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第1讲运动学


高中物理竞赛系列讲座

知识要点和能力考查
?运动学的矢量描述 ?简单的求导运算 ?速度的相关联关系—几何约束条件 ?运动的相对性描述—绝对(加)速度 牵连 (加)速度 相对(加)速度 —实际上往往还 是归结到矢量加法和求导运算

§1 运动学基本概念
1.位矢 (position vector)

/>z

? r

? ? ? ? r (t ) ? x(t )i ? y(t ) j ? z(t )k
? P(x,y,z)
——运动方程 or 运动函数 y

? r ——位矢

x

O

e.g. 抛体运动: ? ? ? 2 1 r (t ) ? v0 x ti ? (v0 y t ? 2 gt ) j

2.位移 (displacement) Z P1

?S ? P2 ? ?r ? r (t ) r (t ? ? t )

? ? ? ? r ? r (t ? ?t ) ? r (t )
— t ~ t+?t 内的位移

o
X

Y

e.g.

? ? 2? ? r (t ) ? i ? t j ? t k

则在 t=0 ~ 1s 内的位移

? ? ? ? ? ?r ? r (1) ? r (0) ? j ? k m

3.速度 (velocity)

? ? Average velocity:v ? ?r ?t
Instantaneous velocity:

? r (t )

?S ? ?r

? ? ?r dr ? ? v ? lim ?t ? 0 ?t dt

? r (t ? ?t )

?r

In curvilinear motion, the velocity vector is tangential to the curve. ?

v

4.加速度 (acceleration) Average acceleration:

? ? ?v a? ?t

Instantaneous acceleration:

? ? 2? ?v dv d r ? a ? lim ? 2 ? ?t ? 0 ?t dt dt
dvx d x ax ? ? 2 , a y ? ... dt dt
2

The components of acceleration: ?直角坐标系

自然坐标系

? ? v ? v?
? ? ? ? ?v dv d ( v? ) a ? lim ? ? ?t ? 0 ? t dt dt ? dv ? d? ? ? ?v dt dt

d?

d? ? ?

?

? d? ? d?n ?

? v ? d? d? ? ? n ? ?n ? n dt dt ?

?

?自然坐标系

? ? ? a ? a?? ? an n
?v? dv a? ? lim ? ?t ? 0 ? t dt

v
ρ

?

an

a

an ?

v

2

a?

?
(1 ? y? ) ?? y??
3 2 2

曲率半径的一般数学表达式

注:在物理竞赛中,曲率半径多以物理方法求得 圆周运动即为曲率半径不变的曲线运动

?平面极坐标系?

? ? r ? rr

? v
??

? r

? dr d? ? ? ? ? ? ?? dt dt

? d? ? ? ??r dt

? ? ? dr r ? r d? ? ? ? ? v ? v r r ? v? ? dt dt ? d 2r dr 2 ? ? a ? ( 2 ? r? )r ? ( 2? ? r? )? dt dt

?有心力场

dr 1 d ( mrv ) a? ? 2? ? r? ? ?0 dt r dt

从数学上讲,无非就是就是一个微积分的运算

? ? ? r ( t ) ? v ( t ) ? a (t )

(求导)
(积分)

? ? ? ? ? v (0) r (0) a (t ) ??? v (t ) ??? r (t ) ?

不做数学的奴隶,要做数学的主人 数学是大自然的语言,物理是用这种语言写成 的一首诗

例1、有一质点沿x轴作直线运动,t时刻 的坐标为x(t)=4.5t2 ?2t3,上式中t以s作 单位,x以m作单位。试求: (1)质点在第2s内的位移; (2)第2s内的平均速度; (3)第2s末的瞬时速度; (4)质点在第2s内通过的路程。

1.已知一质点做变加速直线运动,初速度为 v0, 其加速度a随位移x线性减小,即 a=a0?kx,式中 a0、k为常量,试求当位移为x0时质点的瞬时速 度。
V0-(2a0-kx0)/2

2.一条猎狗追赶一只沿直线匀速奔跑的狐狸, 狐狸奔跑的速度为v1,猎狗追赶的速度为v2 (v2>v1),其大小为一恒量,而方向始终对着 狐狸,当速度v1和v2互相垂直时,狐狸和猎狗 之间的距离为d,求在这一瞬间猎狗运动的加 速度和运动的曲率半径.

