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走向高考--2015高考一轮总复习人教A版数学阶段性测试题五


阶段性测试题五(平面向量)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分 150 分。考试时间 120 分钟。 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每 小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1.(文)(2014· 浙江杜桥中学期中)已知向量 a=(1,m),向量 b= (m,2).若 a∥b,则实数 m 等于( A.- 2 C.± 2 [答案] C [解析] ∵a∥b,∴1×2-m2=0, ∴m=± 2. ( 理 )(2014· 抚顺市六校联合体期中 ) 已知向量 a= (1,1),b =(2 , x).若 a+b 与 4b-2a 平行,则实数 x 的值是( A.-2 C.1 [答案] D [解析] ∵a+b=(3,1+x),4b-2a=(6,4x-2),a+b 与 4b-2a 平行,∴3(4x-2)-6(1+x)=0,∴x=2. 2.(2014· 威海期中)已知|a|=1,|b|=2, 〈a,b〉=60° ,则|2a- b|=( ) B.4 D.8 B.0 D.2 ) ) B. 2 D.0

A.2 C.2 2 [答案] A

[解析] 由条件知|a|2=1,|b|2=4,a· b=1, ∴|2a-b|2=4|a|2+|b|2-4a· b=4,∴|2a-b|=2. 3.(文)(2014· 甘肃省金昌市二中期中)若|a|=1,|b|=2,c=a+b, 且 c⊥a,则向量 a 与 b 的夹角为( A.30° C.120° [答案] C [解析] ∵c⊥a,∴c· a=(a+b)· a=|a|2+a· b=0,∴a· b=-1,即 1×2×cos〈a,b〉=-1, 1 ∴cos〈a,b〉=-2,∴〈a,b〉=120° . (理)(2014· 营口三中期中)已知 a+b+c=0, 且 a 与 c 的夹角为 60° , |b|= 3|a|,则 cos〈a,b〉等于( 3 A. 2 1 C.-2 [答案] D [解析] 设〈a,b〉=α,∵|b|= 3|a|, ∴|b|2=3|a|2,a· b= 3|a|2cosα, 1 a· c=|a|· |c|· cos60° =2|a|· |a+b|. ∵a· c=-(a+b)· a=-|a|2-a· b =-|a|2- 3|a|2cosα, |a+b|2=|a|2+|b|2+2a· b =|a|2+3|a|2+2 3|a|2cosα=4|a|2+2 3|a|2cosα, ) 2 B. 2 3 D.- 2 ) B.60° D.150°

1 ∴-|a|2- 3|a|2cosα=2|a|· 4|a|2+2 3|a|2cosα, 1 3 ∴- 3cosα-1=2 4+2 3cosα,∴cosα=- 2 ,故选 D. → =2DB → ,CD → =1CA → → 4.(2014· 泸州市一诊)△ABC 中,若AD 3 +λCB, 则 λ =( 1 A.3 2 C.-3 [答案] B → =2DB → ,∴AD → =2AB → =2(CB → -CA → ), [解析] ∵AD 3 3 ) 2 B.3 1 D.-3

→ =CA → +AD → =CA → +2(CB → -CA → )=1CA → +2CB → ∴CD 3 3 3 , 2 ∴λ=3. 5.(文)(2014· 华安、连城、永安、漳平、泉港一中、龙海二中六 校联考)在△ABC 中,D 是 BC 的中点,AD=3,点 P 在 AD 上且满足 → =3AP → ,则DA →· → +PC → )= ( AD (PB A.6 C.-12 [答案] C → =3AP → ,∴|AD → |=3,|AP → |=1, [解析] ∵AD=3,AD ) B.-6 D.12

→ |=2, ∴|PD →· → +PC → )=DA →· → =-2· → |· → |= ∵D 为 BC 的中点,∴DA (PB 2PD |DA |PD -12. (理)(2014· 开滦二中期中)已知△ABC 中, AB=AC=4, BC=4 3, →· → +AC → )满足( 点 P 为 BC 边所在直线上的一个动点,则AP (AB A.最大值为 16 C.为定值 8 [答案] C → ,AD → 〉=α,则|AD → |=|AP → |· [解析] 设 BC 边中点为 D, 〈AP cosα, B.最小值为 4 D.与 P 的位置有关 )

