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高中数学平面几何例题


必修 2
一、平面几何 (一)直线方程 (1)点斜式: y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ;适用于斜率存在的直线 (2)斜截式: y ? kx ? b ;适用于斜率存在的直线 注: b 为直线在 y 轴上的截距,截距不是距离,截距可正,可负,可为零 (3)两点式:

x ? x1 y ? y1 ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )

;适用于斜率存在且不为零的直线 x2 ? x1 y2 ? y1

(4)截距式:

x y ? ? 1 ;适用于斜率存在,且不为零且不过原点的直线 a b

(5)一般式: Ax ? By ? C ? 0 ( A, B 不同时为 0 ) (6)特殊直线方程 ①斜率不存在的直线(与 y 轴垂直) x ? x0 ;特别地, y 轴: x ? 0 : ②斜率为 0 的直线(与 x 轴垂直) y ? y0 ;特别地, x 轴: y ? 0 : ③在两轴上截距相等的直线: (Ⅰ) y ? ? x ? b ; (Ⅱ) y ? kx 在两轴上截距相反的直线: (Ⅰ) y ? x ? b ; (Ⅱ) y ? kx 在两轴上截距的绝对值相等的直线: (Ⅰ) y ? ? x ? b ; (Ⅱ) y ? x ? b ; (Ⅲ) y ? kx 3、平面上两直线的位置关系及判断方法 (1) l1 : y ? k1 x ? b1 ; l2 : y ? k2 x ? b2 ①平行: k1 ? k2 且 b1 ? b2 (注意验证 b1 ? b2 ) ③相交: k1 ? k2 特别地,垂直: k1k2 ? ?1 ②重合: k1 ? k2 且 b1 ? b2

(2) l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0; l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 ①平行: A1 B2 ? A2 B1 且 A1C2 ? A2C1 (验证) ②重合: A1 B2 ? A2 B1 且 A1C2 ? A2C1 ③相交: A1 B2 ? A2 B1 特别地,垂直: A1 A2 ? B1B2 ? 0

(3)与直线 Ax ? By ? C ? 0 平行的直线可设为: Ax ? By ? m ? 0 与直线 Ax ? By ? C ? 0 垂直的直线可设为: Bx ? Ay ? n ? 0 4、其他公式 (1)平面上两点间的距离公式: (2)线段中点坐标公式 (3)三角形重心坐标公式

(4)点 P( x0 , y0 ) 到直线 l : Ax ? By ? C ? 0 的距离公式 (5)两平行线 l1 : Ax ? By ? C1 ? 0; l2 : Ax ? By ? C2 ? 0(C1 ? C2 ) 间的距离: (6)点 A 关于点 P 的对称点 B 的求法:点 P 为 A, B 中点 (7)点 A 关于直线 l 的对称点 B 的求法:利用直线 AB 与直线 l 垂直以及 AB 的中点在直线 l 上,列出 方程组,求出点 B 的坐标。 2、直线 1、 直线的斜率与倾斜角 (1)斜率①两点的斜率公式: P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,则 k PQ ? (2)直线的倾斜角范围: ?0 ,180 ?
? ?

y2 ? y1 ( x2 ? x1 ) ②斜率的范围: k ? R x2 ? x1

?
?

(3)斜率与倾斜角的关系: k ? tan ? (? ? 90 ) 注: (1)每条直线都有倾斜角,但不是每条直线都有斜率; (2)特别地,倾斜角为 0 的直线斜率为 0 ;倾斜角为 90 的直线斜率不存在。 (二) 、圆 1、圆的方程 (1)圆的标准方程: ( x ? a) ? ( y ? b) ? r ,其中 (a, b) 为圆心, r 为半径
2 2 2

?

?

(2)圆的一般方程: x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0( D ? E ? 4F ? 0) ,其中圆心为 (?
2 2 2 2

D E , ? ) ,半径 2 2



1 D 2 ? E 2 ? 4 F (只有当 x 2 , y 2 的系数化为 1 时才能用上述公式) 2

注意:已知圆上两点求圆方程时,注意运用圆心在这两点的垂直平分线上这个条件可简化计算。 2、直线与圆的位置关系 (1) 直 线 l : Ax ? By ? C ? 0 , 圆 C : ( x? a) ? ( y? b) ? r 记 圆 心 C (a, b) 到 直 线 l 的 距 离 ,
2 2 2

d?

