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2-3第3讲 向量、不等式、推理与证明


高考调研

高考总复习· 二轮专题· 数学· 理

第二部分 讲重点?小题专练

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第二部分

讲重点?小题专练

高考调研

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第 3讲

向量、不等

式、推理与证明

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热 点 调 研

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调研一 向量

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【典例 1】

(平行与垂直)

(1)(2014· 湖北)设向量 a=(3,3),b=(1,-1).若(a+λb)⊥(a -λb),则实数 λ=________.

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【解析】

通过向量的线性运算列方程求解.

由题意,得(a+λb)· (a-λb)=0,即 a2-λ2b2=18-2λ2=0,解 得 λ=± 3.

【答案】

± 3

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π (2)(2014· 陕西)设 0<θ< ,向量 a=(sin2θ,cosθ),b=(cosθ, 2 1),若 a∥b,则 tanθ=________.

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【解析】

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利用向量平行列出关于 θ 的三角等式并利用倍角

公式、同角三角函数的关系式变形求解. 因为 a∥b,所以 sin2θ=cos2θ,2sinθcosθ=cos2θ. π 1 因为 0<θ< ,所以 cosθ>0,得 2sinθ=cosθ,tanθ= . 2 2

【答案】

1 2

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【对点练 1】 (1)(2014· 重庆)已知向量 a=(k,3),b=(1,4),c =(2,1),且(2a-3b)⊥c,则实数 k=( 9 A.- 2 C.3 B.0 15 D. 2 )

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【解析】

因为 a=(k,3),b=(1,4),所以 2a-3b=2(k,3)-

3(1,4)=(2k-3, -6). 因为(2a-3b)⊥c, 所以(2a-3b)· c=(2k-3, -6)· (2,1)=2(2k-3)-6=0,解得 k=3.故选 C.

【答案】

C

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(2)(2014· 江南十校联考)已知向量 a=(3,-2),b=(x,y-1) 3 2 且 a∥b,若 x,y 均为正数,则x+y的最小值是( 5 A. 3 C.8 8 B. 3 D.24 )

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【解析】 因为 a=(3,-2),b=(x,y-1),a∥b,所以 2x 3 2 13 2 1 9y 4x +3y=3,则x + y =3( x + y)(2x+3y)=3(12+ x + y )≥8,当且仅 ? 3 2 2 ? ?x=4, ?9y =4x , 当? 即? ? ?2x+3y=3, ?y=1 ? 2 8,故选 C.
【答案】 C
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3 2 时等号成立,所以x +y 的最小值为

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【典例 2】 (向量运算) (1)(2014· 新课标全国Ⅰ)设 D, E, F 分别为△ABC 的三边 BC, → → CA,AB 的中点,则EB+FC=( → A.BC → C.AD 1→ B. AD 2 1→ D.2BC )

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【解析】

利用向量的加法法则求解.

→ → → → → → → → 1 → → 如图,EB+FC=EC+CB+FB+BC=EC+FB= (AC+AB) 2 1 → → =2· 2AD=AD.
【答案】 C

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→ → (2)(2014· 福州质量检测)如图,设向量OA=(3,1),OB=(1,3), → → → 若OC=λOA+μOB,且 λ≥μ≥1,则用阴影表示 C 点所有可能的 位置区域正确的是( )

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【解析】

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→ → → 设 C(x , y) , 因 为 OC = λ OA + μ OB , 所 以 3x-y 因 为 λ≥μ≥1 , 所 以 8

? ?λ=3x-y, ? 8 ? ?x=3λ+μ, ? 解得? ? 3y-x ?y=λ+3μ, ? μ= 8 . ? ? ?3x-y-8≥0, ? 3y-x ≥ ≥1,即?x-3y+8≤0, 8 ?x≥y, ?

故选 D.

【答案】

D

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【对点练 2】 (1)(2014· 福建)设 M 为平行四边形 ABCD 对角 → 线的交点, O 为平行四边形 ABCD 所在平面内任意一点, 则OA+ → → → OB+OC+OD等于( → A.OM → C.3OM ) → B.2OM → D.4OM

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【解析】 因为点 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点, 所 → → 以点 M 是 AC 和 BD 的中点,由平行四边形法则知OA+OC= → → → → → → → → → 2OM,OB+OD=2OM,故OA+OC+OB+OD=4OM.

【答案】

D

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(2)(2014· 马鞍山联考)在直角梯形 ABCD 中,AB⊥AD,AD= → DC=1, AB=3, 动点 P 在直角梯形 ABCD 内运动(含边界), 设AP → → =α· AD+β· AB,则 α+β 的最大值是( 4 A.3 1 B.4 )

1 C.1 D. 3

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【答题模板】 本题与 2013 年安徽卷第 9 题类似,把向量 运算与线性规划结合,综合考查数形结合思想和转化与化归思 想,解题时注意建立适当的坐标系,先把问题转化为线性规划问 题,再进行求解.

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【解析】 建立如图所示的直角坐标系,则 B(3,0),C(1,1), D(0,1),设 P(x,y),则(x,y)=α(0,1)+β(3,0)=(3β,α),所以 x x =3β,y=α,所以 α+β=3+y,则 α+β 的几何意义是直线 y=- x 3+(α+β)在 y 轴上的截距,利用线性规划的知识,显然在点 C 处 1 4 α+β 取得最大值,这个最大值是 +1= . 3 3

【答案】 A

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(3)(2014· 苏锡常镇四市调研)

→ → → 如图, 在△ABC 中, BO 为边 AC 上的中线, BG=2GO, 若CD → → 1→ → ∥AG,且AD=5AB+λAC(λ∈R),则 λ 的值为________.