∵AB=AC=4,BC=4 3,∴∠BAC=120° ,∴0° ≤α≤60° , →· → +AC → )=AP →· → =2|AP → |· → |· ∴AP (AB 2AD |AD cosα → |2=8. =2|AD → =λ a 6.(2014· 辽宁师大附中期中)已知 a,b 是不共线的向量,AB → =a+μb, +b, AC λ, μ∈R, 那么 A、 B、 C 三点共线的充要条件为( A.λ+μ=2 C.λμ=-1 [答案] D → 与AC → 共线,∴存在实数 k, [解析] ∵A、B、C 三点共线,∴AB → =kAC → ,即 λa+b=k(a+μb), 使得AB B.λ-μ=1 D.λμ=1 )

? ?λ=k, ∵a、b 不共线,∴? ∴λμ=1,故选 D. ?1=kμ, ?

7. (2014· 抚顺二中期中)已知向量 a=(cos75° , sin75° ), b=(cos15° , sin15° ),则 a-b 与 b 的夹角为( A.30° C.120° [答案] C [解析] 解法 1:∵a-b=(cos75° -cos15° ,sin75° -sin15° ), ∴ |a - b|2 = (cos75°- cos15° )2 + (sin75°- sin15° )2 = 2 - 2(cos75° cos15° +sin75° sin15° )=2-2cos60° =1, ∴|a-b|=1,又 b=1,(a-b)· b=a· b-|b|2 1 =cos75° cos15° +sin75° sin15° -1=cos60° -1=-2, 1 -2 ?a-b?· b 1 ∴cos〈a-b,b〉= = =-2, |a-b|· |b| 1×1 ∴〈a-b,b〉=120° . → =a, 解法 2:作单位圆如图,∠AOx=75° ,∠BOx=15° ,则OA → =b,BA → =OA → -OB → =a-b,∴△AOB 为正三角形, OB ) B.60° D.150°

→ 与BA → 所成的角为 120° ∴∠ABO=60° ,从而OB , 即 b 与 a-b 所成的角为 120° . [点评] 数形结合解答本题显得特别简捷.

→= 8.(2014· 福建安溪一中、养正中学联考)已知在△ABC 中,AR → ,CP → =2PR → ,若AP → =mAB → +nAC → ,则 m+n=( 2RB A.1 7 C.9 [答案] C → =2RB → ,CP → =2PR →, [解析] ∵AR → =2AB → ,RP → =-1CR → ,∴AP → =AR → +RP → =AR → -1CR → =AR → -1 ∴AR 3 3 3 3 → +AR → )=2AR → +1AC → =4AB → +1AC → (CA 3 3 9 3 , 7 ∴m+n=9. → =λAB → 9. (文)(2014· 营口三中期中)已知点 G 是△ABC 的重心, AG → (λ 、 →· → =-2, → |的最小值是( +μAC μ∈R), 若∠A=120° , AB AC 则|AG 3 A. 3 2 C.3 [答案] C 1 → → =2AD → =2· [解析] 设 D 为△ABC 的边 BC 的中点,AG 3 3 2(AB+ 1→ 1→ 1 AC→ ? =3AB +3AC,∴λ=μ=3, →· → =-2,∴|AB → |· → |=4, ∵∠A=120° ,AB AC |AC → |2=1(|AB → |2+|AC → |2-4)≥1×(2|AB → |· → |-4)=4,∴|AG → |≥2. ∴|AG | AC 9 9 9 3 (理)(2014· 哈六中期中)已知四边形 ABCD 中,AD∥BC,∠BAC 2 B. 2 3 D.4 ) 8 B.9 2 D.3 )

=45° ,AD=2,AB= 2,BC=1,P 是边 AB 所在直线上的动点,则 → +2PD → |的最小值为( |PC A.2 5 2 C. 2 [答案] C [解析] ∵AB= 2, BC=1, ∠BAC=45° , ∴AB· sin∠BAC=BC, ∴AC⊥BC, 以 C 为原点直线 BC 与 AC 分别为 x 轴、y 轴建立直角坐标系如 图,则 C(0,0),B(-1,0),A(0,1),D(2,1), ) B.4 25 D. 2

