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函数综合复习(高一复习专用)


高一函数综合复习(一)
1.函数的定义域
(1)若函数 y=lg(ax2+x+1)的定义域为 R,实数 a 的取值范围为 .

若函数的值域为 R,实数 a 的取值范围是________

(2)若函数 f ( x) ? 16 ? ax 在 ?? 1,2? 上是减函数,则 a 的取值范围是__________.

>
(3)已知 f ( x) ? loga (1 ? ax) 在 ?? 1,2? 上是增函数,则 a 的取值范围是________.

(4)已知 f ( x) ? loga2 ( x ? 2ax ? 3) 在 (??,?2) 上是增函数,则 a 的取值范围是_____
2

(5)已知 A ? {x x

2

? ( p ? 2) x ? 1 ? 0, x ? R} ,且 A ? R ? ? ?, 则 p 的取值范围是__

1

2.数形结合
?ax 2 ? 2 x ? 1,≥ x 0, ? (1)已知函数 f ( x) ? ? 2 是偶函数,直线 y ? t 与函数 y ? f ( x) 的图象自左 ? ? x ? bx ? c,x ? 0

向右依次 交于四个不同点 A , B , C , D .若 AB ? CD ,则实 数 t 的取值范围为______.

?2 x ≥ 2, ? , (2)已知函数 f(x)= ? x ,若关于 x 的方程 f(x)=kx 有两个不同的实根, 3 ?( x ? 1) , 0 ? x ? 2 ?
则实数 k 的取值范围是______.

? ?a,a-b≤1, (3)对实数 a 和 b,定义运算“? ”:a ? b=? 设函数 f(x)=(x2-2) ? (x-x2), ?b,a-b>1. ?

x∈ R.若函数 y=f(x)-c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,则实数 c 的取值范围是_____

2 2 (4)关于 x 的方程 x ? 1 ? x ? 1 ? k ? 0 ,给出下列四个命题:

?

?

2

①存在实数 k, 使得方程恰有 2 个不同实根; ②存在实数 k, 使得方程恰有 4 个不同实根; ③存在实数 k, 使得方程恰有 5 个不同实根; ④存在实数 k, 使得方程恰有 8 个不同实根; 其中正确的是_______

(5)设 f(x)的定义域为 D,若 f( x)满足下面两个条件,则称 f(x)为闭函数.① f(x)在 D 内 是单调函数;② 存在[a,b]?D,使 f(x)在[a,b]上的值域为[a,b]. 如果 f(x)= 2x+1+k 为闭函数,那么 k 的取值范围是__________

2

3.函数单调性及最值
x-b (1)若函数 y= 在(a,b+4)(b<-2)上的值域为(2,+∞),则 ab=________. x+2

(2)已知函数 f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 2 | ?

? | x ? 2011| ? | x ? 1| ? | x ? 2 | ?

? | x ? 2011|

( x ? R ) ,且 f (a2 ? 3a ? 2) ? f (a ? 1) ,则满足条件的所有整数 a 的和是



(3)已知函数 f(x)=|x-1|+|2x-1|+|3x-1|+…+|100x-1|,则当 x=

时,f(x)取得最小值.

x3 ? x (4)函数 f ( x) ? 2 的值域是___________. ( x ? 1) 2

3

答案: 1. (1) ( ,?? ) 2. (1) (?2,?1)

1 4

1 ? 1? 0, ? (2) (0,8] (3) ( 0, ) ? 2 ? 4?
1 2

(4) [ ?

