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专题05 数列求和方法-备战2015高考技巧大全之高中数学巧学巧解巧用(解析版)


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【高考地位】 数列是高中数学的重要内容,又是高中数学与高等数学的重要衔接点,其涉及的基础知识、数学思想与方 法,在高等数学的学习中起着重要作用 ,因而成为历年高考久考不衰的热点题型 ,在历年的高考中都占有重要 地位。数列求和的常用方法是我们在高中数学学习中必须掌握的基本方法,是高考的必考热点之一。此类 问题中除了利用等差数列和等比数列求和公式外, 大部分数列的求和都需要一定的技巧。 下面, 就近几年 高 考数学中的几个例子来谈谈数列求和的基本方法 和技巧。 【方法点评】 方法一 公式法
[来源:学科网]

解题模板:第一步 结合所求结论,寻找已知与未知的关系; 第二步 根据已知条件列方程求出未知量; 第三步 利用前 n 项和公式求和结果

例 1.设 {an } 为等差数列, S n 为数列 {an } 的前 n 项和,已知 S 7 ? 7 , S15 ? 75 , Tn 为数列 { 和,求

Sn } 的前 n 项 n

Tn .

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【评析】直接应用公式求和时,要注意公式的应用范围,如当等比数列公比为参数(字母)时,应对其公比是 否为 1 进行讨论.常用的数列求和公式有: 等差数列前 n 项和公式:

Sn ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d. 2 2

?na1 (q ? 1) ? 等比数列前 n 项和公式: S n ? ? a1 (1 ? q n ) a1 ? an q . ? 1 ? q ? 1 ? q (q ? 1) ?
自然数方幂和公式: 1 ? 2 ? 3 ? ??? ? n ?

1 n(n ? 1) 2 1 12 ? 22 ? 32 ? ??? ? n 2 ? n(n ? 1)(2n ? 1) 6 1 13 ? 23 ? 33 ? ??? ? n3 ? [ n(n ? 1)]2 2

1 【变式演练 1】在等比数列{an}中,若 a1= ,a4=4,则公比 q=________;a1+a2+…+an=________. 2

方法二

分组法

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解题模板:第一步 定通项公式:即根据已知条件求出数列的通项公式; 第二步 巧拆分:即根据通项公式特征,将其分解为几个可以直接求和的数列; 第三步 分别求和:即分别求出各个数列的和;
[ 来源:Z。xx。k.Com]

第四步 组合:即把拆分后每个数列的求和进行组合,可求得原数列的和. 例 2. 已知数列{an}是 3+2-1,6+22-1,9+23-1,12+24-1,…,写出数列{an}的通项公式并求其前 n 项 Sn .

【变式演练 2】已知数列 {an } 的通项公式为 an ? 2n(n ? N ? ) ,数列 {bn } 是以函数 y ? 4sin 2 (? x ? ) ? 1 的 最小正周期为首项,以 3 为公比的等比数列,求数列 ?an ? bn ? 的前 n 项和 S n .

1 2

方法三 裂项相消法

[来源:学+科+网 Z+X+X+K]

解题模板 :第一步 定通项公式:即根据已知条件求出数列的通项公式; 第二步 巧裂项:即根据通项公式特征准确裂项,将其表示为两项之差的形式; 第三步 消项求和:即把握消项的规律,准确求和.

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1 例 3.已知数列 {an } 前 n 项和为 S n ,首项为 a1 ,且 , a n , S n 成等差数列. 2
(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)数列 {bn } 满足 bn ? (log 2 a2 n ?1 ) ? (log 2 a2 n ?3 ) ,求证:

1 1 1 1 1 ? ? ? ... ? ? . b1 b2 b3 bn 2

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【评注】在应用裂项相消法时,要注意消项的规律具有对称性,即前剩多少 项则后剩多少项.常用的裂项 公式:

1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1
1 ? n ?1 ? n n ?1 ? n

1 1 1 1 ? ( ? ) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1
m?1 m?1 m? 2 . Cn ? Cn ?1 ? Cn

an ?

n ? n != (n ? 1) ! ? n !
2

an ? a1 ? (a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? ??? ? (an ? an?1 )

【变式演练 3】已知知函数 f ( x) ? x ? bx 的图象在点 A(1, f (1)) 处的切线 l 与直线 3x ? y ? 2 ? 0 平行,若 数列 {

1 } 的前 n 项 和为 S n ,则 S 2013 的值为( f ( n)
2013 2014
B.

)

A.

2012 2013

C.

2011 2012

D.