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【解析】

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→ → → → 因为CD∥AG,所以存在实数 k,使得CD=kAG.

→ → → 1→ → 又CD=AD-AC= AB+(λ-1)AC,又由 BO 是△ABC 的边 AC 上 5 → → → 1 → → 的中线, BG=2GO, 得点 G 为△ABC 的重心, 所以AG=3(AB+AC), 1→ → k → → 所以 5 AB + (λ - 1) AC = 3 ( AB + AC ) .由平面向量基本定理可得 ?1 k ?5=3, 6 ? 解得 λ=5. ?λ-1=k, 3 ? 6 【答案】 5
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【典例 3】 (向量的数量积)

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(1)(2014· 洛阳综合训练)已知△ABC 的外接圆的半径为 1,圆 → → → → → 心为 O,且 3OA+4OB+5OC=0,则OC· AB的值为( 1 A.- 5 6 C.-5 1 B. 5 6 D.5 )

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【答题模板】 本题主要考查平面向量的线性运算、数量积 公式等基础知识,考查考生的运算求解能力,考查化归与转化的 数学思想方法,解题时,根据平面向量的知识进行求解.

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→ → → → → 【解析】 因为 3OA+4OB+5OC=0,所以 3OA+4OB=- → → → → → 5OC,两端平方,得 9+16+24OA· OB=25.由此可得OA· OB=0, 1 → 1 1 → → → → → OC· AB=- (3OA+4OB)· (OB-OA)=- (-3+4)=- , 故选 A. 5 5 5

【答案】

A

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(2)(2014· 济南四校联考)

如图所示,已知正三角形 ABC 的边长均为 1,点 P 是边 AB → → → → 上的动点, 点 Q 是边 AC 上的动点, 且AP=λAB, AQ=(1-λ)AC, → → λ∈R,则BQ· CP的最大值为________.

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【解析】

→ → → → → → → BQ · CP = ( BA + AQ )· ( CA + AP ) = [ BA + (1 -

→ → → → → →2 →2 → → λ)· AC]· (CA+λAB)=AB· AC -λAB -(1 -λ)AC + λ(1-λ)AB· AC = 1 12 3 (λ-λ +1)×cos60° -λ+λ-1=- · (λ- ) - ,0≤λ≤1,所以当 2 2 8
2

1 3 → → λ=2时,BQ· CP取得最大值-8.

【答案】

3 -8

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(3)(2014· 淮北五校四次联考)在面积为 2 的等腰直角△ABC 中,E,F 分别为直角边 AB,AC 的中点,点 P 在线段 EF 上,则 → → PB· PC的最小值为________.

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2 【解析】 易知 AB=AC=2,EF= 2,斜边高的一半为 . 2 方法一 → → → 设 PE = x ,则 PF = 2 - x ,于是 PB · PC = ( PE +

→ → → → → → → → → → → EB)· (PF+FC)=PE· PF+PE· FC+EB· PF+EB· FC=-x( 2-x)- 2 2 2 → → 2 PC最小, 2 x- 2 ×( 2-x)+0=x - 2x-1,当 x= 2 时,PB· 3 → → 此时PB· PC=- . 2

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方法二 以点 A 为原点, AB, AC 所在的直线分别为 x, y 轴, 建立如图所示的平面直角坐标系.则 B(2,0),C(0,2),设 P(x,y), → → 则PB=(2-x,-y),PC=(-x,2-y).因为点 P(x,y)在直线 EF → → 上,故 x+y=1(0≤x≤1),即 y=1-x.于是PB· PC=(2-x)(-x)- 1 → → → → y(2-y)=2x -2x-1,所以当 x=2时,PB· PC最小,此时PB· PC=
2

3 -2.

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【答案】

3 -2

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【对点练 3】 (1)(2014· 济南训练)

如图所示,在△ABC 中,AB=1,AC=3,D 是 BC 的中点, → → 则AD· BC=( A.3 C.5 ) B.4 D.不能确定

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→ 1 → → 【解析】 因为 D 为 BC 的中点,所以AD= (AB+AC).又 2 → → → → → 1 → → → → 1 →2 →2 BC=AC-AB,所以AD· BC=2(AB+AC)· (AC-AB)=2(AC -AB ) 1 = (9-1)=4. 2
【答案】 B

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(2)(2014· 日照诊断)在△ABC 中, 角 A=60° , M 是 AB 的中点, → → 若 AB=2,BC=2 3,D 在线段 AC 上运动,则DB· DM的最小值 为________. 【答题模板】 本题考查余弦定理、平面向量的线性运算和 数量积运算.根据余弦定理确定三角形的边长,再根据向量的线 → → 性运算法则和数量积运算,得出DB· DM的表达式,求解表达式的 最值.

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【解析】 在△ABC 中,设角 A,B,C 的对边分别为 a,b, c,根据余弦定理得 a2=b2+c2-2bccosA,即 12=b2+4-2b,即 → → → → → b2-2b-8=0,解得 b=4.设AD=λAC(0≤λ≤1),则DB· DM=(AB 3 → → → → → → → 1→ → 2 → 2 -AD)· (AM-AD)=(AB-λAC)· ( AB-λAC)=λ |AC| - λAB· AC+ 2 2 1→2 3 23 2 2 当 λ=16时, 16λ -6λ+2 最小, 最小值为16. 2|AB| =16λ -6λ+2,
23 【答案】 16
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(3)(2014· 齐鲁名校联考)已知在边长为 1 的正方形 ABCD 中, → → M 为 BC 的中点,E 在线段 AB 上运动,则EM· EC的取值范围是 ________.