例2、走私犯的船沿与笔直的海岸线的垂直方向 以恒定的速度v出发,海岸警卫队的快艇在距离 走私船d处同时离开海岸。快艇始终以恒定的速 率朝走私船驶去,最终在距离海岸线d处抓住罪 犯。请回答海岸警卫队快艇速度是走私船速度 的几倍?不计海水的速度。

设快艇的速度为kv,如图所示,任意时刻t快艇 的速度与海岸线夹角为?,此时,两船之间的距 离为r1 ;在t~t+?t时刻,两船之间的距离为r2,

r1?(r2+kv?t)=v ?t sin?
两船距离的减小量为
θ

?r=r1?r2=k v ?t+ v ?t sin?

快艇在垂直海岸线方向上距离增加

?y ? kv sin? ? ?t
对上面两个式子累加,并 注意到

? ?r ? ? ?y ? ? v?t ? d
2

θ

1? 5 k ? k ?1 ? 0 ? k ? ? 1.618 2

3.如图所示,用绳牵引小船靠岸,岸高h,若 收绳的速度为v0,求船在任意位置x处的速度 和加速度。 ?

v0

方法1:数学 方法

h
O

x
2

x

设在任意位置x处,绳长为l

x ? l ?h dl / dt ? ?v0
2

2l dl dx h 2 ? ? ? v0 1 ? ( ) v? ? dt 2 l 2 ? h2 dt x
2 2 2( h )( ? xh2 ) dx dv h v0 x a ? ? ? v0 ? ? ?? 3 h 2 dt dt x 2 1? ( x)

方法2:物理方法

§2 刚体运动学 1. 平动(n=3)
刚体内任一直线在运动过程中始终保持平行。
刚体内各质点在任一时刻具有相同的速度和加速度。

? 可以用质点动力学的方法来处理刚体的平动问题。

2.定轴转动(n=1)
刚体上所有质点都绕同一直线作圆周运动。这 种运动称为刚体的转动。这条直线称为转轴。

z ? ?

O

特点:刚体内所有的点具有相同的角位移、角速度 和角加速度。——刚体上任一点作圆周运动的规律 即代表了刚体定轴转动的规律

刚体定轴转动的描述

? ? ? (t ) 角位移: ? ? ? ( t ? ?t ) ? ? ( t ) ?
角位置: 角速度:

d? ?? dt

角加速度:

d? d ? ?? ? 2 dt dt
2

角量和线量的关系

v ? r?
?a? ? r? ? 2 ? a n ? r?

角速度和角加速度均为矢量, 定轴转动中方向沿转轴的方 向。角速度方向并满足右手 螺旋定则。

对于匀角加速转动,

匀加速直线运动:

式中:

是 t =0 时刻的角速度

说明:作定轴转动时,刚体内各点具有相同的角量, 但不同位置的质点具有不同的线量。

例、 一条缆索绕过一定滑轮拉动一升降机,滑轮半径为 0.5m, 如果升降机从静止开始以a=0.4m/s2的加速度匀 加速上升,在运动过程中,假设绳子与滑轮不打滑。试 求:

r

(1) 滑轮的角加速度;

0.8/s2

(2) 开始上升后,5 秒末滑轮的角速度;4/s
(3) 在这5 秒内滑轮转过的圈数; 5/?

(4) 开始上升后,1 s末滑轮边缘上一点的加速度。
0.51m/s2

a

3.平面平行运动 刚体运动时, 各点始终和某一平面保持一定 的距离, 或者说刚体中各点都平行于某一平面 而运动 A

v B

刚体平面平行运动的自由度为两个平动自 由度加一个转动自由度

刚体平面平行运动的两种基本描述 第一:基点法
将平面平行运动分解为以刚体上(或其延拓空间上) 任意选定的参考点(称为基点)为代表的平动和刚体 绕此参考点的转动。因此,刚体上任意一点的速度公 ? ? ? ? 式为

? ? 其中, B代表基点的平动速度, 刚体绕基点的角速 ? ?v 度,r ? 代表该点到基点的位置矢径。
注意,在讨论刚体平面平行运动中的转动分运动时, 刚体上其它质点相对于基点作圆周运动。基点可以不 相同,但相对于不同基点的转动角速度是相同的。

v ? vB ? ? ? r ?

补充说明,在讨论刚体的运动学问题时,基点的选择 以方便讨论问题为宜;若讨论刚体的动力学问题时, 一般以质心为基点为宜(原因见后面的内容)。

第二:速度瞬心法
将平面平行运动看成是绕速度瞬心的瞬时定轴转动。 因为对于做平面平行运动的刚体,在运动过程中的任 一时刻,在刚体上(或其延拓空间上)一定存在一个 速度为零的点,以该点为基点,刚体上任意点的速度 为

? ? ? v ? ??r

于是,可将刚体看成在该瞬时绕该基点作定轴转动,这 个瞬时速度为零的基点称为速度瞬心,过速度瞬心垂直 运动平面的转轴称为刚体的瞬时转动轴。

由速度矢量图确定瞬心
(1) 如果刚体上A与B两点的速 度方向已知,但不平行,那 么过A与B两点作垂直各自速 度矢量的直线,它们的交点 为该瞬时的速度瞬心

S

A

B

(2) 如果刚体上A与B两点的速度大小已知,相互平行 且垂直与A、B两点的连线,则速度矢量端点的连线与 A、B连线的交点为该瞬时的速度瞬心
S A A B S B A B

问题:平动刚体的速度瞬心在哪里?

