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三角函数的基本概念、同角三角函数关系式及诱导公式(练习+详细答案)


提能拔高限时训练 17 三角函数的基本概念、同角三角函数关系式及诱导公式 一、选择题 1.已知角 2α 顶点在原点,始边与 x 轴的正半轴重合,终边过点( ? 等于( A. ? 3 ) B. 3 C.

1 3 , ),2α∈ [0,2π),则 tanα 2 2

3 3

D. ?

3 3

/>
解析:由 2α 终边在第二象限 , 可知 tanα > 0, 依题意知 tan2? ? ? 3 , 所以 2α=120°, 即 α=60°, tan? ? 3 . 答案:B 2.已知 f ( x) ? 3 sin( A.f(1)<f(2)<f(3) C.f(2)<f(3)<f(1) 解析: f ( x) ? 3 sin(

?
2

x?

?
3

) ,则下列不等式中正确的是(

)

B.f(2)<f(1)<f(3) D.f(3) <f(2)<f(1)

?
2

3 ? ? 3 则 f (1) ? 3 sin( ? ) ? , 2 3 2

x?

?

),

f (2) ? 3 sin(? ?
f (3) ? ?3 cos

?
3

)??

3 3 , 2

?

3 ?? , 3 2

∴ f(1)>f(3)>f(2).故选 C. 答案:C 3.下列不等式中正确的是( ) A.tan1>sin1>cos1 B.tan1>cos1>sin1 C.cos1>sin1>tan1 D.sin1 >cos1>tan1 解析:本题考查弧度制及利用单位圆处理问题. 1 弧度≈57.3°,结合单位圆中的三角函数线,知 tan1>sin1>cos1. 答案:A 4.设 α、β 是第二象限角,且 sinα<sinβ,则下列不等式能成立的是( ) A.cosα<cosβ B.tanα<tanβ C.cotα>cotβ D.secα <secβ 解析:A 与 D 互斥,B 与 C 等价,则只要判断 A 与 D 对错即可.利用单位圆或特殊值法,易知选 A. 答案:A 5.若 θ 为第一象限角,则能确定为正值的是( ) A. sin

? 2

B. cos

?
2

C. tan

? 2

D.cos2θ

解析:∵ 2kπ<θ< ∴ kπ<

?
2

? 2k? (k∈Z),

? ? < ? k? (k∈ Z),4kπ<2θ<π+4kπ(k∈ Z), 2 4 ? ? ? ? 可知 是第一、三象限角, sin , cos 都可能取负值,只有 tan 能确定为正值. 2 2 2 2
2θ 是第一、二象限角或 y 轴正半轴上的角,cos2θ 可能取负值. 答案:C 6 若 A、B 是锐角△ ABC 的两个内角,则 P(cosB-sinA,sinB-cosA)在( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 解析:∵ A、B 为锐角△ ABC 的两内角, ∴ A+B>90° . ∴?

) D.第四象限

? A ? 90? ? B, ?B ? 90? ? A.

∴ sinA>sin(90° -B)=cosB,sinB>sin(90° -A)=cosA. ∴ cosB-sinA<0,sinB-cosA>0. ∴ 点 P 在第二象限. 答案:B 7.sin930° 的值是( ) A.

3 2

B. ?

3 2

C.

1 2

D. ?

1 2

解析:sin930° =sin(3× 360° -150° ) =-sin150° =-sin30°

??

1 . 2
) B.(

答案:D 8.在(0,2π)内,使 sinx>cosx 成立的 x 的取值范围是(

? ? 5? A.( , )∪ (π, ) 4 4 2 ? 5? C.( , ) 4 4

? ,π) 4 ? 5? 3? D.( ,π)∪ ( , ) 4 2 4 ? 5? 解析:在单位圆中画三角函数线,如图所示,要使在(0,2π)内,sinx>cosx,则 x∈ ( , ). 4 4

答案:C 9.函数 y=asinx+b 的最大值为 3,最小值为 1,则 a 与 b 的值分别为( A.1,2 B.-1,2 C.1,2 或-1,-2 解析:当 a>0,sinx=1 时,ymax=a+b=3. sinx=-1 时,ymin=b-a=1, ∴?

) D.1,2 或-1,2

?a ? 1, ?b ? 2. ?a ? b ? 1 ?a ? ?1, ?? ?b ? a ? 3 ?b ? 2.

当 a<0 时, ? 答案:D

10.若 sinα+cosα=tanα(0<α<

? ? , ) 6 4 ? ? D.( , ) 3 2 ? ? ? 解析:∵ 0<α< ,∴ tanα=sinα+cosα>1,排除 A、B;又∵ sinα+cosα≤ 2 ,而在( , )上 tanα 2 3 2
? ) 6 ? ? C.( , ) 4 3
A.(0, B.( > 3 ,排除 D;故应选 C. 答案:C 二、填空题 11.若 cos( x ?

? ),则 α 所在的区间为( 2

)

?
6

)??
6

解析:∵2( x ? ∴sin(

?

5 ? ,则 sin( ? 2 x ) 的值是____________. 13 6

)?(

?

?
6

6

? 2 x) ?

?

? 2 x) ? cos 2( x ?

?
6

2

,

) ? 2 cos 2 ( x ?

?
6

) ?1 ? ?

