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2.4.1 抛物线及其标准方程(1)


第二章圆锥曲线与方程 常宁市第一中学尹忠田 问题启思 我们知道椭圆和双曲线共同的几何特征 是:到定点距离和到定直线的距离的比是常数e 的点的轨迹. 思考1:椭圆和双曲线中e的取值范围是什么? 思考2:据此,你能否提出一个值得研究的新问题? y y N M N F' x F' o M 0<e<1 F o e>1 x F 新知探究 问题:到定点的距离和到定直线的距离的比是 1的点的轨迹是什么? l · F 动画演示 探究一:抛物线的定义 平面内与一个 定点F和一条定直 线 l(l 不 经 过 点 F) 距 离相等的点的轨迹 叫做抛物线. l H M 焦点 K o F 点F叫做抛物 线的焦点,直线l叫做 抛物线的准线. 准线 生活中的抛物线 物理中的斜抛运动 初中学过的二次函数 为什么二次函 数 y=ax2(a ≠ 0 ) 的 图象是抛物线? y o x 探究二:抛物线的标准方程 解析法 建系 ? l H 由抛物线定义可知 , 当 抛物线的焦点和准线一定 时 , 所对应的抛物线唯一确 定 , 用什么数据确定抛物线 K o F 的焦点与准线的相对位置? P: 焦点到准线的距离. M 探究二:抛物线的标准方程 以过 F 且垂直于 l 的直线为 x 轴,垂足为K.以线段FK的中点O为 坐标原点建立直角坐标系. 设 M ( x , y ) , FK ? p , p p 则焦点 F ( , 0) ,准线 l : x ? ? 2 2 p 2 p 2 依题意得 ( x ? ) ? y ?| x ? | 2 2 l H y M KO F x 2 y 两边平方,整理得 ? 2 px( p ? 0), 此即所求的轨迹方程. 探究二:抛物线的标准方程 方 程 y2=2px(p>0) 叫 做抛物线的标准方程 它表示焦点在 x 轴的 正半轴上 , 焦点 坐 标 p 是 ( 2, 0), 它 的 准 线 p 方程是x =- 2 ,开口向 右的抛物线. y l K o F x P的几何意义是:焦点到准线的距离 探究二:抛物线的标准方程 y y o x o x x2 y2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0? 2 a b y y2 x2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0? 2 a b y o x o x x2 y2 ? 2 ? 1 ? a ? 0, b ? 0 ? 2 a b y2 x2 ? 2 ? 1 ? a ? 0, b ? 0 ? 2 a b 探究二:抛物线的标准方程 l y F l o F x x 标准方程 焦点坐标 准线方程 p/ p/ p 2=2px(p>0) x=y ,0) y=x2 =2py(p>0) ( (0, / ) 2 2 2 2=-2py y =-2px 标准 x x2 =2py 方程 (p>0) (p>0) o x 焦点 坐标 准线 方程 p/ p/) ) (0, (0,(-p/ 22 2,0) p p y=y= /// x=p 2 2 2 探究二:抛物线的标准方程 图形 l o y F yl x F F o o x y l l x y o F x 标准方程 焦点坐标 准线方程 p p y2=2px ( , 0) x = (p>0) 2 2 p p y2=-2px (- , 0) x = 2 2 (p>0) p p x2=2py y=(0, ) 2 2


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