4、一轻质细杆AB的长度为l,A、B两端分别靠在竖直墙 壁和地面上,杆上的P点距B点的距离为杆长的?倍 (0<?<1)。A端沿墙壁向下运动,B端沿地面向右运动。

x2 y2 ? ?1 (1)确定P点的运动轨迹: 2 2 [(1 ? ? )l ] (?l )
(2)若杆在如图所示的θ角位置时, B端的速度大小为v,方向水平向左, 求此时P点运动速度的水平和竖直分 量。
P v B

A

v Px ? v? sin? ? (1 ? ? )v

v Py ? ??v cot ?

5、如图所示,半径为r的小圆柱同心地固连于半径为R 的圆柱上,形成一个轮轴。缠绕在轴上的细线绕过滑 轮Q后,以一定的速度v拉线的一端,同时轮轴在水平 地面上作无滑动的滚动。运动过程中线段PQ与水平方 向的夹角为θ,求轮轴中心O点的速率随θ角变化的关系 式。
v

Rv v0 ? R cos ? ? r
R

P r O

θ )

Q

C

6、一个圆盘形刚体在直线轨道做纯滚动,圆盘 上任一点(圆盘中心除外)所形成的运动轨迹称 为涡轮线(又称为摆线)。试求: (1)涡轮线的轨迹方程,设所求点的半径为R, 以滚过的角度?为参量; (2)涡轮线上各点的曲率半径。

§3 相对运动

? ? ? ? v A对B ? v A ? vB ? ?vB对A

? ? ? v A对C ? v A对B ? vB对C

设两个参考系 S和 S?,若 S是静止参考系, S?相对S 的速度为u ,称为牵连速度; S?系中物体 的速度为 v?,称为相对速度;相对 S系的速度为 v,称为绝对 速度,则 ? ? ?

v ? v? ? u ? ? ? a ? a? ? A

7、一个沿水平方向以加速度a0做匀加速直线运 动的半径为R的半圆柱体,在半圆柱面上搁着一 根只能在竖直方向上运动的直杆,在半圆柱体 速度为v0时,杆与半圆柱体接触点的角位置为θ, 如图所示,求此时竖直杆的速度和加速度分别 为多少?

v ? v0 tan ?
v a ? a0 tan ? ? R cos 3 ?
2 0

θ

v0

8.如图所示,两质点A和B分别沿半径为a和b 的同心圆做同方向的匀速圆周运动,两质点的 速率与半径成反比,求当两质点的相对速度方 向与它们的连线平行时,两质点与圆心连线的 夹角?。

A
a? O b B

§4 刚体系速度关联问题
杆或(张紧的)绳约束物系各点速度的相关特征是:

在同一时刻必具有相同的沿杆、绳方向的分速度. 接触物系接触点速度的相关特征是:
沿接触面法向的分速度必定相同,沿接触面切向的分 速度在无相对滑动时相同. 线状相交物系交叉点的速度是: 相交双方沿对方切向运动分速度的矢量和. 实际上就是运动的几何约束

9、如图所示,AB杆的A端以匀速v运动,在运 动时杆恒与一半圆周相切,半圆周的半径为R, 当杆与水平线的交角为θ时,求杆的角速度ω及杆 上与半圆相切点C的速度.
B C R θ A

v

这是杆约束相关速度问题 考察杆切点C,由于半圆 静止,C点速度必沿杆!
B C R θ A v2 θ v

已知杆A点速度沿水平 以C为基点分解v:
由杆约束相关关系: v c v2是A点对C点的转动速度,故

? v1 ? v cos?

v sin? ? ? ? Rcot?

v sin 2 ? ?? R cos ?

