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高二数学寒假练习卷4


高二数学寒假练习卷(四)
1 “ ? 为锐角”是“ sin ? ? 0 ”成立的 A.充分不必要条件 C.充要条件
2.下列命题中,真命题是( ). A. ?x ? R , 使得 sinx ? cosx ? C. ?x ? R, x
2

(

)

B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

3 ; 4

B.命题“若 x D.命题“若 x

? 1, 则x2 ? 1 ”的逆命题;

? x ? 1;

? y, 则sin x ? sin y ”的逆否命题;
( )

“ 3.设 a ? R. 则

a ?1 ? 0” 是“ a ? 1 ”成立的 a ? a ?1
2

A.充分必要条件 C.必要不充分条件

B.充分不必要条件 D.既非充分也非必要条件 ( )
1 1

4.设 m, n 是两条异面直线,下列命题中正确的是 A.过 m 且与 n 平行的平面有且只有一个 B.过 m 且与 n 垂直的平面有且只有一个 C. m 与 n 所成的角的范围是 ?0,? ? D.过空间一点 P 与 m 、 n 均平行的的平面有且只有一个 5.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 A.6 B.

2
正视图
2

侧视图

(

)

16 3

C.

14 3

D.4

俯视图 (第 6 题)

6、 设双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、 右焦点分别是 F 过点 F2 的直线交双曲线右支于不同的两点 M 、 1 、F2 , a 2 b2


N .若△ MNF1 为正三角形,则该双曲线的离心率为(
A. 6 B. 3 C. 2

D.

3 3
( )

7、已知圆 O 的半径为 1,PA、PB 为该圆的两条切线,A、B 为两切点,那么 PA ? PB 的最小值为

A. ?3 ? 2 2
x2 a
2

B. ?3 ? 2
y2 b
2 2
2

C. ?4 ? 2 2

D. ?4 ? 2

8.已知 P 是椭圆 心率为
3 2 9.已知集合

?

? 1(a ? b ? 0) 上的一动点,且 P 与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积为 ?

1 ,则椭圆离 2

( B. C.

)

A.

1 2

D.

3 3

? ? ? 4 x ? 3 y ? 12 ? ? ? M ? ?( x, y) ? , x, y ? R ? , N ? ?( x, y) ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 , a, b ? R, r ? 0? ? ? ? ? 4 x ? 3 y ? 12 ? ?
若存在 a, b ? R ,使得 N ? M ,则 r 的最大值是 A. 3 B. 2 .5 C. 2 .4 ( D. 2 )

10. 设 a、b、c 是空间的三条直线,给出以下五个命题:
①若 a⊥b,b⊥c,则 a⊥c;②若 a、b 是异面直线,b、c 是异面直线,则 a、c 也是异面直线;

③若 a 和 b 相交,b 和 c 相交,则 a 和 c 也相交;④若 a 和 b 共面,b 和 c 共面,则 a 和 c 也共面;

⑤若 a∥b, b∥c,则 a∥c;其中正确的命题的个数是





(A)0

(B)1

(C)2

(D)3

11.已知直线 l : y ? 3x ? 2 与圆 O : x 2 ? y 2 ? 4 相交于 A, B 两点,则 AB = 12.正三棱锥的侧面与底面所成二面角的大小为 ? ,侧棱与底面所成为 ? 则



tan? ? tan ?

.

13.如果一个平面与一个圆柱的轴成 ? ( 0? ? ? ? 90? )角,且该平面与圆柱的侧面相交,则它们的交线是一个 椭圆. 当 ? ? 30 ? 时,椭圆的离心率是 .
14.设直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 与圆 C1: x
2

? y2 ? 4 交于 A,B 两点,若圆 C2 的圆心在线段 AB 上,且圆 C2 与圆 C1 相切,
; _

切点在圆 C1 的劣弧 AB 上,则圆 C2 的半径的最大值是

15.在平面区域 ( x, y ) | x |? 1,| y |? 1 上恒有 ax ? 2by ? 2 ,则动点 P (a, b) 所形成平面区域的面积为__

?

