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2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案:第02讲 二次函数与二次不等式


第 2 讲 二次函数与二次不等式
本讲内容包括二次函数与二次方程、二次不等式的关系及高次不等式的解法。 二 次 方 程

ax 2 ? bx ? c ? 0 ( a ? 0 )

的 解 , 是 相 应 的 二 次 函 数

y ? ax 2 ? bx ? c ( a ? 0 ) 中,函数值为 0 时 x 的值

,即此二次函数的图象在 x 轴上的
截距(函数图象与 x 轴的交点的横坐标) 。 二 次 不 等 式

ax 2 ? bx ? c ? 0 ( a ? 0 )

的 解 , 是 相 应 的 二 次 函 数

y ? ax 2 ? bx ? c ( a ? 0 ) 中,函数值大于 0 时 x 的值,即此二次函数的图象在 x 轴上
方时 x 的取值范围;同样的,二次不等式 ax 次函数 y
2

? bx ? c ? 0 ( a ? 0 ) 的解,是相应的二

? ax 2 ? bx ? c ( a ? 0 ) 中,函数值小于 0 时 x 的值,即此二次函数的图象在

x 轴下方时 x 的取值范围。因此,
??0 ??0 ??0

y ? ax2 ? bx ? c (a ? 0) 的图象 ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 的解

x ? x1 或 x ? x2 x ? x0 且 x ? R
ax2 ? bx ? c ? 0 ( a ? 0 ) 的解

一切实数

x1 ? x ? x2

无解

无解

高次不等式可以先进行因式分解,再运用符号法则将它转化为一次不等式或二次不等式 求解。

A 类例题
例1

a2 设二次函数 y ? x ? 2ax ? (a ? 0) 的图象 2
2

的顶点为 A ,与 x 轴的交点为 B , C ,当 ?ABC 为等边三角

形时,求 a 的值。 分析 欲 求 a 的 值 ,需 得到 一 个 关 于 a 的 方 程 。因为

A 是 抛 物 线的 顶 点 ,所以

AB ? AC 。由 ?ABC 是等边三角形,得 AD ?
则 a 的值可求。 解 由函数

3 BC 。只要以 a 表示 AD 和 BC , 2

y ? x 2 ? 2ax ?

a2 a2 (a ? 0) ,化简得 y ? ( x ? a) 2 ? 2 2

。因而有

a2 A (?a , ? ) ,又设 B ( x1 , 0) , C ( x2 , 0) 。则 2
a2 x ? 2ax ? ? 0 (a ? 0) 2
2

a2 ? BC ?| x1 ? x2 |? ( x2 ? x1 ) ? 4 x1 x2 ? 4a ? 4 ? ?? 2 a. 2
2 2

由 ?ABC 是等边三角形,得 AD ?

3 BC 2

,即 |

y A |?

3 BC 。 2

a2 3 ? (? 2 a ) ? a ? ? 6 或 a ? 0 . 由 a ? 0 ,得所求 a 的值为 ? 6 . 所以, 2 2
例 2 当a (1) x (2) x
2
2

?0

时,解关于 x 的二次不等式

? 4ax ? 5a2 ? 0 ;
? 2(a ? 1) x ? (a 2 ? 3a ? 1) ? 0 ;
2

(3) ax

? (a 2 ? 4) x ? 4a ? 0 。

分析 解二次不等式,首先应判断相应的二次方程是否有实数根,然后再根据根的不同 情况求解。 解 (1)因为 又

x 2 ? 4ax ? 5a 2 ? ( x ? 5a)( x ? a) ,

a ? 0 ,得 5a ? ?a 。

所以,原不等式的解为 x ? 5a 或 x ? ?a 。 (2)由 ?

? 4(a ? 1) 2 ? 4(a 2 ? 3a ? 1) ? 20 a ? 0 (? a ? 0) ,

又 二次项系数大于 0,所以,原不等式无解。

(3)因为

4 ax2 ? (a 2 ? 4) x ? 4a ? a ( x ? )( x ? a) , a
及a



a?

4 a2 ? 4 ? a a
a ? ?2

? 0 ,得 a ? ?2 时,a ?

4 4 ;当 ? 2 ? a ? 0 时, a ? . a a


所以,当

时,原不等式的解为

a?x?

