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江苏省扬州中学2015届高三数学期末检测试卷及参考答案


江苏省扬州中学 2015 届高三数学期末检测试卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分. 1. 2. x+3 设集合 M={x| <0},N={x|(x-1)(x-3)<0},则集合 M∩N=________. x-2 复数 z1=a+2i,z2=-2+i,如果|z1|<|z2|, 则实数 a 的取值范围是_______. 3.

某公司生产三种型号 A、B、C 的轿车,月产量分 别为 1200、6000、2000 辆.为检验该公司的产品 质量,现用分层抽样的方法抽取 46 辆进行检验, 则型号 A 的轿车应抽取________辆. 4. 有红心 1、2、3 和黑桃 4、5 共 5 张扑克牌, 现从中随机抽取一张,则抽到的牌为红心的 概率是__________. 5. 右图是一个算法的流程图,则输出 S 的值 是________. 6. 设{an}是等比数列,则“a1<a2<a3”是“数列 {an}是递增数列”的_________条件. 7. 取正方体的六个表面的中心,这六个点所构成的几何体的体积记为 V1,该正方体的体积为 V2, 则 V1∶V2=________. 8. 如图,在△ABC 中,∠BAC=120?,AB=AC=2, →→ → → D 为 BC 边上的点,且 AD · BC =0, CE =2 EB , →→ 则 AD · AE =_______. 9.
B E A

开始 S←1 n←1

S←S+2n S≥33 Y 输出S 结束

n←n+1 N

D

C

对任意的实数 b,直线 y=-x+b 都不是曲线 y=x3-3ax 的切线,则实数 a 的取值范围是 ________.

x2 y2 10. 如图,已知抛物线 y2=2px(p>0)的焦点恰好是椭圆 2+ 2=1 a b >0)的右焦点 F,且两条曲线的交点连线也过焦点 F, 椭圆的离心率为 . O

y F x

(a>b 则该

(0<x≤10) ? ?lgx 1 11. 已知函数 f (x)=? ,若 a,b,c 互不相等,且 f (a)=f (b)=f (c), ?|6-2x| (x>10) ? 则 a+b+c 的取值范围为 .
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π 12. 若函数 f (x)=sin(ωπx- )(ω>0)在区间(-1,0)上有且仅有一条平行于 y 轴的对称轴,则 ω 的 4 最大值是___________. 13. 若实数 a,b,c 成等差数列,点 P(-1,0)在动直线 ax+by+c=0 上的射影为 M,点 N(3,3),则线段 MN 长度的最大值是__________. 14. 定义:若函数 f (x)为定义域 D 上的单调函数,且存在区间(m,n)?D(m<n),使得当 x∈(m,n)时, f (x)的取值范围恰为(m,n),则称函数 f (x)是 D 上的“正函数” . 已知函数 f (x)=ax (a>1)为 R 上 的“正函数” ,则实数 a 的取值范围是 .

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文字说明、证明 ....... 过程或演算步骤. π B 15. 在△ABC 中,A、B、C 为三个内角,f (B)=4sinB· cos2? - ?+cos2B. ?4 2 ? (Ⅰ)若 f (B)=2,求角 B; (Ⅱ)若 f (B)-m<2 恒成立,求实数 m 的取值范围.

16. 正方形 ABCD 所在的平面与三角形 CDE 所在的平面交于 CD,且 AE⊥平面 CDE. (1)求证:AB∥平面 CDE; (2)求证:平面 ABCD⊥平面 ADE.

B A

C

E

D

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17. 如图,某兴趣小组测得菱形养殖区 ABCD 的固定投食点 A 到两条平行河岸线 l1、l2 的距离分别为 4 米、8 米,河岸线 l1 与该养殖区的最近点 D 的距离为 1 米,l2 与该养殖区的最近点 B 的距离为 2 米. (1)如图甲,养殖区在投食点 A 的右侧,若该小组测得∠BAD=60?,请据此算出养殖区的面 积 S,并求出直线 AD 与直线 l1 所成角的正切值; (2)如图乙,养殖区在投食点 A 的两侧,试求养殖区面积 S 的最小值,并求出取得最小值时∠ BAD 的余弦值.
l1

D
A
C

l1

D
A
C

l2

B

l2

B

(图甲)

