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福建高职招考数学普高模拟卷答案 (2)


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2014年福建省高职招考

数学模拟试卷1 (面向普高生)

参考答案

3 4 7
1、解:A 中,a+a≠a,故A不成立;

4 2 6
B 中,a?a=a,故B成立;

C 中, ,,故C不成立;

D 中, ,,故D不成立.

故选B.

2、解:∵ = = =﹣1+3i

=a+bi,∴a=﹣1,b=3,∴ab=﹣1×3=﹣3. 故选B.
3、解:因为函数y=a (0<a<1)的图象一定经过点(0,1),x

x﹣1 x
而函数y=2a (0<a<1)的图象是由y=a (0<a<1)的图象向右平移1个单位,

x﹣1
然后把函数y=a (0<a<1)的图象上所有点的横坐标不变,纵坐标扩大到原来的2倍得到的,

x﹣1
所以函数y=2a (0<a<1)的图象一定过点(1,2).
故选B.
4、

解:由题知f (0)=2,f (2)=4+2a,由4+2a=4a,解得a=2.故选C.

5、解:对于A,函数 满足f (﹣x)=﹣ =﹣f (x),

可得函数是奇函数,且不是偶函数,可得A项不符合题意;

﹣x
对于B,函数y=e 不满足f (﹣x)=f (x),得函数不是偶函数,可得B项不符合题意;
对于C,函数y=﹣x+1满足f (﹣x)=﹣(﹣x)+1=﹣x+1=f (x),2 2 2

2
∴函数y=﹣x+1是R上的偶函数

2
又∵函数y=﹣x+1的图象是开口向下的抛物线,关于y轴对称
∴当x∈ (0,+∞)时,函数为减函数.故C项符合题意
对于D,因为当x∈ (0,+∞)时,函数y=lg|x|=lgx,底数10>1
所以函数y=lg|x|在区间(0,+∞)上是单调递增的函数,可得D项不符合题意.
故选:C
6、解:由题意,此复合函数,外层是一个递减的对数函数

2
令t=x ﹣3x+2>0解得x>2或x<1
由二次函数的性质知,t在(﹣∞,1)是减函数,在(2,+∞)上是增函数,

由复合函数的单调性判断知函数 的单调递增区间(﹣∞,1)

故选A
7、解:由程序框图可知:S=2=0+ (﹣1)×1+ (﹣1)×2+ (﹣1)×3+ (﹣1)×4,1 2 3 4

因此当n=4时,S←2,满足判断框的条件,故跳出循环程序.
故输出的n 的值为4.
故选D.

2 2
8、解:将圆的方程化为标准方程得:(x﹣2)+y=4,

-1-

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∴圆心C (2,0),半径r=2,

又P (3,0)与圆心的距离d= =1<2=r,

∴点P在圆C 内,又直线l过P点,
则直线l与圆C相交.
故选A

2
9、解:由三视图知,几何体是一个三棱锥,底面是直角边长为 1cm和2cm的直角三角形,面积是 ×1×2=1cm,

三棱锥的一条侧棱与底面垂直,且长度是3cm,这是三棱锥的高,

∴三棱锥的体积是 ×1×3=1cm,3

故选A.

10、解:∵ ,

= .

故选C.

11、解:∵ ∴2×λ=﹣3×3∴λ=﹣ 故选C.


12、解:因为

当且仅当 ,且 ,即a=b时,取 “=”号.

故选C.
13、解:设长度在[25,30)内的频率为a,
根据频率分布直方图得:a+5×0.02+5×0.06+5×0.03=1?a=0.45.
则根据频率分布直方图估计从该批产品中随机抽取一件,则其为二等品的概率为0.45.
故选D.

14、解:当a>0时。 设,P(x,y)是曲线上任意一点,则: PA ?x ? y?a2 2 ? ?2 (1)

2
2 2 2 2 2 y
又因为:a x ?y ?a ,(0?a?1) 得到:x ?1? 代入(1)
2
a

2 2
2 y 2 2 y 2
? ? 令: ? ? 则 ? ? ? ? ? ? ??
PA ?1- ? y?a f y ? PA f y ?1- ? y?a y ??a,a
2 2
a a

这个问题变成:f(y)在y=-a时取得最大值。

当:0<a<1,f(y)开口向下。 对称轴为y<0, f(a)>=0 我们知道如果对称轴在(-a,0),最大值肯定不是f(-a),只

a3 2
有当对称轴<=-a时最大值才是 f(-a),这个就是结论。 也就是说 ??a 解得: ?a?1,故选C
2
a ?1 2
-2-

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15、解:设切线的斜率为k,则切线的方程为y=kx﹣k+1,

转化为2kx ﹣(3k﹣1)x+k﹣1=0,2

讨论:当k=0时,验证不符合题意;所以k≠0,所以2kx ﹣(3k﹣1)x+k﹣1=0为一元二次方程.2

2
令△= (3k﹣1) ﹣8k (k﹣1)=0,得到k=﹣1,即切线方程为x+y﹣2=0
故答案为x+y﹣2=0.

16、解:设变量x、y满足约束条件 ,

在坐标系中画出可行域三角形,
平移直线y﹣2x=0经过点A (5,3)时,y﹣2x最小,最小值为:﹣7,
则目标函数z=y﹣2x的最小值为﹣7.