4 a

当? 2 ? 例3 (1) x

a?0

时,原不等式的解为

4 ?x?a a



解高次不等式
3

? 7x ? 6 ? 0 ;
2

(2) x ( x 分析 项 式 解。 解 (1) y

? 6 x ? 8)( x 2 ? 4 x ? 3) ? 0 .

高次不等式求解的基本方法是,运用因式分解将高次多项式变形为一次或二次多 乘 积 , 再 通 过 积 的 符 号 法 则 求

? x 3 ? 7 x ? 6 ? x( x 2 ? 1) ? 6( x ? 1) ? ( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3) ,



x
x?3 x ?1 x?2 y ? ? ? ?

?3

1

2

0

? ? ? 0

? ? ? 0 ? 0 0

? ? ? ?

0

?

得原不等式的解是 x ? ?3 或 1 ? (2) y 由

x ? 2。

? x ( x 2 ? 6 x ? 8)( x 2 ? 4 x ? 3) ? x ( x ? 2)( x ? 4)( x ? 1)( x ? 3)
?4 ?2
0 1 3

x
x?4

?

0

?

?

?

?

?

x?2 x x ?1 x ?3 y
得原不等式的解是

? ? ? ? ? 0

? ? ? ? ?

0

? ? ? ? 0

? ? ? ? 0 ? 0 0

? ? ? ? ? 0 0

? ? ? ? ?

0

?

? 4 ? x ? ?2 , 0 ? x ? 1 或 x ? 3。

链接

对于形如

y ? ( x ? x1 )(x ? x2 )?( x ? xn ) ( x1 ? x2 ? ? ? xn ) 的 n 次

多项式,将它的 n 个根 x1 , x2 , ?, xn 按数轴上大小顺序排列,全体实数被分成 n ? 1 个区 间。当 x 由大到小依次取值时,每越过一个根,多项式中必有一个因式改变符号。因而,多 项式

y 在相邻两个区间上取的值符号相反。又当 x ? x1 时, y ? 0 。据此,得
不等式

( x ? x1 )(x ? x2 )?( x ? xn ) ? 0 ( x1 ? x2 ? ? ? xn ) 的 解 集 是

?? ( x3 , x2 ) ? ( x1 , ? ? ) ;
不等式

( x ? x1 )(x ? x2 )?( x ? xn ) ? 0 ( x1 ? x2 ? ? ? xn )

的解集是

?? ( x4 , x3 ) ? ( x2 , x1 ) 。
例如 解不等式 ( x ? 1)( 2x ? 1)( x ? 3)( x ? 8)(3x ? 2) 由 多 项 式

? 0。
的 5 个 根 依 次 为

y ? ( x ? 1)(2x ? 1)( x ? 3)( x ? 8)(3x ? 2)
。所以,

?3, ?

1 2 , ,1和8 2 3

不等式 ( x ? 1)( 2x ? 1)( x ? 3)( x ? 8)(3x ? 2)

? 0 的解集是

1 2 (?3 , ? ) ? ( , 1) ? (8 , ? ?) ; 2 3
同样的,不等式 ( x ? 1)( 2x ? 1)( x ? 3)( x ? 8)(3x ? 2) ? 0 的解集是

1 2 (?? , ? 3) ? (? , ) ? (1, 8) 。 2 3

情景再现
y ? ax2 ? bx ? c 与 x 轴交于 A, B 两点,与 y 轴交于 C 点。若 ?ABC 是 直角三角形,求 ac 的值。
1.抛物线 2.不等式 ( a ? 2) x
2

? 2(a ? 2) x ? 4 ? 0 对 x ? R 恒成立,求 a 的取值范围。

3.解关于 x 的不等式 (1) ? 4 ? (2)

x2 ? 5x ? 2 ? 26 ;


x( x ? 1)( x ? 3)( x ? 5) ?0 x2 ? 2x ? 3

B 类例题
例4 解 解不等式 ( x
2

? 4)( x 2 ? 5 x ? 6)( x 3 ? 1) ? 0 。

( x 2 ? 4)( x 2 ? 5 x ? 6)( x 3 ? 1) ? ( x ? 2)( x ? 1)( x ? 3)( x ? 2) 2 ( x 2 ? x ? 1)

? x2 ? x ? 1 ? 0 ,

?

