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江苏省淮安市2014届高三数学5月信息卷及评分建议


淮安市 2013—2014 学年度高三年级 5 月信息卷 数学Ⅰ试题
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上 . ........ 1.已知集合 A ? {x | 0 ? x ? 7} ,则 A 2.函数 y ? sin 2 x ? 1 的最小正周期为 Z= ▲ ▲ . . 开始 输入 m,n i←1 a←m×i

n 整除 a Y 输出 a 结束 N

3.已知复数 z ? m ? i (m ? R , i 为虚数单位 ) ,
( 1 ? i )z 为纯虚数,则 z = 若


2



i←i+1

4.在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 x ? 2 py( p ? 0) 上纵坐标为 2 的一点到焦点的距离为 3,则抛物线的焦点坐标为 ▲ .

5.在如图所示的算法流程图中,若输入 m=4,n=3,则输出的 a= ▲ .

6.在一个样本的频率分布直方图中,共有 5 个小矩形,若中间一个小矩形的面积等于其他 4 个小矩

1 形的面积和的 ,且中间一组的频数为 25,则样本容量为 3
7.棱长为 2 的正四面体的外接球半径为 ▲ .





8.若关于 x 的方程 3 sin x ? cos x ? k 在区间 ? 0, 为 ▲ .

? ?? 上有两个不同的实数解,则实数 k 的取值范围 ? 2? ?

9.已知集合 A ? ▲ .

?? x, y ? | x

2

? y2 ≤ 2, x ? Z, y ? Z? ,则从 A 中任选一个元素 ? x, y ? 满足 x ? y≥1 的概率为

10.已知直线 l : 2mx ? (1 ? m2 ) y ? 4m ? 4 ? 0 ,若对任意 m ?R,直线 l 与一定圆相切,则该定圆方 程为 ▲ . ▲ .
x 11.已知函数 f ? x ? ? 2 ? 1 |的定义域和值域都是 ?a, b??b ? a ? ,则 a ? b =

o s ?M C A 12. 在 ?ABC 中,?C ? 90 ,CA ? 3 ,CB ? 4 , 若点 M 满足 AM ? ? MB , 且 CM ? CA ? 18 , 则c







第1页

共 12 页

1 ? 2x ? 1 ,x ? ? , 2 ? ? x 2 13.已知函数 f ( x ) ? ? g ( x) ? x2 ? 4 x ? 4 .若存在 a ?R 使得 f (a) ? g (b) ? 0 , 3 1 ?ln( x ? ), x ? - , ? ? 2 2
则实数 b 的取值范围是 ▲ .

14.已知数列 ?an ? 是各项均不为 0 的等差数列, Sn 为其前 n 项和,且满足 an2 ? S2n?1 n ? N ? .若不 等式

?

?

?
an ?1



n ? 8 ? (?1)n 对任意的 n ? N ? 恒成立,则实数 ? 的最大值为 n





二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文字说明、 ....... 证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 cos A ? cos C ? 1 . sin A sin C sin B (1)求证: 0 ? B ≤

?
3



(2)若 sin B ? 7 ,且 BA ? BC ? 3 ,求 BC ? BA 的值. 2 4

16. (本小题满分 14 分) 在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=AA1,D,E 分别是棱 A1B1,AA1 的中点,点 F 在棱 AB 上, 且 AB ? 4AF . (1)求证:EF∥平面 BDC1; (2)求证: BC1 ? 平面 B1CE . A1 D B1 C1

E

C A F B 第 16 题图

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共 12 页

17. (本小题满分 14 分) 某小区想利用一矩形空地 ABCD 建市民健身广场,设计时决定保留空地边上的一水塘(如图中 阴影部分) ,水塘平面图可近似看作一个等腰直角三角形.其中 AD ? 60m , AB ? 40m ,且 ?EFG 中,
?EGF ? 90 ,经测量得到 AE ? 10 m , EF ? 20m .为保证安全同时考虑美观,健身广场周围准备加

