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立体几何第一课时


例1 在正方体 A1B1C1D1—ABCD 中,求证:对角线 B1D⊥平面 A1C1B.

证明

如图1-108,连 B1D1,

∵DD1⊥平面 A1B1C1D1 ∴D1B1是 DB1在平面 A1B1C1D1上的射影,又∵D1B1⊥A1C1(正方形对角 线互相垂直),据三垂线定理 ∴DB1⊥A1C1 连 AB1,同理

可证,DB1⊥A1B,∵A1C1与 A1B 相交, 所以有 DB1⊥平面 A1C1B. 评注 熟练使用三垂线定理及其逆定理解题,不仅要求掌握它在

水平平面上使用,而且要求学会在非水平放置的平面上使用.

例2 如图1-109,底面是等腰三角形,侧面都是矩形的几何体中,侧 面对角线 A1B⊥AC1.且 A1C1=B1C1.求证:A1B⊥B1C 分析 当证明 A1B 与 B1C 异面直线互相垂直, 使我们联想到三垂线
1

定理的功能,有如下证法. 证明 在底面 A1B1C1中,作 C1D1⊥A1B1于 D1,C1A1=C1B1,则 A1D1=D1B1,

又侧面都是矩形,有 AA1∥BB1∥CC1

在下底面 ABC 中, 作 CD⊥AB 于 D, 则 AD=DB, 同理得 CD⊥面 A1ABB1 连 D1A,B1D,显然 D1A∥B1D ∵D1A 是 C1A 在面 A1ABB1内的射影,又 A1B⊥AC1(已知),由三垂线 定理的逆定理得 A1B⊥D1A ∵D1A∥B1D, ∴A1B⊥B1D 又 B1D 是 B1C 在面 A1ABB1内的射影,A1B⊥B1D,由三垂线定理,知 B1C⊥A1B. 例3 图1-110, MA⊥平面 ABCD, 四边形 ABCD 是正方形, 且 MA=AB=a. 试 求: (1)点 M 到 BD 的距离; (2)求异面直线 MB 与 AC 所成的角. 解 )取正方形 ABCD 对角线交点为 O,连 MO,
2

∵MA⊥平面 ABCD(已知) 又∵AO⊥BD(正方形对角线互相垂直) ∴MO⊥BD(三垂线定理) ∴MO 是点 M 到直线 BD 的距离.

(2)如图1-111, 延长 DA 至 D1使 DA=AD1,连接 D1B,D1M,则有 AC∥D1B,

故△MD1B 是等边△, 从而∠MBD1=60°即为所求异面直线 MB 与 AC 所成的角. 评注 题(2)小题使用一种常用方法:“割补法”,通过作出 AC

的平行线 D1B,得到了两条异面直线所成的角,使问题得以解决,应 学会使用这种方法.
3

例 4:如图,已知直棱柱 ABC ? A1B1C1 中, ?ACB ? 90? , ?BAC ? 30? , BC ? 1 ,
AA1 ? 6 , M 是 CC1 的中点。求证: AB1 ? A1M

1.解:【法一】 ?ACB ? 90? ? B1C1 ? AC 1 1 ,又三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 是直三棱柱, 所以 B1C1 ? 面 A1C ,连结 A1C ,则 AC1 是 AB1 在面 A1C 上的射影 在四边形 AAC 1 1C 中,

? AA1 A1C1 ? ? 2 ,且 ?AA1C1 ? ?A1C1M ? , 2 A1C1 C1M
? AB1 ? A1M

??AAC 1 1

?AC 1 1M , ? AC1 ? A 1M

【法二】以 C1B1 为 x 轴, C1 A1 为 y 轴, C1C 为 z 轴建立空间直角坐标系

?ACB ? 90? , ?BAC ? 30? , 由 BC ? 1 , AA 1 ? 6 ,
易得 A 1 (0, 3,0) , A(0, 3, 6) , M (0, 0,

6 ) , B1 (1, 0, 0) 2

? AB1 ? (1, ? 3, ? 6) , A1M ? (0, ? 3,
? AB1 A1M ? 0 ? 3 ? (? 6) ? 6 ?0 2

6 ) 2
所以 AB1 ? A 1M

? AB1 ? A1M

例 5:如图,在棱长为 2 的正方体
4

ABCD ? A1 B1C1 D1中, O为BD1的中点 , M为BC的中点 , N为AB
的中点,P 为 BB1 的中点. (I)求证: BD1 ? B1C ; (II)求证 BD1 ? 平面MNP ; (III)求异面直线 B1O与C1 M 所成角的大小. 分析:本小题考查直线与平面垂直,二面角等基础知识,考 查空间想象能力和推理论证能力. 2 解法一:(I)连结 BC1 由正方体的性质得 BC1 是 BD1 在 平面 BCC1B1 内的射影