2010 2011

方法四 错位相减法 解题模板:第一步 巧拆分:即根据通项公式分解为等差数列和等比数列乘积的形式; 第二步 确定等差、等比数列的通项公式;

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第三步 构差式:即写出 S n 的表达式,然后两边同时乘以等比数列的公比得到另外一个式子, 两式作差; 第四步 求和:根据差式的特征准确求和. 例 4. 已知数列 {an } , {bn } 满足 a1 ? 2 , 2an ? 1 ? an an ?1 , bn ? an ? 1 , bn ? 0 . (Ⅰ)求证数列 {

1 } 是等差数列,并求数列 {an } 的通项公式; bn

(Ⅱ)令 c n ?

1 求数列 ?c n ? 的前 n 项和 Tn . bn 2 n

【评注】利用裂项相消法求和时,应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项, 后面也剩两项,再就是将通项公式裂项后,有时候需要调整前面的系数,使裂开的两项之差和系数之积与 原通项公式相等.在应用错位相减法时,注意观察未合并项的正负号.

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【变式演练 4】 已知首项都是 1 的两个数列 {an } 、 满足 anbn ?1 ? an ?1bn ? 2bn ?1bn ? 0 . {bn }( bn ? 0 ,n ? N? ) (Ⅰ)令 cn ?

an ,求数列 {cn } 的通项公式; bn

(Ⅱ )若 bn ? 3n?1 ,求数列 {an } 的前 n 项和 S n .

方法五 倒序相加法
x 例 5.设 f ( x) ? 4 x

?1? ?2? ?3? ? 10 ? , 则f ? ? ? f ? ? ? f ? ? ? ? ? f ? ? ? ( 4 ?2 ? 11 ? ? 11 ? ? 11 ? ? 11 ?

)

A. 4 【答案】B

B. 5

C. 6

D. 10

考点:倒序相加法求和.

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3x ? 2 1 【变式演练 5】已知函数 F ( x) ? , ( x ? ). 2x ?1 2 1 2 2009 (1)求 F ( ) ? F( ) ? ? F( ) 的值; 2010 2010 2010
(2)已知数列 {an }满足a1 ? 2, an ?1 ? F (an ) ,求证数列 ? (3)已知 bn ?

? 1 ? ? 是等差数列; ? an ? 1 ?

2n ? 1 ,求数列 {an bn } 的前 n 项和 S n . 2n 2?n 6027 【 答 案 】 (1) S= . (2)见解析; (3) S n = 4 ? n ?1 。 2 2

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【高考再现】 1. (2014· 江西卷)已知首项都是 1 的两个数列{an},{bn}(bn≠0,n∈N*)满足 anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0. an (1)令 cn= ,求数列{cn}的通项公式; bn (2)若 bn=3n 1,求数列{an}的 前 n 项和 Sn.


2. (2014· 全国卷)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 a1=10,a2 为整数,且 Sn≤ S4. (1)求{an}的通项公式; 1 (2)设 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. anan+1 【解析】(1)由 a1=10,a2 为整数知,等差数列{an}的公差 d 为整数 .

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又 Sn≤S4,故 a4≥0,a5≤0,

3. (2014· 山东卷)已知等差数列{an}的公差为 2,前 n 项和为 Sn,且 S1,S2,S4 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn=(-1)n
-1

4n ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. anan+1

[来源:学科网]

当 n 为奇数时,

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1 1 ? ? 1 1 ? 1 1 1 + + 1+ ?-? + ?+…-? Tn=? + ? 3? ?3 5? ?2n-3 2n-1? ?2n-1 2n+1? 1 =1+ 2n+1 = 2n+2 . 2n+1
n-1

2n+2 ? ?2n+1,n为奇数,? 2n+1+(-1) 所以 T =? ?或T = 2n+1 ? 2n ,n为偶数. ? ?2n+1
n n

? ? ?

2 2 4. (2013· 江西卷)正项数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:S2 n-(n +n-1)Sn-(n +n)=0.

(1)求数列{an}的 通项公式 an; (2)令 bn= n+1 5 * . 2 2,数列{bn}的前 n 项 和为 Tn,证明:对于任意的 n ∈N ,都有 Tn< 64 (n+2) an

1 5. (2013· 湖南卷)设 Sn 为数列{an}的前 n 项和,Sn=(-1)nan- n,n∈N*,则 2 (1)a3=________; (2)S1+S2+…+S100=________.

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1 1 1 1 - 2- 4-…- 100?-?1- 100? =S101-a101-2? 2 ? ? 2 ? ? 2 2 1 ? ? 1 ?50? ? 22? 1 ?1-?22? ? ? 1 1 - 102?+2× =- 102-? -?1-2100? ? 2 ? ? 2 1 1- 2 2 1 1 1 1 1- 100?= ? 100-1?. =- ? ? 3? 2 ? 3?2 6. (2013· 山东卷)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S4=4S2,a2n=2an+1. (1)求数列{an}的通项公式; an+1 (2)设数列{bn}的前 n 项和为 Tn,且 Tn+ n =λ(λ 为常数),令 cn=b2n(n∈N*),求数列{cn}的前 n 项和 2 Rn.