∵P 在直线 AB:y-x=1 上, → +2PD → =(-x ,-1-x )+2(2-x ,-x ) ∴设 P(x0,1+x0),则PC 0 0 0 0 =(4-3x0,-1-3x0), → +2PD → |2= (4-3x )2+ (- 1-3x )2=18x2 -18x +17=18(x ∴ |PC 0 0 0 0 0 1 25 -2)2+ 2 , 1 → +2PD → | =5 2,故选 C. ∴当 x0=2时,|PC min 2 y2 10. (文)(2014· 河南淇县一中模拟)已知双曲线 x - 3 =1 的左顶点
2

→· → 为 A1,右焦点为 F2,P 为双曲线右支上一点,则PA 1 PF2的最小值为 ( )

A.-2 C.1 [答案] A [解析]

81 B.-16 D.0

由条件知,A1(-1,0),F2(2,0),∵P 在双曲线右支上,

∴P 在上半支与下半支上结论相同, 设 P(x0, 3x2 0-3),x0≥1,
2 →· → ∴PA (2-x0,- 3x2 1 PF2 = (-1-x0,- 3x0-3)· 0-3)=(- 1-

1 2 81 2 x0)(2-x0)+(3x2 0-3)=4x0-x0-5=4(x0- ) - 8 16, →· → ∴当 x0=1 时,(PA 1 PF2)min=-2,故选 A. (理)(2014· 浙江省五校联考)已知 A、B 是单位圆上的两点,O 为 圆心,且∠AOB=120° ,MN 是圆 O 的一条直径,点 C 在圆内,且满 → =λOA → +(1-λ)OB → (0<λ<1),则CM →· → 的取值范围是( 足OC CN 1 A.[-2,1) 3 C.[-4,0) [答案] C [解析] 以直线 MN 为 x 轴,单位圆的圆心 O 为原点建立直角坐 →· → =-1, 标系,则 M(-1,0),N(1,0),∴OM ON B.[-1,1) D.[-1,0) )

→ =λOA → +(1-λ)OB → ,(0<λ<1), ∵OC → =λBA → (0<λ<1), ∴BC ∴C 在线段 AB 上(不包括端点), → |∈[1,1), ∵OA=OB=1,∠AOB=120° ,∴|OC 2 →· → = ( CO → + OM → )· → + ON → ) = | CO → |2 + CO →· → + ON → )+ ∴ CM CN ( CO ( OM →· → =|CO → |2-1∈[-3,0). OM ON 4 11.(2014· 湖南长沙实验中学、沙城一中联考)如图,平面内的两 → ,OB → ,它们的夹角是 60° → 与OA → 、OB → 向量的夹角 个单位向量OA ,OC → |=2 3,若OC → =λOA → +μOB → ,则 λ+μ 的值为( 都为 30° ,且|OC )

A.2 C.2 3 [答案] B

B.4 D.4 3

[解析] 以 OA、 OB 为邻边作?OADB, ∵OA=1, OB=1, ∠AOB → 与OA → 、OB → 的夹角都为 30° → 与OC →共 =60° ,∴OD= 3,∵OC ,∴OD → =2OD → =2OA → +2OB → ,∴λ=μ=2,λ+μ=4. 线,∴OC → ,OB → 分别为 x 轴,y 轴非负半 12.(2014· 枣庄市期中)如图,OA 轴上的单位向量, 点 C 在 x 轴上且在点 A 的右侧, D、 E 分别为△ABC → 与OA → +OB → 共线.DE → 与OA → 共线,则OD →· → 的边 AB、BC 上的点.若OE BC

的值为(

)

A.-1 C.1 [答案] B

B.0 D.2

→ =λ(OA → +OB → ),DE → =μOA →, [解析] 由条件设OE → =(λ,λ),DE → =(μ,0), ∴OE → =OE → +ED → =(λ,λ)+(-μ,0)=(λ-μ,λ),BC → =(x ,-1), ∴OD 0 x0>1, → 与BA → 共线,BD → =OD → -OB → =(λ-μ,λ-1),BA → =OA → -OB →= ∵BD (1,-1), λ-μ λ-1 ∴ 1 = ,∴2λ-μ=1, -1 → 与BC → 共线,BE → =OE → -OB → =(λ,λ-1), ∵BE x0 - 1 λ ∴λ= ,∴x0= . λ-1 1-λ λ →· → =(λ-μ)x -λ=?λ-μ?λ-λ=?1-λ?· ∴OD BC -λ=0.故选 B. 0 1-λ 1-λ 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,把正确 答案填在题中横线上.) 13.(文)(2014· 甘肃省金昌市二中期中)设向量 a=(x,1),b=(4,

x),且 a,b 方向相反,则 x 的值是________. [答案] -2 [解析] ∵a 与 b 的方向相反,∴存在 k<0,使 a=kb,
?x=4k, ? ∴? ∴x2=4,∵k<0,∴x=-2. ? ?kx=1,

