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全国中学生数学竞赛二试模拟训练题(90)


加试模拟训练题(90)
1、如图,O,I 分别为⊿ABC 的外心与内心,AD 是 BC 边上的高,I 在线段 OD 上.求证:⊿ABC 的 外接圆半径等于其 BC 边上的旁切圆半径. 由旁切圆半径公式,有 ra= 2S aha = ,故只须证明 b+c-a b+c-a
A

R a = 即可.连 AI 并延长交⊙O 于 K,连 OK 交 BC 于 M,则 K、M 分 ha b+c-a 别为弧 BC 及弦 BC 的中点.且 OK⊥BC.于是 OK∥AD,又 OK=R,故 R OK IK KB = = = , ha AD IA IA KB a BM 故只须证 = = . IA b+c-a 1 (b+c-a) 2 1 作 IN⊥AB,交 AB 于 N,则 AN= (b+c-a), 2 而由⊿AIN∽⊿BKM,可证 KB BM = 成立,故证. IA AN
3 2

N I

O

B

D

M K

C

2.求一切实数 p,使得三次方程 5x -5(p+1)x +(71p-1)x+1=66p 的三个根均为正整数. 【题说】1995 年全国联赛二试题 2.

(1)

【解】由观察知,x=1 是(1)的一个正整数根.所以 2 2 5x -5(p+1)x +(71p-1)x+1-66p=(x-1)Q(x),其中 Q(x)=5x -5px+66p-1.
3

设正整数 u、v 是 Q(x)=0 的两个根,则

所以 p 是正整数,将(2)代入(3),得 5uv=66(u+v)-1

(4) 从而
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因左边是 5 的倍数,19、229 又都是素数,故 5v-66=19 或 229 由此求得 v=17 或 59,u=59 或 17,p=u+v=76,即当且仅当 p=76 时,方程(1)三根均是 正整数:1,17,59. 3.已知凸多边形, 在其内不能置放面积为 1 的任何三角形. 证明: 这个多边形能置于面积为 4 的三角形内. 【题说】 第八届(1974 年)全苏数学奥林匹克题九年级题 6.

【证】 设内接于凸多边形 P 的三角形中,以△ABC 的面积为最大(显然 S△ABC<1),M 是多边形 P 内的任意 一点,则 S△MAB≤S△ABC.由于这两个三角形同底 AB,所以 M 点的轨迹是双轨平行线 l1 与 ll′所形成的带形区 域,其中 l1 与 ll′的距离等于△ABC 的 AB 边上的高的两倍.对于△MBC、△MAC 做同样的讨论,从而得知 多边形 P 的所 有点属于三个带形区域的公共部分——△A′B′C′,如图.从而

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