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【解析】

如图,将正方形放入直角坐标系中,则设 E(x,0),0≤x≤1.

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1 1 → → 则 M(1, ),C(1,1),所以EM=(1-x, ),EC=(1-x,1), 2 2 1 1 → → 2 所以EM· EC=(1-x,2)· (1-x,1)=(1-x) +2.因为 0≤x≤1,所以 1 1 3 1 3 → → 2 ≤(1-x) + ≤ ,即EM· EC的取值范围是[ , ]. 2 2 2 2 2
1 3 【答案】 [ , ] 2 2

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【典例 4】 (向量的模) (1)(2014· 潍坊五校联考)已知向量 a,b 满足|b|=a· b=2, 〈a π -b,a〉= ,则|a|=________. 3

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【解析】 设|a|=x,则|a-b|2=a2-2a· b+b2=x2-2×2+22 = x2 ,故 |a - b|= x ; (a - b)· a = a2 - a· b = x2 - 2. 又 (a - b)· a = |a - π 1 2 1 2 2 b|×|a|cos〈a-b,a〉=x×xcos = x ,所以 x -2= x ,即 x2 3 2 2 =4,解得 x=2 或 x=-2(舍去).故|a|=2.
【答案】 2

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(2)(2014· 湖南)在平面直角坐标系中,O 为原点,A(-1,0), → → → → B(0, 3),C(3,0),动点 D 满足|CD|=1,则|OA+OB+OD|的取 值范围是( A.[4,6] C.[2 3,2 7] ) B.[ 19-1, 19+1] D.[ 7-1, 7+1]

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【解析】 设出点 D 的坐标,利用向量的坐标运算公式及向 量模的运算公式求解. → 设 D(x,y),则由|CD|=1,C(3,0),得(x-3)2+y2=1. → → → 又∵OA+OB+OD=(x-1,y+ 3), → → → ∴|OA+OB+OD|= ?x-1?2+?y+ 3?2.

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→ → → ∴|OA+OB+OD|的几何意义是点 P(1,- 3)与圆(x-3)2+ → → → y2=1 上点之间的距离.由|PC|= 7,知|OA+OB+OD|的最大值 为 1+ 7,最小值为 7-1.故选 D.
【答案】 D

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【对点练 4】 (1)(2014· 大纲全国)若向量 a,b 满足:|a|=1, (a+b)⊥a,(2a+b)⊥b,则|b|=( A.2 C.1 B. 2 2 D. 2 )

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【解析】

? a=0, ??a+b?· 由题意知? ? b=0, ??2a+b?·

2 ? a=0,① ?a +b· 即? ? b+b2=0,② ?2a·

将①×2-②,得 2a2-b2=0,∴b2=|b|2=2a2=2|a|2=2.故|b| = 2.
【答案】 B

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(2)(2014· 威海两校质检)若向量 a=(2,1)和 b=(x-1,y)垂直, 则|a+b|的最小值为( A. 5 C.2 5 ) B.5 D. 15

【答题模板】 本题主要考查两向量垂直的坐标表示以及向 量的模的求解和最值.首先根据两向量垂直的坐标表示求出 x 与 y 的关系式,然后代入向量的模的表达式中,将问题转化为二次 函数的最值问题进行求解;也可利用向量的模的表达式的几何意 义直接求解最值.
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【解析】 方法一 由 a⊥b,可得 2(x-1)+y=0,整理得 2x+y-2=0.故 y=-2x+2.而 a+b=(x+1,y+1),故|a+b|= ?x+1?2+?y+1?2 = ?x+1?2+?2-2x+1?2 = 5x2-10x+10 = 5?x-1?2+5,故当 x=1 时,|a+b|取得最小值,最小值为 5, 故选 A.

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方法二 由 a⊥b,可得 2(x-1)+y=0,整理得 2x+y-2= 0.而 a+b=(x+1,y+1),故|a+b|= ?x+1?2+?y+1?2 ,其几何 意义为点 P(x,y)到 M(-1,-1)的距离,故|a+b|的最小值为点 |2×?-1?-1-2| M(-1, -1)到直线 l: 2x+y-2=0 的距离 d= = 2 2 2 +1 5.故选 A.
【答案】 A

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【典例 5】 (向量的夹角) (1)(2014· 唐山训练)已知向量 a=(-2,-1),b=(λ,1),若 a 与 b 的夹角为钝角,则 λ 的取值范围是________. 【答题模板】 本题主要考查向量的数量积与夹角.把 a 与 b 的夹角为钝角转化为 a· b<0 且 a 与 b 不反向,考生需注意不能 忽略 a 与 b 不反向.

