ? ,? sin ?MAO ? ,??MAO ? , ? 2 2 sin ?MAO 4 13 2 1 ? ? tan ? ? 2 ,? sin ? ? , cos ? ? , ??ABO ? ? ? , 4 5 5 ? 1 2 ? sin ?ABO ? sin(? ? ) ? ,又 ?AOB ? ? ? ? , ? sin ?AOB ? sin(? ? ? ) ? , 4 10 5 AB AO 在 ?AOB 中, AO ? 15 , 由正弦定理得, , ? sin ?AOB sin ?ABO AB 15 即 ,? AB ? 30 2 ,即铁路 AB 段的长 AB 为 30 2km . ? 2 1 5 10



18. (1)圆 O 的方程为 x2 ? y 2 ? b2 , ? 直线 y ? x ? 2 与圆 O 相切,
? 2 2 ? b ,即 b ? 1 ,又? e ?
3 b2 3 x2 , ? 1? 2 ? ,? a ? 2 , ? 椭圆 C 的方程为 ? y 2 ? 1 ; 2 a 2 4

1 15 1 15 ), N ( , ? ), (2)由题意,可得 M ( , 2 4 2 4

? 圆 D 的半径 r ?

15 1 11 15 ? ? ,? AB ? 2 , 16 4 2 4

1 11 1 11 ? ? ? ; 2 2 2 8 (3)由题意可知 A1 (?2,0), A2 (2,0), B1 (0, ?1), B2 (0,1) ,

? ?ABD 的面积为 S ?

? A2 P 的斜率为 k ,? 直线 A2 P 的方程为 y ? k ( x ? 2) ,

? y ? k ( x ? 2) ? 由 ? x2 ,得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 16k 2 x ? 16k 2 ? 4 ? 0 , 2 ? ? y ?1 ?4 2k ? 1 8k 2 ? 2 8k 2 ? 2 ?4k x ?1, 其中 x A ? 2 ,? xP ? , ? P ( , ) ,则直线 B2 P 的方程为 y ? ? 2 2 2 ( 2 2k ? 1) 1 ? 4k 1 ? 4k 1 ? 4k 2(2k ? 1) 2(2k ? 1) 令 y ? 0 ,则 x ? , 即 F( ,0) , ? 直线 A1 B2 的方程为 x ? 2 y ? 2 ? 0 , 2k ? 1 2k ? 1 4k ? 2 ? x? ? x ? 2 y ? 2 ? 0 ? 4k ? 2 4k ? 2k ? 1 由? ,解得 ? ,? E ( , ), 4 k y ? k ( x ? 2) 2k ? 1 2k ? 1 ? ?y ? ? 2k ? 1 ? 4k ? 2k ? 1 2k ? 1 1 2k ? 1 ,? 2m ? k ? 2 ? . ? ? EF 的斜率 m ? ? k ? (定值) 2(2k ? 1) 4k ? 2 4 4 2 ? 2k ? 1 2k ? 1 1 19. (1)? g ( x) ? f ( x) ? ax 2 ? bx ? ln x ? ax 2 ? bx , ? g ?( x) ? ? 2ax ? b , x 由题意得 g ?(1) ? 1 ? 2a ? b ? 0 , ? b ? ?2a ? 1 ; 1 1 (2ax ? 1)( x ? 1) ?( x ? 1) (2)? g ?( x) ? ? 2ax ? b ? ? 2ax ? 2a ? 1 ? ( x ? 0) ,①当 a ? 0 时, g ?( x) ? ( x ? 0) , x x x x
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当 x ? 1 时, g ?( x) ? 0 ,? 函数 g ( x) 在 (1, ??) 单调减;当 0 ? x ? 1 时, g ?( x) ? 0 ,? 函数 g ( x) 在 (0,1) 单调增; 1 2a( x ? )( x ? 1) 1 1 2 a ②当 0 ? a ? 时,即 ? 1 , g ?( x) ? ( x ? 0) , x 2a 2 1 1 ? 函数 g ( x) 在 (1, ) 上单调减;函数 g ( x) 在 ( , ??) 和 (0,1) 单调增; 2a 2a 1 ( x ? 1) 2 ③当 a ? 时,即 2a ? 1 , g ?( x) ? ? 0( x ? 0) ,? 函数 g ( x) 在 (0, ??) 单调增; x 2 1 2a( x ? )( x ? 1) 1 1 2 a ④当 a ? 时.即 ? 1 , g ?( x) ? ( x ? 0) , x 2a 2 1 1 ? 函数 g ( x) 在 ( ,1) 单调减区间;函数 g ( x) 在 (1, ??) 和 (0, ) 单调增; 2a 2a 1 1 1 ln x2 ? ln x1 1 (3)由题设 x2 ? x1 ? 0 ,? ? k ? ? ? ? x2 x1 x2 x2 ? x1 x1 x ? x1 x ? x1 x x 1 ? 2 ? ln x2 ? ln x1 ? 2 ?1? ? ln 2 ? 2 ? 1 ① x x2 x1 x1 x1 2 x1 1 1? x 令 h( x) ? ln x ? x ? 1( x ? 1) ,则 h?( x) ? ? 1 ? ( x ? 1) , x x ? x ? 1 时, h?( x) ? 0 , ? 函数 g ( x) 在 (1, ??) 是减函数,而 h(1) ? 0 ,? x ? 1 时, h( x) ? h(1) ? 0 x x x x x x ? x2 ? x1 ? 0 ,? 2 ? 1 , ? h( 2 ) ? ln 2 ? 2 ? 1 ? 0 ,即 ln 2 ? 2 ? 1 , ② x x1 x x x x1 1 1 1 1 1 1 1 x ?1 令 H ( x) ? ln x ? ? 1( x ? 1) ,则 H ?( x) ? ? 2 ? 2 ( x ? 1) , x x x x ? x ? 1 时, H ?( x) ? 0 , ? H ( x) 在 (1, ??) 是增函数, x x x 1 1 1 1 ? x ? 1 时, H ( x) ? H (1) ? 0 , ? H ( 2 ) ? ln 2 ? ? ln 2 ③由①②③得 ? k ? . ? 1 ? 0 ,即 1 ? x2 x2 x1 x1 x1 x2 x1 x1 x1 20.(1)? C ? 1 ,? an ? Sn ? An 2 ? Bn ? 1 , ①令 n ? 1 ,可得 2a1 ? A ? B ? 1 ,即 A ? B ? 2 ,

1 3 1 3 令 n ? 2 ,可得 a1 ? 2a2 ? 4 A ? 2 B ? 1 ,即 4 A ? 2 B ? 5 ,? A ? , B ? ,? an ? Sn ? n2 ? n ? 1 , 2 2 2 2 1 3 当 n ? 2 时,? an?1 ? Sn?1 ? (n ? 1)2 ? (n ? 1) ? 1 , ② 2 2 1 1 ①-②,得 2an ? an?1 ? n ? 1 (n ? 2) , ? an ? n ? [an?1 ? (n ? 1)] ,即 bn ? bn ?1 , 2 2 bn 1 1 ? , ? 数列 ?bn ? 是等比数列; 又 b1 ? a1 ? 1 ? ? 0 , bn ? 0 ,? bn ?1 2 2

? 数列 ?an ? 是等差数列,? 设 an ? a1 ? (n ? 1)d , S n ? na1 ?
n(n ? 1) d, 2



d d ? an ? Sn ? An 2 ? Bn ? 1 ,? n2 ? (a1 ? )n ? a1 ? d ? An2 ? Bn ? 1 , n ? N * 2 2 d ? ?A ? 2 d d d ? a1 ? ? 1 a1 ? 1 ? d? B ?1 d ? 2 2 ? 2 ? 3; ? ? ? ? B ? a1 ? ,? d d d A 2 ? 2 2 2 ? a1 ? d ? 1 ? ?

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(2)当 C ? 0 时, an ? Sn ? An 2 ? Bn ,? 数列 ?an ? 是等差数列, a1 ? 1 ,

d d n(n ? 1) d ,? n2 ? (1 ? )n ? 1 ? d ? An2 ? Bn ,? d ? 1 ,? an ? n , 2 2 2 n 1 1 1 1 n(n ? 1) ? 1 1 1 1 1 1 ,? ? 1 ? 2 ? 2 ? n ? 1 ? , ? 1? 2 ? 2 ? 1? 2 ? ? ?1? ? 2 an an ?1 n (n ? 1) n(n ? 1) n n ?1 ai ai ?1 n ?1 i ?1

? an ? 1 ? (n ? 1)d , Sn ? n ?

?? ?

n 3 1 1 3 1 , ? ? 1? 2 ? 2 ? ? ? ? n ?1? n ? 1 i ?1 ai ai ?1 n ?1 n ?1

2 2 2 2 x2 ? 2 , ??n ? N * , ? ? n ? 1 ? ,令 f ( x) ? x ? , ? f ?( x) ? 1 ? 2 ? , n ?1 n ?1 x x x2 2 当 x ? 2 时, f ?( x) ? 0 , ? f ( x) 在 [2, ??) 上是增函数,而 n ? 1 ? 2 ,? (n ? 1 ? )min ? 3 , ? ? ? 3 . n ?1 第Ⅱ卷(附加题,共40分) 21. A.连接BC, AB , CD 相交于点 E .因为AB是线段CD的垂直平分线, 所以 AB 是圆的直径,∠ACB=90° .设 AE ? x ,则 EB ? 6 ? x ,由射影定理得
即 ? ? n ?1? CE2=AE·EB,又 CE ? 5 ,即有 x(6 ? x) ? 5 ,解得 x ? 1 (舍)或 x ? 5 所以,AC2=AE·AB=5×6=30, AC ? 30 . B. M ? ? ? ? ? ,即 ? ? ? ? ? , ? ?2b ? 1 ? 5. ?1 ? ? 5 ? ? 2b ? 1? ? 5 ? ?
?2? ?4? ?2?a? ? 4? ?2 ? a ? 4, ? a ? 2, ?1 2 ? ,? M ? ? ?, ?b ? 3. ?3 ?1? ?2 ? ? 1 2 ? ?7 ? ? 7 7 ? . ??? ? 1 ? ?3 1? ? ?7 ? 7? ? ? ?7 ?

解得 ?

? ?1 ? 1 2 ? ?7 , M ?1 ? ? ?7 解法一:? det( M ) ? 3 ?1 ? ?3 ? ? ?7 c d 1 0? ? ? ? c ? 3d ? 解法二:设 M ?1 ? ? ,由 M ?1M ? ? ,得 ? ? ? ?0 1 ? ?e f ? ?e ? 3 f

2c ? d ? ?1 0? ?? ? 2e ? f ? ? ?0 1 ?

1 ? ?c ? 7 , ? ?c ? 3d ? 1, ?1 2 ? ?d ? 2 , ?e ? 3 f ? 0, ?7 7 ? ? ? 7 ? M ?1 ? ? 解得 ? ?? ?. ?3 ? 1? ? 2c ? d ? 0, ?e ? 3 , ?7 ? ? ? 7 7? ? ? 2e ? f ? 1. ? ? f ? ?1. 7 ? ? 2? C.因为圆心为直线 ? sin( ? ?) ?sin 与极轴的交点,所以令 ? ? 0 ,得 ? ? 1 ,即圆心是 (1,0) , 3 3 ? ? 又圆 C 经过点 P , ? 圆的半径 r ? 3 ? 1 ? 2 3 cos ? 1 ,? 圆过原点, ( 3, ) 6 6 (说明:化为普通方程去完成给相应的分数) ? 圆 C 的极坐标方程是 ? ? 2cos ? . 1 1 2 1 1 2 1 1 2 D.由 a , b, c 为正数,根据平均值不等式,得 ? ? , ? ? , ? ? . a b b c a c ab bc ac 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? 将此三式相加,得 2( ? ? ) ? ,即 ? ? ? . a b c a b c ab bc ac ab bc ac

由 abc ? 1 ,则有 abc ? 1 .所以,

1 1 1 abc abc abc ? ? ? ? ? ? a? b? c. a b c ab bc ac

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(3n ? 3)an ? 4n ? 6 ?2 an ?1 ? 2 (3n ? 3)(an ? 2) a ?2 an ? 2 n 22.(1)令 cn ? ,则 cn ?1 ? ? ? ?3 n ? 3cn , n ?1 n ?1 n(n ? 1) n n c ?a ? 2? ? c1 ? a1 ? 2 ? 1 ? 0 ,? cn ? 0 ,? n ?1 ? 3 ,? 数列 ?cn ? ,即 ? n ? 是等比数列; cn ? n ?