?

16. 若三条直线 l1 : 4 x ? y ? 4 , l2 : mx ? y ? 0 , l3 : 2 x ? 3my ? 4 能围成三角形,求 m 的取值范围_________. 17.如图,将菱形 ABCD 沿对角线 BD 折起,使得 C 点至 C ? , E 点在线段 AC ? 上,若二面角 A ? BD ? E 与二面角
E ? BD ? C ? 的大小分别为 30°和 45°,则

C?

AE = EC ?



D
(第 17 题) B

E A

? lg (x ? x ? 18、设命题p:函数 f(x)
2

1 2 a) 的定义域为R; 16

命题 q : ?m ? [?1,1], 不等式 a

2

? 5a ? 3 ? m2 ? 8 恒成立;

如果命题“ p ? q ”为真命题,且“ p ? q ”为假命题,求实数 a 的取值范围.

19、设点 F(0,2) ,曲线 C 上任意一点 M(x,y)满足以线段 FM 为直径的圆与 x 轴相切.
(1)求曲线 C 的方程; (2)设过点 Q(0,-2)的直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,问|FA|,|AB|,|FB|能否成等差数列?若能,求出直线 l 的方程;若不能,请说明理由.

20、如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,底面 ABCD 为正方形,PA=AB=2, M, N 分别为 PA, BC 的中点. (Ⅰ)证明:MN∥平面 PCD; (Ⅱ)求 MN 与平面 PAC 所成角的正切值.

21、如图,已知直线 l1 圆 C2 : x
2

: y ? 2x ? m(m ? 0) 与抛物线 C1 : y ? ax2 (a ? 0) 和

? ( y ? 1)2 ? 5 都相切, F 是 C1 的焦点.

(1)求 m 与 a 的值; (2 ) 设 以 A 为切点作抛物线 C1 的切线 l , 直线 l 交 y 轴 A 是 C1 上的一动点,

于点 B ,以 FA, FB 为邻边作平行四边形 FAMB ,证明:点 M 在一条定直 线上; (3 ) 在 (2 ) 的条件下, 记点 M 所在的定直线为 l2 , 直线 l2 与

y 轴交点为 N ,

连接 MF 交抛物线 C1 于 P, Q 两点,求 ?NPQ 的面积 S 的取值范围.

22.抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上纵坐标为 ? p 的点 M 到焦点的距离为 2. (Ⅰ)求 p 的值; (Ⅱ)如图, A, B, C 为抛物线上三点,且线段 MA , MB , MC 与 x 轴交点的横坐标依次组成公差为 1 的 等差数列,若 ?AMB 的面积是 ?BMC 面积的

1 ,求直线 MB 的方程. 2
y A O M (第 22 题) B x C

23. (本题满分 14 分) 如图,在正三棱柱 ABC — DEF 中, AB ? 2, AD ? 1. P 是 CF 的沿长线上一点,

FP ? t. 过 A, B, P 三点的平面交 FD 于 M ,交 FE 于 N . (Ⅰ)求证: MN ∥平面 CDE ;
(Ⅱ)当平面 PAB ? 平面 CDE 时,求 t 的值.

P

N D

E

F

M

B

C

A

23 题

24、如图,已知点 A(?2,0) ,点 P 是⊙ B : ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 36 上任意一 点,线段 AP 的垂直平分线交 BP 于点 Q ,点 Q 的轨迹记为曲线 C . (Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)已知⊙ O : x 2 ? y 2 ? r 2( r ? 0 )的切线 l 总与曲线 C 有两个
0 交点 M 、N ,并且其中一条切线满足 ?MON ? 90 ,求证: 0 对于任意一条切线 l 总有 ?MON ? 90 .

