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2-4定积分与微积分基本定理(理)


高考数学总复习

人 教

A


第2章 导数及其应用

高考数学总复习

定积分与微

第 四 节

积分基本定理(理)

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第2章

r />
第四节

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第2章

第四节

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重点难点 重点: 了解定积分的概念,能用定义法求简单的定 积分,用微积分基本定理求简单的定积分. 难点: 用定义求定积分
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第2章

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知识归纳 1.定积分的定义 如果函数 f(x) 在区间 [a , b] 上连续 ,用分点 a = x0<x1<… <xi- 1<xi<… <xn= b,将区间[a, b]等分成 n 个小 区间,在每个小区间 [xi-1, xi]上任取一点 ζi(i= 1,2,…, n),作和式 ? f(ζi)Δx= ?
i =1 n n

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i =1

b- a f(ζi),当 n→∞时,此和式 n

第2章

第四节

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无限接近某个常数,这个常数叫做函数 f(x)在区间 [a, b] 上的定积分,记作 ? f(x)dx ,即 ? f(x)dx = lim ? ? ?
?b ? ?b ?

n

a

a

n→∞ i=1

b- a n
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f(ζi), 这里 a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限, 区间 [a, b]叫做积分区间, 函数 f(x) 叫做被积函数,x 叫做积分变 量, f(x)dx 叫做被积式.此时称函数 f(x)在区间[a, b]上 可积.

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对定义的几点说明:
? f(x)dx 是一个常数. (1)定积分? ? ?a

b

(2)用定义求定积分的一般方法是: ①均匀分割: n 等分区间 [a, b]; ②近似代替:取点 ξi∈ [xi-1, xi]; b- a ③求和: ?f(ξi)· ; n i= 1
n

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b- a ④取极限: f(x)dx=li m ?f (ξi)· . n n→∞ a i= 1
?b ? ? ? ? f(x)dx 的值只与被积函数 f(x)及积分区间 (3)定积分? ? ?

n

b a

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[a, b]有关,而与积分变量所用的符号无关.

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2.定积分的几何意义 当 f(x)≥ 0 时,定积分
?b ? ? ?a

f(x)dx 的几何意义:表示由
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直线 x= a, x= b(a≠ b),y=0 和曲线 y=f(x)所围成的曲
? 边梯形的面积.当 y<0 时,即曲边梯形在 x 轴的下方时? ?

b

A


?a

f(x)dx 在几何上表示这个曲边梯形面积的相反数.

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? f(x)dx 的几何意义是 一般情况下 (如下图 ),定积分? ? ?a

b

介于 x 轴、函数 f(x)的图象以及直线 x= a、 x=b 之间各 部分面积的代数和,在 x 轴上方的面积取正号;在 x 轴 下方的面积取负号.
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3.定积分的性质
? (1)? kf(x)dx= ? ?a ?b ? ? ?a ?c ? ? ?

b

? f(x)dx k? ? ?a
?b ? ? ?a

b

(k 为常数 );
b
?a

(2) [f1(x)± f2(x)]dx= (3) f(x)dx+
?b ? ? ?

? ? f2(x)dx f1(x)dx± ?
?b ? ? ?a



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f(x)dx
(其中 a<c<b)

A


f(x)dx=

a

c

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4.微积分基本定理 一般地,如果 f(x)是区间 [a, b]上的连续函数,并且
b F(b)-F(a).这个结论叫 ? F ′ (x)= f(x), 那么? f ( x )d x = ?
?a

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做微积分基本定理,又叫做牛顿一莱布尼兹公式.为了
b 方便,我们常常把 F(b)- F(a)记成 F(x)|a , b ? 即? f ( x )d x = F ( x )| a= ?
?a

A


b

F(b)-F(a).

其中 F(x)叫做 f(x)的一个原函数.

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一、思想方法 (1)数形结合思想:求曲线围成图形的面积,要画出 草图,寻找积分上限和积分下限,以及被积函数的形式. (2)极限的思想:求曲边梯形的面积时,分割,近似 代替,求和,取极限,采用的是以直代曲,无限逼近的 极限思想.
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(3)公式法:套用公式求定积分,避免繁琐的运算, 是求定积分常用的方法. (4)定义法:用定义求定积分是最基本的求定积分方 法.
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二、解题技巧 1.(1)用定义求定积分的方法:分割、近似代替、求 和、取极限,可借助于求曲边梯形的面积、变力作功等 案例,体会定积分的基本思想方法. (2)用微积分基本定理求定积分,关键是找到满足 f ′ (x)=f(x)的函数 F(x), 利用求导运算与求原函数运算互 为逆运算的关系,运用基本初等函数求导公式和导数的 四则运算法则从反方向上求出 F(x).
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(3)利用微积分基本定理求定积分,有时需先化简, 再积分. (4)利用定积分求所围成平面图形的面积,要利用数 形结合的方法确定被积函数和积分上下限.
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2.由两条直线 x= a、x= b(a< b)、两条曲线 y=f(x)、 y= g(x)(f(x)≥ g(x))围成的平面图形的面积:
? [f(x)- g(x)]dx(如下图). S =? ? ?a