设一个保护栏.设计时经过点 G 作一直线交 AB , DF 于 M , N ,从而得到五边形 MBCDN 的市民 健身广场,设 DN ? x(m) . (1)将五边形 MBCDN 的面积 y 表示为 x 的函数; (2)当 x 为何值时,市民健身广场的面积最大?并求出最大面积. E A G M

F

N

D

B 第 17 题图

C

18. (本小题满分 16 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆的焦点在 x 轴上,离心率为 (1)求椭圆的标准方程; (2)以椭圆的长轴为直径作圆 O ,设 T 为圆 O 上不在坐标轴上的任意一点, M 为 x 轴上一点,过圆 心 O 作直线 TM 的垂线交椭圆右准线于点 Q . 问: 直线 TQ 能否与圆 O 总相切?如果能, 求出点 M 的坐标;如果不能,说明理由.
5 ,且经过点 ? 0, 2 ? . 3

19. (本小题满分 16 分) 如果数列 ?an ? 满足: a1 ? a2 ? a3 ? 数列 ?an ? 为 n 阶“归化数列”. (1)若某 4 阶“归化数列” ?an ? 是等比数列,写出该数列的各项; (2)若某 11 阶“归化数列” ?an ? 是等差数列,求该数列的通项公式;
? an ? 0 且 a1 ? a2 ? a3 ?

? an ? 1 ( n ≥ 3 , n ? N*),则称

1 1 (3)若 ?an ? 为 n 阶“归化数列”,求证: a1 ? a2 ? a3 ? 2 3
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1 1 1 . ? an ≤ ? n 2 2n

20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? ax3 ? x2 ? bx ( a , b ? R) , f ?? x ? 为其导函数,且 x ? 3 时 f ?x ? 有极小值 ?9 . (1)求 f ( x) 的单调递减区间;
1 , h( x) ? mx ,当 m ? 0 时,对于任意 x, g ( x) 和 h( x) 的值至 (2)若 g (x) ? 2mf ?(x) ?(6 m ?8) x ?6 m ?

少有一个是正数,求实数 m 的取值范围; (3)若不等式 f / ( x) ? k ( x ln x ?1) ? 6 x ? 4 ( k 为正整数)对任意正实数 x 恒成立,求 k 的最大值.

数学Ⅱ试题
21. 【选做题】本题包括 A,B,C,D 四小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答 .若 ..................... 多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.[选修 4-1:几何证明选讲](本小题满分 10 分) 如图,A,B,C 是⊙O 上的三点,BE 切⊙O 于点 B,D 是 CE 与⊙O 的交点.若 ?BAC ? 60? ,
BC ? 2 BE ,求证: CD ? 2 ED .
O

A

C

B D E 第 21(A)题图

B.[选修 4-2:矩阵与变换](本小题满分 10 分)
? ?0 已知矩阵 A ? ? ?1 ? ?

1? 3? ? ,求点 M ? ?1,1? 在矩阵 A?1 对应的变换作用下得到的点 M ? 坐标. 2? ? 3? ?

C.[选修 4-4:坐标系与参数方程](本小题满分 10 分)

? 3 ? x ? 2 t ? m, 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程是 ? (t 是参数) ,以原点为极点,x 轴的 ?y ? 1 t ? 2
正半轴为极轴建立极坐标系,若圆 C 的极坐标方程是 ρ=4cosθ,且直线 l 与圆 C 相切,求实数 m 的值.

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共 12 页

D.[选修 4-5:不等式选讲](本小题满分 10 分)
? 1 1 1? 已知 a , b, c 均为正数,证明: a 2 ? b2 ? c 2 ? ? ? ? ? ≥ 6 3 . ?a b c?
2

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出 ....... 文字说明、证明过程或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分) 某超市在节日期间进行有奖促销, 规定凡在该超市购物满 400 元的顾客, 均可获得一次摸奖机会. 摸 奖规则如下:奖盒中放有除颜色不同外其余完全相同的 4 个球(红、黄、黑、白) ,顾客不放回的每 次摸出 1 个球,若摸到黑球则摸奖停止,否则就继续摸球.按规定摸到红球奖励 20 元,摸到白球或 黄球奖励 10 元,摸到黑球不奖励. (1)求 1 名顾客摸球 2 次摸奖停止的概率; (2)记 X 为 1 名顾客摸奖获得的奖金数额,求随机变量 X 的分布列和数学期望.