(图乙)

x2 y2 1 18. 已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)经过点(0, 3),离心率为 ,经过椭圆 C 的右焦点 F 的直线 l 交 a b 2 椭圆于 A、B 两点,点 A、F、B 在直线 x=4 上的射影依次为 D、K、E. (1)求椭圆 C 的方程; → → → → (2)若直线 l 交 y 轴于点 M,且 MA =λ AF , MB =μ BF ,当直线 l 的倾斜角变化时,探究 λ+ μ 是否为定值?若是,求出 λ+μ 的值;若不是,说明理由; (3)连接 AE、BD,试探索当直线 l 的倾斜角变化时,直线 AE 与 BD 是否相交于一定点?若是, 求出定点坐标;若不是,说明理由.

y

A

O

F

M B

D K x E

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19. 设数列{an}的各项都是正数,且对任意 n∈N*,都有a1+a2+a3+· · · +an=(a1+a2+a3+· · · +an)2. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 bn=3n+(-1)n?1· λ· 2 n (λ 为非零常数,n∈N*),问是否存在整数 λ,使得对任意 n∈N*, 都有 bn+1>bn.
a

3

3

3

3

mx 20. 已知函数 f (x)= 2 (m,n∈R)在 x=1 处取到极值 2. x +n (1)求 f (x)的解析式; 1 1 (2)设函数 g(x)=ax-lnx,若对任意的 x1∈[ , 2],总存在唯一的 ...x2∈[e2, e](e 为自然对数的底), 2 使得 g(x2)=f (x1),求实数 a 的取值范围.

第 4 页 共 10 页

??????密?????封?????线?????内?????不?????要?????答?????题??????

附加题
1. 1 a ? c 2 ? ? 2 0 ? ,N=? ,且 MN=? ?, ? b 1 ? ? 0 d? ? -2 0 ? (Ⅰ)求实数 a,b,c,d 的值; (Ⅱ)求直线 y=3x 在矩阵 M 所对应的线性变换下的像的方程. 已知矩阵 M=?

姓名_____________

2.

?x=2+2t x2 在平面直角坐标系 xOy 中, 直线 l 的参数方程为? (t 为参数), 椭圆 C 的方程为 +y2=1, 4 ?y=1-t 试在椭圆 C 上求一点 P,使得 P 到直线 l 的距离最小.

学号________

3.

如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,底面是等腰直角三角形,AB=BC= 2,BB1=3,D 为 A1C1 的中点,F 在线段 AA1 上. (1)AF 为何值时,CF⊥ 平面 B1DF? (2)设 AF=1,求平面 B1CF 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值. B1 D C1

班级___________

A1 F B A

C

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4.

一种抛硬币游戏的规则是:抛掷一枚硬币,每次正面向上得 1 分,反面向上得 2 分. (1)设抛掷 5 次的得分为 X,求变量 X 的分布列和数学期望 E(X ); (2)求恰好得到 n (n∈N*)分的概率.

江苏省扬州中学 2015 届高三数学期末检测试卷及参考答案
2015.1 1、(1,2) 1 7、 6 13、5+ 2 2、(-1,1) 3、6 1 9、(-∞, ) 3
1

3 4、 5

5、63

6、充要 5 12、 4

8、1 14、(1, ee )

10、 2-1

11、(25,34)

π B 15、解:(Ⅰ) f (B)=4sinBcos2( - )+cos2B=2sinB(1+sinB)+1―2sin2B=2sinB+1=2 4 2 1 ∴sinB= 2 π 5π 又∵0<B<π ∴B= 或 . 6 6

(Ⅱ) ∵f (B)-m<2 恒成立∴2sinB+1-m<2 恒成立 ∴2sinB<1+m ∵0<B<π,∴2sinB 的最大值为 2,∴1+m>2 ∴m>1. 16、证明: (1)正方形 ABCD 中, AB // CD , 又 AB ? 平面 CDE, CD ? 平面 CDE, 所以 AB // 平面 CDE. (2)因为 AE ? 平面CDE ,且 CD ? 平面CDE , 所以 AE ? CD ,
CD ? AD, 又 正方形ABCD中, 且 AE AD ? A , AE、AD ? 平面ADE ,

所以 CD ? 平面ADE , 又 CD ? 平面ABCD , 所以 平面ABCD ? 平面ADE . 17、解: (1)设 AD 与 l1 所成夹角为 ? ,则 AB 与 l2 所成夹角为 60 ? ? ,
6 对菱形 ABCD 的边长“算两次”得 3 ? , 解得 tan ? ? 3 , sin ? sin ? 60 ? ? ? 5

所以,养殖区的面积 S ?

