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全国重点名校2012高三数学第二轮名师精编-21、22解析几何专题4: 圆锥曲线中的最值和范围问题(教师版)


高三数学二轮复习第二十一讲 圆锥曲线中的最值和范围问题( 高三数学二轮复习第二十一讲 圆锥曲线中的最值和范围问题(一)
★★★高考在考什么 高考在考什么 【考题回放】 考题回放】

x2 y2 1.已知双曲线 2 ? 2 = 1 (a>0,b>0)的右焦点为 F,若过点 F 且倾斜角为 60°的直线与双曲线的右支有 a b
且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是(C ) A.( 1,2) B. (1,2) C. [2, +∞)
2 2

D.(2,+∞)

2. P 是双曲线

x y ? = 1 的右支上一点, N 分别是圆(x+5)2+y2=4 和(x-5)2+y2=1 上的点, |PM| M、 则 9 16

-|PN|的最大值为( D )
A. 6 B.7 C.8 D.9 2 3.抛物线 y=-x 上的点到直线 4x+3y-8=0 距离的最小值是( A ) A.

4 3

B.

7 5

C.

8 5

D. 3

4. 已知双曲线

x2 y2 ? = 1, ( a > 0, b > 0) 的左、 右焦点分别为 F1、2, P 在双曲线的右支上, PF1|=4|PF2|, F 点 且| a2 b2
(B)
2

则此双曲线的离心率 e 的最大值为: (B) (A)

4 3

5 3

(C) 2

(D)

7 3
2 2

5.已知抛物线 y =4x,过点 P(4,0)的直线与抛物线相交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则 y1 +y2 的最小值是 32 . 2 6.对于抛物线 y =4x 上任意一点 Q,点 P(a,0)都满足|PQ|≥|a|,则 a 的取值范围是( B ) (A) (-∞,0) (B) (-∞,2 ] (C) [0,2] (D) (0,2)

★★★高考要考什么 高考要考什么 热点透析】 【热点透析】 与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决: (1)结合定义利用图形中几何量之间的大小关系; (2)不等式(组)求解法:利用题意结合图形(如点在曲线内等)列出所讨论的参数适合的不等式 (组) ,通过解不等式组得出参数的变化范围; (3)函数值域求解法:把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数, 通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。 (4)利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用,往往需要创造条件,并进行巧妙的构思; (5)结合参数方程,利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程,它们的一个共同特点是 均含有三角式。因此,它们的应用价值在于: ① 通过参数 θ 简明地表示曲线上点的坐标; ② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题; (6)构造一个二次方程,利用判别式?≥0。 ★★★突破重难点 突破重难点 【例 1】已知点 M(-2,0),N(2,0),动点 P 满足条件 | PM | ? | PN |= 2 2 .记动点 P 的轨迹为 W. (Ⅰ)求 W 的方程; (Ⅱ)若 A,B 是 W 上的不同两点,O 是坐标原点,求 OA ? OB 的最小值. (Ⅰ)依题意,点 P 的轨迹是以 M,N 为焦点的双曲线的右支, 解:

x2 y2 1 所求方程为: - = (x>0) 2 2
(Ⅱ)当直线 AB 的斜率不存在时,设直线 AB 的方程为 x=x0,

此时 A(x0, x 0-2 ) B(x0,- x 0-2 ) OA ? OB =2 , ,
2 2

当直线 AB 的斜率存在时,设直线 AB 的方程为 y=kx+b, 代入双曲线方程

x 2 y2 - =1 中,得:(1-k2)x2-2kbx-b2-2=0 2 2

依题意可知方程 1°有两个不相等的正数根,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则

? ?? = 4k 2b 2 ? 4(1 ? k 2 ) ? (?b 2 ? 2) ≥ 0 ? 2kb ? 解得|k|>1, >0 ? x1 + x2 = 1? k 2 ? ? b2 + 2 >0 x1 x2 = 2 ? k ?1 ?
又 OA ? OB =x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+b) kx2+b) ( =(1+k )x1x2+kb(x1+x2)+b = 综上可知 OA ? OB 的最小值为 2
2 2

2k 2+2 4 =2+ 2 >2 2 k -1 k -1

x2 y 2 5 + = 1 上的动点,F 是右焦点,当 AB + BF 取得最 【例 2】给定点 A(-2,2),已知 B 是椭圆 25 16 3
小值时,试求 B 点的坐标。 解:因为椭圆的 e =

