tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 英语 >>

2016年全国各地高考卷中档压轴类题精选精练(浙江版改编)(带答案版) - 副本


2016 年全国各地高考卷中档压轴类题精选精练 (浙江版改编) 北京卷
,t

1.将函数 度得到点 P′.若 P′位于函数

图像上的点 P(

)向左平移 s(s﹥0) 个单位长

的图像上,则( A)

(A)t=

,s 的最小值为


(B)t=

,s 的最小值为

(C)t=

,s 的最小值为

(D)t=

,s 的最小值为

2.双曲线

的渐近线为正方形 OABC 的边 OA,OC 所在的直 __________.

线,点 B 为该双曲线的焦点。若正方形 OABC 的边长为 2,则 a=_____ 2 3.已知椭圆 C:

x2 y 2 3 ,A(a,0),B(0,b),O(0,0) ,△ ? 2 ? 1 (a>b>0)的离心率为 2 a b 2

OAB 的面积为 1. (I)求椭圆 C 的方程; (I I)设 P 是椭圆 C 上一点,直线 PA 与 y 轴交于点 M,直线 PB 与 x 轴交于点 N。 求证: AN gBM 为定值。

? c 3 ? , ? 2 ? a ? 1 解: (Ⅰ)由题意得 ? ab ? 1, 解得 a ? 2, b ? 1 . ? 22 2 2 ?a ? b ? c , ? ?
所以椭圆 C 的方程为

x2 ? y2 ? 1 . 4

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, A(2,0), B(0,1) , 设 P( x0 , y0 ) ,则 x0 ? 4 y0 ? 4 .
2 2

当 x0 ? 0 时,直线 PA 的方程为 y ?

y0 ( x ? 2) . x0 ? 2

令 x ? 0 ,得 yM ? ?

2 y0 2 y0 .从而 BM ? 1 ? yM ? 1 ? . x0 ? 2 x0 ? 2
y0 ? 1 x ? 1. x0

直线 PB 的方程为 y ?

令 y ? 0 ,得 xN ? ?

x0 x0 .从而 AN ? 2 ? xN ? 2 ? . y0 ? 1 y0 ? 1
x0 2 y0 ? 1? y0 ? 1 x0 ? 2

所以 AN ? BM ? 2 ?

2 2 x0 ? 4 y0 ? 4 x0 y0 ? 4 x0 ? 8 y0 ? 4 4 x0 y0 ? 4 x0 ? 8 y0 ? 8 ? ? x0 y0 ? x0 ? 2 y0 ? 2 x0 y0 ? x0 ? 2 y0 ? 2

? 4.
当 x0 ? 0 时, y0 ? ?1 , BM ? 2, AN ? 2, 所以 AN ? BM ? 4 . 综上, AN ? BM 为定值.

4.已知椭圆 C:

x2 y 2 ,B(0,1)两点. ? ? 1 过点 A(2,0) a 2 b2

(I)求椭圆 C 的方程及离心率; (II)设 P 为第三象限内一点且在椭圆 C 上,直线 PA 与 y 轴交于点 M,直线 PB 与 x 轴交 于点 N,求证:四边形 ABNM 的面积为定值. 解: (I)由题意得, a ? 2 , b ? 1 . 所以椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 4

又 c ? a ?b ? 3 ,
2 2

所以离心率 e ?

c 3 . ? a 2

2 2 (II)设 ? ? x0 , y0 ? ( x0 ? 0 , y0 ? 0 ) ,则 x0 ? 4 y0 ? 4.

又 ? ? 2,0? , ? ? 0,1? ,所以, 直线 ?? 的方程为 y ?

y0 ? x ? 2? . x0 ? 2

令 x ? 0 ,得 y? ? ?

2 y0 2 y0 ,从而 ?? ? 1 ? y? ? 1 ? . x0 ? 2 x0 ? 2 y0 ? 1 x ? 1. x0

直线 ?? 的方程为 y ?

令 y ? 0 ,得 x? ? ?

x0 x0 ,从而 ?? ? 2 ? x? ? 2 ? . y0 ? 1 y0 ? 1

所以四边形 ???? 的面积

S?

