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专题16 定积分与微积分基本定理-备战2015高考理数热点题型和提分秘籍(原卷版)


【高频考点解读】 1.了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念. 2.了解微积分基本定理的含义. 【热点题型】 题型一 定积分 ) C.-ln 2 D.ln 2

4 1 例 1、? ?2xdx 等于(

A.2ln 2 【提分秘籍】

B.-2ln 2

1.定积分是一个数值(极限值),它只与被积函数以及积分区间有关,而与积分变量无关,即? ? f(x)dx=
a

b

? ?a f(t)dt=? ?a f(u)du.
2.设函数 f(x)在闭区间[-a,a]上连续,则由定积分的几何意义和奇偶函数的对称性可知有以下两个结 论:

b

b

(1)若 f(x)是偶函数,则

f(x)dx=2? ?0f(x)dx;

a

(2)若 f(x)是奇函数,则

f(x)dx=0.

【举一反三】 π π 由直线 x=- ,x= ,y=0 与曲线 y=cos x 所围成的封闭图形的面积为( 3 3 1 A. 2 C. 3 2 B.1 D. 3 )
[来源:学.科.网]

【热点题型】 题型二 微积分基本定理

例 2、?1(ex+2x)dx 等于(

?0

)

A.1 C.e

B.e-1 D.e+1

【提分秘籍】 利用微积分基本定理 (即牛顿—莱布尼兹公式)求 定积分,关键是找到满足 F′(x)=f(x)的函数 F(x),即 找被积函数 f(x)的原函数 F(x) ,利用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系,运用基本初等函数求导公 式和导数四则运算法则从反方向上求出 F(x). 【举一反三】 设函数 f(x)=xm+ax 的导函数 f′(x)=2x+1,则?2f(-x)dx 的值等于(

?1

)

5 1 2 1 A. B. C. D. 6 2 3 6 【热点题型】 题型三 利用定积分求平面图形的面积 )

1 例 3、如图,曲线 y=x2 和直线 x=0,x=1,y= 所围成的图形(阴影部分)的面积为( 4

2 1 A. B. 3 3

1 1 C. D 2 4

【提分秘籍】 利用定积分求曲边梯形面积的步骤 (1)画出曲线的草图. (2)借助图形,确定被积函数,求出交点坐标,确定积分的上、下限. (3)将“曲边梯形”的面积表示成若干个定积分的和或差. (4)计算定积分,写出答案. 【举一反三】 不等式 x2-2x<0 表示的平面区域与抛物线 y2=4x 围成的封闭区域的面积是________. 【热点题型】 题型四 定积分与概率计算交汇命题

y≤x, ? ? 例 4、若不等式组?y≥-x, ? ?2x-y-3≤0

表示的平面区域为 M,不等式 y≥x2 所表示的平面区域为 N,现随机

向区域 M 内抛一粒豆子,则豆子落在区域 N 内的概率为________. 【提分秘籍】 利用定积分求出数列通项后,借助于数列裂项求和的方法可求和. 【举一反三】 已知等比数列{an},且 a4+a8=? ? A.π2 B.4
2 0

4-x2dx,则 a6(a2+2a6+a10)的值为( D.-9π

)

C.π

【高考风向标】 1. (2014· 福建卷) 如图 14,在边长为 e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆,则它落到 阴影部分的概率为________.

图 14

2. (2014· 湖 北卷) 若函数 f(x),g(x)满足?1 f(x)g(x)dx=0,则称 f(x),g(x)为区间[-1,1]上的一组正

?-1

交函数,给出三组函数: 1 1 ①f(x)=sin x,g(x)=cos x;②f(x)=x+1,g(x)=x-1;③f(x)=x,g(x)=x2. 2 2 其中为区间[-1,1]上的正交函数的组数是( A.0 B.1 C.2 D.3 3. (2014· 湖南卷) 已知函数 f(x)=sin(x-φ),且 2π ∫ 0f(x)dx=0,则函数 f(x)的图像的一条对称轴是( 3 ) )

5π 7π A.x= B.x= 6 12 π π C.x= D.x= 3 6 4.(2014· 江西卷) 若 f(x)=x2+2?1f(x)dx,则?1f(x)dx=(

?0

?0

)