且B1C ? BC1 ,
所以 BD1 ? B1C (II)又 MN ? PM ? M ,

? BD1 ? 平面MNP.
(III)延长 CB到Q, 使BQ ? BM , 连结B1Q, OQ

则QM // C1 B1 , 且QM ? C1 B1 . ? B1Q // C1 M .
? ?OB1Q是异面直线 B1O与C1 M所成的角 .
由于正方体的棱长为 2,

则B1O ? 3 , B1Q ? B1 B 2 ? BQ 2 ? 5 , 设底面ABCD的中点为O1 , 可求得OQ ? OO12 ? O1Q 2 ? 6 . cosOB1Q ? ( 3) 2 ? ( 5 ) 2 ? ( 6 ) 2 2? 3 ? 5 ? 15 15
15 . 15

即异面直线 B1O与C1 M 所成角的大小为 arccos 解法二:(I)如图建立空间直角坐标系. 则 B(2,2,0),C(0,2,0)
5

B1(2,2,2),D1(0,0,2).

BD1 ? (?2,?2,2), B1 D ? (?2,0,?2),
??????3 分

BD1 ? B1C ? 4 ? 0 ? 4 ? 0. BD1 ? B1C

? BD1 ? B1C
(II) M (1,2,0), P(2,2,1), N (2,1,0) ,

MP ? (1,0,1), MN ? (1,?1,0), ? BD1 ? MP ? ?2 ? 0 ? 2 ? 0, BD1 ? MN ? ?2 ? 2 ? 0 ? 0,

? BD1 ? MN , BD1 ? MP. 又MN ? PM ? M ,

? BD1 ? 平面MNP .
(III) O(1,1,1), C1 (0,2,2),设异面直线 B1O与C1 M所成的角为 ?,

则B1O ? (?1,?1,?1),C1M ? (1,0,?2). B1O ? C1M ? ?1?1 ? (?1) ? 0 ? (?1) ? (?2) ? 1.
? cos? ? | B1O ? C1 M | | B1O | ? | C1 M | ? 1 3? 5 ? 15 5 .

即异面直线 B1O与C1 M 所成角的大小为 arccso

15 5

.

例 6:如图,在矩形 ABCD 中, AB ? 3 3 , BC ? 3 ,沿对角线 BD 将 ?BCD 折起,
使点 C 移到 P 点,且 P 在平面 ABD 上的射影 O 恰好在 AB 上。 (1)求证: PB ? 面 PAD ; (2)求点 A 到平面 PBD 的距离;

6

(3)求直线 AB 与平面 PBD 的成角的大小

P (C )

B
C

A B D
O

A D

3.解:(1) P 在平面 ABD 上的射影 O 在 AB 上,? PO ? 面 ABD 。 故斜线 BP 在平面 ABD 上的射影为 AB 。 又 DA ? AB ,? DA ? BP ,又 BC ? CD ,? BP ? PD AD PD ? D ? BP ? 面 PAD (2)过 A 作 AE ? PD ,交 PD 于 E 。 BP ? 面 PAD ,? BP ? AE ,? AE ? 面 BPD 故 AE 的长就是点 A 到平面 BPD 的 距离 AD ? AB , DA ? BC ? AD ? 面 ABP ? AD ? AP 在 Rt ?ABP 中, AP ?

AB2 ? BP2 ? 3 2 ;

在 Rt ?BPD 中, PD ? CD ? 3 3 在 Rt ?PAD 中,由面积关系,得 AE ?

AP AD 3 2 ? 3 ? ? 6 PD 3 3

(3)连结 BE , AE ? 面 BPD ,? BE 是 AB 在平面 BPD 的射影 ? ?ABE 为直线 AB 与平面 BPD 所成的角 在 Rt ?AEB 中, sin ?ABE ?

AE 2 ? , AB 3

??ABE ? arcsin

2 3

例 7: 在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,侧棱 PA 垂直于底面,E、F 分别是 AB、
PC 的中点. (1)求证: EF // 平面 PAD; (2)当平面 PCD 与平面 ABCD 成多大二面角时, 直线 EF ? 平面 PCD?