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【解析】 因为 a 与 b 的夹角为钝角,所以 a· b<0,且 a 与 b 1 不反向,所以-2λ-1<0 且 λ≠2,解得 λ∈(-2,2)∪(2,+∞).
【答案】 1 (-2,2)∪(2,+∞)

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→ → (2)(2014· 烟台强化训练)已知向量OA=(1,0), OC=(-1, 3), → → → CB=(cosα,sinα),则OA与OB的夹角的取值范围是( π 5π A.[ , ] 2 6 2π 5π C.[ 3 , 6 ] π 2π B.[ , ] 2 3 π 2π D.[6, 3 ] )

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【解析】

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→ → → 设 B(x,y),则OB=OC+CB=(-1, 3)+(cosα,sinα)=(x,
? ?x=cosα-1, y),整理得? ? ?y=sinα+ 3,

即得到(x+1)2+(y- 3)2=1,这是一

π 个以点(-1, 3)为圆心,半径为 1 的圆,且∠BOC= ,作出图 6 π → → 像如图所示,从图像可以看出,OA与OB的夹角的取值范围是[2, 5π ],故选 A. 6

【答案】
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A
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(3)(2014· 安徽名校联考)已知向量 a, b 满足 a⊥b, |a+b|=t|a|, 2π 若 a+b 与 a-b 的夹角为 3 ,则 t 的值为( A.1 C.2 B. 3 D.3 )

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【答题模板】

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解决本题时,有两种解法:(通解)利用两向

量垂直得到|a+b|=|a-b|,结合已知条件,利用向量的夹角公式, 得到关于 t 的等式, 即可求出 t 的值; (优解)根据题意, 作出图形, 再由所给条件及三角形知识,即可求出 t 的值.

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【解析】 方法一

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(通解)由 a⊥b,知 a· b=0 且|a+b|=|a-

b|.∵|a+b|=t|a|,∴a2+2a· b+b2=t2a2,b2=(t2-1)a2.又 a+b 与 a a2-b2 2π 1 -b 的夹角为 3 ,∴ =-2,将 b2=(t2-1)a2,代入整 |a+b|· |a-b| 理可得 t2=4.∵t>0,∴t=2,故选 C.

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方法二

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(优解)如图,∵a⊥b,∴四边形 ABCD 为矩形.又 a 2π π ,∴∠ACB= ,故在 Rt△ACB 中,AC= 3 6

+b 与 a-b 的夹角为

2AB,即|a+b|=2|a|,t=2,故选 C.

【答案】

C

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【对点练 5】 (1)(2014· 山东)已知向量 a=(1, 3),b=(3, π m).若向量 a,b 的夹角为6,则实数 m=( A.2 3 C.0 B. 3 D.- 3 )

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【解析】 依据向量数量积的定义和坐标运算列出关于 m 的 方程求解. ∵a· b=(1, 3)· (3,m)=3+ 3m, π 又 a· b= 1 +? 3? × 3 +m ×cos6,
2 2 2 2

π ∴3+ 3m= 1 +? 3? × 3 +m ×cos . 6
2 2 2 2

∴m= 3.

【答案】 B
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第二部分

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(2)(2014· 九江二次模拟)已知非零向量 a,b 满足|a+b|=|a- b|=3|b|,则 cos〈a,b-a〉=( 2 2 A. 3 2 2 C.- 3 1 B. 3 1 D.-3 )

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【解析】

方法一

(通解)因为非零向量 a,b 满足|a+b|=
? b=0, ?a· 解得? ? ?|a|=2 2|b|.

2 2 ? ??a+b? =?a-b? , |a-b|=3|b|,所以? 2 2 ? ? a + b ? = 9 b , ?

a· ?b-a? -|a|2 |a| 2 2|b| 所以 cos 〈a, b-a〉 = = =-3|b|=- 3|b| = |a||b-a| |a|×3|b| 2 2 - 3 ,故选 C.

第61页

第二部分

第3讲

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方法二 (巧解)把非零向量 a,b 的起点移动同一起点 A,依 题意,得四边形 ABCD 为矩形,如图所示.

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第二部分

第3讲

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设 a,b-a 的夹角为 α,则 α=π-∠ABD,因为 sin∠ABD |b| 1 = =3,且∠ABD 为锐角,所以 cos∠ABD= 1-sin2∠ABD |b-a| 2 2 = ,所以 cos〈a,b-a〉=cos(π-∠ABD)=-cos∠ABD= 3 2 2 - 3 ,故选 C.

【答案】 C

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第二部分

第3讲

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→ (3)(2014· 新课标全国Ⅰ)已知 A, B, C 为圆 O 上的三点, 若AO 1 → → → → = (AB+AC),则AB与AC的夹角为________. 2

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第二部分

第3讲

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【解析】

利用向量加法的法则求解.

→ 1 → → ∵AO=2(AB+AC), ∴点 O 是△ABC 中边 BC 的中点. → → ∴BC 为直径,根据圆的几何性质有〈AB,AC〉=90° .

【答案】

90°

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第二部分

第3讲

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1.起点统一好加减,不能忘却两法则! 2.已知 A,B,C 是平面内三个不相同的点,O 是平面内任 → → → 意一点,则向量OA,OB,OC的终点 A,B,C 共线的充要条件是 → → → 存在实数 λ,μ,使得OC=λOA+μOB,且 λ+μ=1.

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第二部分

第3讲

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3 .几何图形中向量的数量积问题是近几年高考的又一热 点.解决此类问题的常用方法是:①利用已知条件,结合平面几 何知识及向量数量积的基本概念直接求解(较易);②将条件通过 向量的线性运算进行转化,再利用①求解(较难);③建系,借助 向量的坐标运算,此法对解含垂直关系的问题往往有很好效果.

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第二部分

第3讲

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4.利用向量数量积求长度问题是数量积的重要应用,要掌 握此类问题的处理方法. ①|a|2=a2=a· a; ②|a± b|2=(a± b)2=a2± 2a· b+b2; ③若 a=(x,y),则|a|= x2+y2.