24 题

25、已知抛物线 y ? 2 px ? p ? 0? 上一个横坐标为 2 的点到其
2

焦点的距离为 (1)求 p 的值;

5 . 2
2

2 2 (2)若 A 是抛物线 y ? 2 px 上的一动点,过 A 作圆 M : ? x ? 1? ? y ? 1 的两条切线分别切圆于 E 、 F 两

点,交 y 轴于 B 、 C 两点,当 A 点横坐标大于 2 时,求 ?ABC 的面积的最小值.

y

A

B

E M F x

O ACCAA DABCB
2 3;

2;

3 ;1;4; 2

1 2 m ? ?1, 4, ? , 6 3 ;

2 2 18 解.(本题满分 14 分)
命题 p: ? ? 1 ? 3分 命题 q: ∵m∈[-1,1],∴

C
???

1 2 a ? 0 ? a ? ?2或a ? 2 4

第 25 题

m2 ? 8 ∈[2 2 ,3].
2

∵对 m∈[-1,1],不等式 a -5a-3≥ ∴a≥6 或 a≤-1. 故命题 q 为真命题时,a≥6 或 a≤-1.

m2 ? 8 恒成立,可得 a2-5a-3≥3,
???6 分

命题“p 或 q”为真命题,且“p 且 q”为假命题,则 p.q 一真一假???7 分

(1)

若 p 真 q 假,则

?a ? ?2, a ? 2 ?2?a?6 ? ?? 1 ? a ? 6 ?? 2 ? a ? 2 ? ?2 ? a ? ?1 ?a ? ?1, a ? 6

???10 分

(2)

若 p 假 q 真,则 ?

???13 分

综上(1) (2)所述: ? 2 ? a ? ?1,2 ? a ? 6 为所求的取值范围. ???14 分 19.(1)设 M(x,y),则由题可知: 化简可得曲线 C 的方程为: x
2

x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 2 |

y?2 | 2

? 8y
2

(2)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,直线 l 的方程为:y=kx-2,代入 x

? 8 y 得:

x2 ? 8kx ? 16 ? 0

?? ? 64k 2 ? 64 ? 0,? k 2 ? 1 ? ? ? x1 ? x2 ? 8k ? x x ? 16 ? 1 2
而由题可知:2|AB|=|FA|+|FB|

? 2 1 ? k 2 | x1 ? x2 |? y1 ?
代入可得: 2

p p ? y2 ? ? k ( x1 ? x2 ) ? 4 ? 4 2 2

1 ? k 2 8 k 2 ?1 ? 8k 2

?k4 ?

4 ?1 3

所以|FA|,|AB|,|FB|能成等差数列,此时 l 的方程为:

y ? ?4

4 x?2 3

20. 19、如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,底面 ABCD 为正方形,PA=AB=2,M, N 分别为 PA, BC 的中点. (Ⅰ)证明:MN∥平面 PCD; (Ⅱ)求 MN 与平面 PAC 所成角的正切值. 解: (Ⅰ)取 PD 的中点 E,连接 ME, CE. P ∵M, N 分别为 PA, BC 的中点,

1 1 AD , NC // AD ,∴ ME //NC , M 2 2 ∴MNCE 是平行四边形,∴MN∥CE,?????4 分 A ∵CE? 平面 PCD,MN? 平面 PCD, ∴MN∥平面 PCD.?????????????6 分 B N (Ⅱ)作 NF⊥AC 于 F,连接 MF. ) ∵PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥NF,又∵PA∩AC=A, ∴NF⊥平面 PAC,∴∠FMN 是 MN 与平面 PAC 所成的角.???10 分
∴ ME // 在 Rt △ MFN 中 , NF ? FC ?

E D
F

C

2 2 NC ? 2 2



AF ? AC ? FC ?

3 2 2

, MA ?

1 PA ? 1 , ∴ 2

22 , 2 NF 11 ∴ tan ?FMN ? .?????????????????14 分 ? MF 11 MF ? MA 2 ? AF 2 ?
21. 21、解: (1) d ?

| m ? 1| ? 5 ,又 m ? 0 ? m ? ?6 ??????2 分 5

? y ? ax2 1 2 消去 y 得: ax ? 2 x ? 6 ? 0 ?? ? 0 即 a ? ????4 分 ? 6 ? y ? 2x ? 6
(2)设 A( x0 ,

x0 2 x2 x 3 ) , F (0, ) 切线 AB 的方程为 y ? 0 ? 0 ( x ? x0 ) ??????6 分 2 6 6 3 x0 2 x2 即 B (0, ? 0 ) ??????7 分 6 6

令x ? 0,

y??