(2)由(1)得

an ? 2 3n ?1 1 ? , ? 3n ?1 ,? an ? n ? 3n?1 ? 2 ,? bn ? an ? 2 n n

4 1 . ? 5 2n ? 1 1 1 7 4 1 3 7 3 ①当 n ? 2 时,不等式的左边 ? b3 ? b4 ? ? ? ,右边 ? ? ? ,而 ? ,? n ? 2 时,不等式成立; 3 4 12 5 5 5 12 5 4 1 ②假设当 n ? k (k ? 2) 时,不等式成立,即 bk ?1 ? bk ? 2 ? ? ? b2k ? ? ; 5 2k ? 1 当 n ? k ? 1 时, bk ?1?1 ? bk ?1?2 ? ? ? b2( k ?1) ? (bk ?1 ? bk ?2 ? ? ? b2k ) ? (b2k ?1 ? b2k ?2 ? bk ?1 )
下面用数学归纳法证明当 n ? 2 , n ? N * 时, bn?1 ? bn? 2 ? ? ? b2n ?

?

4 1 1 1 1 ? ? ? ? 5 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 2 k ? 1 4 1 1 ? ? ? 5 2k ? 2 k ? 1 4 1 ? ? 5 2( k ? 1) 4 1 ? ? 5 2( k ? 1) ? 1

? 当 n ? k ? 1 时,不等式也成立. 由①②可得, 4 1 当 n ? 2 , n ? N * 时, bn?1 ? bn? 2 ? ? ? b2n ? ? . 5 2n ? 1 ???? ? ???? ???? ? ???? 23. (1)设 M ( x, y ) ,则 N ( x, ? p) ,? NM ? (0, y ? p) , NF ? (? x, 2 p) , FM ? ( x, y ? p) , FN ? ( x, ?2 p) , ???? ? ???? ???? ? ???? ? NM ? NF ? FM ? FN ,? 2 p( y ? p) ? x2 ? 2 p( y ? p) ,
? x2 ? 4 py ,即动点 M 的轨迹 C 的方程为 x2 ? 4 py ; ???? ? ???? ???? ? ???? ???? ???? ? ???? ? 另解:设 M ( x, y ) ,则 N ( x, ? p) ,? NM ? NF ? FM ? FN ,? NF ? (MN ? MF ) ? 0 ,

? 以 MN , MF 为邻边的平行四边形是菱形,? MF ? MN ,? x2 ? ( y ? p)2 ? y ? p ,? x2 ? 4 py ,
即动点 M 的轨迹 C 的方程为 x2 ? 4 py ; (2)①设 Q( x0 , ? p) , A( x1 ,
?? p ? x12 x2 ) , B ( x2 , 2 ) ,则 4p 4p x12 x ? 1 ( x ? x1 ,) , 4p 2p

切线 QA 的方程 y ?

x12 x ? 1 ( x0 ? x1 ) ,? x12 ? 2 x0 x1 ? 4 p 2 ? 0 , ① 4p 2p

同理? x22 ? 2 x0 x2 ? 4 p2 ? 0 , ②

? x1 ? x2 ,? x1 ? x2 ? 2 x0 ? 0 ,? x1 ? x2 ? 2 x0 , 方法 1:①②得 ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ? 2 x0 ) ? 0 , 即 A 、 Q 、 B 三点的横坐标成等差数列.

方法 2:由①②得 x1 , x2 是方程 x2 ? 2 x0 x ? 4 p2 ? 0 的两根, ? x1 ? x2 ? 2 x0 ,即 A 、 Q 、 B 三点的横坐标成等差数列.
? x ? x ? 2 x0 ②由①②得 x1 , x2 是方程 x2 ? 2 x0 x ? 4 p2 ? 0 的两根,? ? 1 2 , 2 ? x1 ? x2 ? ?4 p
? AB ? 20 ,? ( x1 ? x2 )2 ? (

? x ? x2 ? ?8 ? Q(?4, ? p ) ,? ? 1 , 2 ? x1 ? x2 ? ?4 p

x12 x2 2 2 ? ) ? 20 , 4p 4p

? ( x1 ? x2 )2 [1 ?

( x1 ? x2 )2 4 ] ? 20 ,? (64 ? 16 p 2 )(1 ? 2 ) ? 20 ,? p4 ? 17 p2 ? 16 ? 0 ,? p ? 1 或 p ? 4 . 2 p 16 p

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2015 年高考模拟试卷(2) 参考答案南通市数学学科基地命题

一、填空题 1. 3 ; 2. ?12 ; 3. 5 ; 4. 27 ; 5. 3? ; 6. 件 “ 角
A, B, C

成 等 差 数 列 ” ?

B?

?
3

2 ; 7. 14 ; 8.充分不必要; 【解析】条 9
“ sin C ? ( 3 cos A ? sin A)cos B ” 或

; 结 论

?

sin( A ? B) ? 3 cos A cos B ? sin Acos B

?

cos A sin B ? 3 cos A cos B

?

cos A ? 0

2 3 ? ? ? ?1 ? 5 1 ? 5 ? ?q ? 1 a 成等差数列, ? 2a3 ? a1 ? a4 , 11.? 【解析】 若删去 a 2 , 则 a1 , a 即 2a1q 2 ? a1 ? a1q3 , , ?; 3 ,4 2 2 ? ? ? ? 1? 5 1? 5 (舍去)或 q ? 或q? ( 舍 去 ); 若 删 去 a 3 , 则 a1 , a 2, a 4 成 等 差 数列 , ? 2a2 ? a1 ? a4 , 即 2 2 ?1 ? 5 ?1 ? 5 1? 5 ?1 ? 5 3 ,? q ? 1 (舍去)或 q ? 或q ? (舍去)? q ? 或 . 2a1 q ? a1 ? a1 q 2 2 2 2 ???? ???? ??? ? ??? ? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? 12. 0 ; 【解析】? AD ? DC ? CB ? BA ? 0 ,? AD ? BC ? AB ? CD , ???? ???? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? 2 ???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ?2 ?( AD ? DC) ? (BC ? CD) ? AD ? BC ? CD ? ( AD ? BC) ? CD ? AD ? BC ? CD ? ( AB ? CD) ? CD , ???? ??? ? ???? ??? ? ? AC ? BD ? ?12 , AB / / CD , AB ? 6 , AD ? DC ? 2 ,? AD ? BC ? 0 . 5 ?1 5 ?1 b2 b2 b , ); 13. ( 【解析】由条件得 b 2 ? ac ,不妨设 a ? b ? c ,则 c ? ? a ? b ,即 2 ? ? 1 ? 0 ;同理 2 2 a a a 5 ?1 b 5 ?1 5 ?1 sin B b sin B ? ? 1 .而 , ). 得当 a ? b ? c 时, 的取值范围是 ( ? ,? 2 a 2 2 sin A a sin A ln 3 1 x x x 14. ( 【解析】? f ( x) ? f (3x) ,? f ( x) ? f ( ) ,当 x ? [3,9) 时, ?[1,3) ,? f ( x) ? ln ,在直角坐 , ). 9 3e 3 3 3 f ( x) 标系内作出函数 f ( x) 的图象,而 表示的是该图象上的点与原点的连线的斜率.图象上的点 (9, ln 3) x ln 3 x 1 与与原点的连线的斜率为 ;当过原点的直线与曲线 f ( x) ? ln , x ?[3,9) 相切时,斜率为 (利用导 9 3e 3 ln 3 1 数解决) .? 由图可知,满足题意得实数 t 的取值范围为 ( , ). 9 3e 二、解答题
15. (1)因为在 ?ABC 中, C ? A ? 所以 sin C ? sin( A ?

sin B ? 3 cos B ? A ?

?

或B?

?

.所以条件是结论的充分不必要条件.9.

2 3 15 ? 2 ; 10. ? ; 3 6

?
2

,所以 A 为锐角,且 cos A ? 1 ? sin 2 A ? 1 ? (

3 2 6 . ) ? 3 3

?
2

) ? cos A ?

6 ; 3

BC sin C BC AB ? (2)由正弦定理得 ,所以 AB ? ? sin A sin A sin C

6? 3 3

6 3 ?2 3.

因为在 ?ABC 中, C ? A ?

?

2 因为在 ?ABC 中, B ? ? ? ( A ? C ) ,

,所以 C 为钝角,且 cos C ? ? 1 ? sin 2 C ? ? 1 ? (

6 2 3 ) ?? . 3 3

3 3 6 6 1 ? (? ) ? ? ? . 3 3 3 3 3 1 1 1 所以 ?ABC 的面积为 S?ABC ? AB ? BC ? sin B ? ? 2 3 ? 6 ? ? 2 . 2 2 3 ABC / / 16. (1)由题意,平面 平面 A1 B1C1 ,平面 A1 B1M 与平面 ABC 交于直线 MN ,

所以 sin B ? sin( A ? C ) ? sin A cos C ? cos A sin C ?

与平面 A1 B1C1 交于直线 A1 B1 ,所以 MN / / A1 B1 .因为 AB / / A1 B1 ,所以 MN / / AB ,所以

CN CM . ? AN BM

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因为 M 为 AB 的中点,所以

CN ? 1 ,所以 N 为 AC 中点. AN (2)因为四边形 A1 ACC1 是边长为 2 的菱形, ?A1 AC ? 60? .

在三角形 A1 AN 中, AN ? 1 , A1 A ? 2 ,由余弦定理得 A1 N ? 3 , 故 A1 A2 ? AN 2 ? A1 N 2 ,从而可得 ?A1 NA ? 90? ,即 A1 N ? AC . 在三角形 ABC 中, AB ? 2 3 , AC ? 2 , BC ? 4 , 则 BC 2 ? AB 2 ? AC 2 ,从而可得 ?BAC ? 90? ,即 AB ? AC . 又 MN / / AB ,则 AC ? MN . 因为 MN ? A1 N ? N , MN ? 面 A1 B1MN , A1 N ? 面 A1 B1MN ,所以 AC ? 平面 A1 B1MN . 又 AC ? 平面 A1 ACC1 ,所以平面 A1 B1MN ? 平面 A1 ACC1 . 17.正三棱锥展开如图所示.当按照底边包装时体积最大. 设正三棱锥侧面的高为 h0 ,高为 h .
3 3 x ? h0 ? 10 ,解得 h0 ? 10 ? x. 由题意得 6 6

D'

D C

O A B

则 h ? h02 ? 所

x 3 2 x 10 3 ? (10 ? x) ? ? 100 ? x , x ? (0,10 3) . 12 6 12 3 以 , 正 三 棱 锥 体 积

2

2

1 1 3 2 10 3 3 2 10 3 V ? Sh ? ? x ? 100 ? x? x 100 ? x. 3 3 4 3 12 3

D''

设 y ?V2 ?

100 x3 50 x 4 x4 10 3 100 x 4 10 x5 ? (100 ? x) ? ? ,求导得 y ? ? ,令 y ? ? 0 ,得 x ? 8 3 , 12 48 3 48 48 3 48 3

当 x ? (0,8 3) 时, y ? ? 0 ,? 函数 y 在 (0,8 3) 上单调递增, 当 x ? (8 3,10 3) 时, y ? ? 0 ,? 函数 y 在 (8 3,10 3) 上单调递减, 所以,当 x ? 8 3cm 时, y 取得极大值也是最大值. 此时 y ? 15360 ,所以 Vmax ? 32 15cm3 . 答:当底面边长为 8 3cm 时,正三棱锥的最大体积为 32 15cm3 . ? b2 2 , ? 1? 2 ? x2 2 y2 3 ? a 2 ? ? 1; 18. (1)由题设: ? 解得 a2 ? 3, b2 ? ,? 椭圆 C 的方程为 2 3 3 ? 1 ? 1 ? 1, ? ? a 2 b2 (2)①直线 l 的斜率不存在或为 0 时,

1 1 2 2 2 2 4 ? ? ? 2 ? 2 ? ? ? 2; 2 2 2 OA OB OM a b 3 3 ②直线 l 的斜率存在且不为 0 时,设直线 l 的方程为 y ? kx(k ? 0) ,
? y ? kx 1 3 则?MA ? MB , 由? 2 得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 3 , , ? 直线 OM 的方程为 y ? ? x , ? xA2 ? xB 2 ? 2 x ? 2 y ? 3 k 1 ? 2k 2 ?