(5 分) ? ? ? sin 60 ? 9?1 ? tan1 ? ? ? sin 60 ? 42 3 (m ) ;

3 sin ?

2

2

2

第 6 页 共 10 页

(2)设 AD 与 l1 所成夹角为 ? , ?BAD ? ? ? 120 , 180 , 则 AB 与 l2 所成夹角为

?

?

?180
2

?? ? ? ? ,

6 对菱形 ABCD 的边长“算两次”得 3 ? ,解得 tan ? ? sin ? , sin ? sin ?180 ? ? ? ? ? 2 ? cos?

所以,养殖区的面积 S ?

4cos ? , ? ? ? sin? ? 9?1 ? tan1 ? ? ? sin? ? 9 ? 5 ?sin ? ?

3 sin ?

2

? ? 4 ? 0 得 cos ? ? ? 4 , 由 S ? ? 9 5 ? 4cos ? ? ?9 5cos ? 2 sin ? 5 sin ?

?

?

?

?

【要修改为:列表求最值】经检验得,当 cos ? ? ? 4 时,养殖区的面积 Smin =27(m2 ) . 5 答: (1)养殖区的面积为 42 3 m2 ; (2)养殖区的最小面积为 27m 2 . (15 分) 2 2 x y 18、解: (1) + =1 4 3 (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),M(0,y0) x1 x2 → → ∵ MA =? AF ∴(x1,y1-y0)=?(1-x1,-y1) ∴?= ,同理,?= 1-x1 1-x2 x1+x2-2x1x2 x1 x2 ∴?+?= + = 1-x1 1-x2 x1x2-x1-x2+1
?l:y=k(x-1) 4k2-12 8k2 2 2 2 2 ∵? 2 ∴ (4 k + 3) x - 8 k x + 4 k - 12 = 0 ,∴ x + x = , x x = 2 1 2 4k2+3 1 2 4k2+3 ?3x +4y -12=0

4k2-12 8k2 24 ∴x1+x2-2x1x2= 2 -2× 2 = , 4k +3 4k +3 4k2+3 4k2-12 -9 8k2 x1x2-x1-x2+1= 2 - 2 +1= 2 4k +3 4k +3 4k +3 24 8 ∴?+?=- =- 9 3 5 (3)当 l⊥x 轴时,易得 AE 与 BD 的交点为 FK 的中点( ,0) 2 5 下面证明:BD 过定点 P( ,0) 2 y1 y2

y

A

O
B

F

M 3 5 B、D、P 共线?kBP=kDP? = ? y =x y - y ?3y2=2x2y1-5y1 5 5 2 2 2 1 2 1 4- x2- 2 2

D Kx E

4k2-12 8k2 ?3k(x2-1)=2x2k(x1-1)-5k(x1-1)?2kx1x2-5k(x1+x2)+8k=0?2k· 2 -5k· 2 + 8k = 4k +3 4k +3 0 ?2k(4k2-12)-40k3+8k(4k2+3)=0 成立.得证. 5 5 同理,AE 过定点 P( ,0),∴直线 AE 与 BD 相交于一定点( ,0). 2 2 【注】 :书写可证明:kBP-kDP=· · · -· · · =· · · · · · · ,证明值为 0. 19、证明:(1)在已知式中, 当 n=1 时, a1=a1∵a1>0∴a1=1
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3 2