1 ,0) ? (0,1) (5). (?4,??) 4 3 4

(2) ( 0, ) (3) ( ?? ,?2] ? ( ?1,? ) (4) (1) (2) (3) (4)

1 1 ? (5)-1<k≤- [解析] f(x)= 2x+1+k 为? ?-2,+∞?上的增函数,又 f(x)在[a,b]上的 2 ? ?fa=a, 1 ? - ,+∞?上有两个不等实根, 值域为[a,b],∴ 即 f(x)=x 在? 2 ? ? ?fb=b, ? 1 ? 即 2x+1=x-k 在? ?-2,+∞?上有两个不等实根. 1 - ,+∞?上有两个不同交点. 问题可化为 y= 2x+1和 y=x-k 的图像在? ? 2 ? 1 1 对于临界直线 m,应有-k≥ ,即 k≤- . 2 2 1 1 对于临界直线 n,y′=( 2x+1)′= ,令 =1,得切点 P 横坐标为 0, 2x+1 2x+1 1 ∴ P(0,1),∴ n:y=x+1,令 x=0,得 y=1,∴ -k<1,即 k>-1.综上,-1<k≤- . 2 x-b 2+b 1 3(1) [解析] y= =1- , 16 x+2 x+2 又 b<-2,则函数在(-2,+∞)上是减函数,故 a=-2,f(b+4)=2,得 b=-4, 1 - 即 ab=(-2) 4= . 16 (2)解:因 f(-x)=f(x),故 f(x)为偶函数. 记 g(x)= | x ? 1| ? | x ? 2 | ?
? | x ? 2011| ,h(x)= | x ? 1| ? | x ? 2 | ? ? | x ? 2011| .

当 x≥0 时,g(x+1)-g(x)=|x+2012|-|x+1|=2011,
?2 x ? 2011,0 ? x ? 2011, h(x+1)-h(x)=|x|-|x-2011|= ? x ? 2011. ?2011, ?2 x, 0 ? x ? 2011, 所以,f(x+1)-f(x)= ? 所以,f(0)=f(1)<f(2)<f(3)<…. ?4022, x ? 2011.

又当 0≤x≤1 时, f(x)= ( x ? 1) ? ( x ? 2) ?
? ( x ? 2011) ? (1 ? x) ? (2 ? x) ? ? (2011 ? x) = 2011 ? 2012 ,

??1≤a 2 ? 3a ? 2≤1, 故 | a2 ? 3a ? 2 |?| a ? 1| 或 ? 且 a∈ N*,解得 a=1,2,3,所以结果为 6. ??1≤1 ? a≤1,



本题也可以这样思考:从最简单的先开始.先研究函数 f1 ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 1| 与函

数 f 2 ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 2 | ? | x ? 1| ? | x ? 2 | 的图象与性质,它们都是“平底锅型”,进而猜 测函数 f ( x) 的图象与性质,并最终得以解决问题.

4

(3)解

1 1 1 f(x)= | x ? 1| ? | x ? | ? | x ? | ? | x ? | ? 2 2 3 1项
2项 3项

1 ?| x? |? 3

?| x?

1 |? 100

?| x?

1 |, 100

100 项

f(x)共表示为 5050 项的和,其最中间两项均为 | x ? x=

1 |. 71

1 1 1 ,同时使第 1 项|x-1|与第 5050 项 | x ? | 的和, 第 2 项 | x ? | 与第 5049 项 71 2 100 1 | 的和,第 3 项与第 5048 项的和,…,第 2525 项与第 2526 项的和,取得最小 100
1 . 71

|x?

值.故所求的 x 为 注

1.一般地,设 a1≤a2≤a3≤…≤an(n∈ N*),f(x)=|x-a1|+|x-a2|+|x-a3|+…+|x-an|.
2

若 n 为奇数,则当 x= a1? n 时,f(x)取最小值; 若 n 为偶数,则 x∈[an , an ] 时,f(x)取最小值.
2 2 ?1

2.本题似于 2011 年北大自主招生题:“求|x-1|+|2x-1|+|3x-1|+…+|2011x-1|的最小值”. (4)解析:本题考查综合应用函数知识的能力,利用导数求函数的最值问题的方法与步骤. 易想到但不适宜的解法:由 f ′(x)=0,得 x=-1- 2 ,1- 2 ,-1+ 2 ,1+ 2 , 所以 f(x)在 x=-1- 2 与-1+ 2 处取得极小值,在 1- 2 与 1+ 2 处取得极大值, f(-1- 2 )=-