4.证:(1)取 CD 中点 G,连结 EG、FG ∵E、F 分别是 AB、PC 的中点,∴EG//AD,FG//PD, ∴平面 EFG//平面 PAD, ∴ EF//平面 PAD.
7

(2)当平面 PCD 与平面 ABCD 成 45?角时,直线 EF?平面 PCD. 证明: ∵G 为 CD 中点, 则 EG?CD, ∵PA?底面 ABCD∴AD 是 PD 在平面 ABCD

内的射影。

∵CD?平面 ABCD,且 CD?AD,故 CD?PD

.又∵FG∥PD∴

FG?CD,故?EGF 为平面 PCD 与平面 ABCD 所成二面角的平面角,即?EGF=45?,从而得 ?ADP=45?, AD=AP.由 Rt?PAE?Rt?CBE,得 PE=CE.又 F 是 PC 的中点,∴EF?PC. 由 CD?EG,CD?FG,得 CD?平面 EFG,∴CD?EF,即 EF?CD, 故 EF?平面 PCD.

例 8:已知,在如图所示的几何体

ABCED 中 , EC ⊥ 面 ABC , DB ⊥ 面 ABC ,

CE=CA=CB=2DB,∠ACB=90°,M 为 AD 的中点。 (1)证明:EM⊥AB; (2)求直线 BM 和平面 ADE 所成角的大小。

5.解法一: (1)如图,以 C 为原点,CA、CB、CE 所在的射线为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系. 不妨设 BD=1,则 E(0,0,2),A(2,0,0),D(0,2,1),B(0,2,0) 由 M 是 AD 的中点,得 M (1,1, )

1 2

3 EM ? (1,1,? ), AB ? (?2,2,0) 2

EM ? AB ? 0得EM ? AB
(2) AD ? (?2,2,1), AE ? (?2,0,2) 设面 ADE 的法向量 n=(x,y,z) 由 AD ? n ? 0, AE ? n ? 0, 易求平面 ADE 的一个法向量为 n ? (1, 又 BM ? (1,?1, ) ? cos ? n, BM ?? ∴直线 BM 和平面 ADE 所成角为

1 ,1) 2

1 2

?
2

4 9
4 。 9

? arccos

解法二: (1)如图,过 M 作 MN⊥AB,由 DB⊥面 ABC??2 分

8

? ,面ABD ? 面ABC,得MN ? 面ABC ? MN // BD // CE,
∵M 是 AD 中点,N 是 AB 中点,CA=CB, ∴CN⊥AB 由三垂线定理,得 EM⊥AB (2)设 CB 和 ED 延长线交于 F,不妨设 BD=1 易求 BF ? 2, AB ? 2 2 , AD ? 3, BM ?

3 2

; DF ?

5 , AF ? 2 5

cos ?DFA ?

4 3 , sin ?DFA ? , 得S ?ADF ? 3 5 5 2 3

设 B 到面 AEF 的距离为 h,由 VD ? ABF ? VB ? ADF , 得h ? 设直线 BM 和平面 ADE 所成角为 ? , sin ? ?

h 4 ? BM 9

? ? arcsin

4 。 9

例 9.

如图,四边形 ABCD 是正方形,PB⊥平面 ABCD,MA//PB,PB=AB=2MA,

(Ⅰ)证明:AC//平面 PMD; (Ⅱ)求直线 BD 与平面 PCD 所成的角的大小;

6.(Ⅰ)证明:如图 1,取 PD 的中点 E,连 EO,EM。 ∵EO//PB,EO=

1 1 PB,MA//PB,MA= PB, 2 2

∴EO//MA,且 EO=MA ∴四边形 MAOE 是平行四边形, ∴ME//AC 。 又∵AC ? 平面 PMD,ME ? 平面 PMD, ∴AC//平面 PMD 。 (Ⅱ)如图 1,PB⊥平面 ABCD, CD ? 平面 ABCD, ∴CD⊥PB。 又∵CD⊥BC, ∴CD⊥平面 PBC。 ∵CD ? 平面 PCD, ∴平面 PBC⊥平面 PCD。
9

过 B 作 BF⊥PC 于 F,则 BF⊥平面 PDC,连 DF, 则 DF 为 BD 在平面 PCD 上的射影。 ∴∠BDF 是直线 BD 与平面 PDC 所成的角。 不妨设 AB=2,则在 Rt△BFD 中, BF ? ∴直线 BD 与平面 PCD 所成的角是

? 6

? 1 BD , ∴∠BDF= 6 2

10


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