(理)(2014· 江西临川十中期中)若非零向量 a,b,c,满足 a∥b 且 a⊥c,则 c· (a+2b)=________. [答案] 0 [解析] ∵a∥b,∴存在实数 λ,使 b=λa, 又 a⊥c,∴a· c=0, ∴c· (a+2b)=c· (a+2λa)=(1+2λ)a· c=0. 14.(文)(2014· 辽宁师大附中期中)已知 a=(-3,2),b=(-1,0), 向量 λa+b 与 a-2b 垂直,则实数 λ 的值为________. 1 [答案] -7 [解析] ∵λa+b=(-3λ-1,2λ),a-2b=(-1,2), 由条件知(λa+b)· (a-2b)=3λ+1+4λ=0, 1 ∴λ=-7. (理)(2014· 浙江杜桥中学期中)已知 a⊥b,|a|=1,|b|= 3,且 3a +2b 与 λa-b 垂直,则实数 λ 的值为________. [答案] 2 [解析] ∵a⊥b,|a|=1,|b|= 3,∴(3a+2b)· (λa-b)=3λ|a|2-

2|b|2+(2λ-3)a· b=3λ-6=0, ∴λ=2. π 15.(文)(2014· 北京朝阳区期中)已知平面向量 a 与 b 的夹角为6,

→= |a|= 3,|b|=1,则|a-b|=________;若平行四边形 ABCD 满足AB → =a-b,则平行四边形 ABCD 的面积为________. a+b,AD [答案] 1 3

[解析] 由条件知,|a-b|= a2-2a· b+b2 = π 3-2× 3×1×cos6+1=1, π 3+2× 3×1×cos6+1

|a+b|= a2+2a· b+b2= = 7,

→· → =(a+b)(a-b)=a2-b2=2, ∵AB AD →· → =|a+b||a-b|cos〈AB → ,AD → 〉= 7cos〈AB → ,AD → 〉=2, ∴AB AD → ,AD → 〉= 2 ,sin〈AB → ,AD → 〉= 3, ∴cos〈AB 7 7 → ||AD → |sin〈AB → ,AD → 〉=1× 7× 3= 3. ∴S=|AB 7 (理)(2014· 山西曲沃中学期中)正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 →· → 的取值范围是________. 1,若动点 P 在线段 BD1 上运动,则DC AP [答案] [0,1] [解析] 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,∵棱长为 1, ∴四边形 ABC1D1 为矩形,AB=1,AD1= 2, → =AB →, 又DC →· → =AB →· → =|AB → |· → |· → ,AP →〉 ∴DC AP AP |AP cos〈AB , → |· → ,AP → 〉取最小值 0, 当 P 点与 D1 点重合时,|AP cos〈AB → |· → ,AB → 〉取最大值 1, 当 P 点与 B 点重合时,|AP cos〈AP

→ |· → ,AP → 〉∈[0,1], ∴|AP cos〈AB → |=1,∴DC →· → ∈[0,1]. 又|AB AP 16 . ( 文 )(2014· 湖南省五市十校联考 ) 点 M(x , y) 是不等式组 0≤x≤ ? ? ?y≤3 ? ?x≤ 3y 3 表示的平面区域 Ω 内的一动点,使 z=y-2x 的值取得

→· → (O 为坐标原点 ) 的取值范围是 最小的点为 A(x0 , y0) ,则 OM OA ________. [答案] [0,6] [解析] 作出可行域 Ω 为如图四边形 OBCD 区域,作直线 l0:y -2x=0,平移 l0,当平移到经过点 B( 3,1)时,z 取最小值,∴A 为 B 点,即 A( 3,1), → |为定值, ∵M 在平面区域 Ω 内运动,|OA →· → =|OA → |· → |· → ,OM → 〉), OM OA (|OM cos〈OA