1 1 1 1 ,f(1+ 2 )= .故所求的值域是[- , ] . (此解法运算量大,很 4 4 4 4

费时)其图像大致如下。 另解一:令 x=tanα,则
x3 ? x 1 1 1 =- sin4α∈ [- , ] . ( x 2 ? 1) 2 4 4 4

(此解法需学生熟练万能公式)
1 x , 1 2 (x ? ) x x?

x3 ? x x3 ? x 另解二:f(x)= 2 ,当 x =0 时, f ( x )=0 ,当 x ≠0 , f ( x )= = ( x ? 1) 2 ( x 2 ? 1) 2

令t ? x?

1 t 1 1 ,代入,得 g(t)= f(x)= 2 ∈[? , ] . t ?4 4 4 x

(此解法要求学生有较强的代数恒等变形能力) (说明:在限定的考试时间内由解法一求解不是很合理的,运算量非常大,非常耗时。 )

5

高一函数综合复习(二)
4.函数奇偶性和周期性
(1)下列函数: ①f(x)= ⑤f(x)=lg 1-x +
2

3x-3 x x -1;②f(x)=x -x;③f(x)=ln(x+ x +1);④f(x)= ; 2


2

3

2

1-x .其中奇函数的个数是________. 1+x

(2)设函数 y ? f ( x) 满足对任意的 x ? R , f ( x) ? 0 且 f 2 ( x ? 1) ? f 2 ( x) ? 9 . 已知当 x ? (0,1) 时,有 f ( x) ? 2 ? 4x ? 2 ,则 f ?

? 2013? ? 的值为________. ? 6 ?

(3)若定义在 R 上的减函数 y ? f ( x) ,对于任意的 x, y ? R ,不等式

f ( x2 ? 2x) ? ? f (2 y ? y 2 ) 成立.且函数 y ? f ( x ? 1) 的图象关于点 (1, 0) 对称,
则当 1 ? x ? 4 时,

y 的取值范围 x

.

(4)已知函数 f ? x ? 满足 f ?1? ? 2 , f ? x ? 1? ? 则 f ?1? ? f ? 2? ? f ?3? ?

1? f ? x? , 1? f ? x?
.

? f ? 2007? 的值为

(5)已知对于任意 x, f ( x) ? f ( x ? 1) f ( x ? 1) , f (0) ? 1, f (1) ? 2 ,

) ? f (2013 ) ? ________ 则 f (0) ? f (1) ? f (2) ? ? ? ? ? f (2012

6

1 (6)已知函数 f(x)满足:f(1)= ,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x,y∈ R),则 f(2012)=__. 4

(7)已知两条直线 l1 : y ? m, l 2 : y ?

8 (m ? 0) , l1 与函数 y ? log2 x 的图像从左 2m ? 1

至右相交于点 A、B, l 2 与函数 y ? log2 x 的图像从左至右相交于点 C、D。记线 段 AC 和 BD 在 x 轴上的投影长度分别为 a,b,当 m 变化时,

b 的最小值为_______ a

5.指数和对数
(1)已知 a=log0.70.8,b=log1.10.9,c=1.10.9,则 a,b,c 的大小关系是_______

(2)f(x)=2|x

+1|-|x-1|

,f(x)≥2 2,x 的取值范围是______

(3)已知 a= 5

.4 log3 2

,b=5

.6 log 3 4

,c= ( )

1 5

0 .3 log 3

,则________

(4)定义在(-∞,+∞)上的任意函数 f(x)都可以表示成一个奇函数 g(x)和一个偶函数 h(x) 之和,如果 f(x)=lg(10x+1),其中 x∈ (-∞,+∞),那么 g(x)=__________ h(x)=__________

(5)已知方程 10x=10-x,lg x+x=10 的实数解分别为 α 和 β,则 α+β 的值是________.