1 ?? ? ?? 2

x ?? 2 y0 ? 1? ? ? 2 ? 0 ??1 ? ? 2? y0 ?1 ?? x0 ? 2 ?
?
2 2 x0 ? 4 y0 ? 4 x0 y0 ? 4 x0 ? 8 y0 ? 4 2 ? x0 y0 ? x0 ? 2 y0 ? 2 ?

?

2 x0 y0 ? 2 x0 ? 4 y0 ? 4 x0 y0 ? x0 ? 2 y0 ? 2

? 2.
从而四边形 ???? 的面积为定值.

江苏卷
1.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,F 是椭圆

b x2 y 2 ? 2 ? 1(a>b>0) 的右焦点,直线 y ? 2 2 a b
6 3
.

与椭圆交于 B,C 两点,且 ?BFC ? 90? ,则该椭圆的离心率是

? x ? a, ?1 ? x ? 0, ? 2.设 f (x) 是定义在 R 上且周期为 2 的函数, 在区间[ ?1,1)上, f ( x) ? ? 2 其 ? 5 ? x , 0 ? x ? 1, ?

中 a ? R. 若 f (? ) ? f ( ) ,则 f(5a)的值是

5 2

9 2

?

2 5

.

(第 2 题) 3.如图,在△ABC 中,D 是 BC 的中点,E,F 是 AD 上的两个三等分点, BA ? CA ? 4 ,

??? ? ??? ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? BF ? CF ? ?1 ,则 BE ? CE 的值是

▲7

.

8

4.在锐角三角形 ABC 中,若 sinA=2sinBsinC,则 tanAtanBtanC 的最小值是

8.

.

5.如图, 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知以 M 为圆心的圆 M: x2 ? y 2 ?12x ?14 y ? 60 ? 0 及 其上一点 A(2,4) (1) 设圆 N 与 x 轴相切,与圆 M 外切,且圆心 N 在直线 x=6 上,求圆 N 的标准方程; (2) 设平行于 OA 的直线 l 与圆 M 相交于 B、C 两点,且 BC=OA,求直线 l 的方程; (3) 设点 T (t,0) 满足: 存在圆 M 上的两点 P 和 Q,使得 TA ? TP ? TQ, ,求实数 t 的取值范围。

??? ???

??? ?

5.解:圆 M 的标准方程为 ? x ? 6 ? ? ? y ? 7 ? ? 25 ,所以圆心 M(6,7),半径为 5,.
2 2

(1)由圆心 N 在直线 x=6 上,可设 N ? 6, y0 ? .因为圆 N 与 x 轴相切,与圆 M 外切, 所以 0 ? y0 ? 7 ,于是圆 N 的半径为 y0 ,从而 7 ? y0 ? 5 ? y0 ,解得 y0 ? 1 . 因此,圆 N 的标准方程为 ? x ? 6 ? ? ? y ? 1? ? 1 .
2 2

(2)因为直线 l∥ OA,所以直线 l 的斜率为

4?0 ? 2. 2?0

设直线 l 的方程为 y=2x+m,即 2x-y+m=0, 则圆心 M 到直线 l 的距离

d?

2? 6 ? 7 ? m 5

?

m?5 5

.

因为 BC ? OA ? 22 ? 42 ? 2 5,

? BC ? 而 MC ? d ? ? ? , ? 2 ?
2 2

2

? m ? 5? 所以 25 ?
5

2

? 5 ,解得 m=5 或 m=-15.

故直线 l 的方程为 2x-y+5=0 或 2x-y-15=0. (3)设 P ? x1, y1 ? ,Q ? x2 , y2 ? . 因为 A? 2,4? , T ?t,0? , TA ? TP ? TQ ,所以 ?
2

??? ??? ??? ?

? x2 ? x1 ? 2 ? t ……① y ? y ? 4 ? 2 1
2

因为点 Q 在圆 M 上,所以 ? x2 ? 6 ? ? ? y2 ? 7 ? ? 25. …….② 将①代入②,得 ? x1 ? t ? 4 ? ? ? y1 ? 3? ? 25 .
2 2

于是点 P ? x1 , y1 ? 既在圆 M 上,又在圆 ? ? x ? ? t ? 4 ?? ? ? ? y ? 3? ? 25 上,
2 2

从而圆 ? x ? 6 ? ? ? y ? 7 ? ? 25 与圆 ? ? x ? ? t ? 4 ?? ? ? ? y ? 3? ? 25 有公共点,
2 2

2

2

所以 5 ? 5 ?

