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1.1.2 充分条件与必要条件


1.1.2 充分条件和必要条件

引入一 事例一:

音乐欣赏《我是一只鱼》
提问:鱼非常需要水,没了水,鱼就 无法生存,但只有水,够吗? 探究: p:“有水”;q:“鱼能生存”. 判断:“若p,则q”和“若q,则p”的真假.

引入二

事例二

有一位母亲要给女儿

做一件衬衫,母亲带女儿 去商店买布,母亲问营业员:“要做一件衬衫,应 该买多少布料?”营业员回答:“买三米足够了!” 引导分析: p:有3米布料 q:做一件衬衫

1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义.(重点) 2.掌握充分条件、必要条件的判断方法.(难点) 3.能证明充要条件,会求简单的充要条件.(难点)

探究点1 充分条件、必要条件、充要条件

1.如果命题“若p则q”为真,则记作p ? q(或q ? p).
2.如果命题“若p则q”为假,则记作p ? ? q . 我们知道 x ? y ? x 2 ? y 2 , 但x 2 ? y 2 ? ? x ? y;

x ? 1 ? x 2 ? 1, 但x 2 ? 1 ? x ? 1.

两个三角形相似 ? 两个三角形对应角相等; 反过来,两个三角形对应角相等 ? 两个三角形相似. 思考:上述命题中,条件与结论有什么关系?

1.充分条件和必要条件
一般地,如果p?q,那么称p是q的____ 条件,同时称q 充分 是p的____ 必要条件. 2.充要条件 (1)如果_____ q?p ,那么称p是q的充分必要条件, p?q ,且_____ 简称为p是q的____ 充要条件.记作p?q. (2)概括地说:如果_____ p?q ,那么p与q互为充要条件.

思考:符号“? ? ”的含义是什么? 提示:符号“? ? ”的含义是“等价于”,例如 “ p? ? q”可以理解为“p是q的充要条件”,“p 等价于q”,“q当且仅当p”;“p? ? q”的含义还 可以理解为“p? ? p”. ? q且 q?

思考: 若p是q的充分条件,那么p惟一吗? 提示:不惟一.如x>3是x>0的充分条件,x>5,x>10

等也都是x>0的充分条件.

小结 1.如果 p?q ,且 q?p ,那么称p是q的充要条件; 2.如果 p?q ,且 q? / p ,那么称p是q的充分不必要条件; 3.如果 p? / q ,且q?p ,那么称p是q的必要不充分条件; 4.如果 p? / p ,那么称p是q的既不充分又不必 / q ,且q? 要条件;

例1 指出下列命题中,p是q的什么条件.(“在充分不
必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、

“既不充分又不必要条件”中选出一种)

(1)p:x-1=0,q:(x-1)(x+2)=0; (2)p:两直线平行,q:内错角相等; (3)p:a>b,q:a 2 ? b 2 ; (4)p:四边形的四条边相等,q:四边形是正方形.

解:(1)因为

x ? 1 ? 0 ? ( x ? 1)( x ? 2) ? 0, ( x ? 1)( x ? 2)=0 ? ? x ? 1 ? 0.
所以p是q的充分不必要条件.
(2)因为

两直线平行

内错角相等, ?

所以p是q的充要条件.

(3)因为

a>b ? ? a ?b ,
2 2

a ?b ? ? a>b,
2 2

所以p是q的既不充分又不必要条件. (4)因为 四边形的四条边相等 ? ? 四边形是正方形,

四边形是正方形 ? 四边形的四条边相等,
所以p是q的必要不充分条件.

【提升总结】

判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法
(1)定义法:直接判断“若p则q”以及“若q则p” 的真假. (2)集合法:利用集合的包含关系判断.

(3)等价法:利用p?q与非q?非p;q?p与非p?非 q,p?q与非q?非p的等价关系,一般地,对于条件和结 论是否定形式的命题,一般运用等价法.

(4)传递法:充分条件和必要条件具有传递性,即由
p1?p2????pn,可得p1?pn;充要条件也有传递性.

变式练习

指出下列命题中,p是q的什么条件(在“充

分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条
件”、“既不充分又不必要条件”中选出一种作答). (1)在△ABC中,p:∠A=∠B,q:sin A=sin B; (2)对于实数x,y,p:x+y≠8,q:x≠2或y≠6; (3)非空集合A,B中,p:x∈A∪B,q:x∈B;

(4)已知x,y∈R,p:(x-1)2+(y-2)2=0,
q:(x-1)(y-2)=0. 解题提示:首先分清条件和结论,然后根据各种条件

的定义进行判断.

解:(1)在△ABC中,∠A=∠B?sin A=sin B,反之, 若sin A=sin B,因为A与B不可能互补(三角形三个 内角和为180°),所以只有A=B.故p是q的充要条 件. (2)易知,条件非p:x+y=8,条件非q:x=2且y=6, 显然非q?非p,但非p 非? q ? ,即非q是非p的充分不必 要条件,根据原命题和逆否命题的等价性知,p是q的

充分不必要条件.

(3)显然x∈A∪B不一定有x∈B,但x∈B一定有 x∈A∪B,所以p是q的必要不充分条件. (4)条件p:x=1且y=2,条件q:x=1或y=2, 所以p?q但q ? ? p,故p是q的充分不必要条件.

1.(2011·福建高考改编)若a∈R,则“a=2”是

“(a-1)(a-2)=0”的充分不必要条件 ———————————.
充分不必要条件 . 2.“θ =0”是“sinθ =0”的——————————— 3.设集合M={x|0<x≤3},N={x|0<x≤2},那么 “a∈M”是“a∈N”的______________. 必要不充分条件

4.下列不等式:①x<1;②0<x<1;③-1<x<0; ④-1<x<1.其中,可以是 x 2<1的一个充分条件的 所有序号为________ ②③④ . 解析 由于 x 2 <1即-1<x<1,①显然不能使

-1<x<1一定成立,②③④满足题意.

条件与结论之间的关系
p?q且q?p
充分必要 条件, p是q的_________ 充要 条件,记作_____ p?q 简称为p是q的_____ 充分不必要 条件 p是q的___________
必要不充分 条件 p是q的___________ 既不充分又不必要 条件 p是q的_________________

p?q且q? /p
p? ? q且q ? p

p? / q且q? /p

只有一条路不能选择——那就是放弃的路;只有

一条路不能拒绝——那就是成长的路.


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