1 2 ? ? 3 3 1 3k 2 2 (1 ? k ) ? (1 ? 2 ) ? 2 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k k k ?2 2(1 ? 2k 2 ) 2( k 2 ? 2) 1 1 2 ? ? ? ? 2 为定值; ? 2 ,? 2 ? 3(1 ? k 2 ) 3(1 ? k 2 ) OA OB2 OM 2 1 1 1 1 1 2 (3)由(2)得: ①直线 l 的斜率不存在或为 0 时, ? ? 2 ? 2 ? ? ?1 ; 2 2 OA OM a b 3 3 1 1 1 1 1 ? 2k 2 k2 ? 2 ②直线 l 的斜率存在且不为 0 时, 2 ? ? ? ? ? ?1 1 3k 2 OA OM 2 (1 ? k 2 ) ? 3 3(1 ? k 2 ) 3(1 ? k 2 ) (1 ? ) ? 1 ? 2k 2 k2 k2 ? 2 OA ? OM 1 ? ?1, ? 原点 O 到直线 AM 的距离 d ? 2 2 1 1 OA ? OM ? OA2 OM 2

同理? xM 2 ?

1 1 1 2 3k 2 , ? 2? ? ? 2 OA OB2 OM 2 k2 ? 2 (1 ? k ) ?

2 2 ? 直线 AM 与圆 x2 ? y 2 ? 1 相切,即存在定圆 x ? y ? 1,使得直线 l 绕原点 O 转动时, AM 恒与该定圆相切.

- 23 -

19. (1) ①由数列 {an } 是等差数列及 a1 ? a2 ? a3 ? 9 , 得 a2 ? 3 , 由数列 {bn } 是等比数列及 b1b2b3 ? 27 , 得 b2 ? 3 .

? ?3 ? 2d ? 3q, ?d ? 3, ?d ? ? , d m ? 18 设数列 {an } 的公差为 , 数列 {bn } 的公比为 q , 若 , 则有 ? 2 , 解得 ? 或 ? 2 . ?q ? 3 ?3q ? 3q ? 18 ?q ? ?2 9 ?
9 ? ? ?an ? 3n ? 3, ? an ? ? n ? 12, 2 所以, {an } 和 {bn } 的通项公式为 ? 或? n ?1 ? ?b ? 3( ?2) n ? 2 ?bn ? 3 ? n

② 由题设 b4 ? b3 ? m ,得 3q2 ? 3q ? m ,即 3q 2 ? 3q ? m ? 0 (*) .因为数列 {bn } 是唯一的,所以 若 q ? 0 ,则 m ? 0 ,检验知,当 m ? 0 时, q ? 1 或 0 (舍去) ,满足题意; 3 1 若 q ? 0 ,则 (?3)2 ? 12m ? 0 ,解得 m ? ? ,代入(*)式,解得 q ? , 4 2 3 又 b2 ? 3 ,所以 {bn } 是唯一的等比数列,符合题意. 所以, m ? 0 或 ? . 4 3 (2)依题意, 36 ? (a1 ? b1 )(a3 ? b3 ) , 设 {bn } 公比为 q ,则有 36 ? (3 ? d ? )(3 ? d ? 3q ) , (**) q 3 记 m ? 3 ? d ? ,n ? 3 ? d ? 3q , 则 mn ? 36 . 将 (**) 中的 q 消去, 整理得 d 2 ? (m ? n)d ? 3(m ? n) ? 36 ? 0 , q
d 的大根为 n ? m ?
(m ? n) 2 ? 12(m ? n) ? 144 n?m? ? 2 (m ? n ? 6) 2 ? 36 2

而 m, n ? N ? ,所以 ( m, n) 的可能取值为: (1,36),(2,18),(3,12),(4,9),(6,6),(9, 4),(12,3),(18, 2),(36,1) . 所以,当 m ? 1, n ? 36 时, d 的最大值为 35 ? 5
2 37



20.(1) f ?( x) ? 2ax ? e x .显然 a ? 0 , x1 , x2 是直线 y ? ? 由 g ?( x) ?

1? x ? 0 ,得 x ? 1 .列表: ex x (??,1) g ?( x) ?
g ( x)

1 x 与曲线 y ? g ( x) ? x 两交点的横坐标. 2a e

1
0

(1, ??) ?



g ( x)max ?

1 e



1 1 此外注意到:当 x ? 0 时, g ( x) ? 0 ;当 x ? [0,1] 及 x ? (1, ??) 时, g ( x) 的取值范围分别为 [0, ] 和 (0, ) . e e 1 1 e e 于是题设等价于 0 ? ? ? < ? a ? ? ,故实数 a 的取值范围为 (??, ? ) . 2 2a e 2 (2)存在实数 a 满足题设.证明如下:由(1)知, 0 ? x1 ? 1 ? x2 , f ?( x1 ) ? 2ax1 ? e x1 ? 0 ,
故 f ( x1 ) = ax12 + e x1 ? e x1 ?
2 2 2 x1 x1 e x1 1 ex 1 ex ( x ? 1 ) 1 x e ? e 3 x1 , 故 ? e x1 ? e 3 ? 0 .记 R( x) ? ? e x ? e 3 (0 ? x ? 1) , 则 R?( x ) ? ? e ? 0 , 2 2 x 2 x1 2 x 2 2 2 于是, R( x) 在 (0,1) 上单调递减.又 R( ) ? 0 ,故 R( x) 有唯一的零点 x ? . 3 3 2 2 x1 e 3 2 ? ? e3 . 从而,满足 f ( x1 ) ? e 3 x1 的 x1 ? .所以, a ? ? 2 x 4 3 1

3 2 3 2 此时 f ( x ) ? ? e 3 x 2 ? e x , f ?( x) ? ? e 3 x ? e x ,又 f ?(0) ? 0 , f ?(1) ? 0 , f ?(2) ? 0 , 4 2 2 3 2 2 2 而 x1 ? ? (0,1) ,故当 a ? ? e 3 时, f ( x)极大 ? f ( x1 ) ? e 3 . E 4 3 3
第Ⅱ卷(附加题,共40分) B

A · O

F

21.A. 如图,连结 DF .因为 BC 与圆相切,所以 ?CDF ? ?DAF . 因为 ?EFD 与 ?EAD 为弧 DE 所对的圆周角,所以 ?EFD ? ?EAD . 又因为 AD 是 ?BAC 的平分线,所以 ?EAD ? ?DAF . 从而 ?CDF ? ?EFD .于是 EF / / BC .
- 24 -

D

C

b ? ?a b ? ?1 0 ? ?a B.设 B ? ? , 则? B?? ? ? ?, ?c d ? ?1 2? ? a ? 2c b ? 2d ?

?a ? ?4, ?a ? ?4, ?b ? 3, ?b ? 3, ? ?4 3 ? ? 解得? 故B ? ? 故? ? ?. ? 4 ? 2? ?a ? 2c ? 4, ?c ? 4, ? ? ?b ? 2d ? ?1, ?d ? ?2.

? ? 而得到的圆, 所以圆 C 的极坐标方程是 ? ? 4cos(? ? ) . 6 6 5? ? 5? (2) 将? ? ? 代入圆C 的极坐标方程? ? 4c 得? ? 2 2 , 所以, 圆C 被直线l : ? ? ? 所截得的弦长为2 2 . o s ( ? ?) , 12 6 12 D. 因为 a , b, c 均为正数,且 a ? b ? c ? 1 ,所以 (3a ? 2) ? (3b ? 2) ? (3c ? 2) ? 9 .
C. ( 1) 圆 C 是将圆 ? ? 4cos? 绕极点按顺时针方向旋转 于是由均值不等式可知

? 3a1? 2 ? 3b1? 2 ? 3c1? 2 ??(3a ? 2) ? (3b ? 2) ? (3c ? 2)?
? 33

1 ? 33 (3a ? 2)(3b ? 2)(3c ? 2) ? 9 , (3a ? 2)(3b ? 2)(3c ? 2) 当且仅当 a ? b ? c ? 1 时,上式等号成立.从而 1 ? 1 ? 1 ? 1 . 3 3a ? 2 3b ? 2 3c ? 2 1 1 1 ? ? 故 的最小值为 1 . 此时 a ? b ? c ? 1 . 22. ? 在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,AB ? AC , 3a ? 2 3b ? 2 3c ? 2 3 ? 分别以 AB 、 AC 、 AA1 所在的直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴,建立空间直角坐标系, 则 A(0,0,0), B(2,0,0), C(0, 4,0), A1 (0,0,3), B1 (2,0,3), C1 (0, 4,3) ,? D 是 BC 的中点,? D(1, 2,0) , ? ? ? ????? ????? ???? ? ? ? ? ? ?n1 ? A1C1 ? 0 (1) AC , ? ? ???? ? 1C1 D 的法向量 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) ,则 ? ? 1 1 ? (0,4,0), A 1 D ? (1,2, ?3) ,设平面 A n ? A D ? 0 ? ? 1 1 ? x1 ? 3 ? ? ? ???? ? ?4 y ? 0 ? 即? 1 ,取 ? y1 ? 0 ,? 平面 A1C1 D 的法向量 n1 ? (3,0,1) ,而 DB1 ? (1, ?2,3) , ? x1 ? 2 y1 ? 3z1 ? 0 ?z ? 1 ? 1 ? ? ? ???? ? ? ? ? ???? ? 3 35 n1 ? DB1 3 35 ,? 直线 DB1 与平面 A1C1 D 所成角的正弦值为 ; ? cos ? n1 , DB1 ?? ? ? ? ???? ? ? 35 35 n1 ? DB1 ?? ? ????? ???? ? ?? ? ? ???? ? ?n2 ? A1 B1 ? 0 (2) A1 B1 ? (2,0,0) , DB1 ? (1, ?2,3) 设平面 B1 A1 D 的法向量 n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) ,则 ??? , ? ???? ? ? ?n2 ? DB1 ? 0 ? x2 ? 0 ?? ? ?2 x2 ? 0 ? 即? ,取 ? y2 ? 3 ,? 平面 B1 A1 D 的法向量 n2 ? (0,3, 2) , ? x2 ? 2 y2 ? 3z2 ? 0 ?z ? 2 ? 2 ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? 130 n1 ? n2 130 , . ? 二面角 B1 ? A1 D ? C1 的大小的余弦值 ? cos ? n1 , n2 ?? ? ? ? ?? ? ? 65 65 n ?n
1 2
2 ? n , 的子集也各有 Cn 23 . ( 1 )因为含元素 1 的子集有 Cn2?1 个,同理含 2, 3, 4, ?1 个,于是所求元素之和为 1 2 2 ; (1? 2 ? 3 ?? ?n ) ?Cn (n ? 2 n )( n2 ? 1) ?1 ? 4 (2)集合 M ? ?1,2,3, ?, n? 的所有 3 个元素的子集中:

以 1 为最小元素的子集有 Cn2?1 个,以 n 为最大元素的子集有 Cn2?1 个; 以 2 为最小元素的子集有 Cn2? 2 个,以 n ? 1 为最大元素的子集有 Cn2? 2 个; ??
2 2 以 n ? 2 为最小元素的子集有 C2 个,以 3 为最大元素的子集有 C2 个.

? ? mi ? m1 ? m2 ? ? ? m C
i ?1
3 C2015

3 Cn

3 n

2 2 2 2 2 2 3 ? (n ? 1)(Cn ?1 ? Cn ? 2 ? ? ? C2 ) ? (n ? 1)(Cn ?1 ? Cn ? 2 ? ? ? C3 ? C3 )

? (n ? 1)(C

2 n ?1

?C

2 n?2

? ? ? C ? C ) ? ? ? (n ? 1)C , ?
2 4 3 4
3 n

? mi
i ?1

3 Cn

Cn3

? n ?1. ?

?m
C
i ?1 3 2015

i

? 2015 ? 1 ? 2016 .

