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高考数学(理)大一轮复习精讲课件:第六章 不等式、推理与证明 第六节 直接证明和间接证明


第六节

直接证明和间接证明

基础盘查一

合情推理

(一)循纲忆知
了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法;了解分 析法和综合法的思考过程和特点.

(二)小题查验
判断正误

(1)综合法是直接证明,分析法是间接证明

>
(× )

(2)分析法是从要证明的结论出发,逐步寻找使结论成立的充要 条件 ( × )

(3)在解决问题时,常常用分析法寻找解题的思路与方法,再用 综合法展现解决问题的过程 (√ )

(4)证明不等式 2+ 7< 3+ 6最合适的方法是分析法

( √ )

基础盘查二

间接证明

(一)循纲忆知
了解间接证明的一种基本方法——反证法;了解反证法的 思考过程和特点.

(二)小题查验
1.判断正误
(1)用反证法证明结论“a>b”时,应假设“a<b” ( × )

(2)反证法是指将结论和条件同时否定,推出矛盾

( × )

2.用反证法证明“如果a>b,那么a3>b3”时假设的内容为
3 3 a ≤ b ________.

考点一

分析法 (基础送分型考点——自主练透)

[必备知识]
分析法证题的一般规律 分析法的思路是逆向思维,用分析法证题必须从结论出发, 倒着分析,寻找结论成立的充分条件.应用分析法证明问题时要 严格按分析法的语言表达,下一步是上一步的充分条件.

[题组练透]
a+m a 1.已知a,b,m都是正数,且a<b,求证: > . b+m b
a+m a 证明:要证明 > ,由于a,b,m都是正数, b+m b 只需证a(b+m)<b(a+m), 只需证am<bm, 因为m>0,所以只需证a<b. 又已知a<b,所以原不等式成立.

2.已知△ABC的三个内角A,B,C成等差数列,A,B,C的对边 分别为a,b,c. 1 1 3 求证: + = . a+b b+c a+b+c 1 1 3 证明:要证 + = , a+b b+c a+b+c
a+b+c a+b+c c a 即证 + =3也就是 + =1, a+b b+c a+b b+c 只需证c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c),

需证c2+a2=ac+b2, 又△ABC三内角A,B,C成等差数列,故B=60° , 由余弦定理,得 b2=c2+a2-2accos 60° ,即b2=c2+a2-ac, 故c2+a2=ac+b2成立. 于是原等式成立.

[类题通法]

分析法证明问题的适用范围 当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接,或证明过程 中所需用的知识不太明确、具体时,往往采用分析法,特别是含 有根号、绝对值的等式或不等式,常考虑用分析法.
[提醒] 用分析法证明问题时,必须有必要的文字说明.

考点二

综合法 (常考常新型考点——多角探明)

[必备知识]
综合法证题的一般规律 用综合法证明命题时,必须首先找到正确的出发点,也就是 能想到从哪里起步,我们一般的处理方法是广泛地联想已知条件 所具备的各种性质,逐层推进,从而由已知逐步推出结论.

[多角探明]

综合法证明问题是历年高考的热点问题,也是必考问题之 一.通常在解答题中出现,归纳起来常见的命题角度有: (1)立体几何证明题;

(2)数列证明题;

(3)与函数、方程、不等式结合的证明题.

角度一:立体几何证明题

1.如图,在四棱锥PABCD中,平面PAB⊥ 平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60° , E,F分别是AP,AB的中点. 求证:(1)直线EF∥平面PBC; (2)平面DEF⊥平面PAB.

证明:(1)在△PAB中,因为E,F分别为PA,AB的中点,所以EF∥PB. 又因为EF?平面PBC,PB?平面PBC,所以直线EF∥平面PBC. (2)连接BD,因为AB=AD,∠BAD=60° , 所以△ABD为正三角形. 因为F是AB的中点,所以DF⊥AB. 因为平面PAB⊥平面ABCD,DF?平面ABCD, 平面PAB∩平面ABCD=AB, 所以DF⊥平面PAB. 又因为DF?平面DEF,所以平面DEF⊥平面PAB.

角度二:数列证明题

2.(2014· 江苏高考节选)设数列{an}的前n项和为Sn.若对任意正整 数n,总存在正整数m,使得Sn=am,则称{an}是“H数列”. (1)若数列{an}的前n项和Sn=2n(n∈N*),证明:{an}是“H数 列”; (2)证明:对任意的等差数列{an},总存在两个“H数列”{bn}和 {cn},使得an=bn+cn(n∈N*)成立.
证明:(1)由已知,当n≥1时,an+1=Sn+1-Sn=2n+1-2n=2n.于 是对任意的正整数n,总存在正整数m=n+1,使得Sn=2n=am. 所以{an}是“H数列”.