7

log2x-1 (6)函数 f(x)= ,若 f(x1)+f(2x2)=1(其中 x1,x2 均大于 2),则 f(x1x2)的最小值为__ log2x+1

?|lg|x-2||,x≠2, ? (7)定义域为 R 的函数 f(x)=? 则关于 x 的方程 f2(x)+bf(x)+c=0 有 5 ? 1 , x = 2 , ?

个不同的实数根 x1,x2,x3,x4,x5,求 f(x1+x2+x3+x4+x5)=________.

(8)已知函数 x,y 满足 x≥1,y≥1.loga2x+loga2y=loga(ax2)+loga(ay2)(a>0 且 a≠1), 求 loga(xy)的取值范围.

6.二次函数以及幂函数
(1)函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) 的图象关于直线 x ? ?
2

b 对称.据此可推测,对任 2a
2

意的非零实数 a,b,c,m,n,p,关于 x 的方程 m ? f ( x) ? ? nf ( x) ? p ? 0 的解集 都不可能是_____ A. ?1, 2? B ?1, 4? C ?1, 2,3, 4? D ?1, 4,16,64?

(2)设函数 f ( x) ?

ax2 ? bx ? c (a ? 0) 的定义域为 D ,若所有点 (s, f (t ))(s, t ? D) 构

成一个正方形区域,则 a 的值为______

(3)已知函数 f(x)=|x2-2|,若 f(a)≥f(b),且 0≤a≤b,则满足条件的点(a,b)所围成区域的面 积为

? ?) ,若关于 x 的不等式 f ( x) ? c b ? R) 的值域为 [0 , (4)已知函数 f ( x) ? x2 ? ax ? b(a,
8

m ? 6) ,则实数 c 的值为 的解集为 (m ,



答案: 1. (1) ( ,?? ) 2. (1) (?2,?1)

1 4

1 ? 1? 0, ? (2) (0,8] (3) ( 0, ) ? 2 ? 4?

(4) [ ?

1 ,0) ? (0,1) (5). (?4,??) 4

(2) ( 0, ) (3) ( ?? ,?2] ? ( ?1,? ) (4) (1) (2) (3) (4)

1 2

3 4

1 1 ? (5)-1<k≤- [解析] f(x)= 2x+1+k 为? ?-2,+∞?上的增函数,又 f(x)在[a,b]上的 2 ?fa=a, ? 1 ? - ,+∞?上有两个不等实根, 值域为[a,b],∴ 即 f(x)=x 在? ? 2 ? ? ?fb=b, 1 ? 即 2x+1=x-k 在? ?-2,+∞?上有两个不等实根. 1 ? 问题可化为 y= 2x+1和 y=x-k 的图像在? ?-2,+∞?上有两个不同交点. 1 1 对于临界直线 m,应有-k≥ ,即 k≤- . 2 2 1 1 对于临界直线 n,y′=( 2x+1)′= ,令 =1,得切点 P 横坐标为 0, 2x+1 2x+1 1 ∴ P(0,1),∴ n:y=x+1,令 x=0,得 y=1,∴ -k<1,即 k>-1.综上,-1<k≤- . 2 x - b 2 + b 1 3(1) [解析] y= =1- , 16 x+2 x+2 又 b<-2,则函数在(-2,+∞)上是减函数,故 a=-2,f(b+4)=2,得 b=-4, 1 - 即 ab=(-2) 4= . 16 (2)解:因 f(-x)=f(x),故 f(x)为偶函数. 记 g(x)= | x ? 1| ? | x ? 2 | ?
? | x ? 2011| ,h(x)= | x ? 1| ? | x ? 2 | ? ? | x ? 2011| .

当 x≥0 时,g(x+1)-g(x)=|x+2012|-|x+1|=2011,
?2 x ? 2011,0 ? x ? 2011, h(x+1)-h(x)=|x|-|x-2011|= ? x ? 2011. ?2011, ?2 x, 0 ? x ? 2011, 所以,f(x+1)-f(x)= ? 所以,f(0)=f(1)<f(2)<f(3)<…. ?4022, x ? 2011.