3 5 1 1 ,所以 AB + BF = AB + BF ,而 BF 为动点 B 到左准线的距离。故 5 3 e e

本题可化为,在椭圆上求一点 B,使得它到 A 点和左准线的距离之和最小,过点 B 作 l 的垂线,垂点为 N, 过 A 作此准线的垂线,垂点为 M,由椭圆定义 | BF | | BF | 5 = e ?| BN |= = | BF | | BN | e 3 于是 AB +

5 BF =| AB | + | BN |≥| AN |≥ AM 为定值 3

其中,当且仅当 B 点 AM 与椭圆的定点时等点成立,此时 B 为 ( ? 所以,当 AB +

5 3 , 2) 2

5 5 3 BF 取得最小值时,B 点坐标为 (? , 2) 3 2
2 2

x2 + y 2 = 1 上移动,试求|PQ|的最大值。 【例 3】已知 P 点在圆 x +(y-2) =1 上移动,Q 点在椭圆 9
解:故先让 Q 点在椭圆上固定,显然当 PQ 通过圆心 O1 时|PQ|最大,因此要求|PQ|的最大值,只要求 2 2 2 |O1Q|的最大值.设 Q(x,y),则|O1Q| = x +(y-4) ① 2 2 因 Q 在椭圆上,则 x =9(1-y ) ②

1? ? 将②代入①得|O1Q| = 9(1-y )+(y-4) = ?8 ? y + ? + 27 2? ? 1 因为 Q 在椭圆上移动,所以-1≤y≤1,故当 y = 时, O1Q max = 3 3 2 此时 PQ max = 3 3 + 1
2 2 2

2

【点睛 点睛】1.与圆有关的最值问题往往与圆心有关; 点睛

2.函数法是我们探求解析几何最值问题的首选方法,其中所涉及到的函数最常见的有二次函数等,值 . 得注意的是函数自变量取值范围的考察不能被忽视。 ...................... 已知椭圆的一个焦点为 F1(0,-2 2 ), 对应的准线方程为 y = ? 【 例 4】 成等差数列。 (1)求椭圆方程; (2)是否存在直线 l,使 l 与椭圆交于不同的两点 M、N,且线段 MN 恰被直线 x = ? 求出 l 的倾斜角的范围;若不存在,请说明理由。 (1)解:依题意 e = 解

9 2 2 4 , 且离心率 e 满足: , e, 4 3 3

1 平分,若存在, 2

2 2 a2 9 2 2 ,∵ ?c = ?2 2 = 3 c 4 4 9 2 4

∴a=3,c=2 2 ,b=1, 又 F1(0,-2 2 ),对应的准线方程为 y = ? ∴椭圆中心在原点,所求方程为 x +
2

1 2 y =1 9 1 平分 2

(2)假设存在直线 l,依题意 l 交椭圆所得弦 MN 被 x = ? ∴直线 l 的斜率存在。 设直线 l:y=kx+m

? y = kx + m ? 2 2 2 由 ? 2 y2 消去 y,整理得 (k +9)x +2kmx+m -9=0 =1 ?x + 9 ?
∵l 与椭圆交于不同的两点 M、N, 2 2 2 2 2 2 ∴Δ=4k m -4(k +9)(m -9)>0 即 m -k -9<0 ①

x + x2 ?km 1 设 M(x1,y1),N(x2,y2) ∴ 1 = 2 =? 2 k +9 2 2 2 (k + 9) 把②代入①式中得 ? (k 2 + 9) < 0 , 4k 2 ∴k> 3 或 k<- 3 π π π 2π ∴直线 l 倾斜角 α ∈ ( , ) ∪ ( , ) 3 2 2 3

k2 + 9 ∴m = 2k



第二十二讲圆锥曲线中的最值和范围问题( 第二十二讲圆锥曲线中的最值和范围问题(二)
【例 5】长度为 a ( a > 0 )的线段 AB 的两个端点 A 、 B 分别在 x 轴和 y 轴上滑动,点 P 在线段 AB 上, . 且 AP = λ PB ( λ 为常数且 λ > 0 ) (1)求点 P 的轨迹方程 C ,并说明轨迹类型; (2)当 λ =2 时,已知直线 l1 与原点 O 的距离为 取值范围. 答案:(1)设 P ( x , y ) 、 A( x0 , 0) 、 B (0 , y0 ) ,则 答案

a ,且直线 l1 与轨迹 C 有公共点,求直线 l1 的斜率 k 的 2

? x0 = (1 + λ ) x ? x ? x0 = ?λ x ? 2 2 2 AP = λ PB ? ? ?? 1 + λ ,由此及 | AB |= a ? x0 + y0 = a ,得 y = λ ( y0 ? y ) ? y0 = y ? λ ?

