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排列组合典型例题


典型例题一
例 1 用 0 到 9 这 10 个数字.可组成多少个没有重复数字的四位偶数? 解法 1:当个位数上排“0”时,千位,百位,十位上可以从余下的九个数字中任选 3 个来排列,故有 A9 个; 当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排,则千位上从余下的八个非零数字中任选一 个,百位,十位上再从余下的八个数字中任选两个来排,按乘法原理有 A4 ? A8 ? A8

(个) .
1 1 2 3

∴ 没有重复数字的四位偶数有
3 1 1 A9 ? A4 ? A8 ? A82 ? 504 ? 1 7 9 2 ? 2296 个.

典型例题二
例 2 三个女生和五个男生排成一排 (1)如果女生必须全排在一起,可有多少种不同的排法? (2)如果女生必须全分开,可有多少种不同的排法? (3)如果两端都不能排女生,可有多少种不同的排法? (4)如果两端不能都排女生,可有多少种不同的排法? 解: (1) (捆绑法)因为三个女生必须排在一起,所以可以先把她们看成一个整体,这 样同五个男生合一起共有六个元素,然成一排有 A6 种不同排法.对于其中的每一种排法, 三个女生之间又都有 A3 对种不同的排法,因此共有 A6 ? A3 ? 4320 种不同的排法.
3 6 3 6

(2) (插空法)要保证女生全分开,可先把五个男生排好,每两个相邻的男生之间留出 一个空档.这样共有 4 个空档,加上两边两个男生外侧的两个位置,共有六个位置,再把三 个女生插入这六个位置中, 只要保证每个位置至多插入一个女生, 就能保证任意两个女生都 不相邻.由于五个男生排成一排有 A5 种不同排法,对于其中任意一种排法,从上述六个位 置中选出三个来让三个女生插入都有 A6 种方法,因此共有 A5 ? A6 ? 14400 种不同的排法.
3 5 3 5

(3)解法 1: (位置分析法)因为两端不能排女生,所以两端只能挑选 5 个男生中的 2 个,有 A5 种不同的排法,对于其中的任意一种排法,其余六位都有 A6 种排法,所以共有
6 A52 ? A6 ? 14400 种不同的排法. 2 6

(4)解法 1:因为只要求两端不都排女生,所以如果首位排了男生,则未位就不再受 条件限制了,这样可有 A5 ? A7 种不同的排法;如果首位排女生,有 A3 种排法,这时末位就
1 7 1

只能排男生, 有 A5 种排法, 首末两端任意排定一种情况后, 其余 6 位都有 A6 种不同的排法, 这样可有 A3 ? A5 ? A6 种不同排法.因此共有 A5 ? A7 ? A3 ? A5 ? A6 ? 36000 种不同的排法.
1 1 6 1 7 1 1 6

1

6

解法 2: 3 个女生和 5 个男生排成一排有 A8 种排法, 从中扣去两端都是女生排法 A3 ? A6
8 2

6

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种,就能得到两端不都是女生的排法种数. 因此共有 A8 ? A3 ? A6 ? 36000 种不同的排法.
8 2 6

典型例题三
例 3 排一张有 5 个歌唱节目和 4 个舞蹈节目的演出节目单。 (1)任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种? (2)歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种? 解: (1)先排歌唱节目有 A5 种,歌唱节目之间以及两端共有 6 个位子,从中选 4 个放 入舞蹈节目,共有 A6 中方法,所以任两个舞蹈节目不相邻排法有: A5 A6 =43200. (2)先排舞蹈节目有 A4 中方法,在舞蹈节目之间以及两端共有 5 个空位,恰好供 5 个歌唱节目放入。所以歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的排法有: A4 A5 =2880 种方法。
4
5 4 5 4 5

4

典型例题四
例 4 某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课,如果第 一节不排体育,最后一节不排数学,那么共有多少种不同的排课程表的方法. 分析与解法 1:6 六门课总的排法是 A6 ,其中不符合要求的可分 为: 体育排在第一书有 A5 种排法, 如图中Ⅰ; 数学排在最后一节有 A5
5 5 6

种排法,如图中Ⅱ;但这两种排法,都包括体育排在第一书数学排在最后一节,如图中Ⅲ, 这种情况有 A4 种排法,因此符合条件的排法应是:
6 5 4 A6 ? 2 A5 ? A4 ? 504 (种) .

