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2014高考复习——空间几何体表面积与体积


一、选择题 1.若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是(

)

1 2 A. B. 3 3 C.1 D.2 解析:选 C.由三视图可知,该空间几何体是底面为直角三角形的直三棱柱,三棱柱的 1 底面直角三角形的直角边长分别为 1 和 2,三棱柱的高为 2,所以该几何体的体积 V= 2 ×1× 2× 2=1. 2.(2011· 高

考湖南卷)如图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( )

9 A. π+12 2 C.9π+42

9 B. π+18 2 D.36π+18

3 4 解析:选 B.由三视图可得几何体为长方体与球的组合体,故体积为 V=32×2+ π×?2? 3 ? ? 9 3 =18+ π. 2 3.(2012· 高考课标全国卷)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何 体的三视图,则此几何体的体积为( )

A.6 C.12

B.9 D.18

解析:选 B.由三视图可知该几何体为底面是斜边为 6 的等腰直角三角形,高为 3 的三 1 1 棱锥,其体积为 × ×6×3×3=9. 3 2 4.(2012· 高考北京卷)某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是( )

A.28+6 5 C.56+12 5 解析:

B.30+6 5 D.60+12 5

选 B.由题中的三视图知,该三棱锥的直观图如图所示. 1 1 由题中所给条件,可求得 S△ABD= ×4×5=10,S△ACD=S△BCD= ×4×5=10,AC=BC 2 2 1 = 41,AB=2 5,可求得△ABC 中 AB 边上的高为 41-5=6,所以 S△ABC= ×6×2 5= 2 6 5.综上可知,该三棱锥的表面积为 S△ABD+S△ACD+S△BCD+S△ABC=30+6 5. 5.将边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,使 BD=a,则三棱锥 D-ABC 的体 积为( ) a3 a3 A. B. 6 12 3 2 C. a3 D. a3 12 12 解析:选 D.设正方形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 E,沿 AC 折起后,依题意得: 2 当 BD=a 时,BE⊥DE,∴DE⊥面 ABC,∴三棱锥 D-ABC 的高为 DE= a,∴VD-ABC= 2 11 2 2 2 ·a · a= a3. 32 2 12 二、填空题 6.(2012· 高考辽宁卷)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为________.

解析:

由三视图可知该组合体的上方是一个高为 1, 底面直径为 2 的圆柱, 下方是一个长、 宽、 高分别为 4、3、1 的长方体,如图所示,它的体积 V=1×π+4×3×1=12+π. 答案:12+π 7.

如图,已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2,O 为底面正方形 ABCD 的中心,则三 棱锥 B1-BCO 的体积为________. 1 1 1 1 2 2 解析:V= S△BOC· 1B= × BO· sin45°B1B= × 2×2× ×2= . B BC· · 3 3 2 6 2 3 2 答案: 3 8.(2013· 东营质检)以圆柱的下底面为底面,并以圆柱的上底面圆心为顶点作圆锥,则 该圆锥与圆柱等底等高. 若圆锥的轴截面是一个正三角形, 则圆柱的侧面积与圆锥的侧面积 之比为________. 解析:设圆锥底面半径为 r,则母线长为 2r,高为 3r, ∴圆柱的底面半径为 r,高为 3r, S圆柱侧 2πr· 3r ∴ = = 3. πr· 2r S圆锥侧 答案: 3∶1 三、解答题 1 9.已知圆台的母线长为 4 cm,母线与轴的夹角为 30° ,上底面半径是下底面半径的 , 2 求这个圆台的侧面积.

解:如图是将圆台还原为圆锥后的轴截面, 由题意知 AC=4 cm,∠ASO=30° , 1 O1C= OA, 2 设 O1C=r,则 OA=2r, O1C OA 又 = =sin30° , SC SA ∴SC=2r,SA=4r, ∴AC=SA-SC=2r=4 cm, ∴r=2 cm. 所以圆台的侧面积为 S=π(r+2r)×4=24π (cm2). 10.已知三棱锥的顶点在底面上的射影是底面正三角形的中心,三棱锥的侧棱长为 10 cm,侧面积为 144 cm2,求棱锥的底面边长和高. 解:

如图所示,三棱锥 S-ABC 中,SA=10. 设高 SO=h,底面边长为 AB=a. 连接 AO 并延长交 BC 于点 D,连接 SD, 1 ∴S 侧= ×3a×SD=144,即 2 1 a ×3a× 102-? ?2=144. 2 2 ∴底面边长 a=12 cm.∴SD=8. 又在 Rt△SOD 中, 3 1 h2=SD2-OD2=82-( a)2=64- ×122=52. 6 12 ∴高 SO=h=2 13 cm.