? ?? t ? 4? ? 6? ? ? ? 3 ? 7 ? ? 5 ? 5, 解得 2 ? 2 21 ? t ? 2 ? 2 21 .
2 2

因此,实数 t 的取值范围是 ? 2 ? 2 21, 2 ? 2 21 ? .

?

?

全国 1 卷
1.平面 a 过正方体 ABCD-A1B1C1D1 的顶点 A,a//平面 CB1D1, a ? 平面 ABCD=m, a ? 平面 ABA1B1=n,则 m,n 所成角的正弦值为( A ) (A)

3 2 (B) 2 2

(C)

3 3

(D)

1 3

? ? 2. 已 知 函 数 f ( x) ? sin(? x+ ? )(? ? 0,

?
2

), x ? ?

?
4

为 f ( x) 的 零 点 , x ?

?
4



? ? 5? ? y ? f ( x) 图像的对称轴,且 f ( x) 在 ? , ? 单调,则 ? 的最大值为( B ) ? 18 36 ?
(A)11 (B)9 (C)7 (D)5

3.设圆 x2 ? y 2 ? 2x ?15 ? 0 的圆心为 A,直线 l 过点 B(1,0)且与 x 轴不重合,l 交圆 A 于 C,D 两点,过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E. (I)证明 EA ? EB 为定值,并写出点 E 的轨迹方程; (II)设点 E 的轨迹为曲线 C1,直线 l 交 C1 于 M,N 两点,过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P,Q 两点,求四边形 MPNQ 面积的取值范围. 解: (Ⅰ)因为 | AD |?| AC | , EB // AC ,故 ?EBD ? ?ACD ? ?ADC , 所以 | EB |?| ED | ,故 | EA | ? | EB |?| EA | ? | ED |?| AD | . 又圆 A 的标准方程为 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 16 ,从而 | AD |? 4 ,所以 | EA | ? | EB |? 4 . 由题设得 A(?1,0) , B(1,0) , | AB |? 2 ,由椭圆定义可得点 E 的轨迹方程为:

x2 y 2 ? ? 1 ( y ? 0 ). 4 3
(Ⅱ)当 l 与 x 轴不垂直时,设 l 的方程为 y ? k ( x ? 1)(k ? 0) , M ( x1, y1 ) , N ( x2 , y2 ) .

? y ? k ( x ? 1) ? 由 ? x2 y 2 得 (4k 2 ? 3) x2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 . ?1 ? ? 3 ?4
8k 2 4k 2 ? 12 则 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? . 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3

所以 | MN |? 1 ? k 2 | x1 ? x2 |?

12(k 2 ? 1) . 4k 2 ? 3

过点 B(1,0) 且与 l 垂直的直线 m : y ? ?

2 1 ( x ? 1) , A 到 m 的距离为 ,所以 2 k k ?1

4k 2 ? 3 | PQ |? 2 4 ? ( ) ?4 .故四边形 MPNQ 的面积 k2 ?1 k2 ?1
2

2

2

S?

1 1 . | MN || PQ |? 12 1 ? 2 2 4k ? 3

可得当 l 与 x 轴不垂直时,四边形 MPNQ 面积的取值范围为 (12,8 3) . 当 l 与 x 轴垂直时,其方程为 x ? 1 , | MN |? 3 , | PQ |? 8 ,四边形 MPNQ 的面积为 12. 综上,四边形 MPNQ 面积的取值范围为 [12,8 3 ) .

全国 2 卷
1.已知函数

f ( x)( x ? R) 满足 f (? x) ? 2 ? f ( x) ,若函数 y ? x ? 1 与 y ? f ( x) 图像的交点 x

为 ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ), ???,( xm , ym ), 则 (A)0 (B)m

? (x ? y ) ? ( B
i ?1 i i

m



(C)2m

(D)4m

2.已知函数 f(x) (x∈R) 满足 f(x)=f(2-x), 若函数 y=|x2-2x-3| 与 y=f(x) 图像的交点为 (x1,y1) , (x2,y2),?, (xm,ym) ,则 (A)0

?x =( B )
i ?1 i

m

(B)m

(C) 2m

(D) 4m

x2 y 2 3.已知椭圆 E: A 是 E 的左顶点, 斜率为 k(k>0)的直线交 E 于 A,M ? ? 1 的焦点在 x 轴上, t 3
两点,点 N 在 E 上,MA⊥NA. (I)当 t=4, AM ? AN 时,求△AMN 的面积; (II)当 2 AM ? AN 时,求 k 的取值范围.

