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高2013级(上)期末测试复习卷(5)


秘密★启用前

高 2013 级(上)期末测试复习卷(五)

数 学(理工类)2012.1.21
数学(理工类)共 4 页,满分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项:
1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。 2.答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其它 答案标号。 3.答非选择题,必须使用 0.5 毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上。 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试卷上答题无效。 5.考试结束,将试卷和答题卡一并收回。

一、选择题:(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50)各题答案必需答在答题卡上。
1.在复平面内,复数 A.第一象限
2i 1?i

对应的点位于(

) C.第三象限 D.第四象限 )

B.第二象限

x 2.设全集 R,若集合 A ? { x | x ? 2 ? 3} , B ? { x | 2 ? 2} ,则 C R ( A ? B ) 为(

A.{ x | 1 ? x ? 5 } C.{ x | x ? 1或 x ? 5 } 3.下列命题中,真命题是( A. ? x 0 ? R , e
x0

B.{ x | x ? ? 1或 x ? 5 } D.{ x | ? 1 ? x ? 5 } ) B. ? x ? R , 2 ? x
x 2

? 0

C. a ? b ? 0 的充要条件是 4.如图是计算
1 2 ? 1 4 ? 1 6 ? ...

a b

? ?1

D. a ? 1, b ? 1 是 ab ? 1 的充分条件 )

1 2012

的值的一个程序框图,则判断框内应填入的条件是( C. i ? 1 0 0 6 D. i ? 1 0 0 6

A. i ? 1 0 0 5

B. i ? 1 0 0 5

i=i+1

s ? s?

1 2i

i=1,s=0 是 否

开始

结束

输出 S

5.某学生四次模拟考试时,其英语作文的减分情况如下表: 考试次数 x 所减分数 y A. y ? 0 . 7 x ? 5 . 25 C. y ? ? 0 . 7 x ? 6 . 25 1 4.5 2 4 3 3 4 2.5 )

显然所减分数 y 与模拟考试次数 x 之间有较好的线性相关关系,则其线性回归方程为( B. y ? ? 0 . 6 x ? 5 . 25 D. y ? ? 0 . 7 x ? 5 . 25
高三数学试题 第 1 页(共 8页)

6.已知 P 是 ? A B C 所在平面内一点, P B ? P C ? 2 P A ? 0 ,现将一粒红豆随机撒在 ? A B C 内,则红 豆落在 ? P B C 内的概率是( A.
1 4

??? ?

????

??? ?

?

) C.
1 2

B.

1 3

D.

2 3

7.用 0,l,2,3,4 这五个数字组成无重复数字的五位数,其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字芝 间,这样的五位数的个数有( A.48 个 B.28 个
?
4

) C .36 个
?
2

D.12 个 )

8.已知 ? ? 0 ,函数 f ( x ) ? sin( ? x ? ) 在 ( A.[ , ]
2 4 1 5

, ? ) 上单调递减,则 ? 的取值范围是( 1

B.[ , ]
2 4

1

3

C. ( 0 , ]
2

D. ( 0 , 2 ]
/

9.设函数 F ( x ) ? 恒成立,则(
2

f (x) e
x

/ 是定义在 R 上的函数,其中 f ( x ) 的导函数 f ( x ) 满足 f ( x ) ? f ( x ) 对于 x ? R


2012

A. f ( 2 ) ? e f ( 0 ), f ( 2 0 1 2 ) ? e C. f ( 2 ) ? e f ( 0 ), f ( 2 0 1 2 ) ? e
2

f (0 ) f (0 )

B. f ( 2 ) ? e f ( 0 ) , f ( 2 0 1 2 ) ? e
2

2012

f (0 ) f (0 )

2012

D. f ( 2 ) ? e f ( 0 ), f ( 2 0 1 2 ) ? e
2

2012

2 10.函数 f ( x ) ? s in 2 x ? 2 3 c o s x ?

3

,函数 g ( x ) ? m c o s ( 2 x ?