Aa ? Bb ? C A2 ? B 2

①直线与圆相交,则 0 ? d ? r 或方程组的 ? ? 0 ②直线与圆相切,则 d ? r 或方程组的 ? ? 0 ③直线与圆相离,则 d ? r 或方程组的 ? ? 0 (2)直线与圆相交时,半径 r ,圆心到弦的距离 d ,弦长 l ,满足: l ? 2 r ? d
2 2

(3)直线与圆相切时, ①切线的求法: (Ⅰ)已知切点(圆上的点)求切线,有且只有一条切线,切点与圆心的连线与切线垂直; (Ⅱ)已知切线斜率求切线,有两条互相平行的切线,设切线方程为 y ? kx ? b ,利用圆心到切线的距 离等于半径列出方程求出 b 的值; (Ⅲ)已知过圆外的点 P( x0 , y0 ) 求圆 C : ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 的切线,有两条切线,若切线的斜率
2 2 2

存在,设切线方程为: y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,利用圆心到切线的距离等于半径列出方程求出 k 的值;若

切线的斜率不存在,则切线方程为 x ? x0 ,验证圆心到切线距离是否等于半径。 ②由圆外点 P( x0 , y0 ) 向圆 C : ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 引切线,记 P, C 两点的距离为 d ,则切线长
2 2 2

l ? d 2 ? r2
(4) 直线与圆相离时, 圆心到直线距离记为 d , 则圆上点到直线的最近距离为 d ? r , 最远距离为 d ? r 3、两圆的位置关系 圆 C1 : ( x ? a1 ) ? ( y ? b1 ) ? r1
2 2 2

x , 圆 C2 : (?

2 2

a )?

(? y

2 2

2 b )?, 两 圆 圆 心 距 离 2 r

d ? (a1 ? a2 ) 2 ? (b1 ? b2 ) 2
(1)两圆相离,则 d ? r1 ? r2 (2)两圆相外切,则 d ? r1 ? r2
2 2

(3)两圆相交,则 r1 ? r2 ? d ? r1 ? r2
2 2

注:圆 C1 : x ? y ? D1 x ? E1 y ? F1 ? 0 ,圆 C2 : x ? y ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0 相交,则两圆相交弦方 程为: ( D1 ? D2 ) x ? ( E1 ? E2 ) y ? ( F1 ? F2 ) ? 0 (4)两圆相内切,则 d ? r1 ? r2 (5)两圆内含,则 0 ? d ? r1 ? r2 一、圆锥曲线 (Ⅰ)椭圆 (一)定义 1、第一定义: 平面上到定点 F1 , F2 的距离的和等于常数(大于 F1 F2 )的点的轨迹叫做椭 圆。 即 {P PF1 ? PF2 ? 2a(2a 为常数,且 2a ? F1 F2 )} 说明: (1)若定义中“常数等于 F1 F2 ” ,则动点的轨迹为 线段 F1 F2 (包括端点) ; (2)若定义中“常数小于 F1 F2 ” ,则动点的轨迹不存在。 2、第二定义:平面上到一个定点 F 和到一条定直线 l ( F 不在 l 上)的距离之比为常数 e ( 0 ? e ? 1 ) 的点的轨迹是椭圆。即 {P 特别地,当 d ? 0 时,两圆为同心圆

PF ? e(0 ? e ? 1)} ( d 为点 P 到直线 l 的距离) d

(二)椭圆的标准方程: 1、椭圆的标准方程(中心在原点,焦点在坐标轴上) : 焦点在 x 轴上时:

x2 y 2 y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ;焦点在 y 轴上时: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a2 b a b
2 2

说明:如何判断椭圆的焦点在哪个坐标轴上? x , y 哪个项的分母大,焦点就在哪个轴上 2、椭圆标准方程的求法; ①定义法:利用椭圆的定义先求出 a ,再求 b ,从而得方程; ②待定系数法: (Ⅰ)定位:确定焦点在那个轴上,以便确定方程形式;
2