4

典型例题五
例 5 现有 3 辆公交车、 每辆车上需配 1 位司机和1 位售票员. 问 3 位司机和 3 位售票员, 车辆、司机、售票员搭配方案一共有多少种? 分析:可以把 3 辆车看成排了顺序的三个空: ,然后把 3 名司机和 3 名售票员分 别填入.因此可认为事件分两步完成,每一步都是一个排列问题. 解:分两步完成.第一步,把 3 名司机安排到 3 辆车中,有 A3 ? 6 种安排方法;第二步
3

把 3 名售票员安排到 3 辆车中,有 A3 ? 6 种安排方法.故搭配方案共有
3 3 3 A3 ? A3 ? 36 种.

典型例题六

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例 6 下是表是高考第一批录取的一份志愿表.如果有 4 所重点院校,每所院校有 3 个 专业是你较为满意的选择. 若表格填满且规定学校没有重复, 同一学校的专业也没有重复的 话,你将有多少种不同的填表方法?
学 1 2 3 校 1 1 1 专 业 2 2 2

解:填表过程可分两步.第一步,确定填报学校及其顺序,则在 4 所学校中选出 3 所并 加排列,共有 A4 种不同的排法;第二步,从每所院校的 3 个专业中选出 2 个专业并确定其 顺序,其中又包含三小步,因此总的排列数有 A3 ? A3 ? A3 种.综合以上两步,由分步计数
2 2 2

3

原理得不同的填表方法有: A4 ? A3 ? A3 ? A3 ? 5184 种.
3 2 2 2

典型例题七
例 5 7 名同学排队照相. (1)若分成两排照,前排 3 人,后排 4 人,有多少种不同的排法? (2)若排成两排照,前排 3 人,后排 4 人,但其中甲必须在前排,乙必须在后排,有多少 种不同的排法? (3)若排成一排照,甲、乙、丙三人必须相邻,有多少种不同的排法? (4)若排成一排照,7 人中有 4 名男生, 女生不能相邻, 有多少种不面的排法? 3 名女生, 解:(1) A7 ? A4 ? A7 ? 5040 种.
3 4 7

(2)第一步安排甲,有 A3 种排法;第二步安排乙,有 A4 种排法;第三步余下的 5 人排在 剩 下 的 5 个 位 置 上 , 有 A5 种 排 法 , 由 分 步 计 数 原 理 得 , 符 合 要 求 的 排 法 共 有
1 1 5 A3 ? A4 ? A5 ? 1440 种. 5

1

1

(3)第一步,将甲、乙、丙视为一个元素,有其余 4 个元素排成一排,即看成 5 个元素的 全排列问题,有 A5 种排法;第二步,甲、乙、丙三人内部全排列,有 A3 种排法.由分步计 数原理得,共有 A5 ? A3 ? 720 种排法.
5 3 5 3

(4)第一步,4 名男生全排列,有 A4 种排法;第二步,女生插空,即将 3 名女生插入 4 名 男生之间的 5 个空位,这样可保证女生不相邻,易知有 A5 种插入方法.由分步计数原理得, 符合条件的排法共有: A4 ? A5 ? 1440 种.
4 3 3

4

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典型例题八
例 8 从 2、 3、 4、 5、 6 五个数字中每次取出三个不同的数字组成三位数,求所有三位数 的和. 解: 形如
2