?
6

) ? 2m ? 3 (m ? 0)

,若存在

x1 , x 2 ? [ 0 ,

?
4

] ,使得 f ( x 1 ) ? g ( x 2 )

成立,则实数 m 的取值范围是( C. [ , 2 ]
3 2 2 3


4 3

A. ( 0 , 1]

B. [1, 2 ]

D. [ , ]

二、填空题:(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分)把答案填写在答题卡相应位置上.
11.设函数 f ? x ? 12. 函数 y ? a
x?3

?2 , x ≤ 0 , 则f ?f ? ? ? ? lo g 2 x , x ? 0 ,
x

? ? 1?? ?

?
x m y n

? 2 ( a ? 0 , a ? 1 ) 的图像恒过定点 A ,若点 A 在直线

?

? ? 1( m , n ? 0 ) ,则

3 m ? n 的最小值为

13.已知双曲线 x ?
2

y

2

3

???? ???? ? ? 1 的左顶点为 A 1 ,右焦点为 F 2 , P 为双曲线右支上一点,则 P A1 ? P F 2 的最

小值为

考生注意(14)(15)(16)为选做题,请从中任选二题作答, 若三题全做,则按前两题给分。
1 ? x ? t ? 2 ? 14.已知极点为原点 O ,直线 l 的参数方程为 ? ?y ? 1? ? ?

( t 为参数),曲线 C 的极坐标方程为
3 2 t

?

2

? 9 cos

36
2

? ? 4 sin

2

?

,设直线 l 与曲线 C 交于 A , B 两点,

A B
.O

则 ? OAB 的面积为
高三数学试题 第 2 页(共 8页)

E

D

P

C

第 15 题

15.如图, ? A B C 是 ? O 的内接三角形, P A 是 ? O 的切线, P B 交 A C 于 点 E ,交 ? O 于点 D , P A ? P E , ? A B C ? 6 0 , P D ? 1, P B ? 9 ,
0

则 EC ? 16.若不等式 x ? 2 ? x ? 1 ? a ? 1 对任意 x ? R 恒成立,则实数 a 的取值范围

三、解答题:(本大题共 6 小题,共 75 分)解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.( 13 分)已知 ? A B C 的面积 S 满足 3 ? S ? 3 3 , 且 A B ? B C ? 6 , A B 与 B C 的夹角为? . (Ⅰ)求? 的取值范围; (Ⅱ)求函数 f (? ) ? sin ? ? 2 sin ? cos ? ? 3 cos ? 的最大值.
2 2

??? ??? ? ?

??? ?

????

18.( 13 分)中央电视台星光大道某期节目中,有 5 位实力均等的选手参加比赛,经过四轮比赛决出周 冠军(每一轮比赛淘汰 l 位选手). (Ⅰ)甲、乙两位选手都进入第三轮比赛的概率; (Ⅱ)设甲选手参加比赛的轮数为 X,求 X 的分布列及数学期望。

19.( 13 分)已知 f ( x ) ? (Ⅰ)求 a , b 的值;

2 ?b
x

2

x ?1

? a
2

是 R 上奇函数.

(Ⅱ)解不等式 f [ ? 3 ( lo g 3 x ) ? 2 lo g 3 x ] ? f [ 2 ( lo g 3 x ) ? 3 ] ? 0
2

20.( 12 分)已知函数 f ( x ) ? ln (1 ? x )
x

(Ⅰ) 当时 x ? 0 ,求证: f ( x ) ?

2 x? 2


1 ? kx 1? x

(Ⅱ)当 x ? ? 1 且 x ? 0 时,不等式 f ( x ) ?

成立,求实数的值。

高三数学试题 第 3 页(共 8页)

21.( 12 分)已知椭圆 M 的对称轴为坐标轴, 离心率为 一个焦点. (Ⅰ)求椭圆 M 的方程;

2 2

, 且抛物线 y

2

? 4

2x

的焦点是椭圆 M 的

(Ⅱ)设直线 l 与椭圆 M 相交于 A、B 两点,以线段 O A , O B 为邻边作平行四边形 OAPB,其中点 P 在椭圆 M 上, O 为坐标原点. 求点 O 到直线 l 的距离的最小值.