又当 0≤x≤1 时, f(x)= ( x ? 1) ? ( x ? 2) ?
? ( x ? 2011) ? (1 ? x) ? (2 ? x) ? ? (2011 ? x) = 2011 ? 2012 ,

??1≤a 2 ? 3a ? 2≤1, 故 | a2 ? 3a ? 2 |?| a ? 1| 或 ? 且 a∈ N*,解得 a=1,2,3,所以结果为 6. ??1≤1 ? a≤1,



本题也可以这样思考:从最简单的先开始.先研究函数 f1 ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 1| 与函

数 f 2 ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 2 | ? | x ? 1| ? | x ? 2 | 的图象与性质,它们都是“平底锅型”,进而猜
9

测函数 f ( x) 的图象与性质,并最终得以解决问题. (3)解
1 1 1 f(x)= | x ? 1| ? | x ? | ? | x ? | ? | x ? | ? 2 2 3 1项
2项 3项

1 ?| x? |? 3

?| x?

1 |? 100

?| x?

1 |, 100

100 项

f(x)共表示为 5050 项的和,其最中间两项均为 | x ? x=

1 |. 71

1 1 1 ,同时使第 1 项|x-1|与第 5050 项 | x ? | 的和, 第 2 项 | x ? | 与第 5049 项 71 2 100 1 | 的和,第 3 项与第 5048 项的和,…,第 2525 项与第 2526 项的和,取得最小 100
1 . 71

|x?

值.故所求的 x 为 注

1.一般地,设 a1≤a2≤a3≤…≤an(n∈ N*),f(x)=|x-a1|+|x-a2|+|x-a3|+…+|x-an|.
2

若 n 为奇数,则当 x= a1? n 时,f(x)取最小值; 若 n 为偶数,则 x∈[an , an ] 时,f(x)取最小值.
2 2 ?1

2.本题似于 2011 年北大自主招生题:“求|x-1|+|2x-1|+|3x-1|+…+|2011x-1|的最小值”. (4)解析:本题考查综合应用函数知识的能力,利用导数求函数的最值问题的方法与步骤. 易想到但不适宜的解法:由 f ′(x)=0,得 x=-1- 2 ,1- 2 ,-1+ 2 ,1+ 2 , 所以 f(x)在 x=-1- 2 与-1+ 2 处取得极小值,在 1- 2 与 1+ 2 处取得极大值, f(-1- 2 )=-

1 1 1 1 ,f(1+ 2 )= .故所求的值域是[- , ] . (此解法运算量大,很 4 4 4 4

费时)其图像大致如下。 另解一:令 x=tanα,则
x3 ? x 1 1 1 =- sin4α∈ [- , ] . ( x 2 ? 1) 2 4 4 4

(此解法需学生熟练万能公式)
1 x , 1 2 (x ? ) x x?

x3 ? x x3 ? x 另解二:f(x)= 2 ,当 x =0 时, f ( x )=0 ,当 x ≠0 , f ( x )= = ( x ? 1) 2 ( x 2 ? 1) 2

令t ? x?

1 t 1 1 ,代入,得 g(t)= f(x)= 2 ∈[? , ] . t ?4 4 4 x

(此解法要求学生有较强的代数恒等变形能力) (说明:在限定的考试时间内由解法一求解不是很合理的,运算量非常大,非常耗时。 )

10

4(1)5 (2) 5

(3) [? ,1 ]

1 2

(4)3 (5)2351

1 1 (6) 依题意得 4f(1)f(0)=f(1)+f(1),f(0)=2f(1)= ;4f(1)f(1)=f(2)+f(0), 2 2 1 1 1 ∴ f(2)= - =- , 4 2 4 f(n+1)+f(n-1)=4f(n)f(1)=f(n),所以 f(n+1)=f(n)-f(n-1), 记 an=f(n)(其中 n∈ N*),则有 an+1=an-an-1(n≥2), an+2=an+1-an=-an-1,an+3=an+2-an+1=-an,an+6=-an+3=an, 故数列{an}的项以 6 为周期重复出现. 1 1 注意到 2012=6× 335+2,因此有 a2012=f(2)=- ,即 f(201 2)=- . 4 4 (7)由题意得 A(2
?m
[来源:学科网 ZXXK]

, m), B(2 m , m), C (2
8 2 m ?1

?