- 25 -

2015 年高考模拟试卷(3)参考答案南通市数学学科基地命题

一、填空题 1. ? 0,1? ; 2. 5 ; 3.1027; 由流程图, b 和 a 的值依次为 1,1;3, 2;10,3;1027, 4 ,结束循环. 4. 3 ;5.24;6. ? 3 ;7

1 ; 8. ?3,5? ; 【解析】 由已知得, an ? 6n ? 14, bn ? 2n?1 ,令 an ? bn ,可得 12 6n ? 14 ? 2n ?1 ,解得 n ? 3 或 5,所以满足 an ? bn 的 n 的所有取值构成的集合是 ?3,5? .
E D O A F

8 3; 【解析】如图,连接 AC,AC∩BD=O.因为四边形 ABCD 是菱形,所以, 3 AC⊥BD,又因为 ED⊥平面 ABCD,AC?平面 ABCD,所以,ED⊥AC.因为,ED, BD?平面 BDEF,且 ED∩BD=D,所以,AC⊥平面 BDEF,所以,AO 为四棱锥 ? ABDEF 的高.又因为,四边形 ABCD 是菱形,∠BAD= ,所以,△ABD 为等边 3
9. 三角形.又因为,BF=BD=2,所以,AD=2,AO= 3 ,S 面体的体积为
四边形

C

B

BDEF=4,所以,V

四棱锥

ABDEF=

4 3 ,即多 3

??? ? BA 13. 2 3 ; 【解析】 设 ??? ? BA

8 3. 3

10. ?2 ; 11. ? 0, 2? ; 12.2; ??? ? ??? ? ? 1 BC ? BD ? ? a , ??? ? ? b , ??? ? ? c ,则|a|=|b|=|c|=1,a+b= 3 c,所以,得 cos<a,b>= , 2 BC BD

???? ??? ? ? 3 又由 AD ? BC ,所以,可得图形为有一个 角的菱形,所以,其面积 S ? 2 ? 2 ? ?2 3 . 3 2

?1? 1? ? ? ; 14. 【解析】 根据对称性, 作出 R 上的函数图象, 由 F ( x) ? f ( x) ? a , ?2? 所以,零点就是 f ( x) 与 y ? ?a ? ? 0,1? 交点的横坐标,共有 5 个交点,根据
对称性,函数 f ( x) 的图象与 y ? ?a ? ? 0,1? 的交点在 ? 2, 4 ? 之间的交点关于

a

y 1 -3 x3 -4 -2 x4-1 -1 1 2 x1 3 x2 4 x y=-a

之间的两个交点关于 x ? ?3 对称,所以, x3 ? x4 ? ?6 ,设 x ? ? ?1,0? ,则 ? x ? ?0,1? ,所以,

x ? 3 对称,所以, x1 ? x2 ? 6 ,在 ? ?5, ?4?? ?3, ?2?

f (? x) ? log 1 (? x ? 1) ? ? f ( x) ,即 f ( x) ? ? log 1 (? x ? 1) ,由 f ( x) ? a ? 0 ,所以,
2 2

?1? ?1? ? log 1 (? x ? 1) ? a ? 0 ,即 x5 ? 1 ? ? ? ,所以, x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ? 1 ? ? ? . ?2? ?2? 2 二、解答题 3 4 4 4 3 ? 1 ? tan ? 1 15. (1) 由于 B(? , ) , 所以 cos? ? ? , , 所以 tan ? ? ? , 所以 tan(? ? ) ? sin ? ? ?? ; ?AOB ? ? , 5 5 5 3 5 4 1 ? tan ? 7 ??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? (2)由于 OA ? (1,0) , OB ? (cos? ,sin ? ) , 所以 OC ? OA ? OB ? (1 ? cos? ,sin ? ) , ???? ??? ? 18 OC ? OB ? cos? ? (1 ? cos? ) ? sin 2 ? ? cos? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? . 13 ? ? ? 5 ? 12 3 5 12 所以 cos ? ? ,所以 sin ? ? , 所以 cos( ? ? ) ? cos cos ? ? sin sin ? ? . 3 3 3 26 13 13 P 16. (1)因为 ?ABC 是正三角形, M 是 AC 中点, 所以 BM ? AC ,即 BD ? AC , 又 平面PAC ? 平面ABCD , 平面PAC ? 平面ABCD ? AC, BD ? 平面 ABCD , BD ? AC , N 所以 BD ? 平面 PAC . 又 PA ? 平面 PAC ,所以 PA ? BD. . (2)在正三角形 ABC 中, BM ? 2 3 A 在 ? ACD 中,因为 M 为 AC 中点, DM ? AC ,所以 AD ? CD , D M 2 3 因为 ?ADC ? 120? ,所以 ?ADM ? 60? .所以, DM ? ,所以 BM : MD ? 3 :1 , B C 3 所以 BN : NP ? BM : MD ,所以 MN // PD . 又 MN ? 平面 PDC , PD ? 平面 PDC ,所 以 MN // 平面 PDC . k k 10e40 17. (1)设日销售量为 x ,则 40 ? 10 ,所以 k ? 10e40 ,则日销售量为 x 枚. e e e
- 26 -

a

a

每枚徽章的售价为 x 元时,每枚徽章的利润为 ( x ? 30 ? a) 元,

10e40 x ? 30 ? a ? 10e40 ? (35 ? x ? 41) . x e ex 31 ? a ? x (2) L?( x) ? 10e40 ? (35 ? x ? 41) . ex ①当 2 ? a ? 4 时, 33 ? 31 ? a ? 35 ,而 35 ? x ? 41 ,所以 L?( x) ? 0, L( x) 在 ?35, 41? 上单调递减,
则日利润 L( x) ? ( x ? 30 ? a) 则当 x ? 35 时, L( x) 取得最大值为 10(5 ? a)e5 . ②当 4 ? a ? 5 时, 35 ? 31 ? a ? 36 ,令 L?( x) ? 0 ,得 x ? a ? 31 , 当 x ??35, a ? 31? 时, L?( x) ? 0, L( x) 在 ?35, a ? 31? 上单调递增; 当 x ? ? a ? 31,41? 时, L?( x) ? 0, L( x) 在 ? a ? 31, 41? 上单调递减. 所以当 x ? a ? 31 时, L( x) 取得最大值为 10e9 ? a . 综上,当 2 ? a ? 4 时,每枚徽章的售价为 35 元时,该商店的日利润 L( x) 最大, L( x)max ? 10(5 ? a)e5 ; 当 4 ? a ? 5 时,每枚徽章的售价为( a ? 31 )元时,该商店的日利润 L( x) 最大, L( x)max ? 10e9? a .
1 ?2 ? 2 ? 1, 2 2 ? ? b ?a ? 4, ?a 18. (1)易得 ? 且 c 2 ? a 2 ? b 2 ,解得 ? 2 ? ?c ? 2 , ?b ? 2, ? 2 ?a x2 y 2 所以,椭圆 E 的方程为 + = 1; 4 2 所以, A(0, 2), F1 (? 2,0), F2 ( 2,0) ,
y
A

D F1 B

o

F2 C

x

所以,直线 AB : y ? x ? 2 ,直线 AC : y ? ? x ? 2 将 y ? x ? 2 代入椭圆方程可得 3x2 ? 4 2 x ? 0 , 1 4 1 4 1 所以 B(? 所以直线 BO 为 y ? x , 2, ? 2) ,同理可得 C ( 2, ? 2) , 4 3 3 3 3 1 ? 4 1 ?y ? x 联立 ? ,得交点 D( 2, 2) , 2 5 5 ? y ? ?x ? 2 ? 8 8 所以, AD ? , AC ? ,即 AD : AC ? 3 : 5 所以, S? ABD : S? ABC ? 3: 5 ; 5 3 y y A F y0 ) , P( x1, y1 ) , (2)设 M (2, 易得直线 MA1 的方程为 y ? 0 x ? 0 , 4 2 y0 2 2 y0 2 y0 2 x2 y 2 x ? x? ?4?0, 代入椭圆 + = 1 ,得 1 ? 8 2 2 4 2 4 ? y0 2 ? 8? ?2 ? y0 2 ? 8? 8y 由 ?2 x1 ? 得, , 从而 y1 ? 2 0 , x ? 1 2 2 y0 ? 8 y0 ? 8 y0 ? 8
1

y
P M

1

o

F2

A2

x

?

?

??? ? ???? ? ? ?2 ? y02 ? 8? 8 y0 ? ?4 ? y02 ? 8? 8 y02 所以 OP ? OM ? ? , ? (2 , y ) ? ? ?4. 0 2 y02 ? 8 ? y02 ? 8 y02 ? 8 ? y0 ? 8 ? 1 19. (1)因为 f ?( x) ? ax ? ,所以 f ?(1) ? a ? 1 ,由 f ?(1) ? g (?1) ? 2 可得 a=b-3. x 2 2 2 又因为 f ( x) 在 x ? 处取得极值,所以 f ?( ) ? a ? 2 ? 0 , 所以 a= -2,b=1 . 2 2 2 所以 h( x) ? ? x2 ? ln x ? x ,其定义域为(0,+ ? )

1 1 ?2x2 ? x ? 1 ?(2x ? 1)( x ? 1) 令 h?(x) ? 0 得 x1 ? ? , x2 ? 1 , ? 1= ? 2 x x x 当 x ? (0,1)时, h?(x)>0 ,当 x ? (1,+ ? ) h?(x)<0 , 所以函数 h(x)在区间(0,1)上单调增;在区间(1,+ ? )上单调减. (2)当 a ? 0 时, h(x) ? ln x ? bx ,其定义域为(0,+ ? ).

h?(x) ? ?2x ?

- 27 -

①由 h(x) ? 0 得 b ? 所以 ? (x) ? ?

ln x ln x ln x ? 1 ,记 ? (x) ? ? ,则 ??(x) ? , x x x2

1 ln x ln x 在 (0, e) 单调减,在 (e, ??) 单调增,所以当 x ? e 时 ? (x) ? ? 取得最小值 ? . e x x 1 又 ? (1) ? 0 ,所以 x ? (0,1) 时 ? (x ) ? 0 ,而 x ? (1, ?? ) 时 ? (x ) ? 0 , 所以 b 的取值范围是( ? ,0). e ②由题意得 ln x1 ? bx1 ? 0,ln x2 ? bx2 ? 0 ,所以 ln x1 x2 ? b(x1 ? x2 ) ? 0,ln x2 ? ln x1 ? b(x2 ? x1) ? 0 , x ?x ln x1 x2 x ?x 所以 ? 1 2 ,不妨设 x1<x2,要证 x1 x2 ? e2 , 只需要证 ln x1 x2 ? 1 2 (ln x2 ? ln x1 ) ? 2 . x2 ? x1 ln x2 ? ln x1 x2 ? x1 2( x2 ? x1 ) x 2(t ? 1) 4 即证 ln x2 ? ln x1 ? ,设 t ? 2 (t ? 1) ,则 F (t ) ? ln t ? ? ln t ? ?2, t ?1 t ?1 x2 ? x1 x1 1 4 (t ? 1) 2 ? ? 0 ,所以函数 F (t ) 在(1,+ ? )上单调增,而 F (1) ? 0 , 所以 F ?(t ) ? ? t (t ? 1) 2 t (t ? 1) 2 2(t ? 1) 所以 F (t ) ? 0 即 ln t ? ,所以 x1 x2 ? e2 . t ?1 ?a4 ? a1q3 ?a1 ? 16 1 ? ? 4 ? 20. (1)设公比为 q ,则 ? 1 ,所以 sn ? 32 ? n?5 . a1 (1 ? q ) ? 2 ? s4 ? ?q ? 2 ? 1? q ? 1 1 1 1 1 1 1 32? n ? 4 ? 2 n ?8 因为 sn ?sn ? 2 ? (32 ? n ?5 )(32 ? n ?3 ) = 322 ? 32?( n ?5 ? n ?3 ) ? 2 n ?8 ? 322 ? 2? 2 2 2 2 2 2 2

1 数列 ? S n ? 是“和谐数列” . ? 32. 即存在常数 32, 所以, 2n?5 a (1 ? q n ) a a qn a ? 1 ? 1 ? 1 . (2)充分性; 设等比数列 ?an ? 的公比 q ,且 0 ? q ? 1. 则 Sn ? 1 1? q 1? q 1? q 1? q a a a 令 M ? 1 ,则 Sn ? M . 因为 Sn ?Sn ? 2 ? ( 1 ) 2 (1 ? q n )(1 ? q n ? 2 ) ? ( 1 )2 (1 ? q n ? q n ?2 ? q2 n ?2 ) 1 ? q 1 ?q 1? q a a ? ( 1 ) 2 ?(1 ? 2q n ?1 ? q 2 n ? 2 ) ? ( 1 ) 2 (1 ? q n ?1 ) 2 ? Sn ?12 所以 ? S n ? 是“和谐数列” 1? q 1? q
= (32 ? 且 Sn ? 32 ? 必要性:等比数列 ?an ? 各项为正,且 S n 是“和谐数列”. 因为 an ? 0. 所以, q ? 0. 下面用反证法证明, q ? 1 (1)当 q ? 1, 则 Sn ? na1 , 因为 a1 ? 0, 所以,不存在 M ,使 na1 ? M 对 n ? N ?1 恒成立;
a1 (q n ? 1) a a a a ? 1 ?q n ? 1 ,所以,对于给定的正数 M ,若 1 qn ? 1 ? M , q ?1 q ?1 q ?1 q ?1 q ?1 q ?1 q ?1 因为, q ? 1 ,所以, n ? logq ( M ? 1). 即当 n ? logq ( M ? 1) 时,有 Sn ? M . a1 a1 所以,不存在常数 M ,使 Sn ? M . 所以, 0 ? q ? 1.