23. (本小题满分 10 分) (1)已知 a ? 1 , b ? 1 ,求证: a ? b ? 1 ? ab ; (2)已知 x1 , x2 ,

, xn ? R+,且 x1 x2 ? xn ? 1 ,求证: ( 2 ? x1 )( 2 ? x2 ) ( 2 ? xn ) ≥ ( 2 ? 1)n .

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共 12 页

数学参考答案与评分标准
数学Ⅰ
一、填空题: 1. ? 1,2? 9. 2. ?
2

3. 2
2

4. ? 0,1?

5.12 11.1

6.100 12.
3 13 13

7.

3 2

8. [ 3, 2) 14. ?21

1 3

10. ? x ? 2 ? ? ? y ? 2 ? ? 4

13. ? ?1,5?

12:解一:建系, A(3, 0) , B(0, 4) , M (
2

3 4? 1 , ) , CM ? CA ? 18 得 ? ? ? , M (6, ?4) 1? ? 1? ? 2

解二: (CA ? AM ) CA ? 18 ,因为 CA ? 9 ,于是 AM CA ? 9 . 当点 M 在射线 AB 上时, AM , CA 的夹角余弦值为 ?

3 , | AM |? ?5 ,不可能; 5

故点 M 在射线 AB 的反向延长线上, | AM |? 5 ,由余弦定理得 | CM |?
2

52 ,

3 13 . 13

13:由图象知 f (a) ? ?1 ,于是 g (b) ? 1 , b ? 4b ? 5 ? 0 , ?1 ? b ? 5 . 14: an ?
2

(2n ? 1)(a1 ? a2 n ?1 ) ? (2n ? 1)an ,所以 an ? 2n ? 1, an?1 ? 2n ? 1. 2

? ? (2n ? 1)(1 ?

8(?1)n 8(?1)n ) ? 2n ? 1 ? 16(?1) n ? . n n

8 ,由单调增知 n=1 时右边最小值为 ?21 ; n 8 当 n 是偶数时, ? ? 2n ? 17 ? ,由基本不等式知 n=4 时右边最小值为 25. n
当 n 是奇数时, ? ? 2n ? 15 ? 二、解答题:

sin( A ? C ) 15. (1)因为 cos A ? cos C ? ? sin B ? 1 , sin A sin C sin A sin C sin A sin C sin B
所以 sin A sin C ? sin 2 B ,由正弦定理可得, b 2 ? ac . 因为 b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ≥ 2ac ? 2ac cos B , 1 ? 所以 cos B ≥ ,即 0 ? B ≤ . 2 3
2 (2)因为 sin B ? 7 ,且 b ? ac ,所以 B 不是最大角, 4

…………………2 分 …………………4 分

…………………6 分

所以 cosB ? 1 ? sin 2 B ? 1 ? 7 ? 3 . 16 4 所以 3 ? BA ? BC ? cacosB ? 3 ac ,得 ac ? 2 ,因而 b 2 ? 2 . 2 4 由余弦定理得 b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ,所以 a 2 ? c 2 ? 5 .
2

…………………8 分 …………………10 分 …………………12 分

所以 BC ? BA ? a 2 ? c 2 ? 2BC ? BA ? a 2 ? c 2 ? 3 ? 8 ,即 BC ? BA ? 2 2 .…………………14 分

第6页

共 12 页

16. (1)取 AB 中点 M,因为 AB ? 4AF ,所以 F 为 AM 中点, 又因为 E 为 AA1 的中点,所以 EF / / A1M ,………………2 分 在正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, D , M 分别为 A1 B1 , AB 的中点, 所以 A1D / / BM ,且 A1D ? BM , 则四边形 A1DBM 为平行四边形, 所以 A1M / / BD ,所以 EF / / BD . ………………5 分 A E A1