因此直线 BM 的方程为

y?

x02 ? 9 x2 x ? 0 ??????8 分 6 x0 6
3 ??????10 分 2

令 x ? x0 则 y ? ?

3 2

? 点 M 在直线 y ? ?

(3)设直线 MP 的方程为 y ? kx ?

x2 3 2 (k ? 0) 代入 y ? 得: x ? 6kx ? 9 ? 0 2 6

? x1 ? x2 ? 6k ,? x1 ? x2 ? ?9
又 S ?NPQ ?

????12 分

1 3 | PN | (| xP | ? | xQ |) ? | xP ? xQ | ? 9 1 ? k 2 (k ? 0) ????14 分 2 2
????14 分

? S ? (9, ??)

22. 22. (本题 15 分):(Ⅰ)解:设 M ( x0 ,? p) , 则 (? p) 2 ? 2 px0 , x0 ?

p , 2
??5 分

p 由抛物线定义,得 x0 ? (? ) ? 2 所以 p ? 2, x 0 ? 1 . 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)知抛物线方程为 y 2 ? 4 x , M (1,?2) .
设 A(
y 2 y1 2 y 2 , y1 ) , B ( 2 , y 2 ) , C ( 3 , y 3 ) ( y1 , y 2 , y 3 均大于零) 4 4 4 MA , MB , MC 与 x 轴交点的横坐标依次为 x1 , x 2 , x3 .

??6 分

(1)当 MB ? x 轴时,直线 MB 的方程为 x ? 1 ,则 x1 ? 0 ,不合题意,舍去. ??7 分

k ? (2) MB 与 x 轴不垂直时, MB
设直线 MB 的方程为 y ? 2 ?

y2 ? 2 y2 ?1 4
2

?

4 y2 ? 2 ,

4 ( x ? 1) ,即 4 x ? ( y 2 ? 2) y ? 2 y 2 ? 0 , y2 ? 2

令 y ? 0 得 2 x 2 ? y 2 ,同理 2 x1 ? y1 ,2 x3 ? y 3 , 因为 x1 , x 2 , x3 依次组成公差为 1 的等差数列, 所以 y1 , y 2 , y 3 组成公差为 2 的等差数列. 设点 A 到直线 MB 的距离为 d A ,点 C 到直线 MB 的距离为 d C , 因为 S ?BMC ? 2S ?AMB ,所以 d C =2 d A , 所以
y 3 2 ? ( y 2 ? 2) y 3 ? 2 y 2 16 ? ( y 2 ? 2) 2 ?2 y1 2 ? ( y 2 ? 2) y1 ? 2 y 2 16 ? ( y 2 ? 2) 2

??10 分 ??12 分

??14 分

得 y 2 ? 4 ? 2 y 2 ,即 y 2 ? 4 ? 2 y 2 ,所以 y 2 ? 4 , 所以直线 MB 的方程为: 2 x ? y ? 4 ? 0 ??15 分 解法二: (Ⅰ)同上. (Ⅱ)由(Ⅰ)知抛物线方程为 y 2 ? 4 x , M (1,?2) . 由题意,设 MA, MB, MC 与 x 轴交点的横坐标依次为 t ? 1, t , t ? 1 设 A( x1 , y1 ) , C ( x 2 , y 2 ) ( y1 , y 2 均大于零) . ??6 分 (1)当 MB ? x 轴时,直线 MB 的方程为 x ? 1 ,则 x1 ? 0 ,不合题意,舍去. ??7 分 2 (2) MB 与 x 轴不垂直时, k MB ? t ?1 2 设直线 MB 的方程为 y ? 2 ? ( x ? 1) ,即 2 x ? (t ? 1) y ? 2t ? 0 , t ?1 同理直线 MA 的方程为 2 x ? (t ? 2) y ? 2(t ? 1) ? 0 ,