一、选择题 1.(2012· 高考课标全国卷)平面 α 截球 O 的球面所得圆的半径为 1,球心 O 到平面 α 的 距离为 2,则此球的体积为( ) A. 6π B.4 3π C.4 6π D.6 3π 解析:选 B.设球的半径为 R,由球的截面性质得 R= ? 2?2+12= 3,所以球的体积 V 4 = πR3=4 3π. 3 2. 已知正四棱锥 S-ABCD 中, SA=2 3, 那么当该棱锥的体积最大时, 它的高为( A.1 B. 3 C.2 D.3 解析:

)

选 C.如图所示,设正四棱锥 S-ABCD 的高 SO=h. 在 Rt△SOA 中,SA=2 3, ∴OA= 12-h2. ∴AB= 2· 12-h2. ∴VS-ABCD=V(h) 1 = · 2(12-h2)· h 3 1 = (-2h3+24h)(0<h<2 3). 3 1 令 V′(h)= (24-6h2)>0,得 0<h<2. 3 故当 0<h<2 时,V(h)单调递增;当 2<h<2 3时,V(h)单调递减. ∴h=2 时 V(h)取最大值.

二、填空题 3.

(2012· 高考江苏卷)如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=AD=3 cm,AA1=2 cm, 则四棱锥 A-BB1D1D 的体积为________cm3. 解析:法一:连接 AC 交 BD 于 O,在长方体中, ∵AB=AD=3,∴BD=3 2且 AC⊥BD. 又∵BB1⊥底面 ABCD,∴BB1⊥AC. 又 DB∩BB1=B,∴AC⊥平面 BB1D1D, 1 3 2 ∴AO 为四棱锥 A-BB1D1D 的高且 AO= BD= . 2 2 ∵S 矩形 BB1D1D=BD×BB1=3 2×2=6 2, 1 1 3 2 ∴VA-BB1D1D= S 矩形 BB1D1D· AO= ×6 2× =6(cm3). 3 3 2 2 2 1 法二:由题意得 VA-BB1D1D= VABD-A1B1D1= × ×3×3×2=6(cm3). 3 3 2 答案:6 4.已知一个圆柱的底面直径与高均为 2R,一个圆锥的底面直径与高均为 2r,若圆柱的 表面积与圆锥的表面积相等,则 R2∶r2=________. 解析:圆柱的表面积 S1=2πR2+2πR· 2R=6πR2. 圆锥的母线 l= ?2r?2+r2= 5r. 1 圆锥的表面积 S2=πr2+ ×2πr× 5r=( 5+1)πr2. 2 2 由 S1=S2 得 6πR =( 5+1)πr2, 所以 R2∶r2=( 5+1)∶6. 答案:( 5+1)∶6 三、解答题 5.

如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AD=AA1=1,AB>1,小蚂蚁从点 A 沿长方体 的表面爬到点 C1,所爬的最短路程为 2 2. (1)求 AB 的长度; (2)求该长方体外接球的表面积. 解:(1)设 AB=x,点 A 到点 C1 可能有两种途径,如图甲的最短路程为|AC1|= x2+4.

如图乙的最短路程为 |AC1|= ?x+1?2+1= x2+2x+2,

∵x>1,∴x2+2x+2>x2+2+2=x2+4,故从点 A 沿长方体的表面爬到点 C1 的最短距 离为 x2+4. 由题意得 x2+4=2 2,解得 x=2. 即 AB 的长度为 2. (2)设长方体外接球的半径为 R,则 (2R)2=12+12+22=6, 3 ∴R2= ,∴S 表=4πR2=6π. 2 即该长方体外接球的表面积为 6π.


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