→ |cos〈OA → ,OM → 〉取到最小值(或 ∴当 M 与 O(或 C)重合时,|OM →· → =0,M 与 C 重合时,OM →· →= 最大值),且 M 与 O 重合时,OM OA OA ( 3,3)· ( 3,1)=6, →· → ≤6. ∴0≤OM OA

( 理 )(2014· 襄阳四中、襄阳五中联考 ) 设点 P(x , y) 为平面上以 A(4,0),B(0,4) ,C(1,2)为顶点的三角形区域 (包括边界 )内一动点, O → =λOA → +μOB → ,则 λ+μ 的取值范围为________. 为原点,且OP 1 [答案] [4,1] [解析] 直线 AB:x+y=4,直线 AC:2x+3y-8=0,直线 BC: 2x+y-4=0, x+y≤4, ? ? ∴点 P 所在的平面区域为?2x+3y≥8, ? ?2x+y≥4. 即△ABC 的内部和边界, → =λOA → +μOB → =(4λ,4μ), ∵OP
? ?x=4λ, 1 ∴? ∴λ+μ=4(x+y). ?y=4μ. ?

作直线 l0:x+y=0,平移 l0,可知当平移到经过点 C(1,2)时,x +y 取最小值 3, 与直线 AB 重合时, x+y 取最大值 4, 从而 3≤x+y≤4, 1 ∴4≤λ+μ≤1. 三、 解答题(本大题共 6 个小题, 共 74 分, 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.) 17. (本小题满分 12 分)(2014· 福建安溪一中、 养正中学联考)已知 1 1 |a|=1,a· b=2,(a+b)· (a-b)=2,求: (1)a 与 b 的夹角; (2)a+b 与 a-b 的夹角的余弦值 1 [解析] (1)由条件知(a+b)· (a-b)=|a|2-|b|2=2,|a|=1,∴|b|=

2 2, a· b 2 = =2, |a|· |b| 2 1× 2 1 2

设 a 与 b 的夹角为 θ,则 cosθ=

π ∵θ∈[0,π],∴θ=4. 1 1 1 (2)∵(a-b)2=a2-2a· b+b2=1-2×2+2=2, 2 ∴|a-b|= 2 , 1 1 5 ∵(a+b)2=a2+2a· b+b2=1+2×2+2=2, 10 ∴|a+b|= 2 , 设 a-b,a+b 的夹角为 α, ?a-b?· ?a+b? 5 = =5. |a-b|· |a+b| 2 10 × 2 2 1 2

则 cosα=

18. (本小题满分 12 分)(文)(2014· 江西临川十中期中)已知 O 为坐 → =t OA → +t AB →. 标原点,A(0,2),B(4,6),OM 1 2 (1)求证:当 t1=1 时,不论 t2 为何实数,A、B、M 三点都共线; → ⊥AB → 且△ABM 的面积为 12 时,求 a 的值. (2)若 t1=a2,当OM [解析] (1)证明:∵当 t1=1 时, → =OM → -OA → =t AB →, AM 2 ∴不论 t2 为何实数,A、B、M 三点共线. → =(4t 4t +2a2). (2)当 t1=a2 时,OM 2, 2

→ =(4,4),OM → ⊥AB → ,∴4t ×4+(4t +2a2)×4=0,∴t = 又∵AB 2 2 2 1 → =(-a2,a2). -4a2.∴OM → |=4 2, 又∵|AB |-a2-a2+2| 点 M 到直线 AB:x-y+2=0 的距离 d= = 2|a2- 2 1 1|· S△ABM=2, 1→ 1 ∴2|AB |· d=2×4 2× 2|a2-1|=12, 解得 a=± 2,故所求 a 的值为± 2. (理)(2014· 山东省德州市期中)在平面直角坐标系 xOy 中,已知四 → =1OA → 边形 OABC 是等腰梯形,A(6,0),C(1, 3),点 M 满足OM 2 , 点 P 在线段 BC 上运动(包括端点),如图.