1 2 1 ) ? 32 ? n ? 4 ? Sn ?1 . 2n ? 4 2

当 q ? 1 ,则 Sn ?

综上,数列 ? S n ? 是“和谐数列”的充要条件为其公比为 0 ? q ? 1 .

第Ⅱ卷(附加题,共 40 分) 21. A. 连结 OD,BD, 因为 AB 是圆 O 的直径,所以 ?ADB ? 90o,AB ? 2OB . 由 AB = 2 BC,所以, AB ? OC , 因为 DC 是圆 O 的切线,所以 ?CDO ? 90o . 于是△ADB ? △CDO,所以, AD ? DC 所以, ?A ? ?C .

D

A

· O

B

C

- 28 -

?2 ? 3 ? a ? 3, ? 2 a ? ? 3 ? ? 3? B.由条件可知 ? ,则 a ? 3, b ? 2 . ? ? ? ,所以 ? ? ? ? ?b 1 ? ? ?1? ?5? ?3b ? 1 ? 5 ? ? 2 ?3 矩阵的特征多项式为 f (? ) ? ? (? ? 2)(? ? 1) ? (?2)(?3) ? ? 2 ? 3? ? 4 ?2 ? ? 1

令 f (? ) ? 0 ,得两个特征值分别为 ?1 ? ?1, ?2 ? 4 . C. 将 C1 化为直角坐标方程为 4 x ? 3 y ? 8 ? 0 将 C2 化为直角坐标方程为 y 2 ? 2 x 将直线方程代入 y 2 ? 2 x 可得 2 y 2 ? 3 y ? 8 ? 0
2 y 2 ? y2 3 41 ? 3 41 ? , y1 y2 ? ?4 ,所以, x1 ? x2 ? 1 ? 所以,中点坐标为 ? , ? 2 2 8 ? 4 16 ? D. 由柯西不等式,得 (2b2 ? 3c2 ? 6d 2 ) 1 ? 1 ? 1 ≥ (b ? c ? d )2 , 2 3 6

解之可得 y1 ? y2 ?

?

?

即 2b2 ? 3c2 ? 6d 2 ≥ ?b ? c ? d ? .由条件,得 5 ? a2 ≥ ? 3 ? a ? ,
2
2

解得 1≤ a ≤ 2 ,当且仅当

2b 1 2

?

3c 1 3

?

6d 1 6

时等号成立,

1 1 2 1 代入 b ? 1, c ? , d ? 时, amax ? 2 ; b ? 1, c ? , d ? 时, amin ? 1 , 所以 a 的取值范围是 [1, 2] . 3 6 3 3 3 2 1 ?1? ?1? 1 5 3 ?? ? ?? ? ? ? 22. (1)抛掷硬币正面向上、反面向上的概率都为 , P ? X ? 6 ? ? 2 ? C5 2 ? 2 ? ? 2 ? 2 16 (2)X 的分布列为: X 4 5 6 7 1 5 5 1 P 4 16 16 8

1 1 5 5 93 所以, EX ? 4 ? ? 5 ? ? 6 ? ? 7 ? ? . 8 4 16 16 16 23. (1)设等差数列的通项公式为 an ? a0 ? nd ,其中 d 为公差
i 则 ? ? ai Cn ? ? a0 ? a1Cn1 ? a2Cn2 ? ? ? anCnn ? a0 (Cn0 ? Cn1 ? ? ? Cnn ) ? d (Cn1 ? 2Cn2 ? ?nCnn ) 因为 kCnk ? nCnk??11 i ?0 n

1 2 n 0 1 n ?1 a C i ? a 0 ?2n ? nd ? 2n?1 = an ? 2n ?1 . 所以 Cn ? 2Cn ? ?nCn ? n(Cn ?1 ? Cn ?1 ? ? ? Cn ?1 ) 所以 ? ? i n ?
i ?0

n

注:第(1)问也可以用倒序相加法证明. (2)令 x ? 1 ,则 ? ai ? 2 ? 22 ? 23 ? ? ? 22 n ?
i ?0
2n

2n

2(1 ? 4n ) ? 2 ? 4n ? 2 ?1

n 1 令 x ? ?1,则 ? [(?1)i ai ] ? 0 ,所以 bn ? ? a2 i ? (2 ? 4n ? 2) ? 4n ? 1 2 i ?0 i?0

0 1 2 3 n 根据已知条件可知, dn ? Cn ? (4 ? 1)Cn ? (42 ? 1)Cn ? (43 ? 1)Cn ? ? ? (?1)n (4n ? 1)Cn 0 1 2 3 n 0 1 2 3 4 n ? [Cn ? Cn (?4) ? Cn (?4)2 ? Cn (?4)3 ? ? ? Cn (?4)n ] ? [Cn ? Cn ? Cn ? Cn ? Cn ? ? ? (?1)n Cn ] ?1 n n ? ( 1? 4 ) ? (1 ? n 1 )? ? 1 ? ( ,所以 3? ) 1dn ? (?3)n ? 1

将 bn ? 4n ? 1 、 dn ? (?3)n ? 1 代入不等式 t ? (d n ? 1) ? bn 得, t ? (?3)n ? 4n ? 1 4 1 4 1 5 当 n 为偶数时, t ? ( )n ? ( )n ,所以 t ? ( )2 ? ( )2 ? ; 3 3 3 3 3 4 n 1n 41 11 当 n 为奇数, t ? ?[( ) ? ( ) ] ,所以 t ? ?[( ) ? ( ) ] ? ?1 ; 3 3 3 3 5 综上所述,所以实数 t 的取值范围是 [?1, ] . 3

- 29 -

2014 年高考模拟试卷(4)参考答案南通市数学学科基地命题 一、填空题 1. {1, 2, 4,5}; 7 . ① ② ; 2. 2 ? 3i ; 8 . 3. ;

? 12
2 xy

5 ; 6

4.1200; 9 .

5.14; ;

6. y 2 ? ?6 x ;

9 4
?

10 .

2 2

. 【 解 析 】

x? y x? y

?

x? y x ? y ? 2 xy

? 1?

x ? y ? 2 xy

? 1?

2 xy 4 xy

2 ,当且仅当 x ? y 时,取等号; 2

?3 ? 11. ? ,2? . 【解析】 以 CA、CB 所在直线为 x、y 轴,建立平面直角坐标系,设 M(x,y),则 x+y=2, ?2 ?
y=2-x,即 M(x, 2-x),又 MN= 2,所以点 N 坐标为(x+1,2-x-1),即 N(x+1,1-x),于是 CM ? CN
2 =x(x+1)+(2-x) (1-x)=2x2-2x+2= 2( x ? ) ?

???? ? ????

? ???? 1 ???? 3 3 (0≤x≤1),所以 x= 时 CM ? CN 取最小值 ,x=0 2 2 2 ???? ? ???? ???? ? ???? 3 2 2 ? 或 1 时 CM ? CN 取最大值 2,因此 CM ? CN 的取值范围为? ?2,2?; 12. ( x ?1) ? y ? 1 .【解析】∵当 P
1 2
在圆 C 上运动时∠APB 恒为 60°,∴圆 M 与圆 C 一定是同心圆,∴可设圆 M 的方程为(x-1)2+y2=r2.当点 P 坐标是(3,0)时,设直线 AB 与 x 轴的交点为 H,则 MH+HP=2,MH= 2×

1 1 3 r ,AB=2× r ,所以 r + 2 2 2

3 3 r× =2,解得 r=1,所以所求圆 M 的方程为(x-1)2+y2=1; 2 2 3 ' 3 2 13 . . 【 解 析 】 设 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d , 依 题 意 知 f (0) ? 0且f (0) ? 0 , ∴ c ? d ? 0 , 故 4

f ( x) ? ax3 ? bx2 , f ' ( x) ? 3ax2 ? 2bx , 由 y ? 1 ? 2x ? x 2 及 点 Q 在 其 上 , 可 设 Q 点 的 坐 标 为 y ? f ( x) 的 一 个 极 值 点 得 (1 ? cos? ,1 ? sin ? ),? ? [0, ? ] . 由 Q 为 3 2 ? ?1 ? sin ? ? a(1 ? cos? ) ? b(1 ? cos? ) , ? 2 ? ?0 ? 3a(1 ? cos? ) ? 2b(1 ? cos? ) ? 2(1 ? sin ? ) ? a? ? (1 ? cos? ) 3 2b ? 显然 cos? ? ?1,? ? ? ,∴ 1 ? cos ? ? ? ,∴ ? , 3a ?b ? 3(1 ? sin ? ) ? (1 ? cos? ) 2 ? 2b 1 ? cos ? 3 1 ? sin ? ' ' 2 ) ? f '( )? ? ∵ a ? 0 ,∴ f ( x) ? 3ax ? 2bx 存在最大值 f (? , 3a 2 2 1 ? cos ? 3 3 1 ? sin ? 3 ? ? k OQ ,其最小值为 . 数形结合可求得 ? 4 2 1 ? cos ? 2 14.92. 【解析】易知 d=0,成立.当 d>0 时, a54 ? a1 ? 53d ? 2014? a1 ? 2014? 53d ak ? a54 ? ( k ? 54 )d ? 2014? ( k ? 54 )d
a54 ? a1ak ? ( 2014? 53d )?2014? ( k ? 54 )d ? ? 53( 38 ? d )?2014? ( k ? 54 )d ? ? 2014? 2014 ( 38 ? d )?2014? ( k ? 54d )? ? 38? 2014 ? ( k ? 54 )d 2 ? 38( k ? 107)d ? 0 ? ( k ? 54 )d ? 38( k ? 107) kd ? 54d ? 38d ? 38? 107 ? ( d ? 38 )k ? 54 ? 38?107 54 d ? 38 ? 107 54( d ? 38 ) ? 54 ? 38 ? 38 ? 107 38 ? 53 38 ? 53 k? ? ? 54 ? ? 54 ? ? N* d ? 38 d ? 38 d ? 38 38 ? d ?a1 ? 2014? 53d ? 53( 38 ? d ) ? 0 ? 38 ? d ? 0 ? 0 ? 38 ? d ? 38 又? ? ?d ? 0 ?38 ? d ? 1, 2,19 , ? d ? 3 7 , 3 6 ,,所以公差 19 d 的所有可能取值之和为 92.
2

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二、解答题 15. (1)因为 tan C ? sin A ? sin B ,即 sin C ? sin A ? sin B , cos A ? cos B cos C cos A ? cos B 所以 sin C cos A ? sin C cos B ? cos C sin A ? cos C sin B , 即 sin C cos A ? cos C sin A ? cos C sin B ? sin C cos B , 得 sin(C ? A) ? sin( B ? C ) , 所以 C ? A ? B ? C ,或 C ? A ? ? ? ( B ? C ) (不成立). 即 2C ? A ? B , 得 C ? ? ; 3 π π π 2 π π π (2)法一:由 C ? , 设A ? ? ? , B ? ? ? , 0 ? A, B ? , 知- ? ? ? . 3 3 3 3 3 3 因 a ? 2 R sin A ? sin A, b ? 2 R sin B ? sin B , 故 a ? b ? (sin A ? sin B) ? sin( ? ? ? ) ? sin( ? ? ? ) ? 3 cos ? , 3 3 ? ? 1 3 ? ? ? ? , ? cos? ? 1 , ?a?b? 3. 3 3 2 2 2? 3 3 ? ? A) ? sin A ? cos A ? 3 sin( A ? ) , 法二: a ? b ? sin A ? sin B ? sin A ? sin( 3 2 2 6 1 ? 3 2? ? ? 5? ?a?b? 3 . ,? ? sin( A ? ) ? 1,? 0? A? , ? A? ? 2 6 2 3 6 6 6 16. (1)设 PD ? x ,设 P 作 PH ? BD 于 H ,? 平面SBD ? 平面ABCD 且 BD 为交线, 则 PH ? 平面 ABCD ,又 SO ? 平面ABCD ? PH // SO ,

6 a, 2 6 x? a PH PD PD ? SO 3 2 ? ? ? PH ? ? x, SO SD SD 2a 2
在 Rt ?SOB 中, SO ?

