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2013高考总复习江苏专用(理科):第七篇 不等式《第42讲 基本不等式及其应用(2


A级

基础达标演练 满分:80 分)

(时间:45 分钟 一、填空题(每小题 5 分,共 35 分) 1.已知 p=a+ ________. 解析 p=a+ 1 1 =a-2+ +2≥2 a-2 a-2

1 ?1? ,q=?2?x2-2,其中 a>2,x∈R,则 p,q 的大小关系为 ? ? a-2

r />1 1 ?a-2?· +2=4.当 a-2= , 即 a-2 a-2

?1? a=3 时取等号,q=?2?x2-2≤4,∴p≥q. ? ? 答案 p≥q 2.要挖一个面积为 432 m2 的矩形鱼池,周围两侧分别留出宽分别为 3 m,4 m 的 堤堰,要想使占地总面积最小,此时鱼池的长为________,宽为________. 432 2 592 ?432 ? 解析 设鱼池的长、宽分别为 x, x ,所以 S=(x+6)? x +8?=432+48+ x ? ? +8x≥480+288=768,仅当 8x= 答案 24 m 18 m 2 592 432 ,即 x=18, =24 时等号成立. x x

1? ? 1? ? 3.若 x,y 是正数,则?x+2y?2+?y+2x?2 的最小值是________. ? ? ? ? 解析 1? ? 1? 1 1 ? 由?x+2y?2+?y+2x?2≥x2+4x2+y2+4y2+2≥2 ? ? ? ? 1 x2· 2+2 4x 1 y2· 2+2= 4y

2 4.当且仅当 x=y= 2 时取等号. 答案 4 4.已知 f(x)=32x-(k+1)3x+2,当 x∈R 时,f(x)恒为正值,则 k 的取值范围是 ________. 解析 f(x)>0,即 32x-(k+1)·x+2>0, 3 32x+2 2 ∴k+1< 3x =3x+3x. 32x+2 x 2 2 ∵x∈R,∴3 >0,∴ 3x =3 +3x≥2 2,当且仅当 3x=3x时取等号.
x

从而 k<-1+2 2. 答案 (-∞,-1+2 2) 5. 已知正项等比数列{an}满足: 7=a6+2a5, a 若存在两项 am, n 使得 aman=4a1, a 1 4 则m+n的最小值为________. 解析 由 a7=a6+2a5,得 a5q2=a5q+2a5,又 a5≠0,q>0,所以 q2=q+2,解 1 4 1 ? 1 4? 1 为 q=2.于是由 aman =4a1 ,得 m+n=6,所以 m + n = 6 (m+n) ?m+n? = 6 ? ? n 4m? 1 3 ? ? 1 4? ?5+m+ n ?≥ (5+4)= , 当且仅当 n=2m, m=2, 即 n=4 时等号成立, ?m+n? 故 6 2 ? ? ? ?
min=

3 2.

3 答案 2 a2 b2 ?a+b? a 6.若 a,b 是正常数,a≠b,x,y∈(0,+∞),则 x + y ≥ ,当且仅当 x= x+y
2

1?? b 2 9 ? ? ?x∈?0,2??的最小 时上式取等号. 利用以上结论, 可以得到函数 f(x)= x+ y ?? 1-2x? ? 值为________,取最小值时 x 的值为________. ?2+3?2 4 9 2 3 1 解析 由题意得 f(x)=2x+ ≥ =25,当且仅当2x= ,得 x=5 1-2x 2x+1-2x 1-2x 1? 1 ? ∈?0,2?,故 f(x)的最小值为 25,此时 x=5. ? ? 答案 25 1 5

7. 若实数 a, 满足 ab-4a-b+1=0(a>1), b 则(a+1)(b+2)的最小值为________. 解析 由 ab-4a-b+1=0 可得(a-1)(b-4)=3. 则 a-1= 3 3 ,由 a-1>0 可得 b>4,从而 a= +1, b-4 b-4 18 +15≥15+2 b-4 2?b-4?× 18 =27. b-4

∴(a+1)(b+2)=2(b-4)+ 当且仅当 2(b-4)= 答案 27

18 时,即 b=7 时,等号成立. b-4

二、解答题(每小题 15 分,共 45 分)

1 8.已知二次函数 f(x)满足 f(-1)=0,且 x≤f(x)≤2(x2+1)对一切实数 x 恒成立. (1)求 f(1); (2)求 f(x)的解析表达式; (3)求证
错误!>错误!.

1 解 (1)取 x=1,由 1≤f(1)≤2(1+1)=1,得 f(1)=1. (2)设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0). ?a-b+c=0, ∵f(-1)=0,f(1)=1,∴? ?a+b+c=1. 1 ∴a+c=b=2. ∵f(x)≥x 对 x∈R 恒成立, ∴ax2+(b-1)x+c≥0 对 x∈R 恒成立. ?a>0, ∴? 2 ?Δ=?b-1? -4ac≤0, ?a>0, ? ∴? 1 ?ac≥16,∴c>0. ? ∵a+c≥2 ac≥2 1 1 16=2,

1 当且仅当 a=c=4时,等号成立. 1 1 1 1 ∴f(x)=4x2+2x+4,即 f(x)=4(x+1)2. (3)证明
错误!= 错误!>4 错误!