【答案】 (Ⅰ) 【解析】

144 ; (Ⅱ) 49

?

3

2, 2 .

?

试题分析: (Ⅰ)先求直线 AM 的方程,再求点 M 的纵坐标,最后求 ?AMN 的面积; (Ⅱ) 设 M ? x1 , y1 ? , ,将直线 AM 的方程与椭圆方程组成方程组,消去 y ,用 k 表示 x1 ,从而表 示 | AM | ,同理用 k 表示 | AN | ,再由 2 AM ? AN 求 k . 试题解析: (I)设 M ? x1 , y1 ? ,则由题意知 y1 ? 0 ,当 t ? 4 时, E 的方程为

x2 y 2 ? ?1, 4 3

A ? ?2,0? .
由已知及椭圆的对称性知,直线 AM 的倾斜角为 将 x ? y?2 代入

? .因此直线 AM 的方程为 y ? x ? 2 . 4

12 x2 y 2 ,学.科网所以 ? ? 1 得 7 y 2 ?12 y ? 0 . 解 得 y ? 0 或 y ? 7 4 3

y1 ?

12 . 7

因此 ?AMN 的面积 S?AMN ? 2 ?

(II)由题意 t ? 3 , k ? 0 , A ? t , 0 .

?

1 12 12 144 ? ? ? . 2 7 7 49

?




2

线
2

AM







y ? k(x ? t )





x2 y 2 ? ?1 t 3



? 3 ? tk ? x

?2 t? tk 2 x ? t 2 k 2 ? 3t ? 0 .

t 3 ? tk 2 t 2 k 2 ? 3t 由 x1 ? ? t ? 得 x1 ? ,故 AM ? x1 ? t 3 ? tk 2 3 ? tk 2

?

?

?

?

1? k ?
2

6 t ?2 ? k 2 ? 3 ? tk 2

.

6k t ?1 ? k 2 ? 1 x ? t ,故同理可得 AN ?? 由题设,直线 AN 的方程为 y ? ? , k 3k 2 ? t

?

?

由 2 AM ? AN 得 当k ?
3

2 k 3 ? 2 ,学科&网即 ? k ? 2 ? t ? 3k ? 2k ? 1? . 2 3 ? tk 3k ? t

2 时上式不成立,

2 3k ? 2k ? 1? k 3 ? 3k 2 ? k ? 2 ? k ? 2 ? k ? 1 因此 t ? . t ? 3 等价于 ? ?0, k3 ? 2 k3 ? 2 k3 ? 2

?

?



?k ? 2 ? 0 ?k ? 2 ? 0 k ?2 ? 0 .由此得 ? 3 ,或 ? 3 ,解得 3 2 ? k ? 2 . 3 k ?2 ?k ? 2 ? 0 ?k ? 2 ? 0

因此 k 的取值范围是

?

3

2, 2 .

?

考点:椭圆的性质,直线与椭圆的位置关系.

全国 3 卷
1. 在封闭的直三棱柱 ABC-A1B1C1 内有一个体积为 V 的球, 若 AB ? BC, AB=6, BC=8, AA1=3, 则 V 的最大值是( B ) (A)4π (B)

9? 2

(C)6π

(D)

32? 3

x2 y 2 2.已知 O 为坐标原点,F 是椭圆 C: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点,学科&网 A,B 分别为 a b
C 的左,右顶点.P 为 C 上一点,且 PF⊥x 轴.过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M,与 y 轴交 于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中点,则 C 的离心率为( A ) (A)

1 3

(B)

1 2
与圆 ,则

(C)

2 3

(D)

3 4

3.已知直线 垂线与 x 轴交于 C,D 两点,若

交于 A,B 两点,过 A,B 分别作 l 的 _______4___________.

