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山东省枣庄三中2017届高三10月学情调查 数学理.doc


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枣庄三中 2016~2017 学年度高三年级第一学期学情调查

数学(理)试题

2016.10

本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。共 4 页。满分 150 分。考试 用时 120 分钟。答题前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、考号、班级填

写 在答题纸规定的位置。考试结束后,将答题纸交回。

第 I 卷(共 50 分)
一、选择题:本题包括 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,每小题只有一个选项正确。 1.已知集合 M ? ?0,1,2,5,6,7?, N ? ?2,3,5,7? ,若 P ? M ? N ,则 P 的真子集个数为 ( A. 5 C. 7 ) B. 6 D. 8

2 x 2.已知集合 A ? x y ? ln(1 ? x ) , B ? y y ? e ,则集合 CR A ? B ? (

?

?

?

?



A. ? 0,1? C. ? ??, ?1? ? ?1, ???

B. [1, ??) D. ? ??, ?1? ? ? 0, ???

3.定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 满足: f (4) ? f (?2) ? 0 ,在区间 (??, ?3) 与 ?3,0 上分别 递增和递减,则不等式 xf ( x) ? 0 的解集为( A. (??, ?4) ? (4, ??) C. (??, ?4) ? (?2, 0) 4.已知函数 f ( x) ? A. (0,1) ) B. (?4, ?2) ? (2, 4) D. (??, ?4) ? (?2,0) ? (2, 4) )

?

?

6 ? log 2 x ,在下列区间中,包含 f ( x) 零点的区间是( x
B. (1, 2) D. (4 , ? ?)

4) C. (2,
* *

5.命题“ ?n ? N , f (n) ? N 且 f (n) ? n ”的否定形式是(
* * A. ?n ? N , f (n) ? N 且 f (n) ? n



* * B. ?n ? N , f (n) ? N 或 f (n) ? n

C. ?n0 ? N , f (n0 ) ? N 且 f (n0 ) ? n0 D. ?n0 ? N , f (n0 ) ? N 或 f (n0 ) ? n0
* * * *

6.下列命题不正确的个数是(



①若函数 f ( x ) 在 ? ??,0 及 ? 0, ??? 上都是减函数,则 f ( x ) 在 ? ??, ??? 上是减函数; ②命题 p : x ? 2 或 y ? 3 ,命题 q : x ? y ? 5 则 p 是 q 的必要不充分条件; ③函数 f ( x ) ?

?

9 ? x2 是非奇非偶函数; x?4 ?4
2

④若命题“ ?x0 ? R, 使得 x0 ? mx0 ? 2m ? 3 ? 0 ”为假命题,则实数 m 的取值范围是

?2,6? .
A.1 C.3 7.若 a ? b ? 0 , 0 ? c ? 1 ,则( A. loga c ? logb c C. a ? b
c c

B.2 D.4 ) B. logc a ? logc b
a b

D. c ? c

8.已知函数 f ( x) ? ?

?log3 ( x ? 2) ? a, x ≥1
x ?e ? 1, x ? 1

,若 f f (ln 2) ? 2a ,则 f ( a ) 等于(

?

?



A.

1 2

B.

4 3
D.4

C.2

9.已知函数 f ( x ) 的图象如右图所示,则 f ( x ) 的解析式可以是 ( )

A. f ( x ) ?

ln x x
1 ?1 x2

B. f ( x ) ?

ex x
1 x

C. f ( x ) ?

D. f ( x ) ? x ?

2 10.设函数 f ( x) 在 R 上存在导函数 f ?( x ) ,对于任意的实数 x ,都有 f ( x) ? 4 x ? f (? x) ,

当 x ? (??,0) 时, f ?( x ) ?

1 <4 x .若 f (m ? 1) ? f (?m) ? 4m ? 2 ,则实数 m 的取值 2

范围是( A. ??

) B. ? ?

? 1 ? ,?? ? ? 2 ?

? 3 ? ,?? ? ? 2 ?

C. ?? 1,???

D. ?? 2,???

第Ⅱ卷(非选择题共 100 分)
二、填空题:本题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。请将答案填在答题卡中相应横线上。

1? ? 1 ? 3 ? 11.计算: ? ? ? ? log 3 16 ? ? ? log 2 ? ? . 9? ? 27 ? ?
12.已知函数 f (1 ? ) 的定义域为 1, ?? ? ,则函数 y ?

?

1

1 x

?

f ( x) ? ?log 2 ?1 ? x ?? ? ?1
2

的定义域为.

