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2012年南京市单招教学调研性测试卷(一)及答案


2012 年南京市单招教学调研性测试卷(一)





本试卷分第一卷(客观题)和第二卷(主观题)两部分.两卷满分 150 分,考试时间 120 分钟.

第一卷(共 48 分)
注意事项: 第一卷每小题选出答案后, 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 用 如需改动, 用橡皮擦

干净后,再选涂其他答案标号,如果答案不涂写在答题卡上,成绩无效。 一、单项选择题(本大题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分,每小题列出的四个选项中, 只有一项符合要求) 1. 设全集 U={0,2,4,6,8},集合 A ={0, a ? 4 ,8}, CU A ={2,6},则 a 的值为 A.0 B.8 或 0 C. 4 或 8 D.0 或 4 ( ) ( )

2. 已知角 ? 终边经过点 (?3, 4) ,那么 sin ? ? cos ? 等于 A. ?

1 5

B. ?

7 5
?1

C..

1 5

D.

7 5

3. 函数 y ? f ( x) 的反函数 y ? f 是 x 等于 A.4 B.3

( x) 的图象与 y 轴交于点 P(0,2) ,则方程 f ( x) ? 0 的根
( C.2 D.1 ( C.5 D. ) )

4. 已知 lg x ? lg y ? 1 ,则 2 x ? 5 y 的最小值为 A.20 B.10

5 2
( )

5. log4 8 ? log3 6 3 ? log3 2 等于 A.0 B.1 C.2 D.3

6. 已知随机变量 X ? B (5, ) ,则 P( X ? 3) 等于 A.

1 3

( C.

)

5 27

B.

7 81

19 144

D.

40 243
( )

7. 等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 S4 =2, S8 =10,则 S12 等于 A.42 B.32 C.24 D.18

数学单招教学测试卷(一)第 1 页 共 12 页

8. 已知点 (1, cos ? ) 到直线 x sin ? ? y cos ? ? 1 (0 ? ? ? A.

?
2

) 的距离为

? 6

B.

? 4

C.

? 3

1 ,则 ? 等于 ( 4
D.

)

? 2

9. 设 l , m 均为直线,其中 m 在平面 ? 内,则 l ?? 是 l ? m 的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

(

)

10. 一束光线从点 A(?1,1) 出发,经 x 轴反射到圆 C : ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 1 上的最短路程是 ( A.4 B.5 C. 3 2 ?1 D. 2 6 )

11. 设双曲线

x2 y 2 ? ? 1 , (a ? 0, b ? 0) 的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列,那么这个 a 2 b2
( B.3 C. )

双曲线的离心率 e 等于 A.2

5 3

D.

4 3

12. 若函数 f ( x) ? a x ? m ?1(a ? 0且a ? 1) 的图象不经过第二象限,则 m 的取值范围是 . ( A. m ? ?1 B. m ? ?1 C. m ? 0 D. m ? 0 )

数学单招教学测试卷(一)第 2 页 共 12 页

2012 年南京市单招教学调研性测试卷(一)


学校________________________ 班级___________ 准考证号____________ 姓名_____________ 装 订 线



本试卷分第一卷(客观题)和第二卷(主观题)两部分.两卷满分 150 分,考试时间 120 分钟.

第二卷(共 102 分)
三 题号 一 二 19 得分
注意事项:1、答第二卷前,考生务必将密封线内的各项填写清楚. 2、第二卷考生须用钢笔或圆珠笔将答案直接答在试卷上. 3、考试结束,考生只要将第二卷交回. 总分 得分 阅卷人 复核人 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分)

总分 20 21 22 23 24 25

13. 若 tan(? ? ? ) ? 2 ,那么 tan 2? ? 14. 已知直线 x ? y ? 1 ? 0 与抛物线 y ? ax 相切,则 a =
2

. . . .



15. 把函数 y ? 3sin(2 x ?

?
3

) 的图像向右平移

? 得到的解析式为 6

16. 已知函数 f ( x ) 是周期为 3 的奇函数,且 f (1) ? 2012 ,则 f (2012) ? 17. 若复数 z ? a ? 1 ? 5i 为纯虚数,其中 a ? R , i 为虚数单位,则

市(县、区)



a ? i5 = 1 ? ai



18. ( x ?
2

1 9 ) 展开式中的常数项是 x

(结果用数值表示) .



数学单招教学测试卷(一)第 3 页 共 12 页

三、解答题(本大题共 7 小题,共 78 分,解答应写出必要的文字说明及证明过程) 得分 阅卷人 复核人 19. 分)求函数 f ( x) ? (8

log 2 ( x 2 ? 3x ? 3) 的定义域.

得分

阅卷人

复核人

20 .( 10 分 ) 已 知 ? ABC 的 周 长 为

2 ?1 , 且

sin A ? sin B ? 2 sin C .
(1)求 AB 边的长;(2)若 ? ABC 得面积为

1 sin C ,求 ?C 的度数. 6

数学单招教学测试卷(一)第 4 页 共 12 页

得分

阅卷人

复核人

21. (10 分)成等差数列的三个正数的和等于 15,并且这三个 数分别加上 2,5,13 后成为等比数列 ? b n ? 中的 b 3 , b 4 , b 5 .