119 . 169

119 答案: ? 169
12.已知 tanθ=2,则 sinθcosθ 的值为__________. 解析: sin ? cos ? ? 答案:

sin ? cos ? tan ? 2 ? ? . 2 2 2 sin ? ? cos ? tan ? ? 1 5

2 5

13.已知扇形内切圆半径与扇形半径之比为 1∶ 3,则内切圆面积与扇形面积之比为________. 解析:如右图,两半径之比为 1∶ 3,即 OA∶ O′B=3∶ 1,∴ OO′∶ O′B=2∶ 1.

∴?BO O ? ?

?
6

, ?COD ?

?
3

.

S圆 : S 扇 ?

? ? O ?B 2 1 ?
2 ? 3

? 2 : 3.
2

? OA

答案:2∶ 3 14.下列四个判断:

? )时,sinα+cosα>1; 2 ? ② α∈ (0, )时,sinα<cosα; 4 5? 3? ③ α∈ ( , )时,sinα>cosα; 4 2 ? ④ α∈ ( ,π)时,若 sinα+cosα<0,则|cosα|>|sinα|. 2
① α∈ (0, 其中判断正确的序号是_________________.(将正确的序号都填上) 解析:① 当 α∈ (0, ② 当 α∈ (0,

? )时,则 sinα<cosα 正确; 4 5? 3? ③ 当 α∈ ( , )时,则 sinα>cosα 错误; 4 2 ? ④ 当 α∈ ( ,π)时,sinα>0,cosα<0. 2

? )时,则 sinα+cosα>1 正确; 2

又 sinα<-cosα,即|cosα|>|sinα|正确. 综上所述,正确的序号为① ② ④ . 答案:① ② ④ 三、解答题 15.已知 sin2θ(1+cotθ)+cos2θ(1+tanθ)=2,θ∈ (0,2π),求 tanθ 的值. 解法一:由已知,可得 sin2θ+sin2θcotθ+cos2θ+cos2θtanθ=2, ∴ sin2θcotθ+cos2θtanθ=cos2θ+sin2θ. 两边同乘

1 ,得 tan2θ-2tanθ+1=0. cos 2 ?

∴ tanθ=1. 解法二:∵tan ? ?

sin ? cos ? , cot ? ? , cos ? sin ?

∴ sin2θ+sinθ·cosθ+cos2θ+cosθ·sinθ=2. ∴ sin2θ+2sinθcosθ+cos2θ=2. ∴ 1+2sinθ·cosθ=2. ∴ sin2θ=1. ∵ θ∈ (0,2π),∴ 2θ∈ (0,4π). ∴2? ? ∴? ?

?
2

或 2? ?

?
4

或? ?

5? . 4

5? . 2

∴ tanθ=1. 16.在△ ABC 中, cos A ? ?

5 3 , cos B ? . 13 5

(1)求 sinC 的值; (2)设 BC=5,求△ ABC 的面积.

5 12 ,得 sin A ? . 13 13 3 4 由 cos B ? ,得 sin B ? . 5 5
解:(1)由 cos A ? ? 所以 sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

?

16 . 65

4 BC ? sin B 5 ? 13 , (2)由正弦定理,得 AC ? ? 12 sin A 3 13 1 所以△ ABC 的面积 S ? ? BC ? AC ? sin C 2 1 13 ?6 8 ? ?5? ? ? . 2 3 65 3 5?
数学参考例题 志鸿优化系列丛书 【例 1】已知 sin ? ?

1? a 3a ? 1 , cos ? ? ,若 θ 为第二象限角,求实数 a 的值. 1? a 1? a

解:∵ θ 为第二象限角,∴?

?sin ? ? 0, ?cos? ? 0,

?1 ? a ?1 ? a ? 0, ? 即? ? 3a ? 1 ? 0. ? ? 1? a

解之,得-1<a<
2

1? a 2 3a ? 1 2 ) ?( ) ? 1, 1? a 1? a 1 1 解之,得 a ? 或 a=1(舍去),即 a ? . 9 9
又 sin ? ? cos ? ? (
2

1 . 3

【 例 2 】 已 知 下 列 命 题 :(1)θ 是 第 二 象 限 角 ;(2) sin

?
2

? cos

?
2

??

tan

?
2

?

3 ? ? 1 ;(5) sin ? cos ? ? .试以其中若干(一个或多个)命题为条件,然后以剩余命题 4 2 2 5

7 ? 4 ;(3) tan ? ;(4) 5 2 3

中的若干命题为结论组成新命题并证明之,至少组出两个新命题. 解:以(1)(2)为条件,以(3)为结论. 证明:∵ θ 是第二象限角, ∴k? ? 又 sin

?
4

?

?
2

? k? ?

?
2

,k∈ Z.①

7 ?? , 2 2 5 ? 3? ∴ 2kπ+π< < 2k? ? ,k∈ Z.② 2 2 5? ? 3? 由① ② ,可知 2k? ? < < 2k? ? , 4 2 2 ? ? 7 ? ? 12 又由 sin ? cos ? ? ,得 sin ? cos ? , 2 2 5 2 2 25 ? cos

?

?

tan


?
2

2 ? 2 ? ? 25 tan ? 12 ? 0 . ∴12 tan 2 2 ? 3 ? 4 解得 tan ? (舍去)或 tan ? . 2 4 2 3

1 ? tan2

?

?

12 . 25


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