(2)设等差数列{an}的公差为 d, 则 an=a1+(n-1)d=na1+(n-1)(d-a1)(n∈N*). 令 bn=na1,cn=(n-1)(d-a1),则 an=bn+cn(n∈N*). 下面证{bn}是“H 数列”. n?n+1? 设{bn}的前 n 项和为 Tn,则 Tn= 2 a1(n∈N*). n?n+1? 于是对任意的正整数 n,总存在正整数 m= 2 ,使得 Tn=bm, 所以{bn}是“H 数列”. 同理可证{cn}也是“H 数列”. 所以任意的等差数列{an},总存在两个“H 数列”{bn}和{cn},使得 an=bn+cn(n∈N*)成立.

角度三:与函数、方程、不等式结合的证明题

1 2 1 3 3.已知函数f(x)=ln(1+x),g(x)=a+bx- x + x ,函数y=f(x) 2 3 与函数y=g(x)的图象在交点(0,0)处有公共切线. (1)求a,b的值; (2)证明:f(x)≤g(x).

1 解:(1)f′(x)= ,g′(x)=b-x+x2, 1+x
? ?g?0?=f?0?, 由题意得? ? ?f′?0?=g′?0?,

解得a=0,b=1.

(2)证明:令h(x)=f(x)-g(x) 1 1 =ln(x+1)- x3+ x2-x(x>-1). 3 2
3 - x 1 h′(x)= -x2+x-1= . x+ 1 x+1

h(x)在(-1,0)上为增函数,在(0,+∞)上为减函数. h(x)max=h(0)=0,h(x)≤h(0)=0,即f(x)≤g(x).

[类题通法]

综合法证题的思路

考点三

反证法 (重点保分型考点——师生共研)
[必备知识]

反证法: 假设原命题不成立, 经过正确的推理, 最后得出矛盾,

因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做 反证法.

[典题例析]
已知f(x)=ax2+bx+c,若a+c=0,f(x)在[-1,1]上的最大值为2,
?b? 5 最小值为- .求证:a≠0且?a?<2. 2 ? ? ?b? 证明:假设a=0或?a?≥2. ? ?

(1)当a=0时,由a+c=0,得f(x)=bx,显然b≠0. 由题意得f(x)=bx在[-1,1]上是单调函数, 所以f(x)的最大值为|b|,最小值为-|b|. 5 1 由已知条件,得|b|+(-|b|)=2- =- , 2 2 这与|b|+(-|b|)=0相矛盾,所以a≠0.

?b? b ? ? (2)当 a ≥2时,由二次函数的对称轴为x=- , 2a ? ?

知f(x)在[-1,1]上是单调函数,故其最值在区间的端点处取得. 5 f?1?=a+b+c=2, ? ? ? ?f?1?=a+b+c=- , 2 所以? 或? 5 f?-1?=a-b+c=- , ? ? 2 ? ?f?-1?=a-b+c=2.
?b? 又a+c=0,则此时b无解,所以?a?<2. ? ? ?b? 由(1)(2),得a≠0且?a?<2. ? ?

[类题通法]

反证法证明问题的一般步骤
(1)反设: 假定所要证的结论不成立,而设结论的反面(否定命

题)成立;(否定结论)
(2)归谬: 将“反设”作为条件,由此出发经过正确的推理,

导出矛盾——与已知条件、已知的定义、公理、定理及明显的事实 矛盾或自相矛盾;(推导矛盾)

(3)立论: 因为推理正确,所以产生矛盾的原因在于“反设”
的谬误.既然原命题结论的反面不成立,从而肯定了原命题成 立.(命题成立)

[演练冲关]

1 已知x∈R,a=x + ,b=2-x,c=x2-x+1,试证明a,b,c至 2
2

少有一个不小于1.
证明:假设a,b,c均小于1,即a<1,b<1,c<1, 则有a+b+c<3,
? 1 ?2 1 而a+b+c=2x -2x+ +3=2?x-2? +3≥3, 2 ? ?
2

两者矛盾,所以假设不成立, 故a,b,c至少有一个不小于1.

“课后演练提能”见“课时跟踪检测(四十)”
(单击进入电子文档)

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