C1 D B1

C F M C1 B

又因为 BD ? 平面 BC1 D , EF ? 平面 BC1 D , 所以, EF / / 平面 BC1 D . (2)因为在正三角形 A1B1C1 中, ………………7 分 A1 D B1

D 为 A1B1 的中点,所以, C1D ? A1B1 ,
所以,在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,
C1D ? 面 ABB1 A1 ,所以, C1D ? B1E .

E

C A F B

因为 AA1 ? AB ,所以,四边形 ABB1 A1 为正方形, 由 D, E 分别为 A1B1 , AA1 的中点,所以,可证得 BD ? B1E , 所以, B1E ? 面 C1 DB ,故 BC1 ? B1E . ………………11 分

在正方形 BB1C1C 中, BC1 ? B1C ,所以 BC1 ? 面 B1CE .……14 分 17. (1)作 GH⊥EF,垂足为 H. 因为 DN ? x ,所以 NH ? 40 ? x , NA ? 60 ? x , 因为 A E H F N D

NH NA 40 ? x 60 ? x ,所以 , ? ? HG AM 10 AM 600 ? 10x . 40 ? x
………………2 分

G M

T

所以 AM ?

过 M 作 MT // BC 交 CD 于 T,

B

C

1 则 SMBCDN ? SMBCT ? SMTDN ? (40 ? AM ) ? 60 ? ( x ? 60) ? AM , 2

5?60 ? x ? 1 所以 y ? 2400 ? ( x ? 60) AM ? 2400? . ………………7 分 2 40 ? x
2

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共 12 页

由于 N 与 F 重合时, AM ? AF ? 30 适合条件,故 x ? ? 0,30? . (2) y ? 2400?

………………8 分

5?60 ? x ? 400 ? ? ? 2400? 5??40 ? x ? ? ? 40? , 40 ? x 40 ? x ? ?
2

………………10 分

所以当且仅当 40 ? x ?

400 ,即 x ? 20 ? ?0,30? 时, y 取得最大值 2000,……………13 分 40 ? x
………………14 分

所以当 DN ? 20m 时,市民健身广场面积最大,最大面积为 2000m 2 .

x2 y 2 18. (1)设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1(a ? 0 , b ? 0) ,因为经过点 ? 0, 2 ? ,所以 b ? 2 , a b
又因为 e ?
c 5 ? ,可令 c ? 5 x , a ? 3x ,所以 b2 ? a 2 ? c 2 ? 4 x 2 ? 4 ,即 x ? 1 , a 3

所以椭圆的标准方程为

x2 y 2 ? ?1. 9 4

…………………6 分 …………………7 分

(2)存在点 M ( 5,0) .

设点 T ( x0 , y0 ) , M (m, 0) ,因为 T 在以椭圆的长轴为直径圆 O 上,且不在坐标轴上, 所以 x0 y0 ? 0 且 x02 ? y02 ? 9 .又因为 kTM ?
y0 , OQ ? TM , x0 ? m

所以, kOQ ? ?

x0 ? m x ?m x, ,所以直线 OQ 的方程为 y ? ? 0 y0 y0

………………10 分

因点 Q 在直线 x ?

9 5 9 5( x0 ? m) 9 5( x0 ? m) 9 5 9 5 , ? ) .………12 分 上,令 x ? 得y?? ,即 Q( 5 5 5 y0 5 5 y0

y0 ?

所以 kTQ ?

9 5( x0 ? m) 2 5 y0 5 y 2 ? 9 5( x0 ? m) 5 9 ? x0 ? 9 5 ? x0 ? m ? ? . ? 0 9 5 y0 (5 x0 ? 9 5) y0 5 x0 ? 9 5 x0 ? 5

?

?

?

?