(1)求数列 ? b n ? 的通项公式; (2)数列 ? b n ? 的前 n 项和为 Sn ,求证:数列 ? S n ?

? ?

5? ? 是等比数列. 4?

得分

阅卷人

复核人

22. (10 分)已知二次函数 f ( x) ? x ? 2ax ? 2, x ???5,5?
2

(1)当 a ? ?1 时,求函数 f ( x ) 的最大值和最小值; (2)求实数 a 的取值范围,使 y ? f ( x) 在区间 ? ?5,5? 上是单调增函数.

数学单招教学测试卷(一)第 5 页 共 12 页

得分

阅卷人

复核人

23. (12 分)某商场消费一定金额可以摸奖一次,在暗箱中设 置同样大小的 2 个白球 2 个红球和 3 个黑球,规定摸到红球得

1 分,摸到白球扣 1 分,摸到黑球不得分也不扣分,每次摸 2 个球,最后以得分的多少决定 奖项.设 X 表示取得 2 个球的总得分,求: (1)得 1 分的概率; (2)得分 X 的分布列以及数学期望 E ( X ) .

数学单招教学测试卷(一)第 6 页 共 12 页

得分

阅卷人

复核人

24. (14 分)正四棱柱 ABCD ? A B1C1D1 中,底面边长为 a , 1 侧棱是底面边长的 2 倍, P 是侧棱 CC1 上任一点.

(1)求证:不论 P 在侧棱 CC1 上何位置,总有 BD ? AP ; D1 (2)若 P 是 CC1 的中点,求二面角 A ? B1P ? B 的正切值; (3)若 CC1 ? 3C1P ,求点 B1 到平面 ABP 的距离.

C1

A1

B1
P

D

C

A

B

数学单招教学测试卷(一)第 7 页 共 12 页

得分

阅卷人

复核人

25. (14 分)直线 l : y ? x ? 1 与曲线 C : x2 ? ay 2 ? 1 相交 于 P 、 Q 两点.

(1)当 a 为何值时, PQ ?

2 ; 2

(2)是否存在实数 a , 使得 OP ? OQ ( O 为坐标原点)?若存在, 求出 a 的值; 若不存在, 说明理由.

??? ?

????

数学单招教学测试卷(一)第 8 页 共 12 页

2012 年南京市单招教学调研性测试卷(一)

数学答案及评分标准
本试卷分第一卷(客观题)和第二卷(主观题)两部分.两卷满分 150 分,考试时间 120 分钟.

第一卷(共 48 分)
一、单项选择题(本大题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分,每小题列出的四个选项中, 只有一项符合要求) 1 B 2 C 3 C 4 A 5 D 6 D 7 C 8 A 9 D 10 A 11 C 12 D

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分) 13、 ?

4 1 ; 14、 ? ; 15、 y ? 3sin 2 x ; 16、 ?2012 ; 17、 i ; 18、84 3 4

三、解答题(本大题共 7 小题,共 78 分,解答应写出必要的文字说明及证明过程) 19、解:? log2 ( x2 ? 3x ? 3) ? 0 ……………………………………………2 分

? x 2 ? 3x ? 3 ? 1

…………………………………………………4 分 ……………………………6 分

? x 2 ? 3x ? 4 ? 0 , x ? 4或x ? ?1

? 函数 f ( x) 的定义域为 ? ??, ?1? ??4, ??? ……………………………8 分
20、解:(1)?sin A ? sin B ? 2 sin C

? 由正弦定理知: a ? b ? 2c …………………………………………2 分
又? a ? b ? c ? 2 ? 1 ,? c ? 1 ,即 AB ? 1 (2)? c ? 1 ,? a ? b ? …………………4 分

2 ……………………………………………5 分 1 1 1 1 ? S? ABC ? sin C ,? ab sin C ? sin C ,? ab ? ……………6 分 6 2 6 3 2 2 ? ?1 2 2 2 2 2 a ?b ?c (a ? b) ? 2ab ? c 1 3 cos C ? ? ……9 分 ? ? 1 2ab 2ab 2 2? 3 ? 又? 0 ? C ? ? ,??C ? ………………………………10 分 3

数学单招教学测试卷(一)第 9 页 共 12 页

21、解:(1)设成等差数列的三个数分别为 a, b, c(a ? 0, b ? 0, c ? 0)

?a ? b ? c ? 15 ?? ? 2b ? a ? c

解得 b ? 5

a ? c ? 10

①…1 分

由已知得 b3 ? 2 ? a , b4 ? 5 ? 5 ? 10 , b5 ? 13 ? c 又? b3 , b4 , b5 成等比数列,

?102 ? (2 ? a) ? (13 ? c)
联立①、②式得 ?