8 2 m ?1

,

8 8 ), D(2 2 m?1 , ) 2m ? 1 2m ? 1

8

所以

b 2 ?2 ? ?2 8 ? a 2 ?m ? 2 2 m?1
m

m?

8 2 m ?1

?2

1 4 1 ( m? )? ? 1 2 2 m? 2

?2

4?

1 2

?8 2

5(1) b<a<c (2)

,+∞) [3 4

(3)a>c>b. ①
-x

(4)由题意:g(x)+h(x)=lg(10x+1) 又 g(-x)+h(-x)=lg(10 +1).即-g(x)+h(x)=lg(10 +1) 由① ② 得:g(x)= (5)10
-x



x x ,h(x)=lg(10x+1)- . 2 2

作函数 y=f(x)=10x,y=g(x)=lg x,y=h(x)=10-x 的图象如图所示,由于 y=f(x)与 y=g(x)互为反函数, ∴ 它们的图象是关于直线 y=x 对称的.又直线 y=h(x)与 y=x 垂直, ∴ y=f(x)与 y=h(x)的交点 A 和 y=g(x)与 y=h(x)的交点 B 是关于直线 y=x 对称的. 而 y=x 与 y=h(x)的交点为(5,5).又方程 10x=10-x 的解 α 为 A 点横坐标, α+β 同理,β 为 B 点横坐标.∴ =5,即 α+β=10. 2 (6)解析:由 f(x1)+f(2x2)= 1,得 即 log2x2= log2x1-1 log2 x2-1 + =1, log2x1+1 log2 x2+1

4 4 .于是 log2(x1x2)=log2x1+log2x2=log2x1+ ≥5, log2x1-1 log2x1-1 log2x1x2-1 当且仅当 log2x1=3 时等号成立.所以 f(x1x2)= = log2x1x2+1 2 2 1- ≥ . log2x1x2+1 3 (7)解析:作出函数 f(x)的图象可以得到 x1+x2+x3+x4+x5=9.f(9)=|lg 7|=lg 7.答案:lg 7 (8)由已知等式得:loga2x+loga2y=(1+2logax)+(1+2logay),即(logax-1)2+(logay-1)2=4, 11

令 u=logax,v=logay,k=logaxy,则(u-1)2+(v-1)2=4(uv≥0),k=u+v.在直角坐标系 uOv 内, 圆弧(u-1)2+(v-1)2=4(uv≥0)与平行直线系 v=-u+k 有公共点,分两类讨论. (1)当 u≥0,v≥0 时,即 a>1 时,结合判别式法与代点法得 1+ (2)当 u≤0,v≤0,即 0<a<1 时,同理得到 2(1- 综上,当 a>1 时,logaxy 的最大值为 2+2 当 0<a<1 时,logaxy 的最大值为 1-

3 ≤k≤2(1+ 2 );

2 )≤k≤1- 3 . 2 ,最小值为 1+ 3 ;

3 ,最小值为 2-2 2 .

6(3)解:易知 f(x)在 [0, 2] 上减,在 [ 2, ??) 上增,于是 a,b 不可能同在 ( 2, ??) 上. 若 0≤a≤b≤ 2 ,则 2-a2≥2-b2 恒成立,它围成图 7 中的区域① ; 若 0≤a≤ 2 ≤b,则 2-a2≥b2-2,即 a2+b2≤4,它围成图 7 中的区域② .

b 2

2 ② ①

1 综上,点(a,b)所围成的区域恰好是圆 a2+b2=4 的 . 8
故所求区域的面积为

O

? . 2

图7

2 a

12


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