又 kOT ?

y0 , TQ 与圆 O 总相切,故 OT ? TQ ,于是有 kOT ? kTQ ? ?1 , x0



5 ? 9 ? x0 2 ? ? 9 5 ? x0 ? m ? y0 5 x0 ? 9 5

?

?

??

x0 恒成立,解之可得 m ? 5 . y0

即存在这样点 M ( 5,0) ,使得 TQ 与圆 O 总相切.

………………16 分

19. (1)设 a1 , a2 , a3 , a4 成公比为 q 的等比数列,显然 q ? 1 ,则由 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 0 , 得

a1 1 ? q 4 1 ? 0 ,解得 q ? ?1,由 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 1得 4 a1 ? 1 ,解得 a1 ? ? , 4 1? q

?

?

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共 12 页

所以数列

1 1 1 1 1 1 1 1 , ? , , ? 或 ? , , ? , 为所求四阶“归化数列”;…………4 分 4 4 4 4 4 4 4 4
? a11 ? 0 ,

(2)设等差数列 a1 , a2 , a3 ,…, a11 的公差为 d ,由 a1 ? a2 ? a3 ?

11?10d ? 0 ,所以 a1 ? 5d ? 0 ,即 a6 ? 0 , 2 当 d ? 0 时,与归化数列的条件相矛盾,
所以 11a1 ? 当 d ? 0 时,由 a1 ? a2 ? 所以 an ? ? ?

………………………6 分

1 ? a5 ? ? , a6 ? 0 ,所以 d ? 1 , a1 ? ? 1 . 2 6 30
………………………8 分

1 6

n ?1 n ? 6 ? (n ? N ? , n ≤11). 30 30

当 d ? 0 时,由 a1 ? a2 ? 所以 an ?

? a5 ?

1 1 1 , a6 ? 0 ,所以 d ? ? , a1 ? . 2 6 30

1 n ?1 n?6 ? ?? (n∈N*,n≤11) , 6 30 30
……………………10 分

? n?6 , d ? 0, ? ? 30 所以 an ? ? (n∈N*,n≤11) . n ? 6 ?? , d ?0 ? ? 30

(3)由已知可知,必有 ai>0,也必有 aj<0(i,j∈{1,2,…,n,且 i≠j). 设 ai1 , ai2 ,…, ail 为诸 an 中所有大于 0 的数, a j1 , a j2 ,…, a jm 为诸 an 中所有小于 0 的数. 1 1 由已知得 X= ai1+ai2+…+ail= ,Y= aj1+aj2+…+ajm=- . 2 2 所以 a1 ?
l a m a l 1 1 1 m 1 1 a 2 ? ? ? a n ? ? i ? ? j ≤ ? ai ? ? a j ? ? .………………16 分 i j n 2 2n 2 n k ?1 k k ?1 k k ?1 k ?1
k k k k

20. (1) f ?( x) ? 3ax2 ? 2x ? b .因为函数在 x ? 3 时有极小值 ?9 ,
?27a ? 6 ? b ? 0, 1 所以 ? 从而得 a ? , b ? ?3 , 3 ?27a ? 9 ? 3b ? ?9,

……………………2 分

1 所求的 f ( x) ? x3 ? x2 ? 3x ,所以 f ?( x) ? x2 ? 2x ? 3 , 3
由 f ??x ? ? 0 解得 ? 1 ? x ? 3 , 所以 f ( x) 的单调递减区间为 ? ?1,3? . (2)由 f ?( x) ? x 2 ? 2x ? 3 ,故 g ( x) ? 2mx2 ? (2m ? 8) x ? 1 . 当 m>0 时:若 x>0,则 h( x) ? mx >0; ……………………5 分 ……………………4 分

第9页

共 12 页

若 x=0,则 g (0) ? 1 >0,满足条件; 若 x<0, g ( x) ? 2m( x ? ①如果对称轴 x0 ?
2(4 ? m) 2 4?m 2 ) ?1? . m m

………………………6 分

4?m ≥0,即 0<m≤4 时, g ( x) 的开口向上, m

故在 ? ??, x0 ? 上单调递减,又 g (0) ? 1 ,所以当 x<0 时, g ( x) >0.………………………8 分 ②如果对称轴 x0 ?

