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【全程复习方略】(山东专用)2014版高考数学 第十一章 第一节 绝对值不等式课时提升作业 理 新人教A版


【全程复习方略】 (山东专用)2014 版高考数学 第十一章 第一节 绝对值不等 式课时提升作业 理 新人教 A 版
一、选择题 1.不等式|x-2|>x-2 的解集是( ) (A)(-∞,2) (C)(2,+∞) 2.不等式|5x-x |<6 的解集为( (A)(-1,2) (C)(-1,2)∪(3,6]
2

(B)(-∞,

+∞)

(D)(-∞,2)∪(2,+∞) ) (B)(3,6) (D)(-1,2)∪(3,6)

3.设 a>0,不等式|ax+b|<c 的解集是{x|-2<x<1},则 a∶b∶c 等于( ) (A)1∶2∶3 (C)3∶1∶2 (B)2∶1∶3 (D)3∶2∶1

4.“a<4”是“对任意的实数 x,|2x-1|+|2x+3|≥a 成立”的( ) (A)充分必要条件 (B)充分不必要条件 (C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 5.不等式|x-1|+|x+2|≥5 的解集为( ) (A)(-∞,-2]∪[2,+∞) (B)(-∞,-1]∪[2,+∞) (C)(-∞,-2]∪[3,+∞) (D)(-∞,-3]∪[2,+∞) 6.不等式|x-2|+|x-1|≤3 的最小整数解是( ) (A)0 (B)-1 (C)1 (D)2

7.(2013·武汉模拟)已知 a,b,c∈R 且 a>b>c,则有( ) (A)|a|>|b|>|c| (C)|a+b|>|b+c| (B)|ab|>|bc| (D)|a-c|>|a-b|

8.如果关于 x 的不等式|x-3|+|x-4|>a 的解集是全体实数,则 a 的取值范围是 ( ) (B)(-∞,1)
-1-

(A)(-∞,-1)

(C)(-1,+∞)

(D)(1,+∞)

9.若关于 x 的不等式|x+1|+|x-2|<a 无实数解,则 a 的取值范围是( ) (A)(3,+∞) (C)(-∞,3) 10.若不等式|x-2|+|x+3|≥ a ? (A)(-∞,0) (C)(-∞,4] 二、填空题 11.(2012·湖南高考)不等式|2x+1|-2|x-1|>0 的解集为_________. 12.若不等式| x ? (B)[3,+∞) (D)(-∞,3]

4 对任意的实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围是( ) a
(B)[1,4] (D)(-∞,0)∪[1,4]

1 |≥|a-2|+1 对一切非零实数 x 均成立,则实数 a 的最大值是_________. x

13.对于实数 x,y,若|x-1|≤1,|y-2|≤1,则|x-2y+1|的最大值为_________. 14.(2012·陕西高考)若存在实数 x 使|x-a|+|x-1|≤3 成立,则实数 a 的取值范围是_________. 三、解答题 15.设函数 f(x)=|2x+1|-|x-2|. (1)求不等式 f(x)>2 的解集. (2)若对任意 x∈R,f(x)≥ t ?
2

11 t 恒成立,求实数 t 的取值范围. 2

-2-

答案解析 1.【思路点拨】根据绝对值的意义,先去掉绝对值,简化不等式,再求解. 【解析】选 A.原不等式等价于 x-2<0,得 x<2,选 A. 2.【解析】选 D.|5x-x |<6? ? ∴-1<x<2 或 3<x<6. 【方法技巧】绝对值不等式的解法 (1)解绝对值不等式的关键在于去掉绝对值符号.常用方法有:定义法、几何意义法、公式法、图象法等. (2)对含有多个绝对值符号的不等式,一般利用“零点分割法”分情况讨论(通法)或用几何意义法.对于形 如|x-a|+|x-b|<c 和|x-a|-|x-b|>c 的不等式,利用几何意义或者借助函数的图象去解更为直观 简捷. 3.【解析】选 B.由原不等式得解集为
2

?5x ? x 2 ? 6, ? 2 ? ?5x ? x ? ?6,

? ?b ? c ? ?2 ? c?b? ? a ? ?b ? c ?x? ?x | ? , 由题意得 ? a a ? ? ?c ? b ? 1 ? ? a
①+②得: ∴b=

① ②

2b ? 1, a

1 3 a, 代入②知 c= a. 2 2 1 3 ∶ a =2∶1∶3. ∴a∶b∶c=a∶ a 2 2 1 3 a |+| x ? | ≥ , 根据不等式的几何意义可知, 2 2 2 1 3 1 3 1 3 | x ? |+| x ? |表示数轴上点 x 到点 和 ? 的距离之和,则 | x ? | ? | x ? | ≥2,所以当 a<4 时, 2 2 2 2 2 2 a 1 3 a 有 ? 2, 所以不等式 | x ? | ? | x ? | ≥ 成立,此时为充分条件,要使 | 2x ? 1| ? | 2x ? 3 | ≥a 恒成立, 2 2 2 2 1 3 a a 即 | x ? | ? | x ? | ≥ 恒成立,则有 ≤2,即 a≤4,综上,a<4 是|2x-1|+|2x+3|≥a 成立的充分不必要 2 2 2 2
4. 【解析】选 B. 因为 |2x-1|+|2x+3| ≥ a, 所以 | x ? 条件,选 B. 5. 【解析】 选 D.由|x-1|+|x+2|≥|(x-1)-(x+2)|=3 及不等号左侧式子的几何意义得在数轴上两个零点 x=-3 和 x=2,故 x≤-3 或 x≥2,故选 D.
-3-