b

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利用定义求定积分

[例 1] 用定积分的定义求由 y=3x,x=0,x=1,y =0 围成的图形的面积.

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[ 解析 ]

(1) 分割:把区间 [0,1] 等分成 n 个小区间 1 Δx= ,把曲边梯形 n
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?i- 1 i? ? ? , ? n ?(i= 1,2,…,n).其长度为 n ? ?

分成 n 个小曲边梯形,其面积记为 ΔSi(i= 1,2,…, n). (2)近似代替:用小矩形面积近似代替小曲边梯形面
?i- 1? i- 1 1 3 ? ? 积,ΔSi= f? = 2(i- 1),(i= 1,2,…,n). ?Δx= 3· n · n n n ? ?

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(3)作和:? ΔSi= ?
i =1

n

n

i =1

3 3 (i-1)= 2[1+ 2+…+(n- 1)] n2 n
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3 n- 1 = · . 2 n (4)求极限: S=lim ?
n

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n→∞ i=1

3 3 n- 1 3 (i- 1)=lim · = . n2 2 n 2 n→∞



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[点评 ] 要熟练掌握用定义求定积分的步骤. 你能利用定积分的定义求直线 x= 1, x= 2, y=0 和 15 3 曲线 y= x 围成的图形的面积吗?答案: . 4
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定积分的几何意义
[ 例 2] ________. 分析:用积分的几何意义计算,关键是弄清被积函数 所对应的几何图形,画好草图. 利用积分的几何意义计算: ? ? ?
1 -4

16-x2 dx=

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解析: 由积分的几何意义知:? ? ?

1 -4

16-x2dx 表示以
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(0,0)点为圆心, r=4 为半径的圆在 x 轴上方部分的面 积,所以
?1 ? ?-4

1 16- x dx= ×π× 42=8π. 2
2

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答案:8π

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点评:理解被积函数的几何意义,是解决这类问题的
突破口.
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(2010· 深圳市调研)曲线 y= sinx, y= cosx 与直线 x π = 0, x= 所围成的平面区域的面积为( 2 )
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π 解析:当 x∈ [0, ]时,y= sinx 与 y= cosx 的图象的 2
?π 交点坐标为? ?4 , ?

2? ? ,作图可知曲线 y= sinx, y= cosx 与 ? 2?

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π 直线 x= 0, x= 所围成的平面区域的面积可分为两部分: 2 π 一部分是曲线 y= sinx, y= cosx 与直线 x= 0, x= 所围 4

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成的平面区域的面积;另一部分是曲线 y= sinx,y= cosx π π 与直线 x= , x= 所围成的平面区域的面积.且这两部 4 2 分的面积相等,结合定积分定义可知选 D.
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答案:D

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定积分的性质与微积分基本定理
[例 3] 求下列定积分 1? (1) x + 4?dx; x?
?2 ? ? ? ? ?1 ?9 ? ? ?4
1

?

2

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(2)

x(1+ x)dx;

x (3) ? ? (cosx+ e )dx; ?


(4)

? π? ?2 ?0 ?

?

x x ?2 cos - sin ? dx. 2 2?

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?1 3 1 -3 ? ? 1? 2 21 ? ? ? ? x - x 解析: (1) x + 4 dx= 3 3 ? ?1= 8 . x? ?
?2 ? ? ? ?1?

? 2

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求下列定积分:
2 ? (x + x)dx= ________; (1)? ?
?

2 0

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(2)? |3- 2x |dx= ________; ?
?