(Ⅱ)定形:根据条件求出 a , b 。 说明: (1)若根据条件无法确定焦点所在的轴,则需分情况讨论。 (2)若已知椭圆经过两点,在求椭圆标准方程的时候,可设椭圆方程的一般式:

2

2

mx 2 ? ny 2 ? 1(m ? 0, n ? 0, m ? n) 。
(三)椭圆的几何性质: 标准方程

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

y 2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

图形

点的范围

横坐标 纵坐标

?a ? x ? a
?b ? y ? b

?b ? x ? b ?a ? y ? a

对称性

对称轴 对称中心

x 轴, y 轴
原点

焦点坐标 顶点坐标

F1 (?c, 0), F2 (c, 0) A1 (?a, 0), A2 (a, 0) B1 (0, ?b), B2 (0, b)

F1 (0, ?c), F2 (0, c) A1 (0, ?a), A2 (0, a) B1 (?b, 0), B2 (b, 0) A1 A2

长轴

线段 长度

2a
长半轴长

a 称为
短轴 线段 长度

B1 B2

2b
短半轴长

b 称为
焦距 线段 长度

F1 F2

2c
b2 ? a 2 ? c 2

a, b, c 的关系
准线 方程

x??
准线间距离

a2 c 2 a2 c

y??

a2 c

离 心 率

公式 范围 对应图形关系 焦准距

c a 0 ? e ?1 e?

e 越接近于 0 ,椭圆越圆;越接近于1 ,椭圆越扁。
b2 c
2 b2 a
PF1 ? a ? ey0 PF2 ? a ? ey0

通径

焦半径

公式

PF1 ? a ? ex0 PF2 ? a ? ex0

范围

最大值为 a ? c ;最小值为 a ? c 。

说明: (1)椭圆的焦点总在实轴上; (2)椭圆的准线总是垂直于实轴所在的直线。 (3)设椭圆的焦点为 F1 , F2 ,过 F1 的直线交椭圆与 A, B 两点,则三角形 ABF2 的周长为 4a ; (4)设椭圆的焦点为 F1 , F2 , P 为椭圆上任意一点( P 不在长轴上),则三角形 PF1 F2 的周长为

2a ? 2c ;若 ?F1PF2 ? ? ,则三角形 PF1 F2 的面积为 b 2 tan
的面积为 b 。
2

?
2

;特别地,当 ? ? 90 时,三角形 PF1 F2
0

(5)设椭圆的焦点为 F1 , F2 ,若在椭圆上存在点 P 使得 ?F1 PF2 ? 90 ,则 c ? b ;若在椭圆上存
0

在点 P 使得 ?F1 PF2 为钝角,则 c ? b 。 (Ⅱ)双曲线 (一)定义 1、第一定义:平面上到定点 F1 , F2 的距离的差的绝对值等于常数(小于 F1 F2 )的点的轨迹叫做双曲线。 即 {P PF1 ? PF2 ? 2a (2a 为常数,且 0 ? 2a ? F1 F2 )} 说明: (1)若定义中“常数等于 F1 F2 ” ,则动点轨迹是以 F1 , F2 为端点的两条射线(包括端点) ; (2)若定义中“常数为零” ,则动点轨迹为线段 F1 F2 的垂直平分线; (3)若定义中“常数大于 F1 F2 ”则动点轨迹不存在; (4)若定义中去掉“绝对值” ,则动点轨迹为双曲线的一支。 2、第二定义:平面上到一个定点 F 和到一条定直线 l ( F 不在 l 上)的距离之比为常数 e ( e ? 1 )的 点的轨迹是双曲线。即 {P

PF ? e(e ? 1)} ( d 为点 P 到直线 l 的距离) d

(二)双曲线的标准方程(中心在原点,焦点在坐标轴上) :

焦点在 x 轴上时:

x2 y 2 y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) ;焦点在 y 轴上时: 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) a2 b a b
2 2

说明:如何判断双曲线的焦点在哪个坐标轴上? x , y 哪个项的分母为正,焦点就在哪个轴上。 (三)双曲线的几何性质: 标准方程

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a 2 b2

y 2 x2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a 2 b2

图形

点的范围

横坐标 纵坐标

x ? ?a 或 x ? a
y?R

x?R y ? ?a 或 y ? a

对称性

对称轴 对称中心

x 轴, y 轴
原点

焦点坐标 顶点坐标 实轴 线段 长度

F1 (?c, 0), F2 (c, 0) A1 (?a, 0), A2 (a, 0) A1 A2

F1 (0, ?c), F2 (0, c) A1 (0, ?a), A2 (0, a)

