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求圆方程的讨论


已知圆 C 与圆 x^2+y^2-2x=0 相外切,并且与直线 x+√3y=0 相切与点 Q(3,-√3) ,求圆 C 的方程 下面是网上的一种回答 方法一 普通方法 x^2+y^2-2x=0,整理得:(x-1)^2+y^2=1, 圆心: (1,0) 半径:r=1 设圆 C 半径为 R, 圆心 C (a, 即标准方程为(x-a)^2+(y-b)^2=R^2 圆 C 与圆 x^2+y^2-2x=0 b) 相外切,圆心距等于半径和 √[(a-1)^2+b^2]=R+1,① 与直线 x+√3y=0 相切,圆心到直线的距离等于半径 R=|a+√3b|/2,② 切点为 Q(3,-√3)则圆过此点 (3-a)^2+(√3-b)^2=R^2,③ 联立①②③三式,解得:a=4,b=0,R=2C 的标准方程为:(x-4)^2+y^2=4 方法二 用圆系方程 设点圆 (x-3)^2+(y+根号 3)^2=0 则与直线 x+根号 3y=0 切于(3,-根号 3)的圆可表示成 (x-3)^2+(y+根号 3)^2+t(x+根号 3y)=0 两圆方程相减得外公切线方程 (t-4)x+根号 3(t+2)y+12=0 (1,0)到直线距离为已知圆半径 1 则(t+8)^2=(t-4)^2+3(t+2)^2 得 t=6 t=-2 整理得:(x-4)^2+y^2=4^2+y^2-2x=0 相外切,并且与直线 x+√3y=0 相切与点 Q(3,-√3) , 求圆 C 的方程 下面是网上的一个回答 已知圆 C 与圆 x^2+y^2-2x=0 相外切,并且与直线 x+√3y=0 相切与点 Q(3,-√3) ,求圆 C 的方程 第一种方法经计算算不出来,第二种方法看不大懂,重要的是其结果也不全对,只是其中一 个答案。下面是详细解法,相信对高中学生有用 x^2+y^2-2x=0,整理得:(x-1)^2+y^2=1, 圆心: (1,0) 半径:r=1 设圆 C 半径为 r,圆心 C(a,b), 即标准方程为(x-a)^2+(y-b)^2=R^2, 圆 C 与圆 x^2+y^2-2x=0 相外切,圆心距等于半径和

(a-1)^2+b^2=(r+1)^2 ① 切点为 Q(3,-√3)则圆过此点 (3-a)^2+(√3-b)^2=r^2,② 切线垂直于过切点的半径,其斜率与已知直线斜率积为-1, 把点 Q(3,-√3)代入,求得直线方程为 b=√3a-4√3 ③ 把③代入①②得 (3-a)^2+(√3a-3√3)^2=r^2 (a-1)^2+(√3a-4√3)^2=(r+1)^2 化简得 (a-3)^2=(r/2)^2 即 r=2|a-3| 分两种情况 a>3 时,r=2a-6;a<3 时,r=6-2a 4a^2-26a+49=(r+1)^2 当 a>3 时 4a^2-26a+49=(2a-5)^2 解得 a=4,进一步得 b=0,r=2 圆方程为(x-4)^2+y^2=4 当 a<3 时 4a^2-26a+49=(7-2a)^2 解得 a=0,进一步得 b=-4√3,r=6 圆方程为 x^2+(y+4√3)^2=36 此题解完,关键是半径大于 0,要分两种情况讨论,得到两个圆方程,不分情况是要扣分的


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