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第二部分

第3讲

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5.求平面向量夹角的方法.

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第二部分

第3讲

高考调研
调研二 不等式

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【典例 6】

(不等式的性质与解法)

(1)(2014· 山东)已知实数 x,y 满足 ax<ay(0<a<1),则下列关系 式恒成立的是( 1 1 A. 2 > x +1 y2+1 C.sinx>siny ) B.ln(x2+1)>ln(y2+1) D.x3>y3

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第二部分

第3讲

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【解析】 先依据指数函数的性质确定出 x,y 的大小,再逐 一对选项进行判断.因为 0<a<1,ax<ay,所以 x>y.采用赋值法判 1 断,A 中,当 x=1,y=0 时, <1,A 不成立.B 中,当 x=0, 2 y=-1 时,ln1<ln2,B 不成立.C 中,当 x=0,y=-π 时,sinx =siny=0,C 不成立.D 中,因为函数 y=x3 在 R 上是增函数, 故选 D.

【答案】

D

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第二部分

第3讲

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? ?x,x≥0, (2)(2014· 南京三模)已知函数 f(x)=? 2 ? ?x ,x<0,

则关于 x 的不

等式 f(x2)>f(3-2x)的解集是________.

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第二部分

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【解析】
2

因为 x2≥0,所以 f(x2)=x2.当 3-2x<0 时,不等
2 2

3 式 f(x )>f(3-2x),即为 x >(3-2x) ,解得2<x<3;当 3-2x≥0 时, 3 不等式 f(x )>f(3-2x),即为 x >3-2x,解得 1<x≤ 或 x<-3,综 2
2 2

上可得原不等式的解集为(-∞,-3)∪(1,3).

【答案】

(-∞,-3)∪(1,3)

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第二部分

第3讲

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ax-1 1 (3)已知关于 x 的不等式 <0 的解集是(-∞, -1)∪(- , 2 x+1 +∞),则 a=________.

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第二部分

第3讲

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ax-1 【解析】 方法一 <0?(ax-1)(x+1)<0,又其解集为 x+1 1 (-∞,-1)∪(-2,+∞),可知 a<0,故(ax-1)(x+1)<0,∴(x 1 1 1 -a)(x+1)>0,结合原不等式的解集,有a=-2,∴a=-2. ax-1 1 方法二 ∵ <0 的解集是(-∞,-1)∪(-2,+∞),∴ x+1 1 -2a-1 ax-1 1 x=- 是方程 =0 的根,∴ =0,得 a=-2. 2 1 x+1 -2+1 【答案】 -2
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第二部分

第3讲

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【对点练 6】 (1)若 x>y,a>b,则在①a-x>b-y;②a+x>b a b +y;③ax>by;④x-b>y-a;⑤ y> x这五个不等式中,恒成立的 所有不等式的序号是________.

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第二部分

第3讲

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【解析】

令 x=-2,y=-3,a=3,b=2,

符合题设条件 x>y,a>b, ∵a-x=3-(-2)=5,b-y=2-(-3)=5, ∴a-x=b-y,因此①不成立. 又∵ax=-6,by=-6, ∴ax=by,因此③也不成立. a 3 b 2 又∵y= =-1,x= =-1, -3 -2

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第二部分

第3讲

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a b ∴ = ,因此⑤不成立. y x 由不等式的性质可推出②④成立.

【答案】

②④

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第二部分

第3讲

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? ?x+2c,0<x<c, (2)(2014· 无锡市联考)已知函数 f(x)=?log1 x+2,c≤x<1, ? ? 2 5 且 f((1-c) )=4,则关于 x 的不等式 f(x)<log1 (cx)+x 的解集为 2
2

________.

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第二部分

第3讲

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【解析】
2

当 x<1 时,log1 x>0,故 log1 x+2>2,于是必有
2 2

5 1 1 0<(1-c) <c, 且(1-c) +2c= , 解得 c= .当 0<x< 时, x+1<log1 4 2 2 2
2

1 1 1 1 1 (2x)+x,即 log x>0=log 1,故 0<x<2;当2≤x<1 时,log1 x+ 2 2 2 2<log
1 2

1 ( x)+x,此时不等式无解.综上所述,所求不等式的解 2

1 集为(0,2).

【答案】
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1 (0,2)
第二部分 第3讲

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(3)(2013· 安 徽 ) 已 知 一 元 二 次 不 等 式 f(x)<0 的 解 集 为
? 1? ? ? ?x|x<-1或x> ?,则 2? ? ? ?

f(10x)>0 的解集为(

)

A.{x|x<-1 或 x>-lg2} B.{x|-1<x<-lg2} C.{x|x>-lg2} D.{x|x<-lg2}

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第二部分

第3讲

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【解析】
x

1 依题意知 f(x)>0 的解为-1<x< , 2

1 1 故-1<10 <2,解得 x<lg2=-lg2.

【答案】

D

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第二部分

第3讲

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【典例 7】 (基本不等式) (1)(2014· 山东六校联考)已知正实数 x,y,z 满足 x2+y2+z2 =4,则 2xy+yz 的最大值为________.

第83页

第二部分

第3讲

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【解析】 xy+2

2 2 1 2 2 由于 4=x +y +z =(x + y )+( y +z )≥2 3 3
2 2 2 2

2 3

1 2 3 4 3yz= 3 ( 2xy+yz),∴ 2xy+yz≤2 3=2 3,当且仅 3

? ?x= 6y, 3 ? 当? 3 ? z= 3 y ? ?

