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必修2第二章《圆与圆的方程》单元测试题.doc


必修 2 第二章《圆与圆的方程》单元测试题 班级: 姓名:

则 a ? _______. 14. 过点 (1, 2) 的直线 l 将圆 ( x ? 2) ? y ? 4 分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小时,直线 l
2 2

的斜率 k

? ____ .

一、选择题:(本题共 10

小题,每小题 5 分,共 50 分.每小题给出的四个选项中,只有一个选 项正确) 2 2 1. 关于 x,y 的方程 Ax +Bxy+Cy +Dx+Ey+F=0 表示一个圆的等价条件是( ) 2 2 A、B=0,且 A=C≠0 B、B=1 且 D +E -4AF>0 2 2 2 2 C、B=0 且 A=C≠0,D +E -4AF≥0 D、B=0 且 A=C≠0,D +E -4AF>0 2 2 2 2 2.圆 x +y +2x+6y+9=0 与圆 x +y -6x+2y+1=0 的位置关系是( ) A、相交 B、相外切 C、相离 D、相内切 2 2 3.与圆 C:x +y -2x-35=0 的圆心相同,且面积为圆 C 的一半的圆的方程是( ) 2 2 2 2 A、(x-1) +y =3 B、(x-1) +y =6 2 2 2 2 C、(x-1) +y =9 D、(x-1) +y =18 4.曲线 x +y +2 2 x-2 2 =0 关于( )
2 2

15.过圆 x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 外一点 A(2, ?2) ,引圆的两条切线,切点为 T1 , T2 , 则直线 T1T2 的方程为________。 三、解答题: (本题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤) 2 2 16. (12 分)已知曲线 C:x +y -4ax+2ay+20a-20=0. (1)证明:不论 a 取何实数,曲线 C 必过定点; (2)当 a≠2 时,证明曲线 C 是一个圆,且圆心在一条直线上. 17.(12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x ? y ? 8x ? 15 ? 0 ,若直线 y
2 2

? kx ? 2 上

至少存在一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆 与圆 C 有公共点,求 k 的最大值. 18. (12 分)已知圆 C: ?x ?1? ? ? y ? 2? ? 25及直线 l : ?2m ? 1?x ? ?m ? 1?y ? 7m ? 4 ?m ? R? . (1)证明:不论 m 取什么实数,直线 l 与圆 C 恒相交; (2)求直线 l 与圆 C 所截得的弦长的最短长度及此时直线 l 的方程.
2 2

A、直线 x= 2 轴对称 B、直线 y=-x 轴对称 C、点(-2, 2 )中心对称 D、点(- 2 ,0)中心对称 2 2 5.如果圆 x +y +Dx+Ey+F=0 与 y 轴相交,且两个交点分别在原点两侧,那么( ) A、D≠0,F>0 B、E=0,F>0 C、F<0 D、D=0,E≠0 6.C 5.方程 x-1= 1 ? ? y ? 1? 所表示的曲线是(
2

)

A、一个圆 C、半个圆 7. 已知圆 C : x
2 2

B、两个圆 D、四分之一个圆

19. (12 分)已知圆 C:x +y -2x+4y-4=0,是否存在斜率为 1 的直线 l ,使以 l 被圆截得的弦 AB 为直径的圆过原点?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由.
2 2

? y ? 4x ? 0 , l 是过点 P(3, 0) 的直线,则( )
B. l 与 C 相切 D.以上三个选项均有可能

A. l 与 C 相交 C. l 与 C 相离

20. (13 分)已知与圆 C:x +y -2x-2y+1=0 相切的直线 l 交 x 轴,y 轴于 A,B 两点,|OA| =a,|OB|=b(a>2,b>2).(1)求证:(a-2)(b-2)=2; (2)求线段 AB 中点的轨迹方程;(3)求△AOB 面积的最小值.
2 2

2 2 8. 过点 P(1,1) 的直线,将圆形区域 ( x, y ) | x ? y ? 4 分两部分,使得这两部分的面积之差最

?

?