的数共有 A4 个, 当这些数相加时, 由 “2” 产生的和是 A4 ? 2 ; 形如
2 2 2

的数也有 A4 个,当这些数相加时,由“ 2 ”产生的和是 A4 ? 2 ?10 ;形如
2

的数也有 A4

2

个, 当这些数相加时, 由 “2” 产生的和应是 A4 ? 2 ?100 . 这样在所有三位数的和中, 由 “2 ” 产 生 的 和 是 A4 ? 2 ?111 . 同 理 由 3、 4、 5、 6 产 生 的 和 分 别 是 A4 ? 3 ?111 , A4 ? 4 ? 111 ,
2 2 2 2 2 2 ?111 ? (2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6) ? 26640 . A4 ? 5 ?111 , A4 ? 6 ?111 ,因此所有三位数的和是 A4

典型例题九
例 9 计算下列各题: (1) A15 ;
2

(2) A6 ;

6

(3)

m ?1 n?m An ?1 ? An ? m ; n ?1 An ?1

(4) 1!?2 ? 2 !?3 ? 3 !? ? ? n ? n !

(5)

1 2 3 n ?1 ? ? ??? 2 ! 3! 4 ! n!

解:(1) A15 ? 15 ?14 ? 210 ;(2) A6 ? 6 !? 6 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ?1 ? 720 ;
2 6

(3)原式 ?

(n ? 1) ! 1 (n ? 1) ! 1 ? ( n ? m) ! ? ? ? ( n ? m) ! ? ? 1; [n ? 1 ? (m ? 1) !] (n ? 1) ! (n ? m) ! (n ? 1) !

(4)原式 ? (2 ! ? 1) ? (3 ! ? 2 ! ) ? (4 ! ? 3 ! ) ? ? ? [(n ? 1) ! ? n ! ] ? (n ? 1) ! ? 1 ; (5)∵

n ?1 1 1 1 2 3 n ?1 ? ? ? ? ??? ,∴ n! (n ? 1) ! n ! 2 ! 3! 4 ! n!

?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ??? ? ? 1? . 1! 2 ! 2 ! 3 ! 3 ! 4 ! (n ? 1 ) ! n ! n!
本题计算中灵活地用到下列各式:

n ! ? n(n ? 1) ! ;nn ! ? (n ? 1) ! ? n ! ;

n ?1 1 1 ? ? ;使问题解得简单、快捷. n! (n ? 1) ! n !

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典型例题十
例 10

a , b , c , d , e , f 六人排一列纵队,限定 a 要排在 b 的前面( a 与 b 可以相邻,

也可以不相邻) ,求共有几种排法.对这个题目, A 、 B 、 C 、 D 四位同学各自给出了一 种算式: A 的算式是

1 6 1 1 1 1 1 4 4 ? A2 ? A3 ? A4 ? A5 ) ? A4 ; C 的算式是 A6 ; A6 ; B 的算式是 ( A1 2

4 .上面四个算式是否正确,正确的加以解释,不正确的说明理由. D 的算式是 C62 ? A4

解: A 中很显然, “ a 在 b 前的六人纵队”的排队数目与“ b 在 a 前的六人纵队”排队 数目相等,而“六人纵队”的排法数目应是这二者数目之和.这表明: A 的算式正确. B 中把六人排队这件事划分为 a 占位,b 占位,其他四人占位这样三个阶段,然后用乘 法求出总数,注意到 a 占位的状况决定了 b 占位的方法数,第一阶段,当 a 占据第一个位置 时, b 占位方法数是 A5 ;当 a 占据第 2 个位置时, b 占位的方法数是 A4 ;??;当 a 占据 第 5 个位置时,b 占位的方法数是 A1 ,当 a ,b 占位后,再排其他四人,他们有 A4 种排法, 可见 B 的算式是正确的.
1 4
1

1

C 中 A64 可理解为从 6 个位置中选 4 个位置让 c , d , e , f 占据,这时,剩下的两个位置
依前后顺序应是 a , b 的.因此 C 的算式也正确. 这两个位置让 a , b 占据, 显然,a , b 占 D 中把 6 个位置先圈定两个位置的方法数 C62 , 据这两个圈定的位置的方法只有一种( a 要在 b 的前面) ,这时,再排其余四人,又有 A4 种 排法,可见 D 的算式是对的. 说明:下一节组合学完后,可回过头来学习 D 的解法.
4

