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正切函数图象与性质课件


函数
y

y=sinx
y
1 1

y=cosx

图形 定义域 值域 最值

??

2

0
-1

?

2

?

3? 2

2?

5? 2

?? x

0
-1

?

2

?

3? 2

2?

5? 2

x

x?R
y ?[?1,1]

x?R
y ?[?1,1]

单调性 奇偶性 周期 对称性

x ? ? ? 2k? 时, ymax ? 1 x ? 2k? 时, ymax ? 1 2 x ? ? ? ? 2k? 时,ymin ? ?1 x ? ? ? 2k? 时,ymin ? ?1 2 x?[- ? ? 2k? , ? ? 2k? ] 增函数 x?[?? ? 2k? , 2k? ] 增函数 2 2 x?[ ? ? 2k? , 3? ? 2k? ] 减函数 x?[2k? , ? ? 2k? ] 减函数 2 2
奇函数 偶函数

2? 对称轴: x ? ? ? k? , k ? Z
2 对称中心: (k? ,0) k ? Z

2?
对称轴: x ? k? , k ? Z 对称中心:( ? ? k? , 0) k ? Z

2

探究

一、你能否根据研究正弦、余弦函数的图

象和性质的经验 以同样的方法研究正切函数 的图像和性质?

1、利用正切函数的定义,说出正切函数的定义域;

2、正切函数 y ? tan x 是否为周期函数? 由诱导公式知

y tan ? ? ? x ? 0 ? ?的终边不在y轴上 x ? ? ? ? k? ? ( k ? z ) 2 思考
?
2

? f ?x ? ? ? ? tan ?x ? ? ? ? tan x ? f ?x ?, x ? R, x ?

? k? , k ? Z

? ∴ y ? tan x 是周期函数, 是它的一个周期.

思考 3、正切函数 y ? tan x 是否具有奇偶性? 由诱导公式知

? f ?? x ? ? tan ?? x ? ? ? tan x ? ? f ?x ?, x ? R, x ?
正切函数是奇函数.

?
2

? k? , k ? Z

2. 函数

y ? sin x, x ? ?0,2? ?图象的几何作法
y

作法: (1) 等分 (2) 作正弦线
/ p1

1P 1
?
6

(3) 平移 (4) 连线
?
?
2

-

-

-

o1

M1 -1

A

o
-1 -

? 6

3

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11? 6

2?

x

思考 4、能否由正切线的变化规律及正切函数周期性来讨论它的单调性?
y
T

y

x

o

(1,0)

A

x
正切线AT

o x(1,0) A
T

x

y

y
T

x

x
(1,0)

o

A
T

x

o

(1,0)

A

x

4.10 正切函数的图像和性质
问题2、如何利用正切线画出函数 的图像?

y?

? ? ?? tan x,x ? ? ? , ? ? 2 2?

角 的终边 3 T

?

Y

(? , ? ) tan
3 3

A

0

? 3

X

? ? y ? tan x ,x ? ? ? , ? 的图像: 利用正切线画出函数 ? ? ? 2 2? 把单位圆右半圆分成8等份。 作法: (1) 等分: ? ? ? 3? 3? ? (2) 作正切线 ? ? ? , , , , , 8 8 4 8 8 4 (3) 平移 (4) 连线

o

? 3? ? ? 0 ? ? ? ? 2 8 4 8

? 8

? 4

3? 8

? 2

二:性质

你能从正切函数的图象出发,讨论它的性质吗? y

1
-3?/2 -? t-? -?/2

0

t ?/2

-1

? t+? 3?/2

x

函数 定义域

值域
周期性 奇偶性 单调性

y=tanx ? {x | x ? k? ? , k ? Z } 2 R T= ? 奇函数 ? ? 增区间 (k? ? , k? ? )k ? Z 2 2

4.10 正切函数的图像和性质

正切曲线

是由通过点 (k? ?

?
2

, 0)(k ? Z )且与 y 轴相互平行的

直线隔开的无穷多支曲线组成
渐 进 线 渐 进 线

3 ? ? 2

??