6.【解析】选 A.由绝对值的意义,在数轴上到 1,2 对应的点的距离之和等于 3 的点就是数 0,3 对应的点, 故|x-2|+|x-1|≤3 的解集为{x|0≤x≤3},最小整数解为 0. 7.【解析】选 D.a>b>c? a-c>a-b>0? |a-c|>|a-b|. 8.【解析】选 B.由绝对值的几何意义可知,|x-3|+|x-4|≥1,故 a<1. 9.【解析】选 D.由绝对值的几何意义知,|x+1|+|x-2|的最小值为 3,|x+1|+|x-2|<a 无解,知 a≤3. 【变式备选】不等式|x+3|-|x-1|≤a -3a 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围为( ) (A)(-∞,-1]∪[4,+∞) (B)(-∞,-2]∪[5,+∞) (C)[1,2] (D)(-∞,1]∪[2,+∞) 【解析】选 A.因为|x+3|-|x-1|≤|(x+3)-(x-1)|=4, 不等式|x+3|-|x-1|≤a -3a 对任意 x 恒成立, 所以 a -3a≥4 即 a -3a-4≥0, 解得 a≥4 或 a≤-1. 10. 【解析】 选 D.令 f(x)=|x-2|+|x+3|,由绝对值的几何意义知 f(x)≥5, 故若使不等式恒成立, 只需 a ? ≤5 成立即可,解得{a|a<0 或 1≤a≤4}. 11.【思路点拨】先移项,然后两边平方,再解不等式. 【解析】由|2x+1|-2|x-1|>0 得|2x+1|>2|x-1|,平方得 12x>3,x> 答案:{x|x>
2 2 2 2

4 a

1 1 , 故解集为{x|x> }. 4 4

1 } 4
2 2

【误区警示】使用平方法去绝对值时要特别小心,非常容易出现增解,必须检查变形的同解性 .事实上, 平方法去绝对值一般只适用于两边非负的不等式,比如对|2x-1|<|x-1|平方,可得(2x-1) <(x-1) . 12.【解析】令 f(x)=| x ?

1 |,由题意知要求 x

|a-2|+1≤f(x)时 a 的最大值, 而 f(x)=| x ?

1 1 |=|x|+| |≥2, x x

∴|a-2|+1≤2,解得 1≤a≤3,故 a 的最大值是 3. 答案:3 13.【解析】|x-2y+1|=|(x-1)-2(y-1)|≤|x-1|+|2(y-2)+2|≤1+2|y-2|+2≤5,当 x=0,y=3 时, |x-2y+1| 取得最大值 5.
-4-

答案:5 14.【思路点拨】利用数轴,首先确定两点 a 与 1,转化为到此两点的距离的和不大于 3 的 x 的值存在,其 中抓住定点 1 和动点 a 是解题的关键;或利用绝对值不等式的性质求解. 【解析】方法一:在数轴上确定点 1,再移动点 a 的位置,观察 a 点的位置在-2 和 4 的位置时,验证符合 题意,确定它们是边界位置,所以-2≤a≤4. 方法二:∵|x-a|+|x-1|≥|(x-a)-(x-1)|=|a-1|,要使|x-a|+|x-1|≤3 有解,只要有|a-1|≤3,∴-3≤a-1 ≤3,∴-2≤a≤4. 答案: -2≤a≤4 【变式备选】若关于 x 的不等式|a|≥|x+1|+|x-2|存在实数解,则实数 a 的取值范围是________. 【解析】方法一:|x+1|+|x-2|表示数轴上一点 A(x)到 B(-1)与 C(2)的距离之和,而|BC|=3. ∴|AB|+|AC|≥3. ∴|a|≥3,∴a≤-3 或 a≥3. 方法二:设 f(x)=|x+1|+|x-2|=

?1 ? 2x, x ? ?1, ? ?3, ?1 ? x ? 2, ? 2x ? 1, x ? 2, ?
∴f(x)的图象如图所示,∴f(x)≥3,

∴|a|≥3,∴a≤-3 或 a≥3. 方法三:∵|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3,∴|a|≥3. ∴a≤-3 或 a≥3. 答案:(-∞,-3]∪[3,+∞) 15.【解析】(1)f(x)=

-5-

1 ? ? ? x ? 3, x ? ? 2 , ? 1 ? ?3x ? 1, ? ? x ? 2, 2 ? ? x ? 3, x ? 2, ? ?
当x ? ? 当?

1 时,-x-3>2,x<-5,∴x<-5; 2

1 ≤x<2 时,3x-1>2,x>1,∴1<x<2; 2

当 x≥2 时,x+3>2,x>-1,∴x≥2. 综上所述{x|x>1 或 x<-5}. (2)易得 f(x)min= ? , 若 ? x∈R, f(x)≥ t ?
2

5 2

11 5 11 2 2 t 恒成立, 则只需 f(x)min= ? ≥ t ? t ? 2t ? 11t ? 5 ≤ 2 2 2

0?

1 1 ≤t≤5,综上所述 ≤t≤5. 2 2 1 1 , ? ≤ x<4,x ≥ 4 三 种 情 况 , 而 不 是 2 2

【误区警示】去绝对值号时容易忽视零点 如 解 不 等 式 |2x+1|-|x-4|<2 时 , 要 对 x 分 :x< ? 分:x< ?

1 1 1 1 , ? <x<4,x>4 三种情况;按照 x≤ ? , ? ≤x≤4,x≥4 的分类也是不合理的,总之分类的标准 2 2 2 2

是“不重不漏”.

-6-


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