SB 2 ? BO 2 ?

SP 2 2 1 1 6 3 6 3 ? ? 2. a? ?VSPAC ? VS ? ACD ? VP ? ACD ? ? ( ? a ? a)( a? x) ? a ,解得 x ? PD 1 3 3 2 2 2 18 (2)取 SP 中点 Q ,连结 QE, BQ , 则 EQ / / PC, EQ ? 平面PAC,PC ? 平面PAC,? EQ / / 平面PAC , 则 BQ / / PO, BQ ? 平面PAC,PO ? 平面PAC,? BQ / / 平面PAC , 而 EQ与BQ 为平面 BEQ 内的两条相交直线,?平面BEQ // 平面PAC , 而 BE ? 平面BEQ ,? BE // 平面APC .
【注】第(2)问,也可以连结 ED,ED 交 CP 于 Q,用平几知识证明 Q 为 ED 中点,进而证明 OQ∥BE, 从而获证.

AC ? x ?1 ? x , CD ? 2 cos x ,因为 C 为圆周上靠近 A 的一点, D 为圆周上靠近 B 的 17.(1)由题意知, ?
一点,且 CD // AB ,所以 0 ? x ?

? ? ?? ,所以 y ? x ? 2cos x , x ? ? 0, ? . 2 ? 2?
令 f ?( x) ? 0 ,得 x ?

(2)记 f ? x ? ? x ? 2cos x ,则 f ?( x) ? 1 ? 2sin x , x (0, + 递增

f ?( x )
f (x) 所以函数 f ? x ? 在 x ?

? ) 6

? 6
0 极大值

(

? ? , ) 6 2

? , 6

列表

- 递减

π ? ? 处取得极大值,这个极大值就是最大值, 即 f ( ) ? ? 3 , 6 6 6 ? 答:观光路线总长的最大值为 ? 3 千米. 6

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2 2 2 18. (1)设 F 1 ? ?c,0? , F 2 ? c,0? ,其中 c ? a ? b ,



FF F1F2 2 c. ? 2 2 ,得 DF1 ? 1 2 ? 2 DF1 2 2

1 2 2 2 DF1 ? F1F2 ? c ? , 故 c ?1. 2 2 2 9 2 2 2 2 ? DF1 ? F1 F2 ? , 从而 DF1 ? ,由 DF 1 ?F 1F 2 得 DF2 2 2 3 2 2 2 2 因此 DF2 ? .所以 2a ? DF 1 ? DF 2 ? 2 2 ,故 a ? 2, b ? a ? c ? 1 . 2 x2 ? y 2 ? 1. 因此,所求椭圆的标准方程为 2 x2 ? y2 ? 1 相 交 , P (2)如图,设圆心在 y 轴上的圆 C 与椭圆 ? , P2? x2, y?2 是 两 个 交 点 , 1 ? x1, y1 2 C 的 切 线 , 且 F1 P y1 ? 0, y2 ? 0 , F1 P 1 , F2 P 1 ? F2 P 2 是 圆 2 由 圆 和 椭 圆 的 对 称 性 , 易 知 ???? ? ???? ? ,2 PP (1) 知F 所以 F x2 ? ? x1 , y1 ? y P ? x ? 1, y , F P ? ? 1 2 ? 2 | x1 | , 由 1 ? ?1,0? , F 2 ?1,0? , 1 1 1 1 2 2 ? ? ?x1 ?1, y1 ? ,
从而 S?DF1F2 ?

x12 2 ? ? x1 ? 1? ,即 3x12 ? 4 x1 ? 0 , 再由 F1 P 1 ? F2 P 2 得 ? ? x1 ? 1? ? y ? 0 ,由椭圆方程得 1 ? 2 4 解得 x1 ? ? 或 x1 ? 0 .当 x1 ? 0 时, P 1, P 2 重合,此时题设要求的圆不存在. 3 4 C ,设 C ? 0, y0 ? 当 x1 ? ? 时,过 P 1P 1 , F2 P 1, P 2 分别与 F 2 垂直的直线的交点即为圆心 3 5 1 y1 ? y0 y1 由 CP ? ? ?1, 而 y1 ? x1 ? 1 ? , 故 y0 ? . 1 ? F 1P 1, 得 3 3 x1 x1 ? 1
2 2 1

2 ? f ??x ?max ? 16 ? b 1? 1 ? ,? ?16 ? b ? ?5 . f ??x ? ? 3x ? 2 x ? b ? 3? x ? ? ? b ? ,? ? 3? 3 ? ? f ??x ?min ? 5 ? b 2 2 (2)由 g ?x ? ? ? x ? ?a ? 2?x ,得 ?x ? ln x ?a ? x ? 2 x , ? x ? ?1, e?,? ln x ? 1 ? x ,且等号不能同时取,? ln x ? x ,即 x ? ln x ? 0 . 2

4 2 5 ? 32 ? 4? ?1 5? ? 圆 C 的半径 CP .综上,存在满足条件的圆,其方程为 x 2 ? ? y ? ? ? . 1 ? ?? ? ?? ? ? ? 3 3? 9 ? 3? ?3 3? ? 3 2 2 19.(1)由 f ?x? ? x ? x ? bx 得 f ??x ? ? 3x ? 2 x ? b ,因 f ?x ? 在区间 ?1,2 ?上不是单调函数. 2 所以 f ??x ? ? 3x ? 2 x ? b 在 ?1,2 ?上最大值大于 0,最小值小于 0,

2

2

2

?a ?

?x ? 1??x ? 2 ? 2 ln x ? ,当 x ? ?1, e?时, x ?1 ? 0,0 ? ln x ? 1, x ? 2 ? 2 ln x ? 0 ,从而 t??x? ? 0 . t ??x ? ? ?x ? ln x ?2 ? t ? x ?在 ?1, e? 上是增函数,?tmax ?x? ? t ?1? ? ?1 .? a ? ?1 .
(3)由条件,F ?x ? ? ?

x2 ? 2x x ? ln x

恒 成 立 , 即 a?? ?

? x2 ? 2x ? ? ? x ? ln x ? ?m

. 令 t ?x ? ?
i n

x2 ? 2x , ?x ? ?1, e?? , 求 导 得 x ? ln x

,假设曲线 y ? F ?x ? 上存在两点 P, Q 满足题意, 则 P, Q 只能在 y 轴两侧, ?a ln x, x ? 1 3 2 不妨设 P?t , F ?t ???t ? 0? ,则 Q?? t , t ? t ? ,且 t ? 1 ,

?? x3 ? x 2 , x ? 1

? ?POQ 是以 O 为直角顶点的直角三角形,?OP ? OQ ? 0 ,? ?t 2 ? F ?t ? t 3 ? t 2 ? 0 是否存在 P, Q 等价于方程 ?*? 在 t ? 0 且 t ? 1 是否有解.
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?

?

?*?

2 3 2 3 2 ①当 0 ? t ? 1 时,方程 ?*? 为 ?t ? ? ?t ? t ??t ? t ? ? 0 ,化简 t 4 ? t 2 ? 1 ? 0 ,此方程无解;

②当 t ? 1 时,方程 ?*? 为 ? t 2 ? a ln t t 3 ? t 2 ? 0 ,即

?

?

1 ? ?t ? 1? ln t a

1 t ? h?t ?的值域为 ?h?1?,??? ,即 ?0,??? ,? 当 a ? 0 时,方程 ?*? 总有解.
顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在 y 轴上.

设 h?t ? ? ?t ? 1?ln t ?t ? 1? ,则 h??t ? ? ln t ? ? 1 ,显然,当 t ? 1 时, h??t ? ? 0 ,即 h ?t ? 在 ?1,??? 上为增函数.

? 对任意给定的正实数 a ,曲线 y ? F ? x ? 上存在两点 P, Q ,使得 ?POQ 是以 O ( O 为坐标原点)为直角
6 b b-a 20. (1)设等差数列的公差为 d,等比数列的公比为 q,则 d= 6 ,q= a . a+b a3 5 b 1 a3=a+3d= 2 ,b3=aq3= ab.因为b =4,所以 2a-5 ab+2b=0,解得a=4 或4. 3 λ-1 λ-1 (2)因为 λa=a+(m+1)d,所以 d= a,从而得 an=a+ a×n. m+1 m+1 1 n m+1 因为 λa=a×q ,所以 q=λm+1,从而得 bn=a×λm+1. n n (λ-1)(n-5) (λ-1)(n-5) m + 1 m + 1(*) 因为 an-5=bn,所以 a+ ×a=a×λ . 因为 a>0,所以 1+ =λ . m+1 m+1 n (λ-1)(n-5) * m + 1必须为有理数. 因为 λ,m,n∈N ,所以 1+ 为有理数. 要使(*)成立,则 λ m+1 n 因为 n≤m,所以 n<m+1. 若 λ=2,则 λm+1为无理数,不满足条件. 同理,λ=3 不满足条件. n 2n 2n 2n m + 1 m + 1 m 当 λ=4 时,4 =2 .要使 2 +1为有理数,则 必须为整数. m+1 3(n-5) 又因为 n≤m,所以仅有 2n=m+1 满足条件. 所以 1+ =2,从而解得 n=15,m=29. m+1 综上,λ 最小值为 4,此时 m 为 29. Sn (3)证法一:设 cn>0,Sn 为数列{cn}的前 n 项的和.先证:若{cn}为递增数列,则{ n }为递增数列. Sn nbn+1 Sn n+1 S n S n +1 证明:当 n∈N*时, n < n =bn+1.因为 Sn+1=Sn+bn+1>Sn+ n = n Sn,所以 n < ,即数列 n+1 Sn Sn { n }为递增数列. 同理可证,若{cn}为递减数列,则{ n }为递减数列. + aq(qm 1-1) aq(qn-1) + q-1 q-1 Sm+1 Sn aqm 1-a aqn-a ①当 b>a 时, q>1. 当 n∈N*, n≤m 时, >n. 即 > , 即 > n . n m+1 m+1 m+1 b-a bn-a + 因为 b=aqm 1,bn=aqn,d= ,所以 d> n ,即 a+nd>bn,即 an>bn. m+1 + aq(qm 1-1) aq(qn-1) q-1 q-1 S m+ 1 S n ②当 b<a 时,0<q<1,当 n∈N*,n≤m 时, < .即 < . n m+1 n m+1 + aqm 1-a aqn-a 因为 0<q<1,所以 > n .以下同①.综上, an>bn(n∈N*,n≤m). m+1

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21.A.因 AE=AC,AB 为直径, 又∠EAC=∠PDE, M ?

第Ⅱ卷(附加题,共 40 分) 故∠OAC=∠OAE. 所以∠POC=∠OAC+∠OCA=∠OAC+∠OAC=∠EAC.