[(1 + λ )x ]

2

?? 1 + λ ? ? y2 ? a ? + ?? y ? = a 2 ,即 x 2 + 2 = ? ? ? (*) λ ?1+ λ ? ?? λ ? ?
2

2

①当 0 < λ < 1 时,方程(*)的轨迹是焦点为 (±

1? λ 2 a,0) ,长轴长为 a 的椭圆. 1+ λ 1+ λ ?1+ λ 2λ a ) ,长轴长为 a 的椭圆. 1+ λ 1+ λ
a 为半径的圆. 2

②当 λ > 1 时,方程(*)的轨迹是焦点为 (0,±

③当 λ = 1 时,方程(*)的轨迹是焦点为以 O 点为圆心,

(2)设直线 l1 的方程: y = kx + h ,据题意有

h 1+ k 2

=

a a ,即 h = 1+ k 2 . 2 2

? y = kx + h 9 k2 2 9 ? 由? 2 9 2 得 9(1 + ) x + khx + h 2 ? a 2 = 0 . 2 4 2 4 ?9 x + 4 y = a ?
因为直线 l1 与椭圆 9 x +
2

9 2 y = a 2 有公共点,所以 ? = 9(4 + k 2 )a 2 ? 81h 2 ≥ 0, 4

又把 h =

a 7 35 35 1 + k 2 代入上式得 : k 2 ≤ ,∴ ? ≤k≤ . 2 5 5 5
2 , 过点 C(-1,0)的直线 l 与椭圆 E 3

【例 6】椭圆 E 的中心在原点 O,焦点在 x 轴上,其离心率 e =

相交于 A、B 两点,且满足点 C 分向量 A B 的比为 2. (2)当△OAB 的面积最大时,求椭圆 E 的方程。 (1)用直线 l 的斜率 k ( k≠0 ) 表示△OAB 的面积;

x2 y2 c 解: (1)设椭圆 E 的方程为 2 + 2 = 1 ( a>b>0 ),由 e = = a a b
∴a =3b
2 2

2 3

故椭圆方程 x + 3y = 3b

2

2

2

设 A(x1,y1)、B(x2,y2),由于点 C(-1,0)分向量 AB 的比为 2,

? x1 + 2 x 2 = ?1 ① ? 3 ∴? ? ? y1 + 2 y 2 = 0 ② ? 3 ?
由?

即?

? x1 + 1 = ?2( x 2 + 1) ? y1 = ?2 y 2

? x 2 + 3 y 2 = 3b 2 消去 y 整理并化简得 ? y = k ( x + 1)

(3k +1)x +6k x+3k -3b =0

2

2

2

2

2

由直线 l 与椭圆 E 相交于 A(x1,y1), B(x2,y2)两点得:

? ?? > 0恒成立(点 是AB C 的内分点) ? 6k 2 ? ③ ?x1 + x2 = ? 2 3k + 1 ? ? 3k 2 ? 3b 2 ?x1 x2 = ④ 3k 2 + 1 ?
而 S△OAB =

1 1 3 3 3 | y1 ? y 2 |= | ?2 y 2 ? y 2 |= | y 2 |= | k ( x2 + 1) |= | k || x2 + 1 | ⑤ 2 2 2 2 2 2 3| k | 由①③得:x2+1=- 2 ,代入⑤得:S△OAB = ( k ≠ 0) 3k + 1 3k 2 + 1

(2)因 S△OAB=

3| k | = 3k 2 + 1

3 3| k | + 1 |k |



3 2 3

=

3 , 2

当且仅当 k = ±

3 , S△OAB 取得最大值 3 x1 + 2 x 2 =-1 3
∴x1=1,x2 =-2

此时 x1 + x2 =-1, 又∵ 将 x 1, x 2 及 k =
2

1 2 2 2 代入④得 3b = 5 ∴椭圆方程 x + 3y = 5 3
x2 y2 + = 1 顺次交于 A、B 两点,若 AP = λ PB 试求λ的取值范 9 4

,和椭圆 【例 7】设直线 l 过点 P(0,3) 围.

解:当直线 l 垂直于 x 轴时,可求得 λ = ?

1 ; 5

当 l 与 x 轴不垂直时,设 A( x1 , y1 ), B ( x 2,y 2 ) ,直线 l 的方程为: y = kx + 3 ,代入椭圆方程,消去 y 得

(9k
解之得

2

+ 4 x 2 + 54kx + 45 = 0

)

x1, 2

? 27k ± 6 9k 2 ? 5 = . 9k 2 + 4 ? 27k ? 6 9k 2 ? 5 ? 27k + 6 9k 2 ? 5 , x2 = , 9k 2 + 4 9k 2 + 4
.

