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高中数学等比数列-难点剖析(2)新人教版必修5(A).doc


等比数列-难点剖析
【例 1】 实数等比数列{an}中,a3+a7+a11=28,a2·a7·a12=512,求 q. 思路分析:欲求 q 可用基本量法列出方程组求解或用性质求解. 解法一:
?4 4 ? ?a7 ? q ? a7 ? a7 q ? 28, 由条件得 ? ?5 5 ? ?a7 ? q ? a7 ? a7 ? q ? 512,

(1) (2)

由②得 a73=512, ∴a7=8.将其代入①得 2q8-5q4+2=0. 解之得 q4=

1 或 q4=2, 2

即 q=± 4

1 或 q=± 4 2 . 2

解法二:∵a3a11=a2a12=a72,∴a73=512. ∴a7=8. ∴?

?a3 ? a11 ? 20, ?a3 a11 ? 64.
解此方程得 x=4 或 x=16.

∴a3 和 a11 是方程 x2-20x+64=0 的两根.

∴?

? a 3 ? 4, ?a 3 ? 11, 或? ?a11 ? 16 ?a11 ? 4
又 a11=a3·q11-3=a3·q8,

a 1 1 ∴q=± ( 11 ) 8 =± 4 8 =± 4 2 或 q=± ( ) 8 =± . 4 4 a3 2
思维启示:从本题的两种解法可以看出,一般的数列计算问题,都可通过设基本量(可以用 a1、q 作为基 本量,也可以根据题目的条件用某一项和 q 作为基本量)列方程组求解.但若结合等比数列的特点,用性质解题, 则解题过程往往比较简单,避免了复杂的运算,但要注意性质使用的条件. 【例 2】 有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是 16,第 二个数与第三个数的和是 12.求这四个数. 思路分析: 本题根据等差数列、 等比数列的概念,利用等差数列、 等比数列中的对称性质设出这四个数, 以减少运算量.

1

1

1

(a ? d ) 2 解法一:设这四个数依次为 a-d,a,a+d, , a

? (a ? d ) 2 ? 16, ?a ? d ? 由条件得 ? a ?a ? (a ? d ) ? 12. ?

解得 ?

?a ? 4, ?a ? 9, 或? ?b ? 4 ?b ? ?6.

∴当 a=4,d=4 时,所求四个数为 0,4,8,16; 当 a=9,d=-6 时,所求四个数为 15,9,3,1. 故所求四个数为 0,4,8,16 或 15,9,3,1. 解法二:设这四个数依次为

2a a -a, ,a,aq(a≠0), q q

? 2a ? q ? a ? aq ? 16, ? 由条件得 ? ? a ? a ? 12. ? ?q
1 ? ?q ? 2, ?q ? , 解得 ? 或? 3 ?a ? 8 ?a ? 3. ?
∴当 q=2,a=8 时,所求四个数为 0,4,8,16; 当 q=

1 ,a=3 时,所求四个数为 15,9,3,1. 3

故所求四个数为 0,4,8,16 或 15,9,3,1. 解法三:设这四个数依次为 x,y,12-y,16-x, 由已知得 ?

?2 y ? x ? (12 ? y ),
2 ?(12 ? y ) ? y ? (16 ? x).

解得 ?

? x ? 0, ? x ? 15, 或? ? y ? 4 ? y ? 9.

故所求四个数为 0,4,8,16 或 15,9,3,1. 思维启示:(1)等比数列的“对称设项”方法为:当项数 n 为奇数时,先设中间一个数为 a,再以公比为 q 向两边对称地依次设项即可,如三个数成等比数列,可设为

a ,a,aq;当项数 n 为偶数且公比大于 0 时,先设中间 q

两个数为

a a a 和 aq,再以公比为 q2 向两边对称地依次地设项即可,如四个数成等比数列可设为 3 , ,aq,aq3, q q q
a a a , , ,aq,aq3,aq5. q5 q3 q

六个数成等比数列可设为

(2)对称设项法的好处在于它具有对称性,特别是当已知数列的积时,利用对称设项法可很快地求出 a,从而进 一步减少了未知数的个数. 【例 3】已知(b-c)logmx+(c-a)logmy+(a-b)logmz=0 且 a,b,c 构成公差不为零的等差数列,求证:x,y,z 成等比数列. 思路分析:要证 x,y,z 成等比数列,需由条件推出 y2=xz.