典型例题十一
例 11 八个人分两排坐,每排四人,限定甲必须坐在前排,乙、丙必须坐在同一排, 共有多少种安排办法? 解法 1:可分为“乙、丙坐在前排,甲坐在前排的八人坐法”和“乙、丙在后排,甲坐 在前排的八人坐法”两类情况.应当使用加法原理,在每类情况下,划分“乙丙坐下” 、 “甲 坐下” ; “其他五人坐下”三个步骤,又要用到分步计数原理,这样可有如下算法:
2 1 5 2 1 5 A4 ? A2 ? A5 ? A4 ? A4 ? A5 ? 8 640 (种).

解法 2:采取“总方法数减去不命题意的所有方法数”的算法.把“甲坐在第一排的八 人坐法数”看成“总方法数” ,这个数目是 A4 ? A7 .在这种前提下,不合题意的方法是“甲
1 7

坐第一排,且乙、丙坐两排的八人坐法. ”这个数目是 A4 ? C2 ? A3 ? A4 ? A5 .其中第一个因数
1 1 1 1 5

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1 1 1 A4 表示甲坐在第一排的方法数, C 2 表示从乙、丙中任选出一人的办法数, A3 表示把选出

的这个人安排在第一排的方法数,下一个 A4 则表示乙、丙中沿未安排的那个人坐在第二排 的方法数, A5 就是其他五人的坐法数,于是总的方法数为
1 7 1 1 1 1 5 A4 ? A7 ? A4 ? C2 ? A3 ? A4 ? A5 ? 8 640 (种). 5

1

说明:解法 2 可在学完组合后回过头来学习.

典型例题十二
例 12 计划在某画廊展出 10 幅不同的画,其中 1 幅水彩画、4 幅油画、5 幅国画,排成 一行陈列,要求同一品种的画必须连在一起,并且不彩画不放在两端,那么不同陈列方式有 ( ) . A. A4 ? A5
4 5

B. A3 ? A4 ? A5
3 4

5

C. C3 ? A4 ? A5
1 4

5

D. A2 ? A4 ? A5
2 4

5

解:将同一品种的画“捆”在一起,注意到水彩画不放在两端,共有 A2 种排列.但 4 幅油画、5 幅国画本身还有排列顺序要求.所以共有 A2 ? A4 ? A5 种陈列方式.
2 4 5

2

∴应选 D. 说明:关于“若干个元素相邻”的排列问题,一般使用“捆绑”法,也就是将相邻的若 干个元素“捆绑”在一起,看作一个大元素,与其他的元素进行全排列;然后,再“松绑” , 将被“捆绑”的若干元素,内部进行全排列.本例题就是一个典型的用“捆绑”法来解答的 问题.

典型例题十三
例 13 由数字 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 组成没有重复数字的六位数, 其中个位数字小于十位数的 个数共有( A.210 ) . B.300

C.464

D.600
5

解法 1: (直接法) :分别用 1 , 2 , 3 , 4 , 5 作十万位的排列数,共有 5 ? A5 种,所以其中 个位数字小于十位数字的这样的六位数有

1 5 ? 5 ? A5 ? 300 个. 2
6 5

解法 2: (间接法) :取 0 , 1 ,?, 5 个数字排列有 A6 ,而 0 作为十万位的排列有 A5 ,所 以其中个位数字小于十位数字的这样的六位数有

1 6 5 ( A6 ? A5 ) ? 300 (个). 2

∴应选 B. 说明:(1)直接法、间接法是解决有关排列应用题的两种基本方法,何时使用直接法或

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间接法要视问题而定, 有的问题如果使用直接法解决比较困难或者比较麻烦, 这时应考虑能 否用间接法来解. (2)“个位数字小于十位数字”与“个位数字大于十位数字”具有对称性,这两类的六 位数个数一样多,即各占全部六位数的一半,同类问题还有 6 个人排队照像时,甲必须站在 乙的左侧,共有多少种排法.