?2

A


1

(3)

?π ? 20 ?0

sin dx= ________. 2

2x

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解析:
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14 答案:(1) 3

1 (2) 2

π- 2 (3) 4

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利用定积分求平面图形的面积
[例 4] 如下图,直线 y=2x+ 3 与抛物线 y=x2 所围 成的图形面积为 ________.
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分析: 从图形可以看出,所求图形的面积可以转化 为一个梯形与一个曲边梯形面积的差,因而可以用定积 分求出面积.为了确定出积分的上、下限,我们需要求 出两条曲线交点的横坐标.
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?y= 2x+ 3, ? 解析: 由方程组? 2 ? y = x , ?
3

可得 x1=- 1, x2= 3.
3

2 ? x dx 故所求图形面积为 S=? (2 x + 3)d x - ? ? ? ?
-1 -1

1 3 3 32 = (x + 3x)|-1- x |-1= . 3 3
2 3

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32 答案: 3

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1 (2011· 菏泽期末)曲线 y= x, y= 2- x 及 y=- x 3 所围成图形的面积为________.
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解析: 先画出各曲线如图.

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易求得点 A(3,- 1), B(1,1),故所围成区域的面积 为 1 1 ?3 ? S= [ x-(- x)]dx+? [(2- x)- (- x)]dx 3 3 ?1
?1 ? ? ?0

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2 1 2 1 1 2 3 5 4 13 = ( x + x )|0+ (2x- x )|1= + = . 3 6 3 6 3 6
1 2

A


13 答案: 6

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综合应用
[例 5] 如图所示,已知曲线 C1:y=x2 与曲线 C2:y =-x +2ax(a>1)交于点 O、A,直线 x=t(0<t≤1)与曲线 C1、C2 分别相交于点 D、B,连结 OD、DA、AB.
2

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︵ (1)写出曲线段 OD、DA、AB 和曲线OB所围成的曲 . 边四边形 ....ABOD(阴影部分 )的面积 S 与 t 的函数关系式 S = f(t); (2)求函数 S=f(t)在区间 (0,1]上的最大值.
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?y= x2 ? 解析: (1)由? 2 ? y =- x + 2ax ?

得点 O(0,0), A(a, a2).

又由已知得 B(t,- t2+ 2at), D(t, t2). 1 2 1 故 S= (- x +2ax)dx- · t· t + (- t2+ 2at- t2)×(a 2 2 0
?t ? ? ?

2

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- t) =
? 1 ?? 1 3 2 t ?- x + ax ? ?0- t3+(- t2+ at)×(a- t) 2 ? 3 ??

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? 1 ? 1 3 2 =?- t +at ?- t3+t3-2at2+ a2t ? 3 ? 2

13 = t - at2+ a2t. 6 13 ∴ f(t)= t - at2+ a2t 6 (0<t≤ 1).

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12 (2)f ′ (t)= t -2at+a2, 2 12 令 f ′ (t)= 0,即 t - 2at+a2= 0, 2 解得 t= (2- 2)a 或 t= (2+ 2)a. ∵ 0<t≤ 1, a>1,∴ t= (2+ 2)a 应舍去. 2+ 2 1 若 (2- 2)a≥1,即 a≥ = 时, 2 2- 2

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∵ 0<t≤ 1,∴f ′(t)≥ 0. ∴ f(t)在区间 (0,1]上单调递增,S 的最大值是 1 f(1)= a -a+ . 6
2

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2+ 2 若 (2- 2)a<1,即 1<a< 时, 2 当 0<t<(2- 2)a 时, f ′(t)>0, 当 (2- 2)a<t≤1 时, f ′ (t)<0.

A


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∴ f(t)在区间(0,(2- 2)a)上单调递增,在区间((2- 2)a,1]上单调递减. 1 ∴ f(t)的最大值是 f[(2- 2)a]= [(2- 2)a]3- a[(2- 6 2 2- 2 3 2)a] + a (2- 2)a= a. 3
2 2

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A


? ?a2- a+1 a≥2+ 2 ? 6 2 综上所述,[f(t)]max=? 2+ 2 ?2 2- 2 3 a 1<a< ? 3 2 ?
第2章 第四节

.

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? 已知 f(x)为二次函数,且 f(- 1)=2,f ′ (0)=0,? ? ?

1 0

f(x)dx=- 2, (1)求 f(x)的解析式; (2)求 f(x)在[- 1,1]上的最大值与最小值.

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A


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解析: (1)设 f(x)= ax2+ bx+ c (a≠ 0), 则 f ′ (x)= 2ax+ b. 由 f(- 1)= 2,f ′ (0)= 0,得
? ?a- b+ c= 2 ? ? ?b= 0
1 1

? ?c= 2- a ,即? ? ? b= 0

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,∴ f(x)= ax2+(2- a).