1 1 ? ?1 1 1 1 =4?2-3+3-4+?+n+1-n+2? ? ? 1 ? 4n 2n ?1 =4?2-n+2?= = . ? ? 2n+4 n+2 9.某建筑的金属支架如图所示,根据要求 AB 至少长 2.8 m,C 为 AB 的中点,B 到 D 的距离比 CD 的长小 0.5 m, ∠BCD=60° 已知建筑支架的材料每米的价格 , 一定,问怎样设计 AB、CD 的长,可使建造这个支架的成本最低?

解 设 BC=a m(a≥1.4),CD=b m. 1? ? 连接 BD,则在△CDB 中,?b-2?2=b2+a2-2abcos 60° , ? ?

1 1 a2- a2- 4 4 ∴b= ,∴b+2a= +2a, a-1 a-1 2.8 设 t=a-1,t≥ 2 -1=0.4, 1 ?t+1?2-4 t 3 +2(t+1)=3t+4t+4≥7,

则 b+2a=

3 当且仅当 3t=4t时等号成立,解得 t=0.5>0.4, ∴当 t=0.5 时,a=1.5,b=4. 即当 AB=3 m,CD=4 m 时,建造这个支架的成本最低. 10.(2010· 江苏)某兴趣小组要测量电视塔 AE 的高度 H(单位:m)如图所示,垂直 放置的标杆 BC 的高度 h=4 m,仰角∠ABE=α,∠ADE=β.

(1)该小组已测得一组 α、β 的值,算出了 tan α=1.24,tan β=1.20,请据此算出 H 的值; (2)该小组分析若干测得的数据后,认为适当调整标杆到电视塔的距离 d(单位: m),使 α 与 β 之差较大,可以提高测量精度.若电视塔的实际高度为 125 m,试 问 d 为多少时,α-β 最大? H h H H h H 解 (1)由 AB=tan α, BD=tan β, AD=tan β及 AB+BD=AD 得tan α+tan β=tan β

解得 H=

4×1.24 htan α = =124. tan α-tan β 1.24-1.20

因此,算出的电视塔的高度 H 是 124 m. H (2)由题设知 d=AB,得 tan α= d . H-h H h 由 AB=AD-BD=tan β-tan β,得 tan β= d , 所以 tan(α-β)= tan α-tan β 1+tan αtan β

h h = ≤ , H?H-h? 2 H?H-h? d+ d 当且仅当 d= H?H-h? ,即 d= H?H-h?= 125×?125-4?=55 5时,上式取等 d

号.所以当 d=55 5时,tan(α-β)最大. π π 因为 0<β<α< , 0<α-β< , 则 所以当 d=55 5时, α-β 最大. 故所求的 d 是 55 5 2 2 m. B级 综合创新备选 满分:60 分)

(时间:30 分钟 一、填空题(每小题 5 分,共 30 分)

1.已知正实数 x,y 满足 x· y-(x+y)=1,则 x+y 的最小值为________. t2 ?x+y?2 2 ? , x+y=t(t>0), 1+t≤ , 解析 1+(x+y)=x· ? y≤ 令 则 4 所以 t -4t-4≥0, ? 2 ? 所以 t≥2+2 2.所以 x+y 的最小值为 2+2 2. 答案 2+2 2 1 1 2. x, 设 y∈R, a>1, b>1, ax=by=3, 若 a+b=2 3, x+ y的最大值为________. 则 1 解析 由 ax=by=3 得:x=loga3,y=logb3,由 a>1,b>1 知 x>0,y>0,x+

1 ?a+b?2 ? =1,当且仅当 a=b= 3时“=”号成立, =log3a+log3b=log3ab≤log3? y ? 2 ? 1 1 则x+y的最大值为 1. 答案 1 a+1 c+1 3.已知二次函数 f(x)=ax2+2x+c(x∈R)的值域为[0,+∞),则 c + a 的最 小值为________. 解析 由题可得 a>0,c>0,且 Δ=22-4ac=0 即 ac=1.所以 a+c≥2 ac=2, 当且仅当 a=c=1 时取等号. a+1 c+1 ?a+1 c+1? 所以 c + a =ac×? + a ?=a2+c2+a+c=(a+c)2+(a+c)-2,当且 ? c ? ?a+1 c+1? 仅当 a=c=1 时,? + a ?min=22+2-2=4. ? c ? 答案 4 4.如果函数 f(x)在区间 D 上是凸函数,在 D 内任意 x1,x2,?,xn,都有 f?x1?+f?x2?+?+f?xn? ?x1+x2+?+xn? ?. ≤f? n n ? ? 若 y=sin x 在(0,π)是凸函数,可以推出在△ABC 中,sin A+sin B+sin C 的最大 值为________. 解析 f?A?+f?B?+f?C? ?A+B+C? ?π? ?=f?3?, ≤f? 3 3 ? ? ? ?