典型例题十四
例 14 用 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 这五个数字, 组成没有重复数字的三位数, 其中偶数共有 ( ) .

A.24 个 B.30 个 C.40 个 D.60 个 分析:本题是带有附加条件的排列问题,可以有多种思考方法,可分类,可分步,可利 用概率,也可利用本题所提供的选择项分析判断. 解法 1:分类计算. 将符合条件的偶数分为两类.一类是 2 作个位数,共有 A4 个,另一类是 4 作个位数, 也有 A4 个.因此符合条件的偶数共有 A4 ? A4 ? 24 个.
2 2 2 2

解法 2:分步计算. 先排个位数字, 有 A2 种排法, 再排十位和百位数字, 有 A4 种排法, 根据分步计数原理, 三位偶数应有 A2 ? A4 ? 24 个.
1 2 1 2

解法 3:按概率算. 用 1 ? 5 这 5 个数字可以组成没有重复数字的三位数共有 A5 ? 60 个,其中偶点其中的
3

2 2 .因此三位偶数共有 60 ? ? 24 个. 5 5
解法 4:利用选择项判断. 用 1 ? 5 这 5 个数字可以组成没有重复数字的三位数共有 A5 ? 60 个.其中偶数少于奇
3

数,因此偶数的个数应少于 30 个,四个选择项所提供的答案中,只有 A 符合条件. ∴应选 A .

典型例题十五
例 15 (1)计算 A1 ? 2 A2 ? 3 A3 ? ? ? 8 A8 .
1 2 3 8

(2)求 S n ? 1 ! ? 2 ! ? 3 ! ? ? ? n ! ( n ? 10 )的个位数字. 分析:本题如果直接用排列数公式计算,在运算上比较困难,现在我们可以从和式中项 的 特 点 以 及 排 列 数 公 式 的 特 点 两 方 面 考 虑 . 在 (1) 中 , 项 可 抽 象 为
n n n n n ?1 n nAn ? (n ? 1 ? 1) An ? (n ? 1) An ? nAn ? An ?1 ? An



(2)









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n ! ? n(n ? 1)(n ? 2)?3 ? 2 ?1 ,当 n ? 5 时,乘积中出现 5 和 2,积的个位数为 0,在加法运
算中可不考虑. 解:(1)由 nAn ? (n ? 1) ! ? n !
n

∴原式 ? 2 ! ? 1! ? 3 ! ? 2 ! ? ? ? 9 ! ? 8 ! ? 9 ! ? 1! ? 362879 . (2)当 n ? 5 时, n ! ? n(n ? 1)( n ? 2)?3 ? 2 ?1 的个位数为 0, ∴ S n ? 1 ! ? 2 ! ? 3 ! ? ? ? n ! ( n ? 10 )的个位数字与 1! ? 2 ! ? 3 ! ? 4 ! 的个位数字相同. 而 1! ? 2 ! ? 3 ! ? 4 ! ? 33 ,∴ S n 的个位数字为 3. 说明:对排列数公式特点的分析是我们解决此类问题的关键,比如:求证:

1 2 3 n 1 ? ? ??? ? 1? ,我们首先可抓等式右边的 2 ! 3! 4 ! (n ? 1) ! (n ? 1) ! n n ? 1 ?1 n ?1 1 1 1 ? ? ? ? ? , (n ? 1) ! (n ? 1) ! (n ? 1) ! (n ? 1) ! n ! (n ? 1) !
∴左边 ? 1 ?

1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? 1? ? 右边. 2 ! 2 ! 3! n ! (n ? 1) ! (n ? 1) !

