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浙江省嘉兴市2015届高三下学期教学测试(二)数学(理)试卷 扫描版


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2015 年高三教学测试(二)
-6-

理科数学
1.C; 5.C; 8. 【解析】 2.D; 6.B; 3.A; 7.A;

参考答案
4.C;

8.D.

一.选择题(本大题有 8 小题,每小题 5 分,共 40 分)

设 g( x ) ? k 2 x ? a 2 ? k ,h( x ) ? x 2 ? (a 2 ? 4a ) x ? (3 ? a ) 2 ,由条件知二次函数的对称轴不能在 y 轴的左侧即
a 2 ? 4a ? 0 ,且两个函数的图象在 y 轴上交于同一点,即 g(0) ? h(0) ,

所以, k ? 6a ? 9 在 [ ?4,0] 上有解,从而 k ? [?33,?9] .

二、填空题(本大题共 7 小题,第 9-12 题每空 3 分,第 13-15 题每空 4 分,共 36 分) 9. [ ?1,0] , [ ? 1,2) 13.1 15. 【解析】 设矩形 BDD1 B1 与 ? 所成锐二面角为 ? , 面积记为 S 1 ,则正方形 A1 B1 C 1 D1 与 ? 所成锐二面角为 所求阴影面积
A1 C1 D1 B1
C

10.

4 4 1 , n? 3 3 3

11.

?
4

, 10

12.3,1

14.4

15. [1, 3 ]

?
2

? ? ,面积记为 S 2 .

D

?
A
(第 15 题)

B

S ? S1 cos? ? S 2 cos(

?
2

? ? ) ? S1 cos? ? S 2 sin?

? 2 cos? ? sin? ? 3 sin(? ? ? ) ,其中 sin? ?

6 3 , cos ? ? .故 S ? [1, 3 ] . 3 3

三、解答题: (本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(本题满分 14 分) 三角形 ABC 中,已知 sin2 A ? sin2 B ? sin A sin B ? sin2 C ,其中,角 A、B、C 所对的边分别为
a、 b、 c .

(Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)求

a?b 的取值范围. c

16.【解析】 (Ⅰ)由正弦定理得: a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? ab ,
-7-

a 2 ? b2 ? c 2 1 2? . …6 分 ? ? ,∴ C ? 2ab 2 3 a?b s i n A? s i n B 2 (Ⅱ)由正弦定理得: ? ? 3( s i A n?s i n B) c sin C 3
∴由余弦定理得: c o C s ? 又?A ? B ?

?
3

,∴ B ?

?
3

? A,

∴ sin A ? sin B ? sin A ? sin( ? A) ? sin( A ? ) , 3 3 而0? A?

?

?

?
3

,∴

?
3

? A?

?
3

?

2? , 3
…14 分

∴ sin A ? sin B ? ( 17.(本题满分 15 分)

3 a?b 2 3 ,1] ,∴ ? (1, ]. 2 c 3

如图,在三棱锥 P ? ABC 中, PA ? 平面 ABC ,2 AC ? PC ? 2 , AC ? BC , D 、 E 、 F 分别为 AC 、

AB 、 AP 的中点, M 、 N 分别为线段 PC 、 PB 上的动点,且有 MN // BC .
(Ⅰ)求证: MN ? 面 PAC ; (Ⅱ)探究:是否存在这样的动点 M,使得二面角 E ? MN ? F 为直二面角?若存在,求 CM 的长度; 若不存在,说明理由. P

17. 【解析】 (Ⅰ)∵ PA ? 平面 ABC , ∴ PA ? BC , 又 AC ? BC ,∴ BC ? 面 PAC ; 又∵ MN // BC , ∴ MN ? 面 PAC . …6 分 A F

M N D C E
(第 17 题)

B

(Ⅱ) 由条件可得, ?FMD即为二面角 E ? MN ? F 的平面角; 若二面角 E ? MN ? F 为直二面角,则 ? FMD ? 90? . 在直角三角形 PCA 中,设 CM ? t , (0 ? t ? 2) ,则 PM ? 2 ? t , 在 ? MDC 中,由余弦定理可得,

DM 2 ? CM 2 ? CD2 ? 2CM ? CD cos 60? ? t 2 ?