因为椭圆关于 y 轴对称,点 P 在 y 轴上,所以只需考虑 k > 0 的情形. 当 k > 0 时, x1 =

所以 λ = ?

18k 18 x1 ? 9k + 2 9k 2 ? 5 = =1 ? =1 ? x2 9k + 2 9 k 2 ? 5 9 k + 2 9k 2 ? 5 9+2 9? 5

k2

由 所以

? = (?54k ) 2 ? 180 9k 2 + 4 ≥ 0 , 解得 k 2 ≥

(

)

5 , 9

?1 ≤ 1?

18 9+2 9? 5 k2

1 <? , 5

综上

1 ?1 ≤ λ ≤ ? . 5
y
B2

x2 y2 【 例 8 】 我们把由半椭圆 2 + 2 = 1 ( x ≥ 0 ) 与 半椭 圆 a b y2 x2 + = 1 ( x ≤ 0) 合 成 的 曲 线 称 作 “ 果 圆 ” 其 中 , b2 c2
a2 = b2 + c2 , a > 0 ,b > c > 0 .
如图,设点 F0 , F1 , F2 是相应椭圆的焦点, A1 , A2 和

A1

.F . . O M . F
2

0

A2

x

F1 B1 B1 ,

B2 是“果圆” 与 x , y 轴的交点, M 是线段 A1 A2 的中点.
(1) 若 △F0 F1 F2 是边长为 1 的等边三角形,求该“果圆”的方程; (2)设 P 是“果圆”的半椭圆

y2 x2 + = 1 ( x ≤ 0 ) 上任意一点.求证:当 PM 取得最小值时, P b2 c2

在点 B1,B2 或 A1 处; (3)若 P 是“果圆”上任意一点,求 PM 取得最小值时点 P 的横坐标. 解: (1)∵ F0 ( c, ), F1 0, b2 ? c 2 , F2 0, b2 ? c 2 , 0 ?

(

)

(

)



F0 F2 =

(b

2

3 7 ? c 2 ) + c 2 = b = 1, F1 F2 = 2 b2 ? c 2 = 1 ,于是 c 2 = , a 2 = b 2 + c 2 = , 4 4

4 4 所求“果圆”方程为 x 2 + y 2 = 1 ( x ≥ 0) , y 2 + x 2 = 1 ( x ≤ 0 ) . 7 3

(2)设 P ( x, ) ,则 y

a?c? ? ? b2 ? ( a ? c )2 2 | PM | = ? x ? + b 2, ? c ≤ x ≤ 0 , ? + y = ? 1 ? 2 ? x2 ? ( a ? c ) x + c ? 4 2 ? ? ?
2 2

∵ 1?

b2 < 0 ,∴ | PM | 2 的最小值只能在 x = 0 或 x = ?c 处取到. 2 c

即当 PM 取得最小值时, P 在点 B1,B2 或 A1 处. (3) ∵ | A1 M |=| MA2 | ,且 B1 和 B2 同时位于“果圆”的半椭圆

x2 y2 + = 1 ( x ≥ 0) 和半椭圆 a2 b2

y2 x2 x2 y2 + 2 = 1 ( x ≤ 0 ) 上,所以,由(2)知,只需研究 P 位于“果圆”的半椭圆 2 + 2 = 1 ( x ≥ 0) 上的情 2 b c a b 形即可.

c2 ? a 2 (a ? c) ? (a ? c) 2 a 2 (a ? c) 2 a?c? ? 2 | PM | = ? x ? + b2 + ? . ? + y = 2 ?x? ? 4 2 ? a ? 2c 2 ? 4c 2 ?
2 2

2

当x=

a (a ? c) a 2 ( a ? c) 2 ≤ a ,即 a ≤ 2c 时, | PM | 的最小值在 x = 时取到, 2 2c 2c 2
2

a 2 (a ? c) 此时 P 的横坐标是 . 2c 2
当x =

a 2 (a ? c) > a ,即 a > 2c 时,由于 | PM | 2 在 x < a 时是递减的, | PM | 2 的最小值在 x = a 时 2 2c

取到,此时 P 的横坐标是 a . 综上所述,若 a ≤ 2c ,当 | PM | 取得最小值时,点 P 的横坐标是 若 a > 2c ,当 | PM | 取得最小值时,点 P 的横坐标是 a 或 ? c .

a 2 (a ? c) ; 2c 2


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