4?m <0,即 4<m 时, ? ? (2m ? 8) 2 ? 8m ? 0 , m

解得 2<m<8,故 4<m <8 时, g ( x) >0. 所以 m 的取值范围为(0,8) . ………………………10 分

(3)因为 f / ( x) ? x2 ? 2 x ? 3 ,所以 f / ( x) ? k ( x ln x ?1) ? 6 x ? 4 等价于

k ?1 ? 4 ? k ln x ? 0 . x k ?1 k ? 1 k ( x ? 1)( x ? k ? 1) ? 4 ? k ln x ,则 ? / ( x) ? 1 ? 2 ? ? 记 ? ( x) ? x ? , x x x x2

x2 ? 4x ? 1 ? k ( x ln x ?1) ,即 x ?

由 ? / ( x) ? 0 ,得 x ? k ? 1 ,所以 ? ( x) 在 (0, k ? 1) 上递减,在 (k ? 1, ??) 上递增, 所以 ? ( x) ≥ ? (k ? 1) ? k ? 6 ? k ln(k ? 1) . ……………………12 分

? ?x ? ? 0 对任意正实数 x 恒成立,等价于 k ? 6 ? k ln(k ? 1) ? 0 ,即1 ? ? ln(k ? 1) ? 0 .
6 6 1 ? ln( x ? 1) ,则 m / ( x) ? ? 2 ? ? 0 ,所以 m( x) 在 (0, ??) 上递减, x x x ?1 13 ? ln 8 ? 0 ,所以 k 的最大值为 6 .……………………16 分 又 m(6) ? 2 ? ln 7 ? 0, m(7) ? 7
记 m( x ) ? 1 ?

6 k

数学Ⅱ
21.A.因为 BE 切⊙O 于点 B,所以 ?CBE ? ?BAC ? 60? . 因为 BC ? 2 BE ,所以 ?BEC ? 90? , EC ? 3BE . 又因为 BE 2 ? EC ? ED ,所以 ED ? 所以 CD ? CE ? DE ?
3 BE , 3

2 3 BE ,即 CD ? 2 ED . 3

……………………10 分

? ?0 ?a b? ?1 B.设 A ? ? ? ,则 AA ? ? ?1 ?c d ? ? ?
?1

1? 3 ? ? a b ? ?1 0? ?? ? ?, 2 ?c d ? ? ?0 1 ? ? ?? ? 3?

1 1 2 2 所以 c ? 1 , d ? 0 , a ? c ? 0 , b ? d ? 1 , 3 3 3 3

第 10 页 共 12 页

? 2 1? 得 a ? 2 , b ? 1 , c ? 3 , d ? 0 ,即 A?1 ? ? ?. ?3 0 ?

……………………5 分

? 2 1? ? ?1? ? ?1? 由? ? ? ? ? ? ? ,知点 M ? ? ?1, ?3? ,所以新坐标为 M ? ? ?1, ?3? .……………………10 分 ?3 0? ? 1 ? ? ?3?
?1 自注:也可不求 A : AM ' ? M .

? 3 x? t ? m, ? ? 2 C.由 ? 消 t ,得 x ? 3 y ? m ? 0 . ?y ? 1 t ? ? 2

由 ? ? 4cos? 得 ? 2 ? 4? cos? ,所以 x2 ? y 2 ? 4x ,即 ? x ? 2? ? y2 ? 4 .
2

又由直线 l 与圆 C 相切,所以 D.因为 a,b,c 均为正数,

2?m 2

? 2 ,得 m ? ?2 或 m ? 6 .