山东卷:
1.已知双曲线 E1:

x2 y 2 ,若矩形 ABCD 的四个顶点在 E 上,AB,CD ? ? 1 (a>0,b>0) a 2 b2

的中点为 E 的两个焦点,且 2|AB|=3|BC|,则 E 的离心率是__2_____.
x?m ?| x |, 2.已知函数 f ( x) ? ? 2 其中 m ? 0 , 若存在实数 b, 使得关于 x 的方程 f (x) ? x ? 2mx ? 4m, x ? m

=b 有三个不同的根,则 m 的取值范围是______ (3, ??) __________.

x2 y 2 3.平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C: 2 ? 2 ? 1? a>b>0 ? a b

的离心率是

3 ,抛物线 E: 2

x2 ? 2 y 的焦点 F 是 C 的一个顶点。
(I)求椭圆 C 的方程; (II)设 P 是 E 上的动点, 且位于第一象限, E 在点 P 处的切线 l 与 C 交与不同的两点 A, B, 线段 AB 的中点为 D,学科&网直线 OD 与过 P 且垂直于 x 轴的直线交于点 M. (i)求证:点 M 在定直线上; (ii)直线 l 与 y 轴交于点 G,记 ? PFG 的面积为 S1 ,? PDM 的面积为 S2 ,求 及取得最大值时点 P 的坐标.

S1 的最大值 S2

(Ⅰ)由题意知

a2 ? b2 3 ,可得: a ? 2b . ? a 2

因为抛物线 E 的焦点为 F (0, ) ,所以 a ? 1, b ? 所以椭圆 C 的方程为 x ? 4 y ? 1.
2 2

1 2

1 , 2

(Ⅱ) (i)设 P(m,

m2 )(m ? 0) ,由 x 2 ? 2 y 可得 y / ? x , 2

所以直线 l 的斜率为 m , 因此直线 l 的方程为 y ?

m2 m2 . ? m( x ? m) ,即 y ? m x ? 2 2

? m2 ? y ? mx ? 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), D( x0 , y0 ) ,联立方程 ? 2 2 2 ?x ? 4 y ? 1 ?
得 (4m 2 ? 1) x 2 ? 4m3 x ? m 4 ? 1 ? 0 , 由 ? ? 0 ,得 0 ? m ?

2 ? 5 或0 ? m2 ? 2 ? 5

?

?

4m 3 且 x1 ? x 2 ? , 4m 2 ? 1
因此 x0 ?

x1 ? x 2 2m 3 , ? 2 4m 2 ? 1

m2 m2 将其代入 y ? m x ? 得 y0 ? ? , 2 2(4m 2 ? 1)
因为

1 y0 1 x. ,所以直线 OD 方程为 y ? ? ?? 4m x0 4m

1 ? x 1 ?y ? ? 联立方程 ? 4m ,得点 M 的纵坐标为 yM ? ? , 4 ? ?x ? m
即点 M 在定直线 y ? ?

1 上. 4
m2 , 2

(ii)由(i)知直线 l 方程为 y ? m x ?

令 x ? 0得 y ? ?

m2 m2 ,所以 G (0,? ), 2 2

又 P(m,

2m 3 ? m2 m2 1 ), F (0, ), D ( 2 , ), 2 2 4m ? 1 2(4m 2 ? 1)

所以 S1 ?

1 1 | GF | m ? m(m 2 ? 1) , 2 4

S2 ?

1 m(2m 2 ? 1) 2 , | PM | ? | m ? x0 |? 2 8(4m 2 ? 1)

所以

S1 2(4m 2 ? 1)(m 2 ? 1) , ? S2 (2m 2 ? 1) 2

令 t ? 2m ? 1 ,则
2

S1 (2t ? 1)(t ? 1) 1 1 ? ? ? 2 ? ?2, 2 S2 t t t

当 ?

1 t

1 9 S 2 ,即 t ? 2 时, 1 取得最大值 ,此时 m ? ,满足 ? ? 0 , 2 4 2 S2 9 2 1 2 1 S , ) ,因此 1 的最大值为 ,此时点 P 的坐标为 ( , ). 4 2 4 2 4 S2

所以点 P 的坐标为 (

上海卷
1 、设 f ( x ) 、 g ( x) 、 h( x) 是定义域为 R 的三个函数,对于命题:①若 f ( x) ? g ( x) 、

f ( x) ? h( x) 、 g ( x) ? h( x) 均为增函数,则 f ( x) 、 g ( x) 、 h( x) 中至少有一个增函数;②
若 f ( x) ? g ( x) 、 f ( x) ? h( x) 、g ( x) ? h( x) 均是以 T 为周期的函数, 则 f ( x ) 、g ( x) 、h( x) 均是以 T 为周期的函数,下列判断正确的是( D ) A 、①和②均为真命题 B 、①和②均为假命题 C 、①为真命题,②为假命题 D 、①为假命题,②为真命题 2. 双曲线 x 2 ?

y2 ? 1(b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1、F2 ,直线 l 过 F2 且与双曲线交于 b2

A、B 两点。
(1)若 l 的倾斜角为 (2)设 b ?