A


? 2 ? f(x)dx=? [ax + (2- a)]dx 又? ? ? ?0 ?0

1 3 2 1 = [ ax + (2- a)x]|0= 2- a=- 2, 3 3 ∴ a= 6,从而 f(x)= 6x2- 4.
第2章 第四节

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(2)∵f(x)= 6x2-4, x∈ [-1,1]. ∴当 x= 0 时, f(x)min=- 4;当 x= ± 1 时, f(x)max= 2.
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A


第2章

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A


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A


[答案] D

第2章

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[解析]
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A


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1? 2.若 2x+ ?dx= 3+ ln2,则 a 的值为 ( x?
?a ? ? ? ?1?

?

)

A. 6 C. 3

B. 4 D. 2
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A


[答案] D

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1? a [解析 ] ∵ 2x+ ?dx=(x2+ lnx)|1 x?
?a ? ? ? ?1?

?

= a2+ lna- (12+ ln1)= a2+ lna- 1= 3+ln2 ∴ a= 2.

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A


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3.由三条直线 x= 0、x= 2、y= 0 和曲线 y= x3 所围 成的图形的面积为 ( A. 4 18 C. 5 ) 4 B. 3 D. 6
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A


[答案] A
[解析] x4 ?2 S=? x dx= ?0=4. ? 4? ?0
?2 3

第2章

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4.已知等差数列 {an}的前 n 项和 Sn= 2n2+ n,函数 1 f(x)= dt,若 f(x)<a3,则 x 的取值范围是 ( t
?x ? ? ?1

)
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? A.? ? ?

? 3 ? ,+∞ ? 6 ?

B. (0, e21) D.(0, e11)

A


C. (e-11, e)

[答案] D

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1 [解析 ] f(x)= dt= lnt|x a3=S3- S2= 21- 10 1= lnx, t
?x ? ? ?1

= 11,由 lnx<11 得, 0<x<e11.

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A


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5.已知函数 y= x2 与 y= kx(k>0)的图象所围成的封 9 闭区域的面积为 ,则 k 等于( 2 A. 2 C. 3 ) B. 1 D. 4
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A


[答案] C

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?y= x2 ? 由? ? ?y= kx

[解析 ]

消去 y 得 x2- kx= 0,

所以 x= 0 或 x= k, 则所求区域的面积为 1 2 1 3 k 9 2 ? (kx- x )dx=( kx - x )|0 = . ? 2 3 2 ? 0
?k

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A


1 3 1 3 9 即 k - k = ,解得 k= 3.故选 C. 2 3 2

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二、填空题 6. ? (|x+ 1|+|x- 1|)dx=________. ? ?
2 -2

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[答案] 10

A


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?- 2x x≤ - 1 ? [解析 ] ∵ |x+ 1|+ |x- 1|= ?2 - 1<x<1 ? 2x x≥ 1 ? ∴
?2 ? ?-2


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(|x+ 1|+ |x- 1|)dx

A

2

-1 1 2 ? ? ? 2xd x =? (- 2x)dx+? 2dx+? ? ?1 ?-1 ?-

1 1 22 =- x2|- -2+ 2x|-1 + x |1 = 10.

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[点评 ] 由定积分的几何意义知, 积分值为图中阴影 部分的面积.
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7. 抛物线 y2= 2x 与直线 y= 4-x 围成的平面图形的 面积为 ________.
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[答案] 18

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[ 解析 ]

?y2= 2x ? 由方程组 ? ? ?y= 4- x

解得两交点 A(2,2) 、

y2 B(8,- 4),选 y 作为积分变量 x= 、x= 4- y 2

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A


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A


∴ S=?

?2 ?-4

y2 y2 y3 2 [(4- y)- ]dy= (4y- - )|-4= 18. 2 2 6

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三、解答题 8.求下列定积分. (1)
?1 |x |dx; ? ?-1

(2) cos dx; 2

?π ? ? ?0

2x

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+1 (3)∫e 2

1 dx. x- 1

A


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[解析 ] (1)
?π ? ? ?

1 21 1 ?1 |x |dx= 2? ? xdx= 2× x | = 1; 0 ? ? 2 ?0 ?-1
?π ? ? ?

1+ cosx 1 π 1 π π (2) cos dx= dx= x|0+ sinx |0 = . 2 2 2 2 2 0 0
2x

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(3)∫e 2

+1

1 +1 dx= ln(x- 1)|e 2 = 1. x- 1

A


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