……………………10 分

由均值不等式得 a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac. 1 1 1 1 1 1 所以 a2+b2+c2≥ab+bc+ac.同理 2+ 2+ 2≥ + + , a b c ab bc ac 1 1 1 3 3 3 故 a2+b2+c2+( + + )2≥ab+bc+ac+ + + ≥6 3. a b c ab bc ac 所以原不等式成立. ……………………10 分

1 A3 1 22. (1)设“1 名顾客摸球 2 次停止摸奖”为事件 A,则 P ( A) ? 2 ? , A4 4

故 1 名顾客摸球 2 次停止摸奖的概率

1 . 4

……………………4 分

(2)随机变量 X 的所有取值为 0,10,20,30,40.

P ( X ? 0) ?

1 P1 1 P2 1 1 , P( X ? 10) ? 22 ? , P( X ? 20) ? 23 ? 2 ? , 4 P4 6 P4 P4 6
……………………8 分

1 2 P33 1 C2 P2 1 P( X ? 30) ? 3 ? , P( X ? 40) ? 4 ? . P4 6 P4 4

所以,随机变量 X 的分布列为:

X
P

0

10

20

30

40

1 4

1 6

1 6

1 6

1 4
……………………10 分

1 1 1 1 1 EX ? 0 ? ? 10 ? ? 20 ? ? 30 ? ? 40 ? ? 20 . 4 6 6 6 4
第 11 页 共 12 页

23. (1)因为 a ? 1 , b ? 1 ,所以 ? a ? 1?? b ? 1? ? 0 ,即 a ? b ? 1 ? ab ; (2)证法一: (ⅰ)当 n ? 1 时, 2 ? x1 ? 2 ? 1,不等式成立. (ⅱ)假设 n ? k 时不等式成立,即 ( 2 ? x1 )( 2 ? x2 )

……………2 分

……………4 分

( 2 ? xk ) ? ( 2 ? 1)k 成立.………5 分

则 n ? k ? 1 时,若 xk ?1 ? 1 ,则命题成立;若 xk ?1 ? 1 ,则 x1 , x2 ,…, x k 中必存在一个数小于 1,不 妨设这个数为 x k ,从而 ( xk ?1)( xk ?1 ?1) ? 0 ,即 xk ? xk ?1 ? 1 ? xk xk ?1 ; xk ?1 ? 1 同理可得. 所以 ( 2 ? x1)( 2 ? x2 )

( 2 ? xk )( 2 ? xk ?1)
k

? ( 2? x1 ) ( ? 2 x2 ) ? (2 ? ( 2? x1 ) ( ? 2 x2 ) ? (2 ? ( 2? x1 ) ( ? 2x 2 )

x2 ?( x k ? 1? ? 2( x1 k x k ? 1?
1

x ) ?x k k 1
k ?k 1

) )

x ) x

(? x 2k xk ?

)? ( 2 1)

k ?1 . ≥ ( 2? 1) ( ? 2 ? 1) ( 2 ? 1k)

故 n ? k ? 1 时,不等式也成立. 由(ⅰ) (ⅱ)及数学归纳法原理知原不等式成立. 证法二:

…………………9 分 …………………10 分

( 2 ? x1 )( 2 ? x2 )
n

( 2 ? xk )

? ( 2)n ? ( 2)n?1 ? xi ? ( 2)n?2
i ?1

1≤i ? j≤n

?

xi x j ?

? ( 2)n?k (

1≤i1 ?i2 ? ?ik ≤n

?

xi1 xi2
1

xik ) ?

? x1 x2

xn

由平均值不等式,得
1 k ?1 k Cn ?1 Cn

1?i1 ?i2 ? ?ik ? n

?

xi1 xi2

xik ≥ C (

k n

1?i1 ?i2 ? ?ik ? n

?

xi1 xi2

xik )

k Cn

? C (( x1 x2
k n

xn )

)

k ? Cn .

………………8 分

故 ( 2 ? x1)( 2 ? x2 )

( 2 ? xn )
k ? ( 2)n?k Cn ? n ? Cn ? ( 2 ? 1)n .……………10 分

1 2 ? ( 2)n ? ( 2)n?1 Cn ? ( 2)n?2 Cn ?

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