时取等号,故 2xy+yz 的最大值为 2 3.

【答案】 2 3
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第二部分

第3讲

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3 4 (2)(2014· 潍坊五校期中考试)曲线 + =1(x>0,y>0)上的点 P x y 到直线 l:3x+4y=1 的距离的最小值为________.

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第二部分

第3讲

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3 4 【解析】 设 P(x,y),则由题意可知 + =1.故点 P 到直线 x y |3x+4y-1| |3x+4y-1| 3x+4y=1 的距离 d= .设 z=3x+4y=(3x 2 2 = 5 3 +4 3 4 y x x y y +4y)( + )=25+12( + ).因为 x>0,y>0,所以 >0, >0,故 x y x y y x x x +y≥2 y x y x 即 x=y 时等号成立). 所以 z≥25 x×y=2(当且仅当x=y,

|3x+4y-1| 48 +12×2=49,故 3x+4y-1≥48,所以 d= ≥ ,即 5 5
第二部分 第3讲

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48 点 P 到直线 l:3x+4y=1 的距离最小值为 . 5
【答案】 48 5

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第二部分

第3讲

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(3)(2014· 南京三模)设二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a, b, c 为常 数)的导函数为 f′(x).对任意 x∈R,不等式 f(x)≥f′(x)恒成立, b2 则 2 2的最大值为________. a +c

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第二部分

第3讲

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【解析】 由二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c 为常数)得 a≠0,其导函数为 f′(x)=2ax+b.不等式 f(x)≥f′(x)即为 ax2+(b - 2a)x + c - b≥0
? ?a>0, ? 2 ? ? b - 2 a ? -4a?c-b?≤0, ?

对 任 意

x ∈ R

恒 成 立 , 则

则 0≤b2≤4ac-4a2,所以 c≥a>0,则

4c 4ac-4a2 a -4 c b2 c a≥1,所以a2+c2≤ a2+c2 = c 2.令 t=a-1≥0,当 t=0 时, 1+?a?
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第二部分

第3讲

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b2 b2 4t 4t = 0 ;当 t>0 时, 2 2 ≤ = = a2+c2 a +c 1+?t+1?2 t2+2t+2

4 2 t+ t +2

4 c ≤ = 2 2 - 2 ,当且仅当a = 2 + 1 时取等号,综上可得 2 2+2 b2 2 2的最大值为 2 2-2. a +c

【答案】 2 2-2

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第二部分

第3讲

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【对点练 7】 (1)已知 x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则 x+2y 的最小值是( A.3 9 C.2 ) B.4 11 D. 2

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第二部分

第3讲

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【解析】

方法一 (拼凑):

∵x+2y+2xy=8,∴(x+1)(2y+1)=9. 又 x>0,y>0,∴x+2y=(x+1)+(2y+1)-2 ≥2 ?x+1??2y+1?-2=6-2=4. 当且仅当 x=2,y=1 时取“=”号. 方法二 (消元): 8-x ∵x+2y+2xy=8,∴y= >0,∴-1<x<8. 2x+2

第92页

第二部分

第3讲

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8-x 9 ∴x+2y=x+2· =(x+1)+ -2 2x+2 x+1 ≥2 9 ?x+1?· -2=4. x+1

9 当且仅当 x+1= 时“=”成立,此时 x=2,y=1. x+1 方法三 (轮称法则):

在 x+2y+2xy=8 中,x 与 2y 互换位置等式不变,x+2y 也 不变.∴可以应用轮称法则.

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第二部分

第3讲

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令 x=2y,得 2x+x2=8. ∵x>0,∴x=2,此时 x+2y=4.

【答案】

B

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第二部分

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π sin2α (2)(2014· 潍坊模拟)若 α∈(0, ),则 2 2 的最大值为 2 sin α+4cos α ________.

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第二部分

第3讲

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sin2α 2sinαcosα 2tanα 【解析】 因为 2 ,所 2 = 2 2 = 2 sin α+4cos α sin α+4cos α tan α+4 2tanα 2 1 以 2 = ≤2(当且仅当 tanα=2 时,等号成立),所 4 tan α+4 tanα+tanα 1 以原式的最大值为 . 2

【答案】

1 2

第96页

第二部分

第3讲

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(3)(2014· 合肥质检)关于 x 不等式 ax2-|x+1|+3a≥0 的解集 为 R,则实数 a 的取值范围是________.

第97页

第二部分

第3讲

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【解析】

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因为不等式 ax2-|x+1|+3a≥0 的解集为(-∞,

+∞),即 ax2-|x+1|+3a≥0 在 R 上恒成立,将参数 a 分离得 |x+1| |x+1| a≥ 2 = = x +3 ?x+1?2-2?x+1?+4 1 ,所以|x 2 ? x + 1 ? 4 |x+1|+ - |x+1| |x+1|

2?x+1? 4 4 4 +1|+ - 最小应为 |x+1|+ -2. 又 |x+1|+ |x+1| |x+1| |x+1| |x+1| -2≥2,所以 4 |x+1|+ -2 |x+1|
【答案】
第98页

1

1 1 ≤2,所以 a∈[2,+∞).