大,则该直线的方程为( ) A. x ?

y?2 ?0

B.

y ?1 ? 0
2

C. x ?
2

y?0

D. x ? 3 y ? 4 ? 0 (D) ? 2 )

21. (14 分)已知圆 C 的方程为 x +y =4.(1)求过点 P(1,2)且与圆 C 相切的直线l 的方程;(2)直线l 过点 → P(1,2), 且与圆 C 交于 A、 B 两点, 若|AB|=2 3, 求直线l 的方程; (3)圆 C 上有一动点 M(x0, y0), ON= → → → (0,y0),若向量OQ=OM+ON,求动点 Q 的轨迹方程,并说明此轨迹是什么曲线.
2 2

9. 设直线过点 (0, a ), 其斜率为 1,且与圆 x ? y ? 2 相切,则 a 的值为( ) (A) ?4 10. 圆 x
2

(B) ?2 2

(C) ?2

? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 10 ? 0 上的点到直线 x ? y ? 14 ? 0 的最大距离与最小距离的差是(

A.36 B. 18 C. 6 2 D. 5 2 二、填空题: (本题共5小题,每小题5分,共25分.请将正 确的答案填到横线上) 2 2 2 2 11.P(x,y)是圆 x +y -2x+4y+1=0 上任意一点,则 x +y 的最大值是______;点 P 到直线 3x+4y-15=0 的最大距离是______. 12.若曲线 y ? 1 ? x 2 与直线 y ? x ? b 始终有交点,则 b 的取值范围是_______; 若有一个交点,则 b 的取值范围是________;若有两个交点,则 b 的取值范围是_______;
2 2 13.设直线 ax ? y ? 3 ? 0 与圆 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 4 相交于 A 、B 两点, 且弦 AB 的长为 2 3 ,

北师大版必修 2 第一章《圆与圆的方程》单元测试题答案

一、选择题: 1. [答案]D 2 2 2 2 2 2. [答案]C 解析:由圆 x +y +2x+6y+9=0 与圆 x +y -6x+2y+1=0,分别化为标准形式 得(x+1) + 2 2 2 (y+3) =1,(x-3) +(y+1) =9,所以得到圆心坐标分别为(-1,-3)和(3,-1),半径 分别为 r=1 和 R=3,则两圆心之间的距离 d=4 2 ,所以两圆的位置关系是相离. 3.[答案]D 4.[答案]D 5 . [ 答案 ] C 解析:只需坐标原点在圆内,即原点与圆心的距离小于半径,已知圆圆心为

1 1 2 1 1 2 kl ? ?14. [答案 ?? ] k ? l 解析: ? ? ? ? y 2 ? 4 的内部 (数形结合) 由图形可知点 A (1, 2) 在圆 ( x ? 2)? , 圆心 kOA 2 k OA ? 2 ?
为 O(2,0)要使得劣弧所对的圆心角最小,只能是直线 l ? OA ,所以 kl ? ? 15 . [ 答 案 ] x ? 2 y ? 2 ? 0

1 1 2 ?? ? kOA 2 ? 2
, 则

解 析 : 设 切 点 为 ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ) , 则 AT1 的 方 程 为

x1 x ? ( y1 ? 2)( y ? 2) ? 4 ; AT2 的 方 程 为 x2 x ? ( y2 ? 2)( y ? 2) ? 4 2x1 ? 4( y1 ? 2) ? 4, 2x2 ? 4( y2 ? 2) ? 4 , ? 2 x ? 4( y ? 2) ? 4, x ? 2 y ? 2 ? 0
三、解答题: 2 2 16.解析:(1)曲线 C 方程可变形为(x +y -20)+a(-4x+2y+20)=0, 由?

D E ( ? ,? ) 2 2
( D 2 ? 0) 2 ? ( E 2









D 2 ? E 2 ? 4F ( D 2 ? E 2 ? 4 F ? 0) 2
及 D +E -4F>0,可得 F<0.
2 2







? 0) 2 ?