? y 2 ? 4x 由? ?2 x ? (t ? 2) y ? 2(t ? 1) ? 0

得 y 2 ? 2(t ? 2) y ? 4t ? 4 ? 0

2 ? ? x ? (t ? 1) 则 ?2 y1 ? ?4t ? 4, 所以 ? 1 , ??12 分 ? ? y1 ? 2t ? 2 2 ? ? x ? (t ? 1) 同理 ? 2 ,设点 A 到直线 MB 的距离为 d A ,点 C 到直线 MB 的距离为 d C , ? ? y 2 ? 2t ? 2

因为

S ?B MC ? 2S ?A MB ,所以 d C =2 d A ,

所以

2(t ? 1) 2 ? (t ? 1)(2t ? 2) ? 2t 4 ? (t ? 1) 2

?2

2(t ? 1) 2 ? (t ? 1)(2t ? 2) ? 2t 4 ? (t ? 1) 2

??14 分

化简得 2t ? 4 ? 2 2t ,即 t ? 2 , 所以直线 MB 的方程为: 2 x ? y ? 4 ? 0 ??15 分

23(Ⅰ)因为 AB ∥ DE , AB 在平面 FDE 外,所以 AB ∥平面 FDE ;????2 分 MN 是平面 PAB 与平面 FDE 的交线,所以 AB ∥ MN ,故 MN ∥ DE ;????4 分 而 MN 在平面 CDE 外,所以 MN ∥平面 CDE . ??6 分 注:不写“ AB 在平面 FDE 外”等条件的应酌情扣分;向量方法按建系、标点、求向量、算结果这四个
步骤是否正确来评分. (Ⅱ)解法一:取 AB 中点 G 、 DE 中点 H 则由 GH ∥ PC 知 P, C , G, H 在同一平面上,并且由 PA ? PB 知

PG ? AB . 而与(Ⅰ)同理可证 AB 平行于平面 PAB 与平面 CDE 的交线,因此, PG 也垂直于该交线, 但平面 PAB ? 平面 CDE ,所以 PG ? 平面 CDE ,? PG ? CH ????10 分 于是, ?CGH ∽ ?PCG PC CG ? ????12 分 ? CG GH


1? t 3 ? , t ? 2. ????14 分 1 3

注:几何解法的关键是将面面垂直转化为线线垂直,阅卷时应注意考生是否在运用相关的定理. (Ⅱ)解法二:如图,取 AB 中点 G 、 DE 中点 H . 以 G 为 原 点, GB 为 x 轴、 GC 为 y 轴、 GH 为 z 轴建 坐标系. 则在平面 PAB 中, B(1,0,0), P(0, 3,1 ? t ) , 向量 GB ? (1,0,0),GP ? (0, 3,1 ? t ). 设平面 PAB 的法向量 n, ? ( x1 , y1 , z1 ) ,则由
F M N H D B y C G A z E x P

立空间直角

? ?n1 ? GB ? 0 ? x1 ? 1 ? 0 即? ? ? n ? GP ? 0 ? y1 ? 3 ? z1 (1 ? t ) ? 0 ? 1
得 n1 ? (0,1 ? t ,? 3) ????????9 分

在平面 CDE 中, H (0,0,1),C(0, 3,0) ,向量 CH ? (0,? 3,1), HE ? GB ? (1,0,0).

设平面 CDE 的法向量 n2 ? ( x2 , y2 , z 2 ) ,由 ? 得 n2 ? (0,1, 3) ????????12 分

? y 2 ? (? 3 ) ? z 2 ? 0 ? x2 ? 1 ? 0

? 平面 PAB ? 平面 CDE ,? n1 ? n2 ? 0 ,即 1 ? t ? 3 ? 0,? t ? 2. ????????14 分
注:使用其它坐标系时请参考以上评分标准给分. 24、 (I)由题意, | QA | ? | QB |?| QP | ? | QB |? 6 , ∴Q 点轨迹是以 A、B 为焦点的椭圆,且 a ? 3, c ? 2 ,