[来源:Zxxk.Com]

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3n+1 1 所以数列{cn}的前 n 项和 Rn= 4 - n-1 . 9 4

【反 馈练习】 1. 设{an}和{bn}都是等差数列, 其 中 a2+b2=20, a99+b99=100, 则数列{an+ bn}的前 100 项之和 S100=( A.6 000 B.60 000 C.600 D.5 050 )

2.已知数列{an}中,an+1+(-1)nan=2n-1, 则数列{an}前 12 项和 S12=( A.76 C.80 B.78 D.82

)

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3.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,并且 S10>0,S11<0,若 Sn≤Sk 对 n∈N*恒成立,则正整数 k 的取值为 ( ) A.5 C.4 B.6 D.7

4.在数列{an}中,an+1=can(c 为非零常数),前 n 项和为 Sn=3n+k,则实数 k 为( A.-1 B.0 C.1 D.2

)

5.已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn+Sm=Sn+m,且 a1=1,则 a10=( A.1 C.10 B.9 D.55

)

解析:由 Sn+Sm=Sn+m,得 S1+S9=S10,又由 于 a10=S10-S9=S1=a1=1.故 a10=1. 答案:A
? 1 ? 6.设函数 f(x)=xm+ax 的导函数 f′(x)=2x+1,则数列?f n ?(n∈N*)的前 n 项和是( ? ?

)

[来源:学科网]

n+2 n+1 n n A. B. C. D. n n+1 n+1 n-1

[来源:Z.xx.k.Com]

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7.已知数列{an}中,a1=1,an+1=(-1)n· (an+1),记 Sn 为{an}前 n 项的和,则 S2 013=________.

8.有穷数列 1,1+2,1+2+4,…,1+2 +4+…+2n

-1

所有项的和为________.

2 2 9.等比数列{an}的前 n 项和 Sn=2n-1,则 a2 1+a 2+…+an=________.

解析:当 n=1 时,a1=S1=1,

10.数列{an}的前 n 项和记为 Sn,a1=t,点(Sn,an+1)在直线 y=3x+1 上,n∈N*. (1)当实数 t 为何值时,数列{an}是等比数列;

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(2)在(1)的结论下,设 bn=log4an+1,cn=a n+bn,Tn 是数列{cn}的前 n 项和,求 Tn.

11.设数列{an}的前 n 项 和为 Sn,已知 a1=1,Sn=nan-n(n-1)(n=1,2,3,…). (1)求证:数列{an}为等差数列, 并写出 an 关于 n 的表达式;
? 1 ? 100 (2)若数列?a a ?的前 n 项和为 Tn,问满足 Tn> 的最小正整数 n 是多少? 209 ? n n+1?

解析:(1)证明:当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=nan-(n-1)an-1-2(n-1),得 an-an-1=2(n=2,3,4,…). 所以数列{an}是以 1 为首项,2 为公差的等差数列. 所以 an=2n-1. 1 1 1 1 (2)Tn= + +…+ + a1a2 a2a3 an-1an anan+1 = 1 1 + + …+ 1× 3 3× 5 1 n- n+

1 1 ? 1 1 1? ?1 1? - + - +…+ - = ?? 1 3 3 5 ? ? ? ? 2 n - 1 2 n +1? 2? 1 1 n = ?1-2n+1?= 2? ? 2n+1, n 100 100 100 由 Tn= > ,得 n> ,所以满足 Tn> 的最小正整数 n 为 12. 9 209 2n+1 209 12.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn ,且 Sn=2an-1;数列{bn}满足 bn-1-bn=bnbn-1( n≥2,n∈N*),b1=1. (1)求数列{an},{bn}的通项公式;

Go the distance ?an? (2)求数列?b ?的前 n 项和 Tn. ? n?

13.数列 ?an ? 的 前 n 项和为 S n ,且 Sn ? an ? 1 ,数列 ?bn ? 满足 b1 ? 4, bn ?1 ? 3bn ? 2 ; (Ⅰ)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式;
[来源:学#科#网]

(Ⅱ)设数列 ?cn ? 满足 cn ? an log 3 ? b2 n ?1 ? 1? ,其前 n 项和为 Tn ,求 Tn .

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14.已知数列 {an } 的前 n 项和 S n ,满足: Sn ? 2an ? 2n(n ? N * ) .

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(Ⅰ)求数列 {an } 的通项 an ; (Ⅱ)若数列 {bn } 的满足 bn ? log 2 (an ? 2) , Tn 为数列 {

bn 1 } 的前 n 项和,求证: Tn ? . 2 an ? 2



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