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2013


成都市 2013 届高中毕业班第二次诊断性检测 数学(文史类) 一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1. 已知全集 U ? ? 1,2,3,4,5,6?,集合 M ? ? 1,3,5? ,则 CU M ? ( A. )

?2,4,6?

B. ? 1,3,5?

C. ? 1,2,3,4,5,6?
<

br />D. ? ) D.第四象限 )
2

2. 在复平面内,复数 z ? A. 第一象限

2 对应的点位于( 1? i
C.第三象限

B. 第二象限

3. 命题“ ?x ? R ,都有 ln(x 2 ? 1) ? 0 ”的否定为(
2 A. ?x ? R ,都有 ln(x ? 1) ? 0 2 C. ?x ? R ,都有 ln(x ? 1) ? 0

B. ?x0 ? R ,使得 ln(x ? 1) ? 0 D. ?x0 ? R ,使得 ln(x ? 1) ? 0
2

4. 函数 f ( x ) ? log 2 x ? A. (0,1) B. (1,2)

1 的零点所在区间为( x
C. (2,3) D. (3,4)



5.已知直线 l 和平面 ? ,若 l // ? , P ? ? ,则过点 P 且平行于 l 的直线( ) A.只有一条,不在平面 ? 内 B.有无数条,一定在平面 ? 内 C.只有一条,且在平面 ? 内 D.有无数条,不一定在平面 ? 内 6.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角形,则该几何体的体积为( ) A. 1 B.

3 3

C.

3

D.

2 3 3

7.在平面直角坐标系 xOy 中, 已知点 A(1,2) , 若 P 是抛物线 y ? 2 x 上一动点, 则P到y 轴
2

的距离与 P 到点 A 的距离之和的最小值为( ) A.

5

B.

17 2

C.

17 ? 1 2

D.

17 ? 1 2


8. 某算法的程序框图如图所示,执行该算法后输出的结果 i 的值为( A. 4 B.5 C.6 D.7

1

9.函数 f ( x) ? sin x ? cos x ? sin x ? cos x( x ? R) 的最小值为( ) B. ?

A. 0

2 2

C. ? 2

D. ? 2

? ?2 x ? y ? 4 ? 0 ? ? ? ? ??x, y ? ? x ? y ? 0 ? ? ?x ? y ? 0 ? 10. 已 知 集 合 ? ? ? 表 示 的 平面 区 域 为 ? , 若 在 区 域 ? 内 任 取 一 点
P ( x, y ) ,则点 P 的坐标满足不等式 x 2 ? y 2 ? 2 的概率为(
A. )

3? 32

B.

3? 16

C.

? 32

D.

? 16

二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11. 在某大型企业的招聘会上,前来应聘的本科生、硕士研究生和博士研究生共 2000 人, 各类毕业生人数统计如图所示,则博士研究生的人数为 。

12.已知 sin ? ? cos ? ?

2 ,则 sin 2? 的值为 3

。 。

13.若直线 (a ? 1) x ? 2 y ? 0 与直线 x ? ay ? 1 互相垂直,则实数 a 的值等于

2

14.已知 G 为 ?ABC 的重心,?ABC 所在平面内一点 P 满足 2PB ? 2PC ? AP ,则 值等于 。

AP AG



15. 对 于 定 义 在 区 间 D 上 的 函 数 f ( x) , 若 满 足 对 ?x1 , x2 ? D , 且 x1 ? x2 时 都 有 。若 f ( x) 为区间 [0,1] 上的“非 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则称函数 f ( x) 为区间 D 上的“非增函数” 增函数”且 f (0) ? 1, f ( x) ? f (1 ? x) ? 1 ,又当 x ? [0, ] 时, f ( x) ? ?2 x ? 1 恒成立。则下 列命题: quation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ?x ?[0,1], f ( x) ? 0 ; Equation.KSEE3 Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT x1 , x2 ?[0,1] ,且 x1 ? x2 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; \* MERGEFORMAT ?x ? [ 1 , 3 ] 时,都有 f ( x ) ?

1 4

4 4

1 ; 2

Equation.KSEE3

\* MERGEFORMAT f ( x) 的图像关于点 ( , ) 对称;

1 1 2 2

其中你认为正确的所有命题的序号为 。 三、解答题(16-19 每小题 12 分,20 题 13 分,21 题 14 分,共 75 分) 16.在 ?ABC 中,三内角为 A, B, C ,且 2 sin A sin( B ? (1)求 A 的大小;

?
4

) ? sin( A ? B) 。

(2)求 sin B sin C 的取值范围;

17.某中学甲、乙两班共有 25 名学生报名参加了一项测试。这 25 名学生的考分编成如图所 示的茎叶图,其中有一个数据因电脑操作员不小心删掉了(这里暂用 x 来表示) ,但他清楚 地记得两班学生成绩的中位数相同。 (1)求这两个班学生成绩的中位数及 x 的值; (2)如果将这些成绩分为“优秀” (得分在 175 分以上,包括 175 分)和“过关” ,若学校 再从这两个班获得“优秀”成绩的考生中选出 3 名代表学校参加比赛,求这 3 人中甲班至多 有一人入选的概率。

3

18.如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AC ? AA 1 ? 2 AB ? 2 , ?BAC ? 90 ,点 D 是侧
0

棱 CC1 延长线上一点, EF 是平面 ABD 与平面 A1 B1C1 的交线。 (1)求证: EF ? A1C ; (2)当直线 BD 与平面 ABC 所成角的正弦值为

3 14 时,求三棱锥 D ? EFC 1 的体积。 14

19.设数列 a n 的前 n 项和为 Sn ,点 (an , Sn ) 在直线 x ? y ? 2 ? 0 上, n ? N 。
*

? ?

(1)证明数列 a n 为等比数列并求出通项公式 an 。 (2) 设直线 x ? an 与函数 f ( x) ? x 的图像交于点 An , 与函数 g ( x) ? log1 x 的图像交于点
2
2

? ?

Bn ,记 bn ? OAn ? OBn ,求数列 ?bn ?的前 n 项和 Tn 。

4

20.已知椭圆 E :

1 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 以抛物线 y 2 ? 8x 的焦点为顶点,且离心率为 。 2 2 a b

(1)求椭圆 E 的方程。 (2) 若 F 为椭圆 E 的左焦点, 直线 l : y ? kx ? m 与椭圆相交于 A, B 两点, 与直线 x ? ?4 相 交于点 Q ,点 P 是椭圆 E 上一点且满足 OP ? OA ? OB ,证明: OP ? FQ 为定值并求出该 值。

21.已知函数 f ( x) ? x ?

1 , g ( x) ? a ln x ,其中 x ? 0, a ? R ,令函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) x

(1)若函数 h( x) 在 (0,??) 单调递增,求 a 的取值范围。 (2)当 a 取(1)中最大值时,判断方程 h( x) ? h(2 ? x) ? 0 在 (0,1) 上是否有解,并说明理 由。 (3)令函数 F ( x) ?
2n 1 1 ? 2 ln x ,证明不等式: ? (?1) k f [1 ? (? ) k ] ? 1(n ? N * ) 。 x 2 k ?1

5

6

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