1 1 ? t; 4 2

3 3 ? (2 ? t ) ; 4 2 1 又由 FD 2 ? FM 2 ? MD 2 ,得 2t 2 ? 3t ? 1 ? 0 ,解得 t ? 1 或 t ? . 2
同理可得, FM 2 ? PM 2 ? PF 2 ? 2PM ? PF cos 30? ? (2 ? t )2 ? ∴存在直二面角 E ? MN ? F ,且 CM 的长度为 1 或

1 . 2

…15 分

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18.(本题满分 15 分) 设椭圆
x 2 y2 1 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0) 的离心率为 ,过点 P(0, 1) 的动直线 l 与椭圆交于 A, B 两点,已知当 2 a b 2

l // x 轴时, | AB |?

4 6 . 3

(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)当 AP ? 2 PB 时,求直线 l 的方程.

18. 【解析】 (Ⅰ)由条件: e ?

c 1 ? ,∴3a 2 ? 4b 2 , a 2

l

y
B
O

过点 P(0, 1) 且平行于 x 轴的直线截椭圆 所得弦长为:
2 2

P
x

2a 2 4 6 b ?1 ? , b 3

A
(第 18 题)

x2 y2 ∴a ? 4, b ? 3 ,∴ 椭圆的方程为: ? ? 1 .…6 分 4 3
(Ⅱ)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,? AP ? 2 PB ,∴ x1 ? 2 x2 ? 0 ① (1)若直线 l 存在斜率,可设 l: y ? kx ? 1 ,
? x2 y2 ?1 ? ? 则由 ? 4 可得, (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8kx ? 8 ? 0 3 ? y ? kx ? 1 ?

? 8k ? x1 ? x2 ? ? 1 ? 3 ? 4k 2 ∴? ,与① 联立解得, k ? ? ; ? 8 2 ?x x ? 1 2 ? 3 ? 4k 2 ?

(2)若直线 l 不存在斜率,则 l: x ? 0 , ∴ | AP |? 3 ? 1,| BP |? 3 ? 1 ,易知 AP ? 2 PB

1 ∴ 直线 l 的方程为: y ? ? x ? 1 . 2

…15 分

19.(本题满分 15 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,设 a1 ? 2 ,有一组圆心在 x 轴正半轴上的圆 An ( n ? 1, 2, ? )与 x 轴的交点分别为 A0 (1,0) 和 An?1 ( an?1 ,0) .过圆心 An 作垂直于 x 轴的直线 l n ,在第一象限与圆 An 交于点
Bn ( an , bn ) .
-9-

(Ⅰ )试求数列 { an } 的通项公式; (Ⅱ )设曲边形 An?1 Bn Bn?1 (阴影所示)的面积为 Sn ,若对任意 n ? N * , 立,试求实数 m 的取值范围.
1 1 1 ? ??? ? m 恒成 S1 S 2 Sn

y
19.【解析】 (Ⅰ)由条件可得,
B2

B3

a n?1 ? 1 ? 2(a n ? 1) ,又因为 a 1 ? 1 ? 1 ,可得数列 {a n ? 1} 是等比数列.
O

S2

B1 S
A0 A1

1

A2

A3

x

故, a n ? 1 ? 2 n?1 ,从而 a n ? 2 n?1 ? 1 .…6 分 (Ⅱ)因为 bn ? a n ? 1 ? 2 n ?1 ,所以 Bn (2 n?1 ? 1,2 n ?1 ) , 所以 Bn?1 (2n ? 1,2n ) ,且 An ( 2n?1 ? 1,0) , An?1 ( 2n ? 1,0)

(第 19 题)

S n ? S 梯 形An Bn Bn?1 An?1 ? S 扇 形An Bn An?1 ?
所以
1 4 1 ? ? ( ) n ? 1 ,所以 Sn 6 ? ? 4

1 1 6?? ? 2 n ?1 ? ( 2 n ?1 ? 2 n ) ? ? ? ( 2 n ?1 ) 2 ? ? 4 n ?1 2 4 4

1 1 1 4 1 1 4 ? ? ?? ? (1 ? ? ? ? ( ) n ?1 ) ? ? S1 S 2 Sn 6 ? ? 4 4 6??

