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1.3.3


1.3.3 函数的最大(小)值与导数

复习
1、函数的极值
y y

使函数取得极值的 点x0称为极值点

o

x0

x

o

x0

x

设函数f(x)在点x0附近有定义, ?如果对X0附近的所有点,都有f(x)<f(x0), 则f(x0) 是函数f(x)的一个极大值, 记作y极大值= f(x0);

?如果对X0附近的所有点,都有f(x)>f(x0),
则f(x0) 是函数f(x)的一个极小值,记作y极小值= f(x0); ◆函数的极大值与极小值统称为极值.
2

与 导 数 的 关 系

y

(1)如果f /(x0)=0, 并且在x0附近的左侧

f /(x0)>0 ,右侧f /(x0)<0, 那么f(x0)是极大值.
(2)如果f /(x0)=0, 并且在x0附近的左侧 f /(x0)<0 ,右侧f /(x0)>0, 那么f(x0)是极小值.

2. 函 数 的 极 值
-2 -1

f ?( a ) ? 0 f ?( x ) ? 0 f ?( x ) ? 0
1 2 3

f ?( x ) ? 0

f ?( x ) ? 0
f ?( b ) ? 0
4

x

5

O

a

b

3.最大值与最小值 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果 存在实数M满足: (1)对于任意的x∈I,都有f(x)≤M; (2)存在x0∈I,使得f(x0) = M 那么,称M是函数y=f(x)的最大值. 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果 存在实数M满足: (1)对于任意的x∈I,都有f(x)≥M; (2)存在x0∈I,使得f(x0) = M 那么,称M是函数y=f(x)的最小值.
4

讲授新课

请考察下列函数的最值的存在性

-2

1

-2

1

-2

1

?
-2

1

-2

1

-2

1

最值的存在性定理
一般地,如果在区间[a,b]上函数f(x)

的图像是一条连续不断的曲线,那么它必有
最大值和最小值。

如何求最值?

6

观察图像:

假设在区间[a,b]上函数f(x)的图像是一条

连续不断的曲线, 求它的最大值与最小值的
步骤如下: (1)求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极 小值) (2) 将 y=f(x) 的各极值与端点处函数值 f(a)、 f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一 个为最小值.

1 3 例1、求函数 f ( x ) ? x ? 4 x ? 4 在[0,3]上的最 3

大值与最小值. 解:f(x)的图象在[0,3]上是连续不断的.
2 ? y ? x ? 4 ? ( x ? 2)( x ? 2)

令 y? ? 0,解得 x1 ? ?2(舍去), x2 ? 2

4 f (0) ? 4, f (2) ? ? , f (3) ? 1 3
4 值为4,最小值为 ? 3 .

1 3 因此函数 f ( x ) ? x ? 4 x ? 4 在[0,3]上的最大 3

练习:1、求函数f(x)=x2-4x+3在区间[-1,4]内
的最大值和最小值. 解: f(x)的图象在[0,3]上是连续不断的.

f′(x)=2x- 4
令f′(x)=0,即2x–4=0, 得x =2

f (?1) ? 8, f (2) ? ?1, f (4) ? 3
故函数f(x) 在区间[-1,4]内的最大值为 8,最小值为-1
10

2、求函数 f ( x) ? x3 ? x 在[-1,2]上的最大值 与最小值.



f / ( x) ? 3x 2 ? 1 ? 0.

f(x)在[-1,2]上是增函数.
f (?1) ? ?2, f (2) ? 10.
3 f ( x ) ? x ? x 在[-1,2]上的最大值 因此函数

为10,最小值为 -2.

3、求函数f(x)=
值和最小值.

xex 在区间[-1,1]内的最大



f′(x)=ex(x+1)≥0

f(x)在[-1,1]上是增函数.
1 f (?1) ? ? , f (1) ? e, e
故函数f(x) 在区间[-1,1]内的最大值为 e,最小值为-1/e .
12

例 设x ? 0, 求证 : e ? x ? 1.
x

证 令f ( x) ? e ? x ? 1, x ? 0
x

f / ( x) ? e x ? 1,

f ( x)在(??,0)上是减函数, f ( x)在(0, ??)上是增函数,
f ( x) ? f (0)

e ? x ? 1 ? 0? e ? x ? 1.
x
x
15


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