tceic.com
学霸学习网 这下你爽了
相关标签
当前位置:首页 >> 数学 >>

高一数学教案:苏教版高一数学基本不等式1


第八课时 基本不等式(一)
教学目标:
1. 学会推导并掌握均值不等式定理; 2. 能够简单应用定理证明不等式并解决一些简单的实际问题。

教学重点:均值不等式定理的证明及应用。 教学难点:等号成立的条件及解题中的转化技巧。 教学过程:
重要不等式:如果 a、b∈R,那么 a 2+b 2 ≥2ab(当且仅当 a=b 时取“=”号)

证明:a 2+b 2-2ab=(a-b)2 当 a≠b 时, (a-b)2>0,当 a=b 时, (a-b)2=0 所以, (a-b)2≥0 即 a 2+b 2 ≥2ab 由上面的结论,我们又可得到 定理:如果 a,b 是正数,那么 a +b ≥ ab (当且仅当 a=b 时取“=”号) 2

证明:∵( a )2+( b )2≥2 ab a +b ?a +b≥2 ab ???????????????即? ≥ ab ? 2 a +b 显然,当且仅当 a=b 时, = ab ? 2 a +b 说明:1)我们称 为 a,b 的算术平均数,称 ab 为 a,b 的几何平均数,因而, 2 此定理又可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. a +b 2)a 2+b 2≥2ab 和 ≥ ab 成立的条件是不同的:前者只要求 a,b 都是实数, 2 而后者要求 a,b 都是正数. 3) “当且仅当”的含义是充要条件. 4)数列意义 - 问:a,b∈R ? 例题讲解: 例 1 已知 x,y 都是正数,求证: (1)如果积 xy 是定值 P,那么当 x=y 时,和 x+y 有最小值 2 P ; 1 (2)如果和 x+y 是定值 S,那么当 x=y 时,积 xy 有最大值 S2 4 证明:因为 x,y 都是正数,所以 (1)积 xy 为定值 P 时,有 x+y ≥ xy 2 ∴x+y≥2 P

x+y ≥ P 2

上式当 x=y 时,取“=”号,因此,当 x=y 时,和 x+y 有最小值 2 P . (2)和 x+y 为定值 S 时,有 xy ≤ S 2 ∴xy≤ 1 2 S 4

1 上式当 x=y 时取“=”号,因此,当 x=y 时,积 xy 有最大值 S 2. 4 说明:此例题反映的是利用均值定理求最值的方法,但应注意三个条件: ⅰ)函数式中各项必须都是正数; ⅱ)函数式中含变数的各项的和或积必须是常数; ⅲ)等号成立条件必须存在。 师:接下来,我们通过练习来进一步熟悉均值定理的应用. 例 2 :已知 a、b、c、d 都是正数,求证: (ab+cd) (ac+bd)≥4abcd 分析:此题要求学生注意与均值不等式定理的“形”上发生联系,从而正确运用, 同时加强对均值不等式定理的条件的认识. 证明:由 a、b、c、d 都是正数,得 ab+cd ac+bd ≥ ab·cd >0, ≥ ac·bd >0, 2 2 ∴ (ab+cd)(ac+bd) ≥abcd 4

即(ab+cd) (ac+bd)≥4abcd 例 3 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为 4800m3,深为 3m,如果池底 每 1m2 的造价为 150 元,池壁每 1m2 的造价为 120 元,问怎样设计水池能使总造价最低, 最低总造价是多少元? 分析:此题首先需要由实际问题向数学问题转化,即建立函数关系式,然后求函数 的最值,其中用到了均值不等式定理. 解:设水池底面一边的长度为 xm,水池的总造价为 l 元,根据题意,得 1600 l=240000+720(x+ )≥240000+720×2 x =240000+720× 2× 40=297600 1600 当 x= ,即 x=40 时,l 有最小值 297600 x 因此,当水池的底面是边长为 40m 的正方形时,水池的总造价最低,最低总造价是 297600 元. 评述:此题既是不等式性质在实际中的应用,应注意数学语言的应用即函数解析式 的建立,又是不等式性质在求最值中的应用,应注意不等式性质的适用条件. 为了进一步熟悉均值不等式定理在证明不等式与求函数最值中的应用,我们来进行 课堂练习. 课本 P91 练习 1,2,3,4. 3.课堂小结 x· 1600 x

通过本节学习,要求大家掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定 理,并会应用它证明一些不等式及求函数的最值, ,但是在应用时,应注意定理的适用条 件。 4.课后作业 P94 习题 1,2,3

教学后记:


推荐相关:

高一数学教案:苏教版高一数学基本不等式3

解题思路分析: 这是一个二元函数的最值问题, 通常有两个途径, 一是通过消元, 转化为一元函数问题, 再用单调性或基本不等式求解,对本题来说,这种途径是可行...


苏教版高一数学基本不等式3

苏教版高一数学基本不等式3_从业资格考试_资格考试/认证_教育专区。第十课时 ...教学过程: 1.复习回顾 2.例题讲解: 例 1:已知 a>1,0<b<1,求证:log ab...


高中数学 《基本不等式》教案5 苏教版必修5

高中数学基本不等式教案5 苏教版必修5_初一语文_语文_初中教育_教育专区...教学过程: 1.复习回顾 2.例题讲解: 例 1:求下列函数的值域 1 2 (1)y=...


高一数学教案:苏教版高一数学基本不等式2

第九课时 基本不等式(二)教学目标:使学生能够运用均值不等式定理来讨论函数的最大值和最小值问题。 教学重点、难点:均值不等式定理的应用。 教学过程: 1.复习回...


高中数学 《基本不等式》教案 苏教版必修5

高中数学基本不等式教案 苏教版必修5 隐藏>> 基本不等式一、教学目标 (1)知识与技能:理解两个实数的平方和不小于它们之积的 2 倍的不等式的证明;理解两...


苏教版高一数学基本不等式2

苏教版高一数学基本不等式2_从业资格考试_资格考试/认证_教育专区。第九课时 ...高一数学教案:苏教版高... 暂无评价 4页 1下载券 高一数学 不等关系与不...


高一数学基本不等式及其应用1

高一数学基本不等式及其应用1_从业资格考试_资格考试/认证_教育专区。2.4(1)基本不等式及其应用一、教学内容分析 基本不等式及其应用是高中教材中的一个重要内容....


高一数学基本不等式教案

1下载券 高一数学教案:苏教版高... 暂无评价 3页 1下载券 ...第04 讲: 基本不等式 高考《考试大纲》的要求: ① 了解基本不等式的证明过程...


高中数学 教案 苏教版必修1

高中数学 教案 苏教版必修1_数学_高中教育_教育专区。1.1 教学目标: 集合的...x ? -1 ?2x-1≤-3 (4)不等式组? 的解集. ?3x+1≥0 解:略. 小结...


高一数学专题五《基本不等式》综合检测苏教版必修5

上大学就上 985 阜阳 985 教学 苏教版高中数学必修 5 专题五《基本不等式》综合检测一、选择题,本大题共 10 小题,每小题 4 分,满分 40 分,在每小题给...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 学霸学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com