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2018版高中数学(人教A版)必修5同步教师用书:必修5 第2章 2.3 第1课时 等差数列的前n项和


2.3 等差数列的前 n 项和 第 1 课时 等差数列的前 n 项和 1.了解等差数列前 n 项和公式的推导过程.(难点) 2.掌握等差数列前 n 项和公式及其应用.(重点) 3.会用裂项相消法求和.(难点、易错点) [基础· 初探] 教材整理 等差数列的前 n 项和 阅读教材 P42~P44 例 2,完成下列问题. 1.数列的前 n 项和的概念 一般地,称 a1+a2+?+an 为数列{an}的前 n 项和,用 Sn 表示,即 Sn=a1+a2 +?+an. 2.等差数列的前 n 项和公式 已知量 求和公式 首项、末项与项数 n?a1+an? Sn= 2 首项、公差与项数 n?n-1? Sn=na1+ 2 d 1.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,已知 a2=3,a6=11,则 S7 等于( A.13 【解析】 B.35 C.49 D.63 ) a2+a6=a1+a7=14, 7?a1+a7? ∴S7= =49. 2 【答案】 C 2.等差数列{an}中,a1=1,d=1,则 Sn=________. 【解析】 因为 a1=1,d=1, n?n-1? 所以 Sn=n+ 2 ×1 2n+n2-n = 2 n2+n n?n+1? = 2 = 2 . 【答案】 n?n+1? 2 3.在等差数列{an}中,S10=120,那么 a1+a10=________. 【解析】 【答案】 10?a1+a10? 由 S10= =120,得 a1+a10=24. 2 24 ) 1 4.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=2,S4=20,则 S6 等于( A.16 C.36 【解析】 B.24 D.48 4×3 1 设等差数列{an}的公差为 d,由已知得 4a1+ 2 ×d=20,即 4×2 4×3 + 2 d=20,解得 d=3, 1 6×5 ∴S6=6×2+ 2 ×3=3+45=48. 【答案】 D [小组合作型] 裂项求和法 已知等差数列{an}满足:a3=7,a5+a7=26,{an}的前 n 项和为 Sn. (1)求 an 及 Sn; (2)令 bn= 1 (n∈N*),求数列{bn}的前 2 an-1 n 项和 Tn. 【精彩点拨】 (1)设出首项和公差,根据已知条件构造方程组可求出首项和 公差,进而求出 an 及 Sn;(2)由(1)求出 bn 的通项公式,再根据通项公式的特点选择 求和的方法. 【自主解答】 (1)设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d, ?a1+2d=7, 由题意可得? ??a1+4d?+?a1+6d?=26, 解得 a1=3,d=2,所以 an=3+2(n-1)=2n+1; n?n-1? Sn=3n+ 2 ×2=n2+2n. (2)由(1)知 an=2n+1,所以 1 1 1 1 bn= 2 = =4· = 2 an-1 ?2n+1? -1 n?n+1? 1 ? 1 ?1 ?n-n+1?, · 4? ? 1 1 1 1 1 ? 1? 所以 Tn=4?1-2+2-3+?+n-n+1? ? ? 1 ? 1? =4?1-n+1? ? ? = n , 4?n+1? n 即数列{bn}的前 n 项和 Tn= . 4?n+1? 裂项相消法求和就是将数列的每一项拆成两项或多项,使数列中的项出现有规 律的抵消项,进而达到求和的目的. 常用裂项技巧有: (1) 1 ? 1 1?1 = k?n-n+k?; n?n+k? ? ? (2)若{an}为等差数列,公差


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