13.已知函数 f ( x)( x ? R) 满足 f (? x) ? 4 ? f ( x) ,若函数 y ?
m

2 x ? 1 y ? f ( x) 与 图像的 x

交点为 ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ), ???,( xm , ym ), 则

? (x ? y ) ? .
i ?1 i i

14.设 f ?x ? 和 g ?x ? 是定义在同一个区间 ?a ,b? 上的两个函数,若函数 y ? f ?x ? ? g ?x ? 在

x ? ?a ,b? 上有两个不同的零点, 则称 f ?x ? 和 g ?x ? 在 ?a ,b? 上是“关联函数”, 区间 ?a ,b?
称为“关联区间”. 若 f ?x ? ? x ? 3x ? 4 与 g ?x ? ? 2 x ? m 在 ?0,3? 上是“关联函数”, 则m
2

的取值范围是.

? x ?1 ,x ? a ? 15.设函数 f ( x) ? ? e x , g ( x) ? f ( x) ? b .若存在实数 b ,使得函数 g( x) 恰有 3 ? ? x ? 1, x ? a ?
个零点,则实数 a 的取值范围为. 三、 解答题: 本题共 6 小题, 共 75 分。 解答应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤, 只写出最后答案的不能得分。 16. (本小题满分 12 分) 已知条件 p : 1 ?

x ?1 2 2 条件 q : x ? 2 x ? 1 ? m ? 0,(m ? 0) 若 ? p 是 q 的充分非必要条 ? 3; 2

件,试求实数 m 的取值范围.

17. (本小题满分 12 分) 已知命题 p : 若存在正数 x ? ? 2, ??? 使 2x ( x ? a) ? 1 成立, 命题 q : 函数 y ? lg( x2 ? 2ax ? a) 值域为 R,如果 p∧q 是假命题,p∨q 真命题,求实数 a 的取值范 围.

18. (本小题满分 12 分) 设函数 y ? f ( x) 是定义在 (0, ??) 上的减函数, 并且满足 f ? 2? ? 1 ,

x f ( ) ? f ( x) ? f ( y ) . y
(1)求 f (1) 和 f ( ) 的值; (2)如果 f (3x ) ? f (3x ? 2) ? 3 ,求

1 4

x 的取值范围.
1 x

19. (本小题满分 12 分)已知 a ?R,函数 f ( x ) = log 2 ( ? a ) . (1)当 a ? 1 时,解不等式 f ( x ) >1; (2)若关于 x 的方程 f ( x ) + log 2 ( x2 ) =0 的解集中恰有一个元素,求 a 的值; (3)设 a >0,若对任意 t ? [ ,1] ,函数 f ( x ) 在区间 [t , t ? 1] 上的最大值与最小值的差 不超过 1,求 a 的取值范围. 20. (本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? (1)求函数 f ( x ) 的极值点; (2)若函数 f ( x ) 在区间[2,6]内有极值,求 a 的取值范围. 21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? e
x +m

1 2

1 2 x ? 2ax ? 4 ln x . 2

? x 3 , g ? x ? ? ln ? x ? 1? ? 2 .

(1)若曲线 y ? f ? x ? 在点 0,f ? 0 ? 处的切线斜率为 1 ,求实数 m 的值; (2)若 h( x) ? g ( x ?1) ? ax ? 2 在 ? 0, ??? 有两个零点,求 a 的取值范围; (3)当 m ? 1 时,证明: f ? x ? ? g ( x ) ? x 3 .

?

?

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枣庄三中 2016~2017 学年度高三年级第一学期学情调查

数学(理)试题
参考答案
1----10 CDDCD 11. ?5 12. ? x CBCAA 14. ? ? , ?2?

2016.10

? 1 ? ? x ? 1? 13. 4 m ? 2 ?

? 9 ? 4

? ?

15. ? ?1 ?

? ?

1 ? ,2? e2 ?

16. 解:条件 p 中不等式解得 ?3 ≤ x ≤ 9 ………………3 分 条件 q 不等式解得 x ? 1 ? m或x ? 1 ? m ………………6 分 由 ? p 是 q 的充分非必要条件,可以推出 ? q 是 p 的充分非必要条件, 画数轴得到不等式组 ?

?1 ? m ≤ 9 ,………………9 分 ?1 ? m ≥ ?3

解得 0 ? m ≤ 4 . ………………12 分 17.