当 n≥2 时, a1+a2+a3+· · · +an=(a1+a2+· · · +an)2· · · · · · · · · · · ① a1+a2+a3+· · · +an-1=(a1+a2+· · · +an-1)2(n≥2)· · · · · · · · ② 由①-②得, an=an[2(a1+a2+· · · +an-1)+an] (n≥2) ∵an>0 ∴an=2(a1+a2+· · · +an-1)+an(n≥2) · · · · · · · · ③ an-1=2(a1+a2+· · · +an-2)+an-1(n≥3) · · · · · · · · ④ ③-④得, an-an-1=2an-1+an-an-1=an-1+an (n≥3) ∵an-1+an>0, ∴an-an-1=1(n≥3), ∵a1=1,a2=2∴a2-a1=1∴an-an-1=1(n≥2) ∴数列{an}是等差数列,首项为 1,公差为 1, 可得 an=n (2) ∵an=n, ∴bn=3n+(-1)n?1?· 2n ∴bn+1-bn=3n+1+(-1)n?· 2n+1-[3n+(-1)n?1?· 2n]=2· 3n-3?(-1)n?1· 2n>0 3 ∴?(-1)n?1<( )n?1· · · · · · · · ⑤ 2 3 当 n=2k-1,k=1,2,3,· · · 时, ⑤式即为?<( )2k?2· · · · · · · · ⑥ 2 依题意, ⑥式对 k=1,2,3,· · · 都成立, ∴?<1 3 当 n=2k,k=1,2,3,· · · 时, ⑤式即为?>-( )2k?1· · · · · · · · · ⑦ 2 3 依题意, ⑦式对 k=1,2,3,· · · 都成立 ∴?>- 2 3 ∴- <?<1 又?≠0, ∴存在整数?=-1, 使得对任意 n∈N*, 都有 bn+1>bn. 2
?f ?(1)=0 m(x2+n)-2mx2 -mx2+mn 20、解: (1)∵f ?(x)= = 2 ∵由 f (x)在 x=1 处取到极值 2,∴? (x2+n)2 (x +n)2 ?f (1)=2 ?m=4 -m+mn m 4x ∴ =0, =2,∴? ,经检验,此时 f (x)在 x=1 处取得极值,故 f (x)= 2 n = 1 (1+n)2 1+n x +1 ? 1 1 ( 2)记 f (x)在[ ,2]上的值域为 A,函数 g(x)在[ 2,e]上的值域为 B, 2 e -4x2+4 -4(x-1)(x+1) 1 由(1)知:f ?(x)= 2 = ∴f (x)在[ ,1]上单调递增,在(1,2]上单调递减, 2 (x +1)2 (x2+1)2 1 8 8 由 f (1)=2,f (2)=f ( )= ,故 f (x)的值域 A=[ ,2] 2 5 5 1 1 1 1 2 依题意 g?(x)=a- ∵x∈[ 2,e] ∴ ≤ ≤e x e e x 1 1 1 ①当 a≤ 时,g?(x)≤0 ∴g(x)在[ 2,e]上递减 ∴B=[g(e),g( 2)], e e e 8 1 1 由题意得:[ ,2]?B.∵g(e)=ae-1,g( 2)=a 2+2, 5 e e 8 g(e)=ae-1≤ ? ?a≤13 13 1 5 1 5e ∵ > ∴0≤a≤ ∴ ∴? 1 1 5e e e ?a≥0 g( 2)=a 2+2≥2 ? e e 1 1 1 11 1 ②当 <a<e2 时,e> > 2 ∴当 x∈[ 2, )时,g?(x)<0;当 x∈( ,e]时,g?(x)>0; e a e e a a
2 2 2 2 3 3 3 3 3

3

3

3

3

? ? ?

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8 1 ∵对任意的 y1∈[ ,2],总存在唯一的 x2∈[ 2,e],使得 g(x2)=y1 ... 5 e 1 1 1 ∵g(e)-g( 2)=ae-a 2-3=a(e- 2)-3 e e e

?g( 12)≤8 ?a≥e ? 3e 1 2 5∴? ∴当 3 <a<e 时,g(e)>g( 2),∴? e 无解 2 e e -1 ? ?g(e)≥2 ?a≤-5e2
2

3

1 3e2 1 当 <a< 3 时,g(e)<g( 2) ∴ e e e -1

3e2 1 当 a= 3 时,g(e)=g( 2)不成立; e e -1 1 1 1 1 ③当 a≥e2 时, < 2 ∴g?(x)>0 ∴g(x)在[ 2,e]上递增 ∴B=[g( 2), g(e)] a e e e 3 a≥ ?ea-1≥2 e 8 1 8 ? 8 ∴ ∵[ ,2]?B ∴g(e)≥2,g( 2)≤ ∴? a 无解 2 5 e 5 2+2≤ ?e 5 ? a≤- e2 5 13 综上,0≤a< 5e

?g(e)=ae-1≤5 ? ?a≤13 13 3e 1 13 ∴ ? 5e ∵5e< ∴ <a< ? 1 1 e 5e e -1 ?a≥0 ?g(e )=ae +2≥2 ?
2 3 2 2

8

? ? ?