1 A.-1 B.- 3

1 C. D.1 3 )

5. (2014· 山东卷) 直线 y=4x 与曲线 y=x3 在第一象限内围成的封闭图形的面积为( A. 2 2 B. 4 2 C. 2 D. 4

6. (2014· 陕西卷) 定积分?1(2x+ex)dx 的值为(

?0

)

A.e+2 B.e+1 C.e D.e-1 7. (2013· 北京卷) 直线 l 过抛物线 C:x2=4y 的焦点且与 y 轴垂直,则 l 与 C 所围成的图形的面积等 于( ) 4 A. B.2 3 8 16 2 C. D. 3 3
[来源:学*科*网 Z*X*X*K]

8. (2013· 福建卷) 当 x∈R,|x|<1 时,有如下表达式: 1 1+x+x2+…+xn+…= . 1-x 1 1 1 1 1 1 两边同时积分得:∫ 01dx+∫ 0xdx+∫ 0x2dx+…+∫ 0xndx+…=∫ 0 dx, 2 2 2 2 2 1-x 从而得到如下等式: 1 1 1?2 1 ?1?3 1 ?1?n+1 1× + ×? + × + … + × +…=ln 2. 2 2 ?2? 3 ?2? n+1 ?2? 请根据以上材料所蕴含的数学思想方法,计算: 1 13 1 n ?1?n+1 0 1 1 1 12 Cn × + Cn× + C2 × + … + C× =__________. 2 2 2 3 n 2 n+1 n ?2? 25 9. (2013· 湖北卷) 一辆汽车在高速公路上行驶 ,由于遇到紧急情况而刹车,以速度 v(t)=7-3t+ 1+t (t 的单位:s,v 的单位:m/s)行驶至停止,在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m)是( A.1+25ln 5 B.8+25ln 11 3 )

C.4+25ln 5 D.4+50ln 2 10. (2013· 湖南卷) 若?Tx2dx=9,则常数 T 的值为________.

?0

[来源:Z_xx_k.Com]

1 11. (201 3· 江西卷) 若 S1=?2x2dx,S2=?2 dx,S3=?2exdx,则 S1,S2,S3 的大小关系为( ? ?x ?
1 1 1

)

A.S1<S2<S3 B.S2<S1<S3 C.S2<S3<S1 D.S3<S2<S1 【随堂巩固】

1 .设函数 f(x)=ax2+b(a≠0),若 ∫3 0f(x)dx=3f(x0),则 x0=( A.± 1 C.± 3 B. 2 D.2

)

9 2.已知函数 y =x2 与 y=kx(k>0)的图象所围成的阴影部分的面积为 ,则 k 等于( 2 A.2 C.3 B.1 D.4

)

x+ -2≤x , ? ? 3.函数 f(x)=? 的图象与 x 轴所围成的封闭图形的面积为( π ?2cos x x≤2 ? 3 A. 2 C.4 B.1 1 D. 2 )
[来源:学科网 ZXXK]

)

π 0, ?,则当∫a 4.已知 a∈? 0(cos x-sin x)dx 取最大值时,a 的值为( ? 2? π A. 6 π C. 3 π B. 4 π D. 2

5. 由曲线 y=x2 和直线 x=0, x=1, y=t2, t ∈(0,1)所围成的图形(如图阴影 部分) 的面积的最小值为(

)

2 A. 3 1 C. 2

1 B. 3 1 D. 4
[来源:学科网 ZXXK]

x ,x∈ [0,1] ? ? 6.设 f(x)=?1 (e 为自然对数的底数),则∫e 0f(x)dx 的值为________. , x ∈ , e] ? ?x 7.设 a>0.若曲 线 y= x与直线 x=a,y=0 所围成封闭图形的面积为 a2,则 a=________.
1 8.若 f (x)是一次函数,且∫1 0f(x)dx=5,∫0xf(x)dx=

2

17 fx ,那么∫2 1 dx 的值是________. 6 x

9.已知 f(x)为二次函数,且 f(-1)=2,f ′(0)=0,?1f(x)dx=-2,

?0

(1)求 f(x)的解析式; (2)求 f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值. 10.如图所示,直线 y=kx 分抛物线 y=x-x2 与 x 轴所围图形为面积相等的两部分,求 k 的值.


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