?1 2? ?5 8 ? ? ? ?4 6? 所以,∠PDE=∠POC. 3 4 ? ? ? ? ? ?2 1 ? ? ?2 1 ? 1 2 ?1 2 ? ?5 8 ? ? ?1 ? ? ? ? ? 2 1? ? A ? A ? A ? ? ? 2 B. (1)设 , , ?M ? ? 3 1 3 1 ? ? ? ?3 4 ? ,则 ? ? ? 3 4 ? 4 6? ? ? ? ?1 1? ? ? ?2 2? ?2 2? ? ? 1?1 ? ? x? ? ? x ? x? ? y?, ? x ? ? x? ? ? x ? 2 2 ?1 ? x ? (2)? M ? ? ? ? ? ? ? ? ? M ? ? ? ? ,即 ? 代入 x ? 2 xy ? 2 y ? 1可得 ? ? ? ? y ? ? x? ? 2 y?, ? y ? ? y?? ? y ? ? y ? ? ? ? 1 2 ? ? y ??

? x? ? y ? ?

2

? 2 ? x? ? y? ?? ? x? ? 2 y? ? ? 2 ? ? x? ? 2 y? ? ? 1 ,即 x?2 ? 4 x?y? ? 5 y?2 ? 1,
2

故曲线 C ? 的方程为 x ? 4 xy ? 5 y ? 1.
2 2

C.(Ⅰ)曲线 C1 : ( x ? 1)2 ? y 2 ? 2 ,极坐标方程为 ? 2 ? 1 ? 2? cos? ,曲线 C2 的直角坐标方程为 y ? x ? 1 ; 3? (Ⅱ) 曲线 C1 与曲线 C2 的公共点的坐标为 (0, ?1) ,极坐标为 (1, ) . 2 y z 2 z x 2 x y 1 x y 2 D.因为 x,y,z 都是为正数,所以 ? ? ( ? ) ≥ . 同理可得 ? ≥ , ? ≥ . zx xy x xy yz y yz zx z y x z x y z 1 1 1 将上述三个不等式两边分别相加,并除以 2,得 ? ? ≥ ? ? . yz zx xy x y z 22. (1)从 9 个不同的元素中任取 3 个不同的元素,为古典概型. 记“ a , b, c 中任意两数之差的绝对值均不小于 2”为事件 A,其基本事件总数为 n 由题意, a , b, c 均不相邻,利用插空法得,事件 A 包含基本事件数 m ? C7 , 5 所以, a , b, c 中任意两数之差的绝对值均不小于 2 的概率为 . 12 (2) ? 0 1 2 P 5 1 1 12 2 12
3

3 ? C9 .

5 1 1 2 . ? 1? ? 2 ? ? 12 2 12 3 23. (1)当 n ? 3 时,P ? {1,2,3 }, 其非空子集为:{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}, 则所有满足题意的集合对(A,B)为:({1},{2}),({1},{3}),({2},{3}), ({1},{2,3}) , ({1,2},{3})共 5 对, 所以 a3 ? 5 ; 1 ≤ k ≤ n ? 1 (2)设 A 中的最大数为 k,其中 ,整数 n≥3, 则 A 中必含元素 k,另元素 1,2,?,k ?1 可在 A 中,故 A 的个数为: 1 k ?1 k ?1 C0 , k ?1 ? Ck ?1 ? ??? ? Ck ?1 ? 2 B 中必不含元素 1,2,?,k,另元素 k ? 1,k ? 2,?,n 可在 B 中,但不能 2 n?k n?k ?1 , 都不在 B 中,故 B 的个数为: C1 n ? k ? Cn ? k ? ??? ? Cn ? k ? 2 E(? ) ? 0 ?
从而集合对(A,B)的个数为 2k ?1 ? 2n?k ? 1 ? 2n ?1 ? 2k ?1 , 所以 an ? ? ? 2n ?1 ? 2k ?1 ? ? (n ? 1) ? 2n ?1 ? 1 ? 2 ? (n ? 2) ? 2n ?1 ? 1 . 1? 2 k ?1
n ?1 n ?1

?

?

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2014 年高考模拟试卷(5)参考答案南通市数学学科基地命题 2π 2 1 一、填空题 1. ; 2.1;3.290-1; 4. ; 5.36; 6.71; 7. ; 8.x+y-3=0; 3 51 6 9. 2 或 6. 【解析】 由 Sn+1=qSn+a1. 得 Sn+2=q(qSn+a1)+ a1=q2Sn+a1(q+1), 与已知条件比较得, q2=4, a1(q+1)=3. 从 而,(q,a1)=(2,1),或(q,a1)=(-2,-3). 13 5 10. [ , ).【解析】A={x|x<-4,或 x>2}.设 f(x)=x2-2ax+4,则 f(x)的对称轴 x=a>0,由 f(-4)=20+8a>0, 6 2 13 5 知 B∩{x|x<-4}=?.因此,A∩B 中恰有一个整数为 3.故 f(3)≤0,f(4)>0.即[ , ). 6 2 11.4.【解析】由条件可知 D 是为平行四边形,其面积为 8,故得(a-1)(b-1)=1,故 a+b≥4. π π π π 12.0.【解析】f(x)=ax+sin(x+ ),f ′(x)=a+cos(x+ )由题设可知存在 x1,x2 使(a+cos(x1+ ))(a+cos(x2+ ))=-1,不 3 3 3 3 π π π π π π 妨设-cos(x1+ )<-cos(x2+ ),则(a+cos(x1+ ))(a+cos(x2+ ))=-1<0 得,-cos(x1+ )<a<-cos(x2+ ),所以 3 3 3 3 3 3 π π -1=(a+cos(x1+ ))(a+cos(x2+ ))≥(a+1)(a-1)=a2-1.故 a=0. 3 3 z2-x2 4 4 2 13.4-2 3. 【解析】|x-y|+|y-z|=z-x= = = ≥ =4-2 3. z+x z+x z+ z2-4 2+ 3 14.{0}? [4,20] . 【解析】令a= y,b= x-y,则a2+b2=x,已知条件即a2+b2-4a-2b=0(a≥0,b≥ 0)?(a-2)2+(b-1)2=5(a≥0,b≥0)?以(2,1)为圆心, 5为半径,过原点的圆满足a≥0,b≥0的点.即图 中及原点.x为相应点与原点距离的平方,x∈{0}∪[4,20]. 二、 解答题 15. (1) 设△ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 于是 3 ? 1 bc sin A ? 3 bc , 所以 bc=4. 2 4 因为 c ? AB ? 2 2 ,所以 b ? CA ? 2 . 由余弦定理得 BC ? a ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? b2 ? c2 ? 4 ? 2 ? 8 ? 4 ? 14 . (2)由 BC ? 21 得 b2 ? c 2 ? 4 ? 21 ,即 b2 ? 16 ? 17 ? 0 ,解得 b ? 1 或 4. b2 uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r 设 BC 的中点为 D,则 AO ? AD ? DO ,因为 O 为△ABC 的外心,所以 DO ? BC ? 0 , uuu r uuu r uuu r uuu r uu u r uuu r uuu r uu u r 2 2 于是 AO ? BC ? AD ? BC ? 1 AB ? AC ? AC ? AB ? b ? c . 2 2 uuu r uuu r b2 ? c 2 uuu r uuu r 2 2 15 ? ? ;当 b ? 4 时, c ? 1, AO ? BC ? b ? c ? 15 . 所以当 b ? 1 时, c ? 4 , AO ? BC ? 2 2 2 2 16.⑴由直三棱柱可知 CC1 ? 平面 ABC ,所以 CC1 ? AC , C1 又因为 AC ? BE , CC1 ? BE ? E , AC ? 面 BCE ,故 AC ? BC , B1 又在直三棱柱中, CC1 ? BC, AC ? CC1 ? C , E 故 BC ? 面 ACC , C D 在平面 ACC 内,所以 BC ? C D

?

??

?

A1

1

1

1

1

⑵连结 AE,在 BE 上取点 M,使 BE=4ME, 连结 FM, B1M ,F B1 ,在 ?BEA 中,由 BE=4ME,AB=4AF 所以 MF//AE, 又在面 AA1C1C 中,易证 C1D//AE,所以 C1 D / / 平面 B1 FM .

M

C

D

B F A 17. (1)当 k ? 8 时, s ? 5t 3 ? 8t 2 ? t ? 10 ,这时汽车的瞬时速度为 V= s ' ? 15t 2 ? 16t ? 1 , 22 22 1 1 令 s ' ? 0 ,解得 t ? 1 (舍)或 t ? , 当 t ? 时, s ? 10 ,所以汽车的刹车距离是 10 米. 15 15 675 675 (2)汽车的瞬时速度为 v
? 2kt ? 1 汽车静止时 v ? 0 , 15t 2 ? 1 1 故问题转化为 15t 2 ? 2kt ? 1 ? 0 在 ?1, 2? 内有解 又 2k ? ? 15t ? , t t 1 1 1 1 1 ? ?1, 2? ,? 记 f (t ) ? 15t ? , 时取等号, Q t ? Q 15t ? ? 2 15 ,当且仅当 15t ? , t ? t 15 15 t t 1 1 f ' (t ) ? 15 ? 2 ,? t ? [1, 2] ,? f ' (t ) ? 15 ? 2 ? 0 ,? f (t ) 单调递增, t t
2

? s ' ,所以 v ? 15t

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? 61? ? 61? ? 61? ? 61? ? f (t ) ? ?16, ? , 2k ? ?16, ? ,即 k ? ?8, ? , 故 k 的取值范围为 k ? ?8, ? 2? 2? ? ? ? 4? ? 4?
18. (1)因为椭圆 T 的中心在坐标原点,一条准线方程为 y=2, x2 y2 所以椭圆 T 的焦点在 y 轴上,于是可设椭圆 T 的方程为 2+ 2=1(a>b>0).因为椭圆 T 经过点(1,0), a b
? a2 ? 2, 2 ? 2 ? y2 ? 2 ? a ? 2, 所以 ? a ? b 解得 ? 2 故椭圆 T 的方程为 ? x2 ? 1 . 2 ? ? 0 ? 1 ? 1, ?b ? 1. ? ? a 2 b2 y2 (2)由题意知,矩形 ABCD 是椭圆 x2 ? ? 1 的外切矩形, 2 (i)若矩形 ABCD 的边与坐标轴不平行,则可设一组对边所在直线的方程为 y ? kx ? m(k ? 0) ,

? 2 y2 ?x ? ? 1, 则由 ? 消去 y 得 (k 2 ? 2) x2 ? 2kmx ? m2 ? 2 ? 0 , 2 ? ? y ? kx ? m
于是 ? ? 4k 2 m2 ? 4(k 2 ? 2)(m2 ? 2) ? 0 ,化简得 m ? ? k 2 ? 2 . 所以矩形 ABCD 的一组对边所在直线的方程为 y ? kx ? k 2 ? 2 ,即 y ? kx ? ? k 2 ? 2 , 则另一组对边所在直线的方程为 ky ? x ? ? 1 ? 2k 2 , 于是矩形顶点坐标(x,y)满足 ( y ? kx)2 ? (ky ? x) 2 ? (k 2 ? 2) ? (1 ? 2k 2) , 即 (1 ? k 2 )( x2 ? y 2 ) ? 3(1 ? k 2 ) ,亦即 x2 ? y 2 ? 3 . (ii)若矩形 ABCD 的边与坐标轴平行,则四个顶点 (?1, ? 2) 显然满足 x2 ? y 2 ? 3 . 故满足条件的所有矩形的顶点在定圆 x2 ? y 2 ? 3 上. 19.(1)因为 f ( x) ≤ f ?( x) ,所以 x2 ? 2 x ? 1≤ 2a(1 ? x) ,又因为 ?2 ≤ x ≤ ?1 , 所以 a ≥

x2 ? 2 x ? 1 x2 ? 2 x ? 1 1 ? x 3 3 ? ≤ ,所以 a ≥ . 在 x ? [?2, ? 1] 时恒成立,因为 2(1 ? x) 2(1 ? x) 2 2 2

⑵ 因为 f ( x) ? f ?( x) ,所以 x2 ? 2ax ? 1 ? 2 x ? a , 所以 ( x ? a)2 ? 2 x ? a ? 1 ? a2 ? 0 ,则 x ? a ? 1 ? a 或 x ? a ? 1 ? a . ①当 a ? ?1 时, x ? a ? 1 ? a ,所以 x ? ?1 或 x ? 1 ? 2a ; ②当 ?1 ≤ a ≤ 1 时, x ? a ? 1 ? a 或 x ? a ? 1 ? a , 所以 x ? ?1 或 x ? 1 ? 2a 或 x ? ?(1 ? 2a) ; ③当 a ? 1 时, x ? a ? 1 ? a ,所以 x ? 1 或 x ? ?(1 ? 2a) . ⑶

? f ?( x), f ( x) ≥ f ?( x) , 因为 f ( x) ? f ?( x) ? ( x ?1)[ x ? (1 ? 2 a)] , g ( x) ? ? ? f ( x), f ( x)? f ?( x),
① 若 a ≥ ? ,则 x ?? 2,4? 时, f ( x) ≥ f ?( x) ,所以 g ( x) ? f ?( x) ? 2 x ? 2a , 从而 g ( x) 的最小值为 g (2) ? 2a ? 4 ; ②若 a ? ? ,则 x ?? 2,4? 时, f ( x) ? f ?( x) ,所以 g ( x) ? f ( x) ? x2 ? 2ax ? 1 , 当 ?2 ≤ a ? ? 时, g ( x) 的最小值为 g (2) ? 4a ? 5 , 当 ?4 ? a ? ?2 时, g ( x) 的最小值为 g (?a) ? 1 ? a 2 , 当 a ≤ ?4 时, g ( x) 的最小值为 g (4) ? 8a ? 17 .