(1)求∠OCM 的余弦值; → -λOP → )⊥CM → ,若存在,求出满足条件 (2)是否存在实数 λ,使(OA 的实数 λ 的取值范围,若不存在,请说明理由. [解析] → =(6,0),OC → =(1, 3),OM → =1OA → (1)由题意可得OA 2 =

→ =(2,- 3),CO → =(-1,- 3), (3,0),CM

→· → CO CM 7 → → ∴cos∠OCM=cos〈CO,CM〉= = 14 . → ||CM →| |CO → =(λt, 3λ), (2)设 P(t, 3),其中 1≤t≤5,λOP → -λOP → =(6-λt,- 3λ),CM → =(2,- 3), OA → -λOP → )⊥CM → ,则(OA → -λOP → )· → =0, 若(OA CM 3 即 12-2λt+3λ=0?(2t-3)λ=12,若 t=2,则 λ 不存在, 3 12 若 t≠2,则 λ= , 2t-3 3 3 12 ∵t∈[1,2)∪(2,5],故 λ∈(-∞,-12]∪[ 7 ,+∞). 19. (本小题满分 12 分)(文)(2014· 浙江台州中学期中)在△ABC 中, 三个内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c,已知 sinC=2sin(B+ C)cosB. (1)判断△ABC 的形状; (2)设向量 m=(a+c,b),n=(b+a,c-a),若 m∥n,求∠A. [解析] (1)在△ABC 中,∵sin(A+B)=sinC,sin(B+C)=sinA, ∴sin(A+B)=2sinAcosB,∴sinAcosB-cosAsinB=0, ∴sin(A-B)=0,∴A=B, ∴△ABC 为等腰三角形. (2)∵m∥n,∴(a+c)(c-a)-b(b+a)=0, 1 a2+b2-c2=-ab,∴cosC=-2. 2π ∵0<C<π,∴C= 3 , π 又△ABC 为等腰三角形,∴∠A=6.

(理)(2014· 哈六中期中)已知△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别 为 a,b,c,若 m=(2a-c,cosC),n=(b,cosB),且 m∥n. (1)求角 B 的大小; a +c (2)求 b 的取值范围. [解析] (1)∵m∥n,∴(2a-c)cosB=bcosC, 由正弦定理得(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC, ∴2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB, 1 即 2sinAcosB=sinA,∵sinA≠0,∴cosB=2, π ∵B∈(0,π),∴B=3. a+c sinA+sinC 2 3 (2)由正弦定理得 b = sinB = 3 (sinA+sinC), 2π 2π 3 1 ∵C+A= 3 ,∴sinC=sin( 3 -A)= 2 cosA+2sinA, a+c π ∴ b =2sin(A+6), 2π π π 5π ∵A∈(0, 3 ),∴A+6∈(6, 6 ), a+c ∴ b ∈(1,2]. 20.(本小题满分 12 分)(2014· 抚顺二中期中)在△ABC 中,设内 角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,向量 m=(cosA,sinA),向量 n =( 2-sinA,cosA),|m+n|=2. (1)求角 A 的大小; (2)若 b=4 2,且 c= 2a,求△ABC 的面积. [解析] (1)∵|m+n|2=(cosA+ 2-sinA)2+(sinA+cosA)2

π =4+2 2(cosA-sinA)=4+4cos(4+A), π π ∴4+4cos(4+4)=4,∴cos(4+A)=0, π π π ∵A∈(0,π),∴4+A=2,∴A=4. (2)由余弦定理知:a2=b2+c2-2bccosA, π 即 a2=(4 2)2+( 2a)2-2×4 2× 2acos4, ∴a2-8 2a+32=0,解得 a=4 2,∴c=8, 1 1 2 ∴S△ABC=2bcsinA=2×4 2×8× 2 =16. 21.(本小题满分 12 分)(文)(2014· 安徽程集中学期中)已知△ABC C C 三个内角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c,向量 m=(cos 2 ,sin 2 ), C C π n=(cos 2 ,-sin 2 ),且 m 与 n 的夹角为3. (1)求角 C 的值; 4 3 (2)已知 c=3,△ABC 的面积 S= 3 ,求 a+b 的值. [解析] (1)∵|m|=|n|=1, π 1 ∴m· n=|m|· |n|· cos3=2, C C C C 又 m· n=cos 2 cos 2 +sin 2 (-sin 2 )=cosC, 1 ∴cosC=2, π 又∵C∈(0,π),∴C=3. (2)由 c2=a2+b2-2abcosC,得 a2+b2-ab=9,①