D 2 ? E 2 ? 4F 4
2

? x 2 ? y 2 ? 20 ? 0 ?x ? 4 ,解得 ? . ?? 4 x ? 2 y ? 20 ? 0 ? y ? ?2

2 2 2 6.[答案] C 解析:5.方程 x ? 1 ? 1 ? ( y ? 1) 可以等价变形为(x-1) +(y-1) =1,且 x-1

即点(4,-2)满足曲线 C 的方程,故曲线 C 过定点(4,-2). 2 2 2 (2)曲线 C 方程(x-2a) +(y+a) =5(a-2) ,因为 a≠2,所以曲线 C 是圆心为(2a,-a), 半径为 5 | a ? 2 | 的圆. 设圆心坐标为(x, y), 则有 ?

≥ 0 , 1 - (y - 1) ≥ 0 . 即 (x - 1) + (y - 1) = 1 , 且 x ≥ 1 , 0 ≤ y ≤ 2 . 所 以 , 方 程

2

2

x ? 1 ? 1 ? ( y ? 1) 所表示的曲线是半个圆.
2

7. [答案]A 解析: 3 ? 0 ? 4 ? 3 ? ?3 ? 0 ,所以点 P (3, 0) 在圆内部,故选 A. 8. [答案]A 解析:要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大,必须使过点 P 的圆的弦长达 到最小,所以需该直线与直线 OP 垂直即可.又已知点 P(1,1) ,则 kOP ? 1 ,故所求直线的斜率为
2 2

? x ? 2a 1 1 , 消去 a 可得 y ? ? x , 故圆心必在直线 y ? ? x . 2 2 ? y ? ?a
2 2

17.解:因为圆 C 的方程可化为: ? x ? 4? ? y ? 1 ,所以圆 C 的圆心为 (4, 0) ,半径为 1. 由题意,直线 y ? kx ? 2 上至少存在一点 A( x0 , kx0 ? 2) ,以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,所以存在,使得 AC ? 1 ? 1 成立,即 ACmin ? 2 .

-1.又所求直线过点 P(1,1) ,故由点斜式得,所求直线的方程为 y ?1 ? ?

? x ?1? ,即 x ? y ? 2 ? 0 .故

选 A. 2 2 9. [答案] C 解析: 设直线过点(0, a), 其斜率为 1, 且与圆 x +y =2 相切, 设直线方程为 y ? x ? a , 圆心(0,0)道直线的距离等于半径 2 ,∴
2 2

|a| 2

? 2 ,∴ a 的值±2,选 C.

10. [ 答案 ] C 解析:圆 x ? y ? 4 x ? 4 y ? 10 ? 0 的圆心为 (2 , 2) ,半径为 3 2 ,圆心到直线

k ?1 k ?1 4 所以 k 的最大值是 . 3 18.解:(1)直线方程 l : ?2m ? 1?x ? ?m ? 1?y ? 7m ? 4 ,可以改写为 m?2 x ? y ? 7 ? ? x ? y ? 4 ? 0 ,
2 2

因为 ACmin 即为点 C 到直线 y ? kx ? 2 的距离

4k ? 2

,所以

4k ? 2

? 2 ,解得 0 ? k ?

4 . 3

x ? y ? 14 ? 0 的距离为

| 2 ? 2 ? 14 | 2

? 2 5 >3

2 ,圆上的点到直线的最大距离与最小距

所以直线必经过直线 2 x ? y ? 7 ? 0和x ? y ? 4 ? 0 的交点. 由方程组 ?

离的差是 2R =6 2 ,选 C. 二、填空题: 11.[答案] 9 ? 4 5,6 ; 几何意义求解. 13. [答案] a 提示:x +y 的几何意义是点 P(x,y)到原点距离的平方.利用这个
2 2

?2 x ? y ? 7 ? 0, ? x ? 3, 解得 ? 即两直线的交点为 A (3,1) . ?y ? 1 ?x ? y ? 4 ? 0

12.[答案] [?1, 2] ; ? ?1,1? ?

? 0 解析:设直线 ax ? y ? 3 ? 0 与圆 ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 相交于 A 、 B 两点,
| a ?2?3| a2 ? 1 ? 1, a

? 2? ; ? ?1, 2 ?

提示:曲线 y ? 1 ? x 2 代表半圆

又因为点 A 3,1 与圆心 C ?1,2 ? 的距离 d ? 5 ? 5 ,所以该点在 C 内, 故不论 m 取什么实数,直线 l 与圆 C 恒相交. (2)连接 AC ,过 A 作 AC 的垂线,此时的直线与圆 C 相交于 B 、 D . BD 为直线被圆所截得 的最短弦长. 此时, AC ? 又直线

?