10、在如图所示的结构中,OA杆AB杆组成连 杆系统,OA杆绕O点做定轴转动,OA=AB=a, 滑块C以恒定的速度v沿O1O2杆滑动。当OA杆 与AB杆垂直时,求OA杆与AB杆的角速度和角 加速度。
O
A

O1

C

B v

O2

OA杆绕O点做定轴转动,AB杆做平面平行运动。显然当两杆垂 直时,B点的瞬时速度大小为v,方向水平向右,根据速度的关 联关系,A点沿AB杆的速度分量等于零(实际上A点的速度就等 于零),因此将A点做为该时刻AB杆的速度瞬心,于是此刻AB 杆的角速度为

?OA ? 0

? AB

v ? a

O

A

又因为A点的速度为零,因此A点的法 向加速度等于零,只有沿AB杆的切向 加速度,由于B点加速度为零,即

O1

C

B v

O2

? ? ? a B ? a? ? A ? a A ? 0 B

? ? ? a B ? a? ? A ? a A ? 0 B
该矢量式在水平和竖直方向上的分 量式
O A

a? BA ? 0 ? 0
v ? a? AO ? 0 a
2

O1

C

B v

O2

? BA ? 0

? AO

v ? 2 a

2

11、图中所示为用三角形刚性细杆AB、BC、CD连成 的平面连杆结构图。AB和CD杆可分别绕过A、D的垂直 于纸面的固定轴转动,A、D两点位于同一水平线上。 BC杆的两端分别与AB杆和CD杆相连,可绕连接处转动 (类似铰链)。当AB杆绕A轴以恒定的角速度?转到图 中所示的位置时,AB杆处于竖直位置。BC杆与CD杆都 与水平方向成45°角,已知AB杆的长度为l,BC杆和 CD杆的长度由图给定。求此时C点加速度的大小和方向 (用与CD杆之间的夹角表示)
C l

B
l

45° ) A 45° D (

12、有四根长度均为l的细杆,用铰链首尾相接, 组成一个菱形ABCD,放在水平面上,如图所示。 现将A端固定,C端沿着AC的连线运动,当 ?A=90?时,C端的速度为v,加速度为a,求此时 B端的速度和加速度的大小。
B A D a v C

建立直角坐标系,根 据速度关联求B的速 度大小 2
vB ? 2 v
A

y
B aBn vB C x

根据B点的横坐标与C点坐 标的关系,可得
1 x B ? xC 2 v Bx

D

1 1 1 1 ? vCx ? v a Bx ? aCx ? a 2 2 2 2

本题关键是求aBy 由于AB是定轴转动,则B 点向心加速度为
a Bn
2 vB v 2 ? ? l 2l

而B点在直角坐标系中的加 速度分量aBx、 aBy与其在内 禀坐标系的向心(法向) 加速度aBn的关系为
0

y B

aBn
A

vB aBy

aBx

C
0D

x

aBn ? aBy cos45 ? aBx sin45

于是,可以求出aBy,进而求出aB。

介绍本题的一般情况的解 B 法(仅供参考):建立直 角坐标系,设C点坐标为x, ? A 则B、C两点的坐标、速 C x 度和加速度为 D yB ? l sin? xC ? x d? 1 v By ? l cos? ? xB ? x dt 2 2 d? d? 2 1 a By ? l cos? ? 2 ? l sin? ? ( ) v Bx ? v dt dt 2 显 1 然 因此可求出?

y

a Bx ?

2

a

x ? 2l cos ?

两边对时间求导,得
2

d? v ?? dt 2l si n?

d? d? 2 a ? ?2l sin? 2 ? 2l cos? ( ) dt dt
代入可求得最后结果

13、如图,直杆AB在半径为r的固定圆环上以 垂直于杆的速度v1作平动,当杆AB运动至图示 位置时,求杆与环的交点M的运动速度和加速 度。
v1

若圆环同时以速度v2向右做匀 速平动,其他条件不变,结 果又将如何?

A

M B

?
O

14.如图所示,AB杆以角速度ω绕A点匀角速转 动,并带动套在水平杆OC上的小环M运动。运 动开始时,AB杆在竖直位置,设OA=l。求: (1)t时刻小环M沿OC杆滑动的速度; (2)t时刻小环M相对于AB杆运动的速度.
B C

O

M

A

15、如图所示,半径为R的圆环静止不动,半 径为r的圆盘沿圆环内侧做无滑动的滚动,圆 盘中心C点绕圆环中心O点的角速度恒为?,试 求圆盘上与圆环接触点相对于圆环的加速度的 大小和方向。
O C

16.在海面上有三艘帆船,船A以速度u向正东方 向航行,船B以速度2u向正北方向航行,船C以 速度 2?2u向东偏北45?航行,在某一时刻,船B 和船C恰好同时经过船A的航线并位于船A的前 方,船B到船A的距离为a,船C到船A的距离为 2a,若以该时刻为计时零点,求在t时刻,B、C 两船间距离的中点M到船A的连线MA绕M点转 动的角速度。


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