1 [2,+∞)

第二部分

第3讲

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(4)(2014· 苏锡常镇四市调研)在平面直角坐标系 xOy 中, 已知 点 P(3,0)在圆 C:x2+y2-2mx-4y+m2-28=0 内, 动直线 AB 过 点 P 且交圆于 A,B 两点,若△ABC 的面积的最大值为 16,则实 数 m 的取值范围为________.

第99页

第二部分

第3讲

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【解析】

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因为点 P(3,0)在圆 C:(x-m)2+(y-2)2=32 内, ①.设圆心 C

所以(3-m)2+(0-2)2<32, 解得 3-2 7<m<3+2 7

1 到直线 AB 的距离为 d,则 d∈(0,|PC|],△ABC 的面积为2|AB|d 32-d +d 1 2 2 2 = ×2 32-d ×d= ?32-d ?d ≤ =16,当且仅当 d 2 2 =4 时取等号,所以 4≤|PC|= ?m-3?2+4,解得 m≥3+2 3或 m≤3-2 3,与①取交集可得实数 m 的取值范围是[3+2 3,3+ 2 7)∪(3-2 7,3-2 3].
2 2

【答案】 [3+2 3,3+2 7)∪(3-2 7,3-2 3]
第100页

第二部分

第3讲

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1.一般在数的大小比较中有如下几种方法. (1)作差比较法和作商比较法,前者是与零比较大小,后者是 与 1 比较大小; (2)找中间量,往往找 1 或 0; (3)计算所有数的值; (4)选用数形结合的方法,画出相应的图形; (5)利用函数的单调性等.

第101页

第二部分

第3讲

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2.解一元二次不等式的步骤. (1)将二次项系数化为正数; (2)解相应的一元二次方程; (3)根据一元二次方程的根,结合不等号的方向画图; (4)写出不等式的解集. 3.解不等式一定要同解变形!分段函数形成的不等式,分 段解,再取并集;解高次不等式时,“穿针引线”奇穿偶不穿.

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第二部分

第3讲

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4.在运用基本不等式求最值时,要把握三个方向,即 “一 正——各项都是正数;二定——和或积为定值;三相等——等号 能否取得”,求最值时,为了创造条件使用基本不等式,需要对 式子进行恒等变形.运用基本不等式求最值的焦点在于凑配 “和”与“积”,并且在凑配过程中就应考虑等号成立的条件.

第103页

第二部分

第3讲

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注意:“1”的代换,为使用基本不等式创造条件. a+b ①若 a+b=m,则 m =1; ②x+(1-x)=1; ③sin2x+cos2x=1.

第104页

第二部分

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5.要记住几个常见的有关不等式恒成立的等价命题. (1)a>f(x)恒成立?a>f(x)max; (2)a<f(x)恒成立?a<f(x)min; (3)a>f(x)有解?a>f(x)min; (4)a<f(x)有解?a<f(x)max.

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第二部分

第3讲

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调研三 推理与证明

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【典例 8】

(归纳法)

(1)(2014· 浙江温州八校联考 ) 用火柴棒摆“金鱼”,如图所 示:

按照上面的规律,第 n 个“金鱼”需要火柴棒的根数为___.

第106页

第二部分

第3讲

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【解析】 第一个图中有 8 根火柴, 以后依次增加 6 根火柴, 即构成首项为 8,公差为 6 的等差数列,所以第 n 个“金鱼”图 需要火柴棒的根数为 6n+2.

【答案】

6n+2

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第二部分

第3讲

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x (2)(2014· 陕西)已知 f(x)= ,x≥0,若 f1(x)=f(x),fn+1(x) 1+x =f(fn(x)),n∈N*,则 f2 014(x)的表达式为________.

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第二部分

第3讲

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【解析】 观察分析、归纳推理.

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x 1+x x x f1(x)= ,f (x)= = , x 1+x 2 1+2x 1+ 1+x x 1+2x x f3(x)= = ,?, x 1+3x 1+ 1+2x x 由数学归纳法,得 f2 014(x)= . 1+2 014x x 【答案】 f2 014(x)= 1+2 014x
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第二部分

第3讲

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(3)(2013· 湖北 ) 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种 n?n+1? 多边形数. 如三角形数 1,3,6,10, ?, 第 n 个三角形数为 2 = 1 2 1 n + n.记第 n 个 k 边形数为 N(n,k)(k≥3),以下列出了部分 k 2 2 边形数中第 n 个数的表达式:

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第二部分

第3讲

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1 2 1 N(n,3)= n + n, 2 2 N(n,4)=n2, 3 2 1 N(n,5)= n - n, 2 2 N(n,6)=2n2-n,

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三角形数 正方形数 五边形数 六边形数 ??

可以推测 N(n,k)的表达式,由此计算 N(10,24)=________.

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第二部分

第3讲

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【解析】 1 2 1 由 N(n,3)=2n +2n,

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2 2 0 N(n,4)=2n +2n, 3n2 -1 N(n,5)= 2 + 2 n, 4 2 -2 N(n,6)=2n + 2 n, k k 2 推测 N(n,k)=(2-1)n -(2-2)n,k≥3. 从而 N(10,24)=1 000.

【答案】 1 000
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第二部分

第3讲

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【对点练 8 】

a+2b (1)(2014· “ 北约 ” 自主招生 ) 设 f( )= 3

f?a?+2f?b? ,且 f(1)=1,f(4)=7,则 f(2 014)=________. 3

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第二部分

第3讲

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4+2×1 f?4?+2f?1? 【解析】 由 f(1)=1, f(4)=7, 得 f(2)=f( )= 3 3 1+2×4 =3,f(3)=f( )=5.由数学归纳法可推导 f(n)=2n-1(n∈ 3 N*),∴f(2 014)=2×2 014-1=4 027.