1 2

3 2

3 2

? x2 ? 2ax ? 1, x ?[2,1 ? 2a) 3 1 ③若 ? ≤ a ? ? ,则 x ?? 2,4? 时, g ( x) ? ? 2 2 x ?[1 ? 2a,4] ?2 x ? 2a, 当 x ? [2,1 ? 2a) 时, g ( x) 最小值为 g (2) ? 4a ? 5 ; 当 x ? [1 ? 2a, 4] 时, g ( x) 最小值为 g (1 ? 2a) ? 2 ? 2a .
- 36 -

因为 ? ≤ a ? ? , (4a ? 5) ? (2 ? 2a) ? 6a ? 3 ? 0 ,

3 2

1 2

所以 g ( x) 最小值为 4a ? 5 .综上所述, ? ? g ? x ?? ?

min

?8a ? 17, a ≤ ?4, ? 2 ? 4 ? a ? ?2 ?1 ? a , ? ? ?4a ? 5, ? 2 ≤ a ? ? 1 . 2 ? ? 1 ?2a ? 4, a ≥ ? 2 ?

an+1 p+1 20.(1)因为 a1+a2+?+an-pan+1=0,所以 n≥2 时,a1+a2+?+an-1-pan=0,两式相减,得 = an p p+1 a (n≥2),故数列{an}从第二项起是公比为 的等比数列,又当 n=1 时,a1-pa2=0,解得 a2= , p p a ?n=1?, ? ? 从而 an=?a?p+1?n-2 ?n≥2?. ? ?p? p ? a p+1?k-1 a p+1?k a p+1?k+1 (2)①由(1)得 ak+1= ? ,ak+2= ? ,ak+3= ? , p? p ? p? p ? p? p ? p+1 p+ 1 1 若 ak+1 为等差中项,则 2ak+1=ak+2+ak+3,即 =1 或 =-2,解得 p=- ; p p 3 - - 此时 ak+1=-3a(-2)k 1,ak+2=-3a(-2)k,所以 dk=|ak+1-ak+2|=9a· 2k 1, p+1 若 ak+2 为等差中项,则 2ak+2=ak+1+ak+3,即 =1,此时无解; p p+1 p+ 1 1 2 若 ak+3 为等差中项,则 2ak+3=ak+1+ak+2,即 =1 或 =- ,解得 p=- , p p 2 3 3a? 1?k-1 3a? 1?k+1 9a ?1?k-1 此时 ak+1=- ?-2? ,ak+3=- ?-2? ,所以 dk=|ak+1-ak+3|= · , 2 2 8 ?2? 1 2 9a ?1?k-1 - 综上所述,p=- ,dk=9a· 2k 1 或 p=- ,dk= · . 3 3 8 ?2? 1 10 10 ②当 p=- 时,Sk=9a(2k-1).则由 Sk<30,得 a< k ,当 k≥3 时, k <1,所以必定有 a<1, 3 3?2 -1? 3?2 -1? 1 2 9a 所以不存在这样的最大正整数.当 p=- 时,Sk= ? 1-? ?k?, 3 4 ? ?2? ? 40 40 40 则由 Sk<30,得 a< ,因为 > ,所以 a=13 满足 Sk<30 恒成立;但当 a=14 时,存 1 ? ?k? 3 ?1?k ] 3? 1 - 3? 1 - ? ? 2? ? ? ?2? 40 在 k=5,使得 a> 即 Sk<30,所以此时满足题意的最大正整数 a=13. ?1?k? 3? 1 - ? ?2? ? 第Ⅱ卷(附加题,共 40 分) 2 21.A. (1)? PA ? PC ? PD, PA ? 2, PC ? 1 ,? PD ? 4 , 又? PC ? ED ? 1,? CE ? 2 , ? ?PAC ? ?CBA, ?PCA ? ?CAB ,

PC AC , ? AC AB ? AC 2 ? PC ? AB ? 2 ,? AC ? 2 (2)? BE ? AC ? 2 , CE ? 2 , 2 ?1 ? 2 ,? EF ? BE . 而 CE ? ED ? BE ? EF ,? EF ? 2
? ?PAC ∽ ?CBA ,?
?a b ? ? a b ? ?1 ? ? ?1? ?a ? 2b ? ?1 ? ? ? ,故 ? B. (1)设 M ? ? ,则 ? . ? ? ? ? ?c d ? ? c d ? ? 2? ? ?2? ?c ? 2d ? ?2

- 37 -

?a ?c ?

b ? ?1? ?0 ? ?a ? b ? 0 ? 1 ?1? 故? .联立以上方程组解得 a ? 1, b ? ?1, c ? ?4, d ? 1, 故M ? ? ?? ?, ?. ? ? ? d ? ?1? ? ?3? ? ?4 1 ? ? c ? d ? ?3
? 1 ?1? M ?? ? ? ?4 1 ?

(2)由(1)知

则矩阵 M 的特征多项式为 f (? ) ?

? ?1
4

1 ? (? ? 1)2 ? 4 ? ? 2 ? 2? ? 3 ? ?1

令 f (? ) ? 0 ,得矩阵 M 另一个特征值为 3.设矩阵 M 的另一个特征向量是 e2 ? ? ? ,
?x ? y 则 Me2 ? ? ? ?4 x ? ? ?3 x ? ? ?1? ? ? ? ,解得 2 x ? y ? 0 ,故 e2 ? ? ? . y? 3 y ? ? ? ?2 ? m?n?2 ? ne2 ,得 ? ,得 m ? 3, n ? 1 . ? ?m ? n ? 4

?x ? ? y?

由 α ? me1

?1 ? ? ?1? ? ?246? 5 e2 ? 3 ? (?1)5 ? ? ? 35 ? ? ? ? ∴ A5 α ? M 5 (3e1 ? e2 ) ? 3(M 5e1 ) ? M 5e2 ? 3(?15 e1 ) ? ?2 ?. ? 2? ? 2 ? ? 480 ?

C. (1)? ? ? 2 cos ? ? 2 sin? ,? ? 2 ? 2? cos ? ? 2? sin? ,

?圆C的直角坐标方程为 x 2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 0 ,
2 2 2 2 2 2 ) ? (y ? ) ? 1 ,?圆心直角坐标为 ( ,? ). 2 2 2 2 (2)方法 1:直线 l 上的点向圆 C 引切线长是
即 (x ?

2 2 2 2 2 t? ) ?( t? ? 4 2 ) 2 ? 1 ? t 2 ? 8t ? 40 ? (t ? 4) 2 ? 24 ? 2 6 , 2 2 2 2 ∴直线 l 上的点向圆 C 引的切线长的最小值是 2 6 (
方法 2:直线的普通方程为 x ? y ? 4 2 ? 0

|
圆心 C 到 直线l 距离是

2 2 ? ?4 2| 2 2 ?5, 2

∴直线 l 上的点向圆 C 引的切线长的最小值是 5 2 ? 12 ? 2 6 | a ?b| ?| a ?b| D.由 a + b + a - b ≥ a f ( x) |,且 a ? 0 ,得 ≥f ( x) |a| | a ?b| ?| a ?b| | a ?b ? a ?b| 又因为 ≥ ? 2 ,则有 2 ≥f ( x) 解不等式 x ? 1 ? x ? 2 ≤2 ,得 1 ≤x≤ 5 2 2 |a| |a| 22. (1)由题意“S1=5 且 S 2 ? 0 ”表示:“答完 2 题,第一题答对,第二题答错;或第一题答对,第二题也答对” 1 2 1 1 1 此时概率 P ? ? ? ? ? . 3 3 3 3 3 (2)因为答完 5 道题,结果可能是: 答对 0 道,此时 S5 ? ?25 , ? ? 25 ;答对 1 道,此时 S5 ? ?15 , ? ? 15 ;
[来源:学+科+网 Z+X+X+K]

答对 2 道,此时 S5 ? ?5, ? ? 5 ;答对 3 道,此时 S5 ? 5, ? ? 5 ; 答对 4 道,此时 S5 ? 15, ? ? 15 ;答对 5 道,此时 S5 ? 25, ? ? 25 , ∴ ? 的取值只能是 5,15,25 2 1 2 40 1 2 10 3 1 3 1 2 4 4 1 4 因此 P(? ? 5) ? C52 ( )3 ? ( )2 ? C5 , , ( ) ? ( )2 ? P(? ? 15) ? C5 ( ) ? ? C5 ( ) ? ? 3 3 3 3 81 3 3 3 3 27 0 2 5 51 5 11 ∴ ? 的分布列为: P(? ? 25) ? C5 ( ) ? C5 ( ) ? 3 3 81 ? 5 15 25 P

40 81

10 27

11 81

- 38 -

∴ E? ?

925 81

23.(1)易得 f(1)=3; 当 n=2 时,集合{1,2,3,4,5,6}的子集中是“好集”的有: 单元集: {3}, {6}共 2 个, 双元集{1,2}, {1,5}, {2,4}, {4,5}, {3,6}共 5 个, 三元集有: {1,2,3}, {1,2,6}, {1,3,5},{1,5,6},{4,2,3},{4,2,6},{4,3,5},{4,5,6}共 8 个,四元集有{3,4,5,6},{2,3,4,6},{1,3,5,6}, {1,2,3,6},{1,2,4 ,5}共五个,五元集{1,2,4,5,6},{1,2,3,4,5}共 2 个,还有一个全集. 故 f(2)=1+(2+5)×2+8=23. (2)首先考虑 f(n+1)与 f(n)的关系. 集合{1,2,3,?,3n,3n+1,3n+2,3n+3}在集合{1,2,3,?,3n}中加入 3 个元素 3n+1,3n+2, 3n+3. 故 f(n+1)的组成有以下几部分: ①原还的 f(n)个集合; ②含有元素 3n+1 的 “好集” 是{1, 2, 3, ?, 3n}中各元素之和被 3 除余 2 的集合,含有元素是 3n+2 的“好集”是{1,2,3,?,3n}中各元素之 和被 3 除余 1 的集合,含有元素是 3n+,3 的“好集”是{1,2,3,?,3n}中各元素之和被 3 除余 0 的 集合,合计是 23n;③含有元素是 3n+1 与 3n+2 的“好集”是{1,2,3,?,3n}中各元素之和被 3 除 余 0 的集合,含有元素是 3n+2 与 3n+3 的“好集”是{1,2,3,?,3n}中各元素之和被 3 除余 1 的 集合,含有元素是 3n+1 与 3n+3 的“好集”是{1,2,3,?,3n}中各元素之和被 3 除余 2 的集合, 合计是 23n;④含有元素是 3n+1,3n+2,3n+3 的“好集”是{1,2,3,?,3n}中“好集”与它的并, 再加上{3n+1,3n+2,3n+3}。 所以,f(n+1)=2 f(n)+2×23n+1. f(n+1) f(n) 1 两边同除以 2n+1,得 n+1 - n =4n+ n+1, 2 2 2 n f(n) n-1 n-2 1 1 1 3 4 -1 1 所以 +1- n, n =4 +4 +?+4+ n+ n-1+?+ 2+ = 2 2 2 2 2 3 2 2n(4n-1) n 即 f(n)= +2 -1. 3

- 39 -



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