原不等式等价于 ( x ? 2)( x ? 1)( x ? 3)( x ? 2)

2

? 0.

不等式

( x ? 2)( x ? 1)( x ? 3) ? 0

的解集为

(??, ? 2) ? (?1, 3) , 又 当

x ? 2 时, ( x ? 2) 2 ? 0 ,

?
例 5

原不等式的解集为 (??,

? 2) ? (?1, 2) ? (2 , 3) 。
的解集是

已知不等式

ax2 ? bx ? c ? 0

(?

1 ,3) 2

,求不等式

cx2 ? bx ? a ? 0的解集。
分析 求不等式 cx
2

? bx ? a ? 0 的解,有两条思考途径。一是直接由条件推出

a, b, c 的关系;二是寻找不等式 cx2 ? bx ? a ? 0与 ax2 ? bx ? c ? 0 的联系。

2 解 1 因为不等式 ax 2 方程 ax

1 1 得 a ? 0 且 ? 和 3是 ? bx ? c ? 0 的解集是 ( ? , 3 ) , 2 2

? bx ? c ? 0 的两个根。
? ? ?a ? 0, ?c ? 0 ? ? 1 5 ? b ?b 5 ?? ? ? ? 3 ? , ? ? ? , 2 2 ? a ?c 3 1 3 2 ?c ?a ? ( ? ) ? 3 ? ? , ? ? , ? ? 2 2 3 ?a ?c





b a 5 2 1 cx2 ? bx ? a ? c ( x 2 ? x ? ) ? c( x 2 ? x ? ) ? c( x ? 2)( x ? ) c c 3 3 3
所以,不等式 cx
2

1 ? bx ? a ? 0的解集为 ( ? 2 , ) 。 3 1 1 ? bx ? c ? 0 的解集是 ( ? , 3 ) ,得 a ? 0 且 ? 和 3 2 2

2 解 2 因为不等式 ax 2 是方程 ax

? bx ? c ? 0 的两个根。 cx2 ? bx ? a ? 0 中 , 因 为 a ? 0
,得

于方程

x ? 0 。设 y ?

1 x

,方程

cx2 ? bx ? a ? 0 可化为 ay 2 ? by ? c ? 0 。


?

1 和3 2

是方程

ax2 ? bx ? c ? 0

的两个根,得

?2和

1 3

是方程

cx2 ? bx ? a ? 0 的两个根。又方程的两根异号及 a ? 0 ,得 c ? 0 。
所以,不等式 cx
2

1 ? bx ? a ? 0的解集为 ( ? 2 , ) 。 3
2

例 6 解关于 x 的不等式: ( m ? 3) x

? 2mx ? m ? 2 ? 0 (m ? R) 。

分析 由于题中 x 的二次项系数含有参数,应先确定不等式类别,再求解。 解 (1)当 m

? ?3 时,原不等式为 ? 6 x ? 5 ? 0 ,解为 x ? ?

5 ; 6

(2)当 m

? ?3 时, ? ? 4m 2 ? 4(m ? 3)( m ? 2) ? ?4(m ? 6)
得原不等式的解为一切实数;

?m ? 3 ? 0 , 10 m ? 6 时,由 ? ??0, ?

20 m ? 6 时,原不等式为 9x2 ? 12x ? 4 ? 0 ,解为 x ?

2 的所有实数; 3

30 ? 3 ? m ? 6 时, m ? 3 ? 0 , ? ? 0 ,得原不等式的解为

x?

?m? 6?m ?m? 6?m 或x? m?3 m?3

;

4 0 m ? ?3 时, m ? 3 ? 0 , ? ? 0 ,得原不等式的解为

?m? 6?m ?m? 6?m ?x? m?3 m?3
所以,原不等式 当



m ? ?3 时,解为

?m? 6?m ?m? 6?m ?x? ; m?3 m?3



m ? ?3 时,解为 x ? ?

5 ; 6
?m? 6?m ?m? 6?m 或x? ; m?3 m?3

当?3 ?

m ? 6 时,解为 x ?



m ? 6 时,解为 x ?

