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一元二次不等式的解法(一)


课题引入
1.关于 x 的不等式 ax ? b ? 0 怎么解?
(I)当a ? 0时, (1)若b ? 0, 则x ? R; ( 2)若b ? 0, 则x ? ?.
2

(II)当a ? 0时, b (1)若a ? 0, 则x ? ? ; a b ( 2)若a ? 0, 则x ? ? . a

2.关于

x 的不等式 ax ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 又怎么解?

只含有一个未知数, 并且未知数的最高次数 是2次的不等式, 称之为一元二次不等式.

新课讲解 一、三个二次之间的关系
方程或不等式 (a>0) Δ >0 解 Δ =0 { x | x= -
b } 2a

集 Δ <0

ax2+bx+c=0、 {x|x=x1 或 x=x2}

?

y= ax2+bx+c

ax2+bx+c >0 ax2+bx+c <0

例1.解不等式 2x2-3x-2 > 0 .
注:开口向上,大于0

解集是大于大根,小 于小根(两边飞)

若改为:不等式 2x2-3x-2 < 0 .
注:开口向上,小于0 解集是大于小根且 小于大根(两边夹)

例2.解不等式 -3x2+6x > 2.

二、利用一元二次函数图象解一元二次不等式 的一般步骤: (1)先将二次项系数化为“+”,

求出Δ和相应方程的解;
(2)再画出函数图象,根据图 象写出不等式的解。

练习1:解下列不等式

(1)4x2-4x+1 > 0
(2)-x2 +2x-3 > 0 (3) -3x2 +5x-4 < 0

(4) 4x2 -20x < 25

三、含参数的一元二次不等式:

例3 解关于 x 的不等式:
2

ax ? 5ax ? 6a ? 0?a ? 0?

例4 解关于 x的不等式:
2 2

x ? 5ax ? 6a ?0 (a ? 0)

例5 解关于 x 的不等式:
2

2 x ? kx ? k ? 0

例6 解关于x的不等式:ax 2 ? (2a ? 1) x ? 2 ? 0.
解:(1)当a ? 0时,原不等式化为 - x ? 2 ? 0 ? x ? 2; ( 2)当a ? 0时,原不等式化为(ax - 1)( x - 2) ? 0, 1 即( x ? )( x ? 2) ? 0, a 1 1 1 若a ? , 则 ? 2,? ? x ? 2; 2 a a 1 若a ? , 则( x - 2)2 ? 0,? x ??; 2 1 1 1 若0 ? a ? , 则 ? 2,? 2 ? x ? ; 2 a a (3)当a ? 0时,原不等式化为(ax - 1)( x - 2) ? 0, 1 即( x ? )( x ? 2) ? 0, a 1 1 ? ? 2,? x ? 2或x ? . a a 综上所述: ??

练习2: 解关于x的不等式 (1)(x -2)(ax -2)<0; (2)ax ? ax ? 1 ? 0.
2

课堂小结 1.利用二次函数图象解一元二次不等式的步骤
(1)先求出Δ和相应方程的解,
(2)再画出函数图象,根据图象写出不等式的解。

注:若a<0时,先变形! 2. 二次函数
一元二次方程的根 一元二次不等式的解 三个二次问题都可以通过图形实现转换 图象

3.含参的一元二次不等式讨论方法:
先二次项系数的符号,再△,最后根的大小.


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