典型例题十六
例 16 用 0 、 组成无重复数字的自然数, (1)可以组成多少个 1、 2、 3、 4、 5 共六个数字, 无重复数字的 3 位偶数?(2)可以组成多少个无重复数字且被 3 整除的三位数? 分析: 3 位偶数要求个位是偶数且首位数字不能是 0 ,由于个位用或者不用数字 0 ,对 确定首位数字有影响, 所以需要就个位数字用 0 或者用 2 、 一个自然数能被 3 整 4 进行分类. 除的条件是所有数字之和是 3 的倍数,本题可以先确定用哪三个数字,然后进行排列,但要 注意就用与不用数字 0 进行分类. 解:(1)就个位用 0 还是用 2 、 2、 3、 4 中任取两 4 分成两类,个位用 0 ,其它两位从 1、 数 排 列 , 共 有 A4 ? 12 ( 个 ) , 个 位 用 2 或 4 , 再 确 定 首 位 , 最 后 确 定 十 位 , 共 有
2

2 ? 4 ? 4 ? 32 (个),所有 3 位偶数的总数为: 12 ? 32 ? 44 (个).
(2) 从 0 、 1、 2、 3、 4、 5 中取出和为 3 的倍数的三个数,分别有下列取法: (0 1 2) 、

(0 1 5) 、 (0 2 4) 、 (0 4 5) 、 (1 2 3) 、 (1 3 5) 、 (2 3 4) 、 (3 4 5) ,前四组中有 0 ,
后四组中没有 0 ,用它们排成三位数,如果用前 4 组,共有 4 ? 2 ? A2 ? 16 (个),如果用后
2

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四组,共有 4 ? A3 ? 24 (个),所有被 3 整除的三位数的总数为 16 ? 24 ? 40 (个).
3

典型例题十七
例 17 一条长椅上有 7 个座位, 4 人坐,要求 3 个空位中,有 2 个空位相邻,另一个空 位与 2 个相邻空位不相邻,共有几种坐法? 分析:对于空位,我们可以当成特殊元素对待,设空座梯形依次编号为

1、 2、 3、 4、 5、 6、 7 .先选定两个空位,可以在 1、 2 号位,也可以在 2 、 3 号位?共有六种
可能,再安排另一空位,此时需看到,如果空位在 1、 2 号,则另一空位可以在 4 、 5、 6、 7号 位,有 4 种可能,相邻空位在 6 、 7 号位,亦如此.如果相邻空位在 2 、 3 号位,另一空位可 以在 5 、 6、 7 号位,只有 3 种可能,相邻空位在 3 、 4 号, 4 、 5 号, 5 、 6 号亦如此,所以必 须就两相邻空位的位置进行分类. 本题的另一考虑是, 对于两相邻空位可以用合并法看成一 个元素与另一空位插入已坐人的 4 个座位之间,用插空法处理它们的不相邻. 解答一:就两相邻空位的位置分类: 若两相邻空位在 1、 2或6、 7 ,共有 2 ? 4 ? A4 ? 192 (种)坐法.
4

若两相邻空位在 2 、 3, 3、 4,4、 5或5、 6 ,共有 4 ? 3 ? A4 ? 288 (种)不同坐法,所
4

以所有坐法总数为 192 ? 288 ? 480 (种). 解答二:先排好 4 个人,然后把两空位与另一空位插入坐好的 4 人之间,共有
4 A4 ? A52 ? 480 (种)不同坐法.

解答三:本题还可采用间接法,逆向考虑在所有坐法中去掉 3 个空位全不相邻或全部相 邻的情况, 4 个人任意坐到 7 个座位上,共有 A7 种坐法,三个空位全相邻可以用合并法, 直接将三个空位看成一个元素与其它座位一起排列,共有 A5 种不同方法.三个空位全不相 邻仍用插空法,但三个空位不须排列,直接插入 4 个人的 5 个间隔中,有 A4 ?10 种不同方
4
5 4

法,所以,所有满足条件的不同坐法种数为 A7 ? A5 ? 10 A4 ? 480 (种).
4 5 4

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