2 的所有实数; 3



m ? 6 时,解为一切实数。

情景再现
4.解不等式 ( x 5. 不等式 x
2

2

? 9)( x 2 ? 3x ? 18)( x 3 ? 8) ? 0



? px ? q ? 0 的解集是{x | x ? ?3 或 x ? 2}, 求实数 p , q 的值。 f ( x) ? 3x 2 ? 6 x ? 1 与 g ( x) ? 2x ? 4 ,试确定 x 的取值范围,使

6.已知函数

函数

f ( x) 的图象在函数 g ( x) 的图象的下方。

C 类例题
例 7 设二次函数

f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? f (? x ? 2) ,且 f ( x) 的图象在 y 轴上的
2 ,求 f ( x) 的解析式。

截距为 1,在 x 轴上截得的线段长为 2 分析 本题给出了三个条件, “ 称轴为 x 表明 | x1

,表明此二次函数图象的对 f ( x ? 2) ? f (? x ? 2) ”

? ?2 ; “在 y 轴上的截距为 1” ,表明 c ? 1 ; “在 x 轴上截得的线段长为 2 2 ” ,
? x2 |? 2 2 。由此得如下解法。

解1 由 设

f ( x ? 2) ? f (? x ? 2) ,得函数 f ( x) 的图象的对称轴为 x ? ?2 。故可

f ( x) ? a( x ? 2) 2 ? m 。
由 a ( x ? 2)
2

? m ? 0 ? ax 2 ? 4ax ? 4a ? m ? 0 ,又 | x1 ? x2 |? 2 2 ,



( x1 ? x2 ) 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 8 ? 42 ?

4(4a ? m) a
(2)

(1)



f ( x) 在 y 轴上的截距为 1,得 f (0) ? 1 ? 4a ? m ? 1
a? 1 , m ? ?1 。 2


解(1) 、 (2) ,得

所以,

f ( x) ?

1 2 x ? 2x ? 1 2

解2 设 由

f ( x) ? ax 2 ? bx ? c
轴上的截距为 1,得

f ( x) 在 y

c ? 1 ; 由 f ( x ? 2) ? f (? x ? 2) , 得

?

b ? ?2 ,即 b ? 4a 。故 f ( x) ? ax2 ? 4ax ? 1。 2a


ax2 ? 4ax ? 1 ? 0



| x1 ? x2 |? 2 2 ,得

( x1 ? x2 ) 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 8 ? 42 ?

4 1 ?a? a 2



所以,

f ( x) ?
由函数

1 2 x ? 2x ? 1 2



解 3

f ( x) 满 足 f ( x ? 2) ? f (? x ? 2) 及 在 x 轴 上 截 得 的 线 段 长 为
的两根 为

2 2

,可 得

f ( x) ? 0

x1 ? ?2 ? 2 , x2 ? ?2 ? 2

。故可 设

f ( x) ? a( x ? 2 ? 2 )( x ? 2 ? 2 ) 。


f ( x) 在 y 轴上的截距为 1,得
1 。 2

f (0) ? 1 ? a(2 ? 2 )( 2 ? 2 ) ? 1 ? a ?
所以,

f ( x) ?

1 2 x ? 2x ? 1 2



例 8 已知 解,求实数 分析

f ( x) ? ( x ? 1) ? x ? 1 ,若关于 x 的方程 f ( x) ? x ? m 有三个不同的实数
函数解析式

m 的取值范围。
f ( x) ? ( x ? 1) ? x ? 1
可化为

2 ? ? x ? 1, x ? 1。它的图象是由两段抛物线弧组成, f ( x) ? ? 2 ? ?1 ? x , x ? 1

因此方程

f ( x) ? x ? m 的三个不同的实数解表现为直线

y ? x ? m 与其中一段抛物线弧有两个交点,与另一段抛物
线弧仅有一个交点。观察它们的图象易知,当 x 解。 解 (1) x

? 1时,方程有一解;当 x ? 1时,方程有两

?1

时,由 x

2

? 1 ? x ? m ,得 x2 ? x ? 1 ? m ? 0 。由两根之和为

1,得此方程大于 1 的解至多一个。
设x

? 1 ? t ,原方程可化为 t 2 ? t ? 1 ? m ? 0

。原方程有一个大于

1

的解,即此

方程有一个正解。由 ? 1 ? m ? 的解; (2) x

0 ,得 m ? ?1 时,方程 f ( x) ? x ? m

有一个大于

1

?1

时,由1 ? x

2

? x ? m ,得 x2 ? x ? 1 ? m ? 0 。

设x

? 1 ? t ,原方程可化为 t 2 ? 3t ? 1 ? m ? 0

。原方程有两个小于 1 的解,即此

方程有两个负解。 由?