1 3 所以3(sin A+sin B+sin C)≤ 2 , 3 3 3 3 所以 sin A+sin B+sin C≤ 2 ,即最大值为 2 . 答案 3 3 2

5.某汽车运输公司,购买了一批豪华大客车投入营运,据市场分析每辆客车营 运的总利润 y(单位:10 万元)与营运年数 x 的函数关系为 y=-(x-6)2+11(x∈ N*),则每辆客车营运________年,其运营的年平均利润最大. y ? 25? 解析 x=-?x+ x ?+12≤-2 ? ? 成立. 25 25 x× x +12,当且仅当 x= x ,即 x=5 时等式

答案 5 6.某公司租地建仓库,每月土地占用费 y1 与仓库到车站的距离成反比,而每月 库存货物的运费 y2 与到车站的距离成正比,如果在距离车站 10 km 处建仓库, 这两项费用 y1 和 y2 分别为 2 万元和 8 万元,要使这两项费用之和最小,仓库应 建立在距离车站________km 处. k1 k1 解析 依题意,设 y1= d ,y2=k2×d,则有 2=10,8=k2×10,即有 k1=20,k2 4 20 4 =5,从而这两项费用之和为 y=y1+y2= d +5d≥2 ?20 4 ? = d, 当? d 5 ?d>0, ? 答案 5 二、解答题(每小题 15 分,共 30 分)
? ? ? ?1 ? 7.已知集合 P=?x?2≤x≤2 ?,函数 y=log2(ax2-2x+2)的定义域为 Q. ? ? ? ? ?

20 4 d ×5d=8 万元,当且仅

即 d=5 km 时,有这两项费用之和最小.

(1)若 P∩Q≠?,求实数 a 的取值范围; ?1 ? (2)若方程 log2(ax2-2x+2)=2 在?2,2?内有解,求实数 a 的取值范围. ? ? ?1 ? 解 (1)由已知 Q={x|ax2-2x+2>0},若 P∩Q≠?,则说明在?2,2?内至少有一 ? ? 2 ?1 ? 个 x 值,使不等式 ax2-2x+2>0 成立,即在?2,2?内至少有一个 x 值,使 a>x ? ? 2 -x2成立, 2 2 ?1 1? 1 令 u=x-x2,则只需 a>umin.又 u=-2?x-2?2+2, ? ? 1? 1 ?1 ? ?1 ? ? ∴当 x∈?2,2?时,x ∈?2,2?.从而 u∈?-4,2?, ? ? ? ? ? ? ∴a>-4,∴a 的取值范围是{a|a>-4}. ?1 ? (2)方程 log2(ax2-2x+2)=2 在?2,2?内有解, ? ? 2 ?1 ? 则方程 ax2-2x+2=4,即 ax2-2x-2=0 在?2,2?内有解,分离 a 与 x,得 a=x2 ? ?

2 +x, 2 2 ?1 ? 故在?2,2?内有 x 的值,使 a=x2+ x成立. ? ? 2 2 ?1 1? 1 ∵a=x2+x=2? x+2?2-2, ? ? ?1 ? ?3 ? ∴当 x∈?2,2?时,a∈?2,12?, ? ? ? ? ?3 ? ∴a 的取值范围是?2,12?. ? ? 8.(2011· 扬州调研)扬州某地区要建造一条防洪堤,其横断面为等腰梯形,腰与 底边成角为 60° (如图),考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素,设计其横断面 要求面积为 9 3平方米,且高不低于 3米.记防洪堤横断面的腰长为 x(米),外 周长(梯形的上底线段 BC 与两腰长的和)为 y(米).

(1)求 y 关于 x 的函数关系式,并指出其定义域; (2)要使防洪堤横断面的外周长不超过 10.5 米,则其腰长 x 应在什么范围内? (3)当防洪堤的腰长 x 为多少米时,堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即断面的 外周长最小)?求此时外周长的值. 1 x 3 解 (1)9 3=2(AD+BC)h,其中 AD=BC+2·=BC+x,h= 2 x, 2 1 3 18 x 所以 9 3=2· (2BC+x)·2 x,得 BC= x -2.

?h= 23x≥ 3, ? 由? 18 x ?BC= x -2>0, ?

得 2≤x<6.

18 3x 所以 y=BC+2x= x + 2 (2≤x<6). 18 3x (2)由 y= x + 2 ≤10.5,得 3≤x≤4. 因为[3,4]?[2,6).所以腰长 x 的范围是[3,4].

18 3x (3)y= x + 2 ≥2

18 3x 18 3x 当且仅当 x = 2 , x=2 3∈[2,6)时等号成立. 即 x · =6 3, 2

故外周长的最小值为 6 3米,此时腰长为 2 3米.


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