∴曲线 C 的轨迹方程是

x2 y2 ? ? 1 .?????? 5 分 9 5

(II)先考虑切线的斜率存在的情形. 设切线 l : y ? kx ? m ,则
图1

由 l 与⊙O 相切得

|m| 1? k
2

? r 即 m 2 ? r 2 (1 ? k 2 )
①?????7 分

? y ? kx ? m ? 2 2 2 由 ? x2 y 2 ,消去 y 得, (5 ? 9k ) x ? 18kmx? 9(m ? 5) ? 0 , ?1 ? ? 5 ?9
设 M ( x1, y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,则由韦达定理得

18km 9(m2 ? 5) x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? ????????9 分 5 ? 9k 2 5 ? 9k 2

OM ? ON ? x1x2 ? y1 y2 ? x1x2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m)
? (1 ? k 2 ) x1x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m2
? 9(1 ? k 2 )(m2 ? 5) 18k 2 m2 ? ? m2 5 ? 9k 2 5 ? 9k 2
14m 2 ? 45(1 ? k 2 ) ②????????10 分 5 ? 9k 2
图2

?

0 由于其中一条切线满足 ?MON ? 90 ,对此

OM ? ON ?

14m2 ? 45(1 ? k 2 ) ?0 5 ? 9k 2
2

2 2 2 结合①式 m ? r (1 ? k ) 可得 r ?

45 ????????????????12 分 14
45 14m2 ? 45(1 ? k 2 ) (1 ? k 2 ) ,进而 OM ? ON ? ?0 14 5 ? 9k 2

于是,对于任意一条切线 l ,总有 m ?
2
0

故总有 ?MON ? 90 . ????????????????14 分 0 最后考虑两种特殊情况: (1)当满足 ?MON ? 90 的那条切线斜率不存在时,切线方程为

5r 2 5r 2 0 x ? ? r . 代入椭圆方程可得交点的纵坐标 y ? ? 5 ? ,因 ?MON ? 90 ,故 r ? 5 ? ,得到 9 9
r2 ? 45 0 0 ,同上可得:任意一条切线 l 均满足 ?MON ? 90 ; (2)当满足 ?MON ? 90 的那条切线斜率存 14
2

在时, r ?

45 5r 2 0 ,r ? 5? ,对于斜率不存在的切线 x ? ? r 也有 ?MON ? 90 . 14 9
????????????????15 分

综上所述,命题成立. 25.解: (1)由抛物线的定义知, 2 ? 所以 p ? 1 .

p 5 ? , 2 2
……………………………………4 分

(2)设 A(x0,y0) ,B(0,b) ,C(0,c) , 直线 AB 的方程为 y-b=

y0 - b x, x0

即(y0-b)x-x0y+x0b=0 又圆心(1,0)到 AB 的距离为 1,所以

| y0 - b ? x0b |
2 ( y0 ? b)2 ? x0

=1,

……………7 分

2 2 2 即(y0-b)2+x 0 =(y0-b)2+2x0b(y0-b)+ x 0 b

又 x0>2,上式化简得(x0-2)b2+2y0b-x0=0 ……………………………………9 分 2 同理有(x0-2)c +2y0c-x0=0 故 b,c 是方程(x0-2)t2+2y0t-x0=0 的两个实数根 所以 b+c=

? x0 - 2 y0 ,bc= , x0 - 2 x0 ? 2
4 x0 2 ? 4 y0 2 ? 8 x0

……………………………………11 分

则(b-c) =

2

? x0 ? 2 ?

2



? x0 ? 2 ?

4 x0 2

2



即︱b-c︱=

2 x0 , x0 - 2
……………13 分

∴S△ABC=

x2 1 4 ︱b-c︱x0= 0 =x0-2+ +4≥2 4 +4=8 2 x0 - 2 x0 ? 2

当(x0-2)2=4 时,上式取等号,此时 x0=4,y=± 2 2 因此 S△ABC 的最小值为 8. ……………………………………15


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2015高二数学寒假作业测试题

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