?? ? 9 ? 4 ? 4m ? 5 ? 4m ? 0 5 ,得 ? 1 ? m ? 时,方程 f ( x) ? x ? m 4 ?1 ? m ? 0

有两个小于 1 的解; 综合(1) , (2) ,当 ? 1 ? 数解。 例9 当 ?1 ? 已知 a, b, c 是实数,函数

m?

5 时,关于 x 的方程 f ( x) ? x ? m 有三个不同的实 4
f ( x) ? ax 2 ? bx ? c , g ( x) ? ax ? b ,

x ? 1 时, f ( x) ? 1 。

(1)证明: | c |? 1; (2)证明:当 ? 1 ? (3)设 分析

x ? 1 时, | g ( x) |? 2 ;

a ? 0 ,当 ? 1 ? x ? 1 时, g ( x) 的最大值为 2,求 f ( x) 。
f ( x) ? 1 , x ? [?1, 1] 确定系数 a, b, c 的取

证明(1) 、 (2)的关键在于通过

值范围,即用

( 3 ) 需要 通 过 条 件 “当 f ( x) 在 区 间 [?1, 1] 上 的 值 表 示 系 数 a, b, c ;

? 1 ? x ? 1 时, g ( x) 的最大值为 2” ,确定系数 a, b, c 的值。由于题设条件中多为不等关
系,因而需要注意“夹逼思想”的应用。 证明 (1) | c |?|

f (0) |? 1;

(2)若 a 当 ?1 ? 由

? 0,

x ? 1 时, 则 ? a ? b ? g (?1) ? g ( x) ? g (1) ? a ? b 。

f (?1) ? a ? b ? c ? a ? b ? f (?1) ? c ?| ?a ? b |?| f (?1) ? c |?| f (?1) | ? | c |? 2 ; f (1) ? a ? b ? c ? a ? b ? f (1) ? c ?| a ? b |?| f (1) ? c |?| f (1) | ? | c |? 2 。



? a ? b ? g ( x) ? a ? b ,得 | g ( x) |? 2 ;

若a

? 0,
x ? 1 时, 则 a ? b ? g (1) ? g ( x) ? g (?1) ? ?a ? b 。

当 ?1 ? 同理可得 |

g ( x) |? 2 。

所以,当 ? 1 ? 解 (3)由 a 由 由

x ? 1 时, | g ( x) |? 2 ;
在 [?1, 1] 上, g ( x ) |最大值 ?

? 0,

g (1) ? a ? b ? 2 。

f (1) ? a ? b ? c ? 2 ? c ? 1 ? c ? ?1 ? c ? ?1 (?| c |? 1) 。
f (0) ? c ? ?1 ? f ( x) ,得 x ? 0 时,二次函数 f ( x) 取最小值,即 x ? 0 是 f ( x) 的图象的对称轴。因而, b ? 0 , a ? 2 。
f ( x) ? 2 x 2 ? 1


二次函数

所以,

情景再现
7.已知抛物线 坐标分别为 x1 , 系式是

y ? ax 2 (a ? 0) 与直线 y ? bx ? c (b ? 0) 有两个公共点,它们的横

x2 ,又直线 y ? bx ? c 与 x 轴的交点坐标为 ( x3 , 0) 。则 x1 , x2 , x3 满足的关
( )

A C

x1 ? x2 ? x3 x3 ? x1 ? x2 x1 x2

B

1 1 1 ? ? x1 x2 x3

D x1 x2 ? x2 x3 ? x3 x1

8. 已知抛物线 y

5 13 ? f ( x) 的顶点是 (? , ? ) ,且方程 f ( x) ? x 的两个根之差为 2 4

2,求 f ( x) 的解析式。
9.已知二次函数

f ( x) ? ax2 ? bx ? c (a ? 0) 的图象与轴有两个不同的交点,若
时,

f (c) ? 0, 0 ? x ? c
(1) 试比较

f ( x) ? 0 。

1 与 c 的大小; a

(2) 证明: ? 2 ? b (3) 当 c

? ?1 ;
时,求证:

?1, t ? 0

a b c ? ? ? 0。 t ? 2 t ?1 t

习题 2
1.若不等式 ( )

0 ? x2 ? px ? 5 ? 1 恰 好 有 一 个 实 数 值 为 解 , 则 p 的 取 值 是
C p ? ?2 5 或 p ? 2 5 D p的值不存在

A p ? ?4
2. x
5

B p ? ?2 5

? x4 ? x ?1 ? 0 .
2

3。求关于 x 的不等式 42x 4 .设 y1

? ax ? a2 的解。

? x 4 ? 2 x 3 ? 3x 2 ? 3x ? 5 , y2 ? 5 x 3 ? 2 x 2 ? 4 x ? 15 ,若 x 取

任意实数,试比较 y1 与 y2 的大小。 5.已知关于 a 的不等式 m 值范围是
2

? (4 ? a2 )m ? 4a2 ? 0 ( | a |? 1 ) 恒成立。则实数 m 的取
( )

A 0?m?4

B 1? m ? 4

C m? 4或m?0

D m ? 1或 m ? 0

6.已知关于

x 的 二 次 方 程 x 2 ? 2(m ? 1) x ? m 2 ? 0 有 两 个 整 数 根 , 且

。 m2 ? 72m ? 720 ? 0 ,求整数 m 的值及相应的根。

2 7. 求出所有实数 k 的值,使二次方程 kx
整数。 8.若对于 0 ? x ? 1 ,不等式 x 9.已知二次函数

? 2(3k ? 1) x ? 9k ? 1 ? 0 的两个根都是
恒成立,求实数 a 的取值范围。

2

? ax ? 3 ? a ? 0

f ( x) ? ax 2 ? bx ? c 和一次函数 y ? ?bx ,其中 a, b, c 均为实数,

a ? b ? c且a ?b?c ? 0
(1)证明 两函数的图像交于 A, B 两个不同的交点; (2)求线段 AB 在 x 轴上的射影 A1 B1 的长的取值范围。 10.证明不存在满足下列两个条件的二次多项式

f ( x) :

(1)当 | x |? 1时, | (2) |

f ( x) |? 1 ;

f (2) | ? 8 。





情景再现
1. 由 ?ABC 是直角三角形,得

?AOC ∽ ?COB ,
因此

AO CO ? OC OB

? ?

AO ? OB ? OC 2 ? x1 x2 ? c 2 ? ? c ? c2 a ? ac ? ?1 .


2.原不等式可化为 (2 ? a) x 2 ? 2(2 ? a) x ? 4 ? 0
当a

? 2 时,原不等式为 4 ? 0 ,恒成立;

当a

?2 ? a ? 0 , ? ?2 ? a ? 2 ; ? 2 时, ? 2 ? ? 4 ( 2 ? a ) ? 16 ( 2 ? a ) ? 0 , ?
a ? 2 时,原不等式恒成立。
2

综上,当 ? 2 ?

2 ? ? x ? 5 x ? 2 ? ?4 , 3. (1)不等式 ? 4 ? x ? 5x ? 2 ? 26 等价于 ? 2 ? ? x ? 5 x ? 2 ? 26 .
解得原不等式的解是 ? 3 ? (2)因为不等式 x 不等式

x ? 2 或 3 ? x ? 8。

2

? 2 x ? 3 ? 0 恒成立,所以
等价于 x( x ? 1)( x ? 3)( x ? 5)

x( x ? 1)( x ? 3)( x ? 5) ?0 x2 ? 2x ? 3

? 0。

解得原不等式的解是 x ? ?3 ,

0 ? x ? 1或 x ? 5 。

4. 原不等式可化为 因为 不等式 当x 解得

( x ? 3) 2 ( x ? 3)( x ? 6)( x ? 2)( x 2 ? 2 x ? 4) ? 0 ,
恒成立,又 ( x ? 3)

x2 ? 2x ? 4 ? 0

2

? 0 ,得

? 3 时,原不等式等价于不等式 ( x ? 3)( x ? 6)( x ? 2) ? 0 , ? 6 ? x ? ?3 或 x ? 2( x ? 3) ;经检验,当 x ? 3 时,原不等式不成立。