2a
实半轴长

a 称为
虚轴 线段 长度

B1 B2

2b
虚半轴长

b 称为
焦距 线段 长度

F1 F2

2c
b2 ? c 2 ? a 2

a, b, c 的关系
渐近线方程 准线 方程

y??
x??

b x a
a2 c 2 a2 c

y??
y??

a x b
a2 c

准线间距离

离 心 率

公式 范围

e?

c a e ?1

对应图形关系 焦准距

e 越大,双曲线张口越大。
b2 c
2 b2 a
PF1 ? ey0 ? a PF2 ? ey0 ? a

通径

焦半径

公式

PF1 ? ex0 ? a PF2 ? ex0 ? a

范围

最小值为 c ? a 。

说明: (1)双曲线的焦点总在实轴上; (2)双曲线的准线总是垂直于实轴所在的直线。 (3)与渐近线有关的结论: ①求双曲线渐近线方程时,可将双曲线方程中的“1”换成“0” ,然后因式分解即得渐近线方程;

x y b ②若渐近线方程为 y ? ? x ,则双曲线可设为 2 ? 2 ? ? ; ? ? 0 ) ( a b a
若双曲线与

2

2

x2 y2 x2 y 2 ( ? 2 ? 1 有公共渐近线,则可设为 2 ? 2 ? ? ; ? ? 0 ) a b a2 b

当 ? ? 0 时,焦点在 x 轴上;当 ? ? 0 时,焦点在 y 轴上. ③双曲线的顶点到渐近线的距离为

ab ; c

④双曲线的焦点到渐近线的距离为 b 。 (4)等轴双曲线(实轴与虚轴等长的双曲线) : ①方程可用 x ? y ? ? ( ? ? 0 ) ;
2 2

②离心率 e ?

2;

③渐近线互相垂直,方程为 y ? ? x 。 (5)设双曲线的焦点为 F1 , F2 , P 为双曲线上任一点( P 不在实轴上) ,若 ?F1 PF2 ? ? ,则三角形

F1 PF2 的面积为 b 2

1 tan

?
2

;特别地,当 ? ? 90 时,三角形 F1 PF2 的面积为 b 。
0 2

(Ⅲ)抛物线 1、定义:平面上到一个定点 F 和到一条定直线 l ( F 不在 l 上)的距离相等的点的轨迹是抛物线。即

{P PF ? d } ( d 为点 P 到直线 l 的距离)
说明:若定义中“定点 F 在直线 l 上” ,则动点轨迹为过 F 且垂直于 l 的直线。 2、抛物线的标准方程及几何性质 标准方程

y 2 ? 2 px( p ? 0)

y 2 ? ?2 px( p ? 0)

x 2 ? 2 py( p ? 0)

x 2 ? ?2 py ( p ? 0)

图形

开口方向 顶点坐标 对称轴 焦点坐标 准线方程 点 的 取 值 范 围 横 坐 标 纵 坐 标

向右

向左

向上

向下

(0, 0)

x轴
p ( , 0) 2 p x?? 2 x?0 (? p , 0) 2 p x? 2 x?0

y轴
p (0, ) 2 p y?? 2 x?R
p (0, ? ) 2 p y? 2 x?R

y?R

y?R

y?0

y?0

离心率 焦准距 通径 焦半径

e ?1 p
2 p (通径是最短的焦点弦)

p ? x0 2
2

p ? x0 2

p ? y0 2

p ? y0 2

3、抛物线的焦点弦的性质: 过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 的弦 AB ,设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , A, B 的中点 M ( x0 , y0 ) , 则 (1) 弦长 AB ? ( x1 ? x2 ) ? p ? 2( x0 ?

p 2p (其中 ? 为 AB 的倾斜角) ; )? 2 sin 2 ?
p2 , y1 y2 ? ? p 2 4

(2) 以 AB 为直径的圆必与准线相切; (3)

A, B 两点的横坐标之积,纵坐标之积为定值,即 x1 x2 ?


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