?1? 解:当 p 为真时,由题意可得, a ? x ? ? ? ( x ≥ 2 ). ?2?
7 ?7 ? ?1? 令 f(x)= x ? ? ? , 该函数在 ?2, ??? 上为增函数, 可知 f(x)的值域为 ? , ?? ? , 故 a> 时, 4 ?4 ? ?2?
存在正数 x 使原不等式成立………………3 分
x

x

? a ≥1或a ≤ 0 ………………5 分 当 q 为真时,应有 4a ? 4a ≥ 0,
2

由 p∧q 是假命题,p∨q 真命题知 p 、 q 一真一假

7 ? ?a ? 当 p 为真 q 为假时,应有 ? 4 ,此时无解,………………8 分 ? ?0 ? a ? 1
7 ? 7 ?a ≤ 当 p 为假 q 为真时,应有 ? 解得 a ≤ 0 或 1 ≤ a ≤ ………………11 分 4 4 ? ?a ≤ 0或a ≥1
综上 a ≤ 0 或 1 ≤ a ≤ 18.

7 ………………12 分 4

解: (1)令 x ? y ? 1 ,得 f (1) ? 0 ………………1 分 由 f ( y ) ? f ( x) ? f ( y ) 得 f ( xy) ? f ( x) ? f ( y)

x

1 1 1 ? f (1) ? f (2) ? f ( ) ?1 ? f ( ) ? 0 , f ( ) ? ?1 ………………3 分 2 2 2 1 1 1 ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ? ?2 ………………5 分 4 2 2
x x x x (2)∴ f 3 ? f 3 ? 2 ? f ? ?3 (3 ? 2) ? ? ? f ? 8 ? ,………………7 分

? ?

?

?

又由 y ? f ( x) 是定义在 (0, ??) 上的减函数,得:

?33 ? 3x ? 2 ? ? 8 ? ? x ?3 ? 0 ?3x ? 2 ? 0 ? ?

………………10 分

解之得: x ? ? log3 4, ??? .………………12 分 19. (1)由 log 2 (

1 1 ? 1) ? 1 得 ? 1 ? 2 解得 ?x | 0 ? x ? 1? ………………2 分 x x

(2)方程 f ( x ) + log 2 ( x2 ) =0 的解集中恰有一个元素 等价于 ( ? a) x ? 1 仅有一解,
2

1 x

等价于 ax ? x ? 1 ? 0 仅有一解,………………4 分
2

当 a ? 0 时, x ? 1 ,符合题意; 当 a ? 0 时, ? ? 1 ? 4a ? 0 ,解得 a ? ? 综上: a ? 0 或 a ? ?

1 4

1 ………………6 分 4

(3)当 0 ? x1 ? x2 时,

?1 ? ?1 ? 1 1 ? a ? ? a , log 2 ? ? a ? ? log 2 ? ? a ? , x1 x2 ? x1 ? ? x2 ?

所以 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上单调递减.………………8 分 函数 f ? x ? 在区间 t , t ? 1 上的最大值与最小值分别为 f ? t ? , f ? t ? 1? .

?

?

?1 ? ? 1 ? f ? t ? ? f ? t ? 1? ? log 2 ? ? a ? ? log 2 ? ? a ? ≤1 ?t ? ? t ?1 ?

即 at ? ? a ? 1? t ?1 ? 0 ,对任意 t ? ? ,1? 成立.………………10 分
2 2 因为 a ? 0 ,所以函数 y ? at ? ? a ?1? t ?1 在区间 ? ,1? 上单调递增,

?1 ? ?2 ?

?1 ? ?2 ?

所以 t ?

1 3 1 3 1 2 时, y 有最小值 a ? ,由 a ? ≥ 0 ,得 a ≥ .8 2 4 2 4 2 3

故 a 的取值范围为 ? , ?? ? .………………12 分 20. 1 (1)因为 f(x)= x2-2ax+4ln x,所以 f(x)的定义域为(0,+∞), 2 f′(x)=x-2a+

?2 ?3

? ?

4 x 2 ? 2ax ? 4 = x x

令 f′(x)=0,即 x2-2ax+4=0,则 ? =4(a2-4)………………1 分 ①若 a2-4≤0,即-2≤a≤2 时,f′(x)≥0,且 f ?( x) ? 0 时仅有一根 所以当-2≤a≤2 时,f(x)在(0,+∞)上单调递增,无极值点………………3 分 ②若 a2 - 4>0 ,即 a< - 2 或 a>2 时,方程 x2 - 2ax + 4 = 0 的解为 x1 ? a ?

a2 ? 4 ,

x2 ? a ? a 2 ? 4 .
(ⅰ)当 a>2 时,0< a ? a ? 4 < a ? a ? 4 .
2 2

所以 f(x)的单调递增区间为 0, a ? a 2 ? 4 和 ?a ? a 2 ? 4, ?? ,

?