1 4 3 16 由 S△ABC=2absinC= 3 ,得 ab= 3 ,② 由①②得(a+b)2=a2+b2+2ab=9+3ab=25, ∵a,b∈R+,∴a+b=5. (理)(2014· 河北冀州中学期中)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边 3A 3A A A 分别为 a,b,c,已知 m=(cos 2 ,sin 2 ),n=(cos 2 ,sin 2 ),且满足 |m+n|= 3. (1)求角 A 的大小; → |+|AB → |= 3|BC → |,试判断△ABC 的形状. (2)若|AC [解析] (1)由|m+n|= 3,得 m2+n2+2m· n=3, 3A A 3A A 即 1+1+2(cos 2 cos 2 +sin 2 sin 2 )=3, 1 π ∴cosA=2.∵0<A<π,∴A=3. → |+|AB → |= 3|BC → |,∴sinB+sinC= 3sinA, (2)∵|AC 2π 3 ∴sinB+sin( 3 -B)= 3× 2 , 3 1 3 即 2 sinB+2cosB= 2 , π 3 ∴sin(B+6)= 2 . 2π π π 5π ∵0<B< 3 ,∴6<B+6< 6 , π π 2π π π ∴B+6=3或 3 ,故 B=6或2. π π π π 当 B=6时,C=2;当 B=2时,C=6. 故△ABC 是直角三角形.

22.(本小题满分 14 分)(文)(2014· 河南淇县一中模拟)在平面直角 坐标系 xOy 中,直线 l 与抛物线 y2=4x 相交于不同的两点 A,B. →· → 的值; (1)如果直线 l 过抛物线的焦点,求OA OB →· → =-4,证明直线 l 必过一定点,并求出该定点. (2)如果OA OB [解析] (1)由题意知抛物线焦点为(1,0),设 l:x=ty+1, 代入抛物线 y2=4x,消去 x 得 y2-4ty-4=0, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2=4t,y1y2=-4, →· → =x x +y y =(ty +1)(ty +1)+y y ∴OA OB 1 2 1 2 1 2 1 2 =t2y1y2+t(y1+y2)+1+y1y2=-4t2+4t2+1-4=-3. (2)证明:∵直线 l 与抛物线交于不同两点,∴直线 l 与 x 轴不平 行,故可设 l:x=ty+b,代入抛物线 y2=4x 中, 消去 x 得,y2-4ty-4b=0, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2=4t,y1y2=-4b, →· → =x x +y y =(ty +b)(ty +b)+y y ∴OA OB 1 2 1 2 1 2 1 2 =t2y1y2+bt(y1+y2)+b2+y1y2 =-4bt2+4bt2+b2-4b=b2-4b. 令 b2-4b=-4,∴b2-4b+4=0,∴b=2, ∴直线 l 过定点(2,0). (理)(2014· 湖南省五市十校联考)已知向量 m=(sinx, -1), n=( 3 1 cosx,-2),函数 f(x)=m2+m· n-2. (1)求 f(x)的最大值,并求取得最大值时 x 的取值集合; (2)已知 a,b,c 分别为△ABC 内角 A,B,C 的对边,且 a,b, 1 1 c 成等比数列,角 B 为锐角,且 f(B)=1,求tanA+tanC的值.

[解析] (1)f(x)=m2+m· n-2=(m+n)· m -2 3 =(sinx+ 3cosx,-2)· (sinx,-1)-2 1 1-cos2x 3 1 =sin2x+ 3sinxcosx-2= + sin2 x - 2 2 2 3 1 π = 2 sin2x-2cos2x=sin(2x-6). π π π 故 f(x)max=1,此时 2x-6=2kπ+2,k∈Z,得 x=kπ+3,k∈Z. π 所以取得最大值时 x 的集合为{x|x=kπ+3,k∈Z}. π (2)∵f(B)=1,∴sin(2B-6)=1, π π π 5 又∵0<B<2,∴-6<2B-6<6π. π π π ∴2B-6=2,∴B=3. ∵a,b,c 成等比数列,∴b2=ac,∴sin2B=sinAsinC. 1 1 cosA cosC sinCcosA+cosCsinA ∴tanA+tanC= sinA + sinC = sinAsinC = sin?A+C? 1 1 2 3 = = = 3 . 2 sin B sinB 3 2


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