1 1 ? ( )n 4 1 1? 4

?

16 1 16 . (1 ? ( ) n ) ? 18 ? 3? 4 18 ? 3? 16 . 18 ? 3?
…15 分

故可得实数 m ?

20.(本题满分 15 分) 已知函数 f ( x ) ? x ?

a ? 4 , g( x ) ? kx ? 3 . x

(Ⅰ )当 a ? [3, 4] 时,函数 f ( x ) 在区间 [1, m ] 上的最大值为 f ( m ) ,试求实数 m 的取值范围; (Ⅱ )当 a ? [1, 2] 时,若不等式 | f ( x1 ) | ? | f ( x2 ) |? g( x1 ) ? g( x2 ) 对任意 x1 , x2 ? [2, 4] ( x1 ? x2 )恒成 立,求实数 k 的取值范围. 20.【解析】 (Ⅰ )∵3 ? a ? 4 ,∴ y ? f ( x ) 在 (1, a ) 上递减,在 ( a, ? ?) 上递增, 又∵ f ( x ) 在区间 [1, m ] 上的最大值为 f ( m ) , ∴ f ( m ) ? f (1) ,得 ( m ? 1)( m ? a ) ? 0 ,∴m ? amax ,即 m ? 4 ; …6 分 (Ⅱ )∵| f ( x1 ) | ? | f ( x2 ) |? g( x1 ) ? g( x2 ) ∴| f ( x1 ) | ? g( x1 ) ?| f ( x2 ) | ? g( x2 ) 恒成立
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令 F ( x ) ?| f ( x ) | ? g( x ) ,∴F ( x ) 在 [2,4] 上递增。
a ? ( ?1 ? k ) x ? ? 1 x ? [2,2 ? 4 ? a ] ? ? x 对于 F ( x ) ? ? , , a ?(1 ? k ) x ? ? 7 x ? ( 2 ? 4 ? a , 4] ? x ?

(1)当 x ? [2,2 ? 4 ? a ] 时, F ( x ) ? (?1 ? k ) x ? ① 当 k ? ?1 时, F ( x ) ? ?

a ?1 x

a ? 1 在 [2,2 ? 4 ? a ] 上递增,所以 k ? ?1 符合; x a ② 当 k ? ?1 时, F ( x ) ? (?1 ? k ) x ? ? 1 在 [2,2 ? 4 ? a ] 上递增,所以 k ? ?1 符合; x
③ 当 k ? ?1 时,只需
1 2 4 a ? 2 ? 4 ? a ,即 ?( ? ? 1 )ma x ? 2 ? 3 k ?1 k ?1 a a

∴? 1 ? k ? 6 ? 4 3 ,∴k ? 6 ? 4 3 (2)当 x ? (2 ? 4 ? a ,4] 时, F ( x) ? (1 ? k ) x ? ① 当 k ? 1 时, F ( x ) ?

a ?7 x

a ? 7 在 (2 ? 4 ? a ,4] 上递减,所以 k ? 1 不合; x a ② 当 k ? 1 时, F ( x) ? (1 ? k ) x ? ? 7 在 (2 ? 4 ? a ,4] 上递减,所以 k ? 1 不合; x
③ 当 k ? 1 时,只需
1 2 4 a ? 2? 4?a , ?( ? ? 1 )min ? 1 ? 2 , 1? k 1? k a a

∴k ? 2 2 ? 2 综上可知, k ? 6 ? 4 3 . …15 分

命题人 沈勤龙、黄海平、刘 舸、吴旻玲

吴明华、张启源、徐连根、沈顺良、李富强、吴林华 2015 年 3 月

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