单调递减区间为 a ? a2 ? 4, a ?
2

?

? a ? 4? .
2

?

?

所以 f(x)的极大值点为 a ? a ? 4 ,f(x)的极小值点为 a ? a ? 4 ………………5 分
2

(ⅱ)当 a<-2 时, a ? a ? 4 <0, a ? a ? 4 <0.
2 2

所以当 a<-2 时,f(x)在(0,+∞)上单调递增,无极值点. 综上,当 a≤2 时,f(x)在(0,+∞)上单调递增,无极值点; 当 a>2 时,f(x)的极大值点为 a ? a ? 4 ,f(x)的极小值点为 a ? a ? 4 .………………8 分
2 2

(2)因为函数 f(x)在区间[2,6]内有极值, 所以 f′(x)=0 在区间[2,6]内有解,所以 x2-2ax+4=0 在区间[2,6]内有解, 所以 2a=x+

4 在区间[2,6]内有解. ………………10 分 x

4 4 x2 ? 4 ≥ 0 ,且仅有 h′(2)=0 设 h(x)=x+ ,对 x∈[2,6],h′(x)=1- 2 = x x x2
所以 h(x)在[2,6]内单调递增.所以 h(x)∈ ? 4, 故 a 的取值范围为 ? 2, 21. (Ⅰ)解:因为 f ( x) ? e x +m ? x 3 ,所以 f ?( x) ? e x +m ? 3 x 2 . 因为曲线 y ? f ? x ? 在点 0,f ? 0 ? 处的切线斜率为 1 ,所以 f ? ? 0 ? ? e ? 1 ,
m

? 20 ? ………………12 分 ? 3? ?

? 10 ? .………………13 分 ? 3? ?

?

?

解得 m ? 0 .…………2 分 (Ⅱ) )解:原题等价于方程 ln x ? ax ? 0 在 (0, ??) 有两个不同根. 转化为,函数 g ( x) ? 又 g ?( x) ?

ln x 与函数 y ? a 的图像在 (0, ??) 上有两个不同交点. x

1 ? ln x ,即 0 ? x ? e 时, g ?( x) ? 0 , x ? e 时, g ?( x) ? 0 , x2
1 ……………4 分 e

所以 g ( x) 在 (0, e) 上单调增,在 (e, ??) 上单调减.从而 g ( x)极大 ? g (e) ?

g ( x) ? ?? , g ( x) ? 0 , 又 g ( x) 有且只有一个零点是 1, 且在 x ? 0 时, 在在 x ??? 时,
可见,要想函数 g ( x) ? 所以 0 ? a ?

ln x 与函数 y ? a 的图像在 (0, ??) 上有两个不同交点, x

1 . e

………………7 分
x +m

(Ⅲ)证明:因为 f ( x) ? e

? x 3 , g ? x ? ? ln ? x ? 1? ? 2 ,

? f ( x) ? g ( x) ? x3 ? ex?m ? ln( x ? 1) ? 2 ? 0
当 m ? 1 时,要证 e
x?m

? ln( x ? 1) ? 2 ? 0 ,只需证明 e x?1 ? ln( x ? 1) ? 2 ? 0
x ?1

设 h( x) ? e x?1 ? ln( x ? 1) ? 2 ,则? h?( x) ? e

?

1 1 ,? h??( x) ? e x ?1 ? ?0 x ?1 ( x ? 1)2

? h?( x) ? e x ?1 ?

1 在(?1, ??)上单调递增 x ?1

1 1 ? h?(- ) ? e 2 ? 2 ? 0 , h?(0) ? e ?1 ? 0 2

? h?( x) ? e x ?1 ?

1 1 在(?1, ??)上有唯一零点x0 ? (? , 0) ………………11 分 x ?1 2

因为 h? ? x0 ? ? 0 ,所以 e

x0 +1

?

1 ,即 ln ? x0 ? 1? ? ? ? x0 ? 1? . x0 ? 1



x ? ? ?1, x0 ?

时,

h? ? x ? ? 0

;当

x ? ? x0 , ?? ?

时,

h? ? x ? ? 0



所以当

x ? x0 时, h ? x ? 取得最小值 h ? x0 ? .
x0 ?1

所以

h ? x ? ? h ? x0 ? = e

? ln ? x0 ? 1? ? 2

?

1 ? ? x0 ? 1? ? 2 ? 0 x0 ? 1 .

综上可知,当 m ? 1 时,

f ? x ? ? g ( x) ? x3

.………………14 分


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