17、解:货轮按北偏西30度的方向航行,半小时后到的点为N,△MNS 中,∠M=45°,∠S=30°,∠N=105°,
过N作NH垂直于MS,得两个特殊的直角三角形,设NH=x,则MH=x,HS=20﹣x,

tanS= = = ,求得x=10 ( ﹣1)

∴NM= x=10 ( ﹣ )

∴货轮的航行速度为 =20 ( ﹣ )里/每小时.

故答案为:20 ( ﹣ )
18、解:直接验证可知①正确.
当S为封闭集时,因为x-y∈S,取x=y,得0∈S,②正确 对于集合S={0},显然满足素有条件,但S是有
限集,③错误
取S={0},T={0,1},满足 ,但由于0-1=-1 T,故T不是封闭集,④错误
S?T?C ?

答案:①②

19、解:(1)

(2)∵ , ,

∴ .

20、解:将3个红球编号1,2,3;2个白球编号为4,5.
则从5个球中摸出3个球的所有可能情况为:

-3-

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(123),(124),(125),(134),(135),(145),(234),(235),(245),(345)共10种.
令D表示在1次游戏中获得优秀的事件,则获得优秀的情况为(123)共一种.
E表示在1次游戏中获得良好的事件,则获得良好的情况为(124),(125),(134),(135),(234),
(235)共6种.
F表示在1次游戏中获得良好及以上的事件.

(Ⅰ)P (D)= ;

(Ⅱ)P (E)= ,P (F)=P (D)+P (E)= .

21、解:(1)证明:因a,a,a 成等比数列,故a =aa2
1 2 4 2 1 4

而{a}是等差数列,有a=a+d,a=a+3dn 2 1 4 1

2
于是(a+d)=a (a+3d)
1 1 1

2 2 2
即a +2ad+d=a +3ad
1 1 1 1

化简得a=d
1

(2)解:由条件S =110和 ,得到10a+45d=110
10 1

由(1),a=d,代入上式得55d=110
1

故d=2,a=a+ (n﹣1)d=2n
n 1

因此,数列{a}的通项公式为a=2n
n n

22、解:(Ⅰ)证明:连接AC 交AC于点F,则F为AC 的中点.1 1 1
∵直棱柱ABC﹣ABC 中,D,E分别是AB,BB 的中点,故DF为三角形ABC 的中位线,故DF∥BC .
1 1 1 1 1 1

由于DF?平面ACD,而BC 不在平面ACD 中,故有BC ∥平面ACD.
1 1 1 1 1

(Ⅱ)∵AA=AC=CB=2,AB=2 ,故此直三棱柱的底面ABC为等腰直角三角形.
1

由D为AB 的中点可得CD⊥平面ABBA ,∴CD= = .
1 1

∵AD= = ,同理,利用勾股定理求得 DE= ,AE=3.
1 1

再由勾股定理可得 +DE=2 ,∴AD⊥DE.1

∴ = = ,

∴ = ? ?CD=1.

23、解:(1)由椭圆定义知|AF|+|AB|+|BF|=42 2

又2|AB|=|AF |+|BF|,得
2 2

(2)L 的方程式为y=x+c,其中

-4-

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设A (x,y ),B (x,y ),则A,B两点坐标满足方程组 .,
1 1 2 2

2 2 2
化简得(1+b)x+2cx+1﹣2b=0.

则 .

因为直线AB 的斜率为1,所以

即 .

则 .

解得 .

24、解:f′ (x)=3x ﹣2kx+12
(1)当k=1时f′ (x)=3x ﹣2x+1,2

∵△=4﹣12=﹣8<0,∴f′ (x)>0,f (x)在R上单调递增.

(2)当k<0时,f′ (x)=3x ﹣2kx+1,其开口向上,对称轴2 ,且过(0,1)

(i)当 ,即 时,f′ (x)≥0,f (x)在[k,﹣k]

上单调递增,
从而当x=k时,f (x)取得最小值m=f (k)=k,
当x=﹣k时,f (x)取得最大值M=f (﹣k)=﹣k ﹣k ﹣k=﹣2k ﹣k.3 3 3

(ii)当 ,即 时,令f′ (x)=3x ﹣2kx+1=02

解得: ,注意到k<x<x<0,2 1

∴m=min{f (k),f (x )},M=max{f (﹣k),f (x )},1 2

∵ ,∴f (x)的最小值m=f (k)=k,

∵ ,

∴f (x)的最大值M=f (﹣k)=﹣2k ﹣k.3
综上所述,当k<0时,f (x)的最小值m=f (k)=k,最大值M=f (﹣k)=﹣2k ﹣k3

3 2 3 3 2
解法2:(2)当k<0时,对?x∈[k,﹣k],都有f (x)﹣f (k)=x ﹣kx+x﹣k+k ﹣k= (x+1)(x﹣k)≥0,
故f (x)≥f (k).

3 2 3 3 2 2 2 2
f (x)﹣f (﹣k)=x ﹣kx+x+k+k+k= (x+k)(x ﹣2kx+2k+1)= (x+k)[ (x﹣k)+k+1]≤0,
故f (x)≤f (﹣k),而 f (k)=k<0,f (﹣k)=﹣2k ﹣k>0.3

所以 ,f (x) =f (k)=k.
min

-5-

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