?

5, BC ? 5, 所以 BD ? 2 25 ? 5 ? 4 5 .即最短弦长为 4 5 .
的斜率

且弦 AB 的长为 2 3 ,则圆心(1,2)到直线的距离等于 1,

? 0.

AC

k AC ? ?

1 , 所 以 直 线 BD 的 斜 率 为 2. 此 时 直 线 方 程 2

为: y ? 1 ? 2?x ? 3?, 即2 x ? y ? 5 ? 0. 19.解析:假设存在斜率为 1 的直线 l ,满足题意,则 OA⊥OB.[ 设直线 l 的方程是 y=x+b,其与圆 C 的交点 A,B 的坐标分别为 y1 y2 A(x1,y1),B(x2,y2)则 · =-1,即 x1x2+y1y2=0① x1 x2
? ?y=x+b, 由? 2 2 ?x +y -2x+4y-4=0 ?

消去 y 得:2x +2(b+1)x+b +4b -4=0,

2

2

→ (3)设 Q 点的坐标为(x,y),M 点坐标是(x0,y0),ON=(0,y0), → → → ∵OQ=OM+ON,∴(x,y)=(x0,2y0)?x=x0,y=2y0. 2 2 y?2 x y ? 2 2 2 ∵x0+y0=4, ∴x +? ? =4,即 + =1. 4 16 ?2? 2 2 x y ∴Q 点的轨迹方程是 + =1,轨迹是一个焦点在 y 轴上的椭圆. 4 16

1 2 ∴x1+x2=-(b+1),x1x2= (b +4b-4),② 2 2 y1y2=(x1+b)(x2+b)=x1x2+b(x1+x2)+b 1 2 1 2 2 2 = (b +4 b-4)-b -b+b = (b +2b-4).③ 2 2 2 把②③式代入①式,得 b +3b-4=0,解得 b=1 或 b=-4,且 b=1 或 b=-4 都使得 Δ 2 2 =4(b+1) -8(b +4b-4)>0 成立.故存在直线 l 满足题意,其方程为 y=x+1 或 y=x- 4. 2 2 20.解析:(1)证明:圆的标准方程是(x-1) +(y-1) =1, x y 设直线方程为 + =1,即 bx+ay-ab=0, a b |a+b-ab| 圆心到该直线的距离 d= =1, 2 2 a +b 2 2 2 2 2 2 2 2 即 a +b +a b +2ab-2a b-2ab =a +b , 2 2 2 2 即 a b +2ab-2a b-2ab =0, 即 ab+2-2a-2b=0,即(a-2)(b-2)=2. (2)设 AB 中点 M(x,y),则 a=2x,b=2y,代入(a-2)(b-2)=2, 1 得(x-1)(y-1)= (x>1,y>1). 2 (3)由(a-2)(b-2)=2 得 ab+2=2(a+b)≥4 ab, 解得 ab≥2+ 2(舍去 ab≤2- 2), 当且仅当 a=b 时,ab 取最小值 6+4 2, 所以△AOB 面积的最小值是 3+2 2. 21.解析:(1)显然直线 l 的斜率存在,设切线方程为 y-2=k(x-1), |2-k| 4 则由 2 =2,得 k1=0,k2=- , 3 k +1 从而所求的切线方程为 y=2 和 4x+3y-10=0. (2)当直线 l 垂直于 x 轴时,此时直线方程为 x=1, l 与圆的两个交点坐标为(1, 3)和(1, - 3),这两点的距离为 2 3,满足题意;当直线 l 不垂直于 x 轴时,设其方程为 y-2= k(x-1), 2 即 kx-y-k+2=0,设圆心到此直线的距离为 d(d>0),则 2 3=2 4-d ,得 d=1,从 |-k+2| 3 而 1= ,得 k= ,此时直线方程为 3x-4y+5=0,综上所述,所求直线方程为 2 4 k +1 3x-4y+5=0 或 x=1.


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