0

正 切 函 数 图 像
性质 :

渐 进 线

渐 进 线

? ⑴ 定义域: {x | x ? ? k?, k ? Z} 2 ⑵ 值域: R ⑶ 周期性:? ⑷ 奇偶性: 奇函数,图象关于原点对称。
⑸ 单调性: 在每一个开区间 ? ? (? ? k? , ? k? ) , ? Z 内都是增函数。 k 2 2 ? k?Z x (7)对称中心 (6)渐近线方程: ? k? ? , 2

kπ ( ,0) 2

问 题





问题:
(1)正切函数是整个定义域上的增函数吗?为什么?
(2)正切函数会不会在某一区间内是减函数?为什么?
A
B

π π (- + kπ, + kπ) ,k ? Z 2 2

在每一个开区间 内都是增函数。

基础练习
1.关于正切函数 y

? tan x , 下列判断不正确的是(B )

A 是奇函数 B 在整个定义域上是增函数 C 在定义域内无最大值和最小值 D 平行于 x 轴的的直线被正切曲线各支所截线 段相等
2.函数

y ? tan(3x)的一个对称中心是(
B. ( , 0) 4

C )

A . ( , 0) 9

?

?

C. ( , 0) 6

?

D. (? , 0) 4

?

例题分析
例1、比较下列每组数的大小。

(1)tan167 与tan173
解:
0 0 0

o

o

13π 11π tan() 与 tan() (2) 4 5

? 90 ? 167 ? 173 ? 180
? tan167 ? tan173
0 0

0

?? ? y ? tan x在 ? ,? ? 上是增函数, ?2 ?

说明:比较两个正切值大小,关键是把相 应的角 化到y=tanx的同一单调区间内,再 利用y=tanx的单调递增性解决。

反馈演练

1、比较大小:
0 < (1)tan138 _____tan143 。 13π 17π > (2)tan()_____tan() 4 5 2、求函数y=tan3x的定义域,值域,单调增 区间。 0

k? ? 定义域:{ \ x ? x ? , k ? z} 3 6 值域: R

? k? ? k? 单调递增区间:( ? ? , ? )k ? z , 6 3 6 3

例题分析
例3 求函数 解:

y ? tan 3x

的周期.

因为tan(3x ? ? ) ? tan 3x, ? 即tan3(x+ )=tan3x, 3 ? 这说明自变量 x ,至少要增加 ,函数的值 3 才能重复取得,所以函数 y ? tan 3x 的周期


?

反馈练习:求下列函数的周期:

3

x (1) y ? 5 tan 2

2?

(2) y ? tan(?4 x)

?

4

例题分析
tan 例 4 解不等式: x ? 3

解:

y

3
0 ?

? x
2

3

解法1

解法2

? ?? ? 由图可知:x ? ?k? ? , k? ? ?(k ? Z ) 3 2? ?

反馈演练

1、 解不等式 1+tanx ? 0

2、解不等式:1- tan x ? 0
3 3、解不等式: x ? ) ? tan( 6 3
答案: 1. x ? ? x k? ? ? ? x ? k? ? ? , k ? Z ? ? ?
4 2 ? ? ? ? ? ? 2. x ? ? x k? ? ? x ? k? ? , k ? Z ? 2 4 ? ? ? 2? ? ? x ? ? x k? ? ? x ? k ? ? ,k ?Z? 3. 3 3 ? ?

?

提高练习
?? ? 求函数 y ? tan ? 3 x ? ? 的定义域、值域,并指出它的 3? ? 单调性、奇偶性和周期性;
答案:

1、定义域 2、值域

1 5? ? ? x ? ? x | x ? R且x ? k? ? ,k ? Z ? 3 18 ? ? y?R

3、单调性
4、奇偶性 5、周期性

? 1 5? ? ?1 在x ? ? k? ? , k? ? ? 上是增函数; 18 3 18 ? ?3
非奇非偶函数
最小正周期是

?
3

四、小结:正切函数的图像和性质
? ? 1、 正 切 曲 线 是 先 利 用 移 正 切 线 得 ? tan x, x ? ( ? , )的 图 象 , 平 y 2 2 再 利 用 周 期 性 把 该 段象 向 左 、 右 扩 展 得 到 。 图

2 、y ? tan x 性质:

? ⑴ 定义域: {x | x ? ? k?, k ? Z} 2 ⑶ 周期性: ⑵ 值域: R ⑷ 奇偶性:奇函数,图象关于原点对称。

?

(5) 对称性:对称中心:

无对称轴

(6)单调性: 在每一个开区间 π π (- + kπ, + kπ), k ? Z 内都是增函数。 2 2 ? k?Z (7)渐近线方程: x ? k? ? , 2



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