附加题 c=2 2 0 1 a c 2 2+ad=0 ? ?? ?=? 1、解: (Ⅰ)由题设,? ?得 bc=-2 ,解得 ? b 1 ?? 0 d ? ? ? -2 0 ? 2b+d=0 (Ⅱ)取直线 y=3x 上的两点(0,0)、(1,3), 由?

? ? ?

=-1 ?a b=-1 ?c=2 ; ?d=2

? 1 -1 ??0? ?0? ? 1 -1 ??1? ?-2? ? = ,? ? =? ?得:点(0,0)、(1,3)在矩阵 M 所对应的线性变 ? -1 1 ??0? ?0? ? -1 1 ??3? ? 2 ?

换下的像是(0,0),(-2,2),从而直线 y=3x 在矩阵 M 所对应的线性变换下的像的方程为 y= -x.
?x=2+2t 2、解:直线 l 的参数方程为? (t 为参数)∴x+2y=4 ?y=1-t

|2cosθ+2sinθ-4| 设 P(2cosθ,sinθ)∴P 到 l 的距离为 d= = 5 4-2 2 5

π |2 2sin(θ+ )-4| 4 |2 2-4| ≥ = 5 5

π π 2 2 当且仅当 sin(θ+ )=1,即 θ=2kπ+ 时等号成立.此时,sinθ=cosθ= ∴P( 2, ) 4 4 2 2 π 3、解: (1)因为直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,BB1⊥ 面 ABC,∠ ABC= . 2 以 B 点为原点,BA、BC、BB1 分别为 x、y、z 轴建立如图所示空间直角坐标系.
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因为 AC=2,∠ ABC=90? ,所以 AB=BC= 2,( 2,0,0) 从而 B(0,0,0),A( 2,0,0),C(0, 2,0),B1(0,0,3),A1 A( 2,0,3),C1(0, 2,3),D( E(0, 23 → , ).所以CA1 =( 2,- 2,3),设 AF=x,则 F( 2,0,x), 2 2 2 2 , ,3), 2 2

2 2 → → → CF =( 2,- 2,x), B1F =( 2,0,x-3) ,B1D=( , ,0) 2 2 →→ → → ∴ CF · B1D=· · · =0,所以 CF ⊥B1D 要使 CF⊥ 平面 B1DF,只需 CF⊥ B1F. →→ 由 CF · B1F =2+x(x-3)=0,得 x=1 或 x=2, 故当 AF=1 或 2 时,CF⊥ 平面 B1DF. (2)由(1)知平面 ABC 的法向量为 m=(0,0,1). 设平面 B1CF 的法向量为 n=(x,y,z), A1 F B1 D z C1

→ ? ? 2x- 2y+z=0 ?n· CF =0 ? 3 则由? 得? 令 z=1 得 n=( 2, 2,1), 2 → ? 2x-2z=0 ? n· B1F =0 ? ?

B

C y

30 所以平面 B1CF 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值 cos<m,n>= 15 A x
i-5 1 5 4、解: (1)所抛 5 次得分?的概率为 P(?=i)=C5 · ( ) (i=5,6,7,8,9,10), 2

其分布列如下:

?
P ∴ 15 E?= 2

5 1 32

6 5 32

7 5 16

8 5 16

9 5 32

10 1 32

(2)令 Pn 表示恰好得到 n 分的概率. 不出现 n 分的唯一情况是得到 n-1 分以后再掷出一次反 面. 因为“不出现 n 分”的概率是 1-Pn, “恰好得到 n-1 分”的概率是 Pn-1, 1 1 2 1 2 因为“掷一次出现反面”的概率是 ,所以有 1-Pn= Pn-1,即 Pn- =- ( Pn-1- ). 2 2 3 2 3 2 2 1 2 1 1 于是{Pn- }是以 P1- = - =- 为首项,以- 为公比的等比数列. 3 3 2 3 6 2 2 1 1 1 1 1 1 所以 Pn- =- (- )n?1,即 Pn= [2+(- )n]. 答:恰好得到 n 分的概率是 [2+(- )n]. 3 6 2 3 2 3 2

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