所以,原不等式的解为 5. 由题意,

? 6 ? x ? ?3 , 2 ? x ? 3或 x ? 3 。
是二次方程

?3 和 2

x 2 ? px ? q ? 0

的两个根,所以,

p ? ?(?3 ? 2) ? 1 , q ? ?3 ? 2 ? ?6 。
6. 由题意,

f ( x) ? g ( x) ? 0 。
5 3




(3x 2 ? 6 x ? 1) ? (2 x ? 4) ? 3x 2 ? 8 x ? 5 ? 0 ,得1 ? x ?

所以,当1 ?

x?

5 时,函数 f ( x) 的图象在函数 g ( x) 的图象的下方。 3

7. 由

b ? x ? x ? , 1 2 ? ? y ? ax ? a 2 ? ax ? bx ? c ? 0 ? ? ? y ? bx ? c ? ? x x ??c. 1 2 ? a ?
2



? y ? bx ? c c ? x3 ? ? . ? b ?y ? 0
( x1 ? x2 ) x3 ? x1 x2 ? 1 1 1 ? ? 。所以,应选 B 。 x1 x2 x3

消去 a , b , c , 得

8. 设

5 13 f ( x) ? a( x ? ) 2 ? ,则 2 4 f ( x) ? x ? ax2 ? (5a ? 1) x ? 25a ? 13 ?0 4

由 | x1 所以,

? x2 | ? 2 ? (5a ? 1) 2 ? a(25 a ? 13) ? 4 ? a ? 1。
f ( x) ? x 2 ? 5 x ? 3。

9.

由题意, c 是方程

f ( x) ? 0 的根,又方程 f ( x) ? 0 的两根之积为

c ,所以方程 a

f ( x) ? 0 的另一个根为
(1) 若 0 ? (2) 由

1 1 ,且 f ( ) ? 0 。 a a

1 1 1 1 ? c ,则 f ( ) ? 0 ,次与 f ( ) ? 0 矛盾。所以, ? c ; a a a a

f (c) ? 0 ? ac ? b ? 1 ? 0 ? b ? ?1 ? ac ,又 0 ? ac ? 1 ,得

? 2 ? b ? ?1 ;
(3) 欲证不等式等价于

? (t ) ? (a ? b ? c) t 2 ? (a ? 2b ? 3c) t ? 2c ? 0 。
由0

? 1 ? c ,得 f (1) ? 0 ? a ? b ? c ? 0 。
? ?1 ,得

由(2) ? 2 ? b

a ? 2b ? 3c ? (a ? b ? c) ? (b ? 2c) ? 0 。
因此,抛物线 ? (t ) 的开口向上,且对称轴位于 y 轴左方。当 t 着 t 的值增加而增加。所以,当 t

?0

时,? (t ) 的值随

? 0时

? (t ) ? ? (0) ? 2c ? 0 ,即原命题得证。
习题 2
1. 不等式

0 ? x2 ? px ? 5 ? 1 有 唯 一 实 数 解 , 要 求 开 口 向 上 的 抛 物 线

y ? x 2 ? px ? 5 的最小值为 1。

p 2 p2 p2 ? 1 ? p ? ?4 。所以, 由 x ? px ? 5 ? ( x ? ) ? 5 ? ,得 5 ? 4 2 4
2
应选 A 。 2. 因为

x 5 ? x 4 ? x ? 1 ? ( x ? 1)( x 4 ? 1) ? ( x ? 1) 2 ( x ? 1)( x 2 ? 1) ,
? ?1且 x ? 1 。

所以,原不等式的解为 x 3.