【答案】

4 027

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第二部分

第3讲

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(2)(2014· 武昌调研)如图,在圆内画 1 条线段,将圆分成 2 部 分;画 2 条相交线段,将圆分割成 4 部分;画 3 条线段,将圆最 多分割成 7 部分;画 4 条线段,将圆最多分割成 11 部分,那么,

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第二部分

第3讲

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①在圆内画 5 条线段,将圆最多分割成________部分; ②在圆内画 n 条线段,将圆最多分割成________部分.

第116页

第二部分

第3讲

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【解析】 ①设在圆内画 n 条线段将圆最多可分成 an 部分, 则 a1=2,a2=4,a3=7,a4=11,所以 a5=a4+5=11+5=16, 即在圆内画 5 条线段,将圆最多分割成 16 部分. ②因为 an-an-1=n,an-1-an-2=n-1,?,a3-a2=3,a2 -a1=2,所以将上述式子累加得 an-a1=2+3+?+n,则 an=2 n?n+1? +2+3+?+n=1+ . 2
n?n+1? 【答案】 ①16 ②1+ 2

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第二部分

第3讲

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【典例 9】 (类比法) 如图所示,面积为 S 的平面凸四边形的第 i 条边的边长记为 ai(i=1,2,3,4),此四边形内任一点 P 到第 i 条边的距离记为 hi(i=
4 a1 a2 a3 a4 2S 1,2,3,4),若 1 = 2 = 3 = 4 =k,则∑ (ihi)= k .类比以上性质,体 i=1

积为 V 的三棱锥的第 i 个面的面积记为 Si(i=1,2,3,4),此三棱锥 S1 S2 S3 内任一点 Q 到第 i 个面的距离记为 Hi(i=1,2,3,4), 若1=2=3=
4 S4 =k,则∑ (iHi)值为( 4 i=1
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)
第二部分 第3讲

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4V A. k 2V C. k

3V B. k V D. k

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第二部分

第3讲

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【解析】 在平面四边形中,连接 P 点与各个顶点,将其分 成四个小三角形,根据三角形面积公式,得 1 S=2(a1h1+a2h2+a3h3+a4h4) 1 =2(kh1+2kh2+3kh3+4kh4) k4 = ∑ (ihi). 2i=1 2S 所以∑ (ihi)= . k i=1
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4

第二部分

第3讲

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类似地, 连接 Q 点与三棱锥的四点, 将其分成四个小三棱锥, 则有 1 V= (S1H1+S2H2+S3H3+S4H4) 3 1 =3(kH1+2kH2+3kH3+4kH4) k =3(H1+2H2+3H3+4H4) k4 = ∑ (iHi), 3i=1
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第二部分

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3V ∴∑ (iHi)= . k i=1
4

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【答案】

B

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【对点练 9】 (1)(2014· 荆州质检Ⅱ)若 O 为△ABC 内部任意 AO S四边形ABOC 一点,连接 AO 并延长交对边于 A′,则 = ,同理 AA′ S△ABC AO 连接 BO, CO 并延长, 分别交对边于 B′, C′, 这样可以推出 AA′ BO CO + + =________;类似地,若 O 为四面体 ABCD 内部 BB′ CC′ 任意一点,连接 AO,BO,CO,DO 并延长,分别交相对的面于 AO BO CO DO A′, B′, C′, D′, 则 + + + =________. AA′ BB′ CC′ DD′
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AO AA′-OA′ 【解析】 根据面积公式, 在△ABC 中, = AA′ AA′ OA′ S△OBC S四边形ABOC AO BO CO =1- =1- = ,所以 + + =3 AA′ S△ABC S△ABC AA′ BB′ CC′ S△OBC+S△OAC+S△OAB S△ABC - =3- =2;根据体积分割方法,同理 S△ABC S△ABC AO BO CO DO 可得在四面体 ABCD 中, + + + =4- AA′ BB′ CC′ DD′ VO-ABD+VO-ACD+VO-ABC+VO-BCD VA-BCD =4- =3. VA-BCD VA-BCD
【答案】 2 3
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第二部分

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(2)设直角三角形的两条直角边的长分别为 a, b, 斜边长为 c, 斜边上的高为 h,则有 ①a2+b2>c2+h2; ②a3+b3<c3+h3; ③a4+b4>c4+h4; ④a5+b5<c5+h5. 其中正确结论的序号是________;进一步类比得到的一般结 论是________.

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第二部分

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【解析】 在直角三角形中,a=csinA,b=ccosA,ab=ch, 故 h=csinAcosA. an+bn=cn(sinnA+cosnA), an + bn - cn - hn = cn(sinnA + cosnA - 1 - sinnAcosnA) = cn(sinnA -1)· (1-cosnA)<0, 有 an+bn<cn+hn. 故填②④ an+bn<cn+hn(n∈N*).
【答案】 ②④ an+bn<cn+hn(n∈N*)

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第二部分

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1.综合分析数学归纳,正难则反遍地开花. 2.归纳推理的一般步骤. (1)通过观察个别情况发现相同的性质; (2)推出一个明确表述的一般性结论.

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3.类比推理的一般步骤. (1)找出两类事物之间的相似性或一致性; (2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质, 得出一个明 确的命题(猜想),但结论不一定正确,有待进一步证明.

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第二部分

第3讲


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