22.( 12 分)各项均为正数的等比数列{ a n } ,a1=1, a 2 a 4 =16,单调增数列{ b n } 的前 n 项和为 S n ,
a 4 ? b 3 ,且 6 S n ? b n ? 3b n ? 2 ( n ? N
2

*

).

(Ⅰ)求数列{ a n } 、{ b n } 的通项公式; (Ⅱ)令 c n ?
bn an
* ( n ? N ),求使得 c n ? 1 的所有 n 的值,并说明理由.

(Ⅲ)证明{ a n } 中任意三项不可能构成等差数列.

高三数学参考答案
一、选择题:(50 分)
题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

二、填空题:(25 分)
11. ? 1 12. 16 13. 14.
4 7 5

15.4

16. ( ? 2 , 4 ]

三、解答题:(75 分) 17.解:解:(1)? f ( 0 ) (2)?
f (x) ?
2

? 0 , ? b ? ? 1 ? f ( ? 1) ? ? f (1),? a ? 2

1 2

?

1 1? 2
x
2

? f ( x ) 在 R 上为增函数,原不等式等价于:

2 ( lo g 3 x ) ? 3 ? 3 ( lo g 3 x ) ? 2 ( lo g 3 x )

即 ( lo g 3

x ) ? 2 ( lo g 3 x ) ? 3 ? 0
2

高三数学试题 第 4 页(共 8页)

? lo g 3 x ? ? 3 o r lo g 3 x ? 1 ? x ?

1 27

or x ? 3

所以不等式的解集为{ x |

x ?

1 27

o r x ? 3}

18. 20.解: 21.解:(I)由已知抛物线的焦点为 ( 2 , 0 ) ,故设椭圆方程为
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) ,

高三数学试题 第 5 页(共 8页)

则c ?

2 ,由 e ?

2 2

, 得 a ? 2, b

2

? 2 . 所以椭圆 M 的方程为

x

2

?

y

2

? 1.

4

2

(II)当直线 l 斜率存在时,设直线方程为 y ? k x ? m ,则由
? y ? kx ? m , ? 2 2 ?x y ? ? 1. ? ? 4 2

消去 y 得, (1 ? 2 k ) x ? 4 km x ? 2 m
2 2

2

?4 ? 0 ,
2

, ① ( 设 A、 B 、 P 点的坐标分别为 ( x 1 , y 1 )、 x 2 , y 2 )、( x 0 , y 0 ) ,则:
? ? 16k m
2 2

? 4 (1 ? 2 k )( 2 m
2

2

? 4) ? 8(2 ? 4 k

? m ) ? 0
2

x 0 ? x1 ? x 2 ? ?

4 km 1 ? 2k
2

, y 0 ? y 1 ? y 2 ? k ( x1 ? x 2 ) ? 2 m ?

2m 1 ? 2k
2



由于点 P 在椭圆 M 上,所以 从而
4k m
2 2 2 2

x0 4

2

?

y0 2

2

?1 .
2

(1 ? 2 k )

?

2m

2 2 2

(1 ? 2 k )

? 1 ,化简得 2 m

? 1 ? 2 k ,经检验满足①式.
2

又点 O 到直线 l 的距离为:
1 d ? |m | 1? k
2

?k

2

?

2 1? k
2

?

1?

1 2 (1 ? k )
2

?

1?

1 2

?

2 2

当且仅当 k ? 0 时等号成立 当直线 l 无斜率时,由对称性知,点 P 一定在 x 轴上, 从而点 P 的坐标为 ( ? 2 , 0 ) 或 ( 2 , 0 ) ,直线 l 的方程为 x ? ? 1 ,所以点 O 到直线 l 的距离为 1 .
2

所以点 O 到直线 l 的距离最小值为 2

.

高三数学试题 第 6 页(共 8页)

22.解:

高三数学试题 第 7 页(共 8页)


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