② ………………………………2 分 ………………………3 分

?a ? 3 ? a ? 18 或? (舍) ?c ? 7 ?c ? ?8

? b3 ? 5, b4 ? 10, b5 ? 20 ? 等比数列 ?bn ? 的公比 q ? 2 ………………………………………4 分
…………………………………………5 分 ?bn ? b3 ? qn?3 ? 5 ? 2n?3 5 (2)? b1 ? ……………………………………………………6 分 4 5 (1 ? 2n ) 5 ? Sn ? 4 ? (2n ? 1) ……………………………………7 分 1? 2 4 5 5 n ? Sn ? ? ? 2 4 4 5 5 n ?1 Sn ?1 ? ?2 4?4 ? ? 2 (常数) ………………………………9 分 5 5 n Sn ? ?2 4 4

5? ? ? 数列 ? S n ? ? 是以 2 为公比的等比数列 4? ?
22、解:(1)当 a ? ?1 时,

…………………10 分

f ( x) ? x2 ? 2x ? 2 ? ( x ?1)2 ? 1 ……………………………………1 分

? x?? ?5,5?

? 当 x ? 1 时, f ( x)min ? 1 ………………………3 分
………………………………………5 分

当 x ? ?5 时, f ( x)max ? 37
2

(2)? 函数 f ( x) ? x ? 2ax ? 2 在区间 ? ?5,5? 上是单调增函数

? 对称轴 x ? ?a ? ?5
?a ? 5

……………………………………………8 分 ……………………………………………9 分

? 实数 a 的取值范围为 ?5, ?? ? ……………………………………10 分
数学单招教学测试卷(一)第 10 页 共 12 页

23、解:(1)记{得 1 分}为事件 A 则 P( A) ?
1 1 C2C3 2 ? 2 C7 7

……………………………………1 分

……………………………………………3 分

? 得 1 分的概率为

2 7

………………………………………………4 分

(2)变量 X 可以取的值为 ?2, ?1, 0,1, 2 ……………………………5 分
2 C2 1 ? P( X ? ?2) ? 2 ? C7 21 1 1 C2C2 ? C32 1 ? 2 C7 3 2 C2 1 ? 2 C7 21 1 1 C2C3 2 P( X ? ?1) ? 2 ? C7 7 1 1 C2C3 2 ? 2 C7 7

P( X ? 0) ?

P( X ? 1) ?

P( X ? 2) ?

? 变量 X 的分布列为
X
?2
1 21

?1
2 7

0

1

2

P( X )

1 3

2 7

1 21

……………………………………………………10 分

? E ( X ) ? ?2 ?

1 2 1 2 1 ?0 ? (?1) ? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? 21 7 3 7 21
………………………………………………12 分

? 数学期望 E ( X ) ? 0

24、解:(1)∵正四棱柱 ABCD ? A B1C1D1 1 ∴不论 P 在侧棱 CC1 上任何位置,AP 在底面 ABCD ? A B1C1D1 内的射影都是 AC, 1

? BD ? AC,? BD ? AP

…………………………………………4 分

(2)由于侧棱是底面边长的 2 倍,且 P 是 CC1 的中点, 所以 BP ? PB1 , ………………………………………………………6 分 又由于 ABCD-A1B1C1D1 是正四棱柱, 所以 AB ? 平面BPB1 ,? ?APB就是二面角 A ? B1P ? B 的平面角 ………8 分 易知: tan?APB ?

2 ………………………………………………10 分 2
…………………14 分

(3)由等积法可知:点 B1 到平面 ABP 的距离是 2a

数学单招教学测试卷(一)第 11 页 共 12 页

25、解:设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) 由?

……………………………………………1 分

? y ? x ?1 得 (a ? 1) x2 ? 2ax ? a ? 1 ? 0 x2 ? ay 2 ? 1 ?
2a a ?1 , x1 x2 ? a ?1 a ?1

………………………3 分

据题意可知, a ? ?1

? x1 ? x2 ? ?

………………………………………4 分 ………………………5 分

? ? b2 ? 4ac ? (2a)2 ? 4(a ? 1)(a ?1) ? 4 ? 0
(1)? PQ ? 1 ? k 2

? 4 2 ? 1 ? 12 ? a ?1 a ?1 2

……………………7 分

? a ? 3或a ? ?5

……………………………………………………8 分

(2)设存在实数 a 满足题意,使得 OP ? OQ

??? ?

????

??? ???? ? ? OP ? OQ ? 0
? x1x2 ? y1 y2 ? 0

……………………………………………………9 分 ……………………………………………………10 分

? x1 x2 ? ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? 0
即 2 x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? 0 ……………………………………………11 分

?

2(a ? 1) ?2a ? ?1 ? 0 a ?1 a ?1

解得 a ? 1

……………………………………………………13 分 ……………………………………14 分

??? ???? ? ? 存在实数 a ? 1 使得 OP ? OQ

数学单招教学测试卷(一)第 12 页 共 12 页


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