证法一:∵a,b,c 成等差数列,∴b=

a?c . 2

又∵(b-c)logmx+(c-a)logmy+(a-b)·logmz=0, ∴(

a?c a?c -c)logmx+(c-a)logmy+(a)logmz=0. 2 2

∴(a-c)(logmx-2logmy+logmz)=0. ∵a,b,c 的公差不为零,∴a-c≠0. ∴logmx-2logmy+logmz=0. ∴logmy2=logmxz. ∴y2=xz. 又由题设知,x,y,z 均不为零, ∴x,y,z 成等比数列. 证 法 二 : 设 等 差 数 列 a,b,c 的 公 差 为 d(d ≠ 0), 则 b-c=-d,c-a=2d,a-b=-d, 代 入 已 知 条 件 式 , 得 -d(logax-2logmy+logmz)=0. ∵d≠0,∴logmx-2logmy+logmz=0. ∴logmy2=logmxz. ∴y2=xz. ∵由题设知 x,y,z 均不为 0, ∴x,y,z 成等比数列. 思维启示:证明等比数列的方法有两个: (1)定义法,即验证

a n ?1 =q(常数)是否对于 n≥1 的整数都成立; an
1 2 21 1 ,b1b2b3= ,求通项 an. 8 8

(2)等比中项法(递推法),即验证 an+12=an·an+2 是否对 n∈N*都成立,但应注意 an≠0(n∈N*). 【例 4】 设{an}是等差数列,bn= ( ) n ,已知 b1+b2+b3=
a

思路分析:本题主要综合考查等差数列、等比数列的通项公式及性质.本题可利用基本量法列出方程求 解. 解法一:设等差数列{an}的公差为 d,则 an=a1+(n-1)d,

1 a1 ? ( n ?1) d . 2 1 a 1 a ?2d 1 2( a ?d ) b1b3= ( ) 1 · ( ) 1 = ( ) 1 =b22. 2 2 2
∴bn= ( )

1 ? b1b2 b3 ? , ? 1 1 1 ? 8 由 b1b2b3= ,得 b23= ,解得 b2= ,代入已知条件有 ? 8 8 2 ?b ? b ? b ? 21, 1 2 3 ? 8 ? 1 ? b1b3 ? , ? ? 4 整理得 ? ?b ? b ? 17 . 1 3 ? 8 ?

解这个方程组,得 b1=2,b3= ∴a1=-1,d=2 或 a1=3,d=-2.

1 1 或 b1= ,b3=2. 8 8

∴当 a1=-1,d=2 时,an=a1+(n-1)d=2n-3; 当 a1=3,d=-2 时,an=a1+(n-1)d=5-2n. 解法二:设数列{an}的公差为 d, ∵bn= ( ) n ,

1 2

a

1 ( ) a n ?1 bn?1 1 ∴ = 2 =( )d(常数). 1 2 bn ( ) an 2
∴{bn}是等比数列. ∵b1b2b3=

1 1 1 ,由等比数列的性质可得 b23= ,∴b2= ,以下同解法一. 8 8 2
a

思维启示:(1)对于等差数列和等比数列的综合问题,往往需要依据条件列出方程以求特定的系数; (2)等差数列与等比数列在一定条件下可以相互转化 .若{an}是等差数列,则数列{ c n }(c 为常数,c>0)一定是 等比数列;若{an}是正项等比数列,则数列{logcan}(c 为常数,c>0,且 c≠1)一定是等差数列. 【例 5】 2005 年甲、乙两林场森林木材的存量分别为 16a 和 25a,甲林场木材量比上年递增 25%,而乙林场 木材量每年比上一年递增 20%. (1)求哪一年两林场木材总存量最少?最少量是多少? (2)问两林场木材总量到 2009 年时能否翻一番? 思路分析:由题意可知甲、乙两林场每年的森林木材存量均成等比数列,且公比分别为 1+25%和 1+20%, 于是根据等比数列的通项公式,便可建立函数模型. 解:由题意,设 yn 为第 n 年两林场木材的总存量,则 yn=16a(1+25%)n-1+25a(1-20%)n-1 =16a(

5 n-1 4 ) +25a( )n-1≥2a 16? 25 =40a. 4 5 5 4 当且仅当 16a( )n-1=25a( )n-1,即 n=2 时 yn 有最小值为 40a,故 2006 年两林场木材的总量最少,最少为 4 5

40a. (2)令 n=5,有 y5=16a(

625 256 5 4 4 ) +25a( )4=( + )a<2(16a+25a). 16 25 4 5

故 2009 年时不能翻一番. 思维启示:解决实际问题,首先要建立数学模型 ,利用数学模型解决实际问题 .本题就是建立了一个等比 数列模型,然后利用等比数列的通项公式解决问题.



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