42x2 ? ax ? a2 可化为 (6x ? a)(7 x ? a) ? 0 ,

当a 当a 当a

? 0 时,不等式的解为 ? ? 0 时,不等式无解; ? 0 时,不等式的解为

a a ?x? ; 6 7

a a ?x?? 。 7 6

4.

y1 ? y2 ? x 4 ? 3x3 ? 5 x 2 ? x ? 10 ? ( x ? 2)( x ? 1)( x 2 ? 2 x ? 5)
因为 当 当x

x 2 ? 2 x ? 5 ? 0 恒成立,所以,
?1 ? x ? 2
时, 时, 时,

y1 ? y2

; ; 。

? ?1 或 x ? 2 ?2

y1 ? y2 y1 ? y2

当 x ? ?1或 x 5. 原不等式可化为

(m ? 4)( m ? a 2 ) ? 0 。因为 0 ? | a | ? 1 ,不等式的解为
? 4 。欲要原不等式恒成立,实数 m 的取值范围是 m ? 0 或

m?|a|

或m

m ? 4 。所以,应选 C 。
6. 解不等式 m 又x

2

? 72m ? 720 ? 0 ,得12 ? m ? 60 。

2

? 2(m ? 1) x ? m 2 ? 0 ,得 ? ? 4(m ? 1) 2 ? 4m 2 ? 4(2m ? 1) 。

由此方程有整数根, 得 ? 为完全平方数。 所以,m 原方程为 x 当m 7. 由

? 24 或 m ? 40 。当 m ? 24 时,

2

? 50x ? 242 ? 0 ,解得 x1 ? 32或 x2 ? 18;

? 40 时,原方程为 x 2 ? 82x ? 402 ? 0 ,解得 x1 ? 50或 x2 ? 32 。

kx2 ? 2(3k ? 1) x ? 9k ? 1 ? 0 ,得

6k ? 2 ? x ? x ? ? ? 1 2 k ? ? x x ? 9k ? 1 1 2 ? k ?
化简得

? 2 x1 x2 ? x1 ? x2 ? 12

(2x1 ? 1)(2x2 ? 1) ? 25 ,

由?

?2 x1 ? 1 ? ? 1 , ? 5 . ?x ? 0 , 1 , 3 , ? 2 . ? ? 1 ?2 x2 ? 1 ? ? 25 , ? 5. ? x2 ? ? 12, 13 , 3 , ? 2 .

经检验, 所求 k 的值为

1 1 1 , ? , . 9 4 5


8.

a 2 a2 f ( x) ? x ? ax ? 3 ? a ? ( x ? ) ? 3 ? a ? 2 4
2
当?

a ?0 2

即a

?0

时,

f min ( x) ? f (0) ? 3 ? a ? 0 ? a ? 3 , ?0 ? a ? 3 ;
当0 ?

?

a ?1 2

即? 2 ?

a?0

时,

a a2 f min ( x) ? f (? ) ? 3 ? a ? ?0 ? ?6? a ? 2, 2 4 ?? 2 ? a ? 0 ;
当?

a ?1 2

即a

? ?2

时, f min ( x)

? f (1) ? 4 ? 0 , ?a ? ?2 .

综上,所求 a 的取值范围是 a 9. (1)由 ax 因为

? 3。

2

? bx ? c ? ?bx ? ax 2 ? 2bx ? c ? 0

? ? 4b 2 ? 4ac ? 4(a ? c) 2 ? 0 ( ? a ? c) ,所以两函数的图像交于

两个不同的交点; (2) |

A1B1 |2 ? | x1 ? x2 |2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2



b 2 c 4(a ? c) 2 c 2 ?4( ) ?4 ? ? 4 ( 1 ? ) . 2 a a a a ?a ? 0 , c ? 0 , ?a ? b ? c ? ? ? ? c 1 ? 2 ? ? ? . ?a ? b ? c ? 0 ? a 2 ?

所以,线段 AB 在 x 轴上的射影 A1 B1 的长的取值范围是 (3 ,

6) 。

10. (反证法)反设存在满足条件的二次多项式 则c

f ( x) ? ax2 ? bx ? c ,

? f (0) ; b ?

f (1) ? f (?1) f (1) ? f (?1) ; a? ? f (0) . 2 2

由题意, |

f (0) |? 1 ; | f (1) |? 1 ; | f (?1) |? 1 ,所以

| f (2) | ? | 4a ? 2b ? c | ? | 3 f (1) ? f (?1) ? 3 f (0) | ? 3 | f (1) | ? | f (?1) | ?3 | f (0) |? 7.
此与 |

f (2) |? 8

矛盾。所以满足条件的二次多项式不存在。

(由证明过程,得原题中条件(2)可强化为 |

f (2) |? 7 )


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