?
2

, ?F1 AB 是等边三角形,求双曲线的渐近线方程;

??? ? ???? ??? ? 3 ,若 l 的斜率存在,且 ( F1 A ? F1B) ? AB ? 0 ,求 l 的斜率.

(1)设 ? ? x? , y? ? .
2 2 2 4 由题意, F2 ? c,0? , c ? 1 ? b2 , y? ? b c ? 1 ? b ,

?

?

因为 ?F 3 y? , 1?? 是等边三角形,所以 2c ?
2 2 4 即 4 1 ? b ? 3b ,解得 b ? 2 .

?

?

故双曲线的渐近线方程为 y ? ? 2 x . (2)由已知, F 1 ? ?2,0 ? , F 2 ? 2,0? . 设 ? ? x1, y1 ? , ? ? x2 , y2 ? ,直线 l : y ? k ? x ? 2? .显然 k ? 0 .

? 2 y2 ?1 ?x ? 2 2 2 2 由? ,得 ? k ? 3? x ? 4k x ? 4k ? 3 ? 0 . 3 ? y ? k ? x ? 2? ?
2 2 因为 l 与双曲线交于两点,所以 k ? 3 ? 0 ,且 ? ? 36 1 ? k ? 0 .

?

?

设 ?? 的中点为 ? ? x? , y? ? . 由 F ? k ? ?1 . 1? ? F 1? ? ?? ? 0 即 F 1? ? ?? ,故 kF 1?? ?? ? 0 ,知 F 1? 而 x? ?

?

???? ??? ? ??? ?

?

???? ? ??? ?

6k 3k x1 ? x2 2k 2 , y? ? k ? x? ? 2 ? ? 2 , kF1? ? , ? 2 k ?3 2k 2 ? 3 2 k ?3

所以

3 3k 15 ? k ? ?1 ,得 k 2 ? ,故 l 的斜率为 ? . 2 5 2k ? 3 5

3.

已知 a ? R ,函数 f ( x ) ? log 2 (

1 ? a) . x

(1)当 a ? 5 时,解不等式 f ( x ) ? 0 ; (2) 若关于 x 的方程 f ( x) ? log2 [(a ? 4) x ? 2a ? 5] ? 0 的解集中恰好有一个元素, 求a 的 取值范围; (3)设 a ? 0 ,若对任意 t ? [ ,1] ,函数 f ( x ) 在区间 [t , t ? 1] 上的最大值与最小值的差不 超过 1,求 a 的取值范围. 3.解: (1)由 log 2 ?

1 2

1 ?1 ? ? 5 ? ? 0 ,得 ? 5 ? 1 , x ?x ?

解得 x ? ? ??, ? ? ? ? 0, ?? ? . (2)

? ?

1? 4?

1 ? a ? ? a ? 4 ? x ? 2a ? 5 , ? a ? 4? x2 ? ? a ? 5? x ?1 ? 0 , x

当 a ? 4 时, x ? ?1 ,经检验,满足题意. 当 a ? 3 时, x1 ? x2 ? ?1 ,经检验,满足题意. 当 a ? 3 且 a ? 4 时, x1 ?

1 , x2 ? ?1 , x1 ? x2 . a?4
1 ? a ? 0 ,即 a ? 2 ; x1

x1 是原方程的解当且仅当

x2 是原方程的解当且仅当

1 ? a ? 0 ,即 a ? 1 . x2

于是满足题意的 a ? ?1, 2? . 综上, a 的取值范围为 ?1, 2? ? ?3, 4? . (3)当 0 ? x1 ? x2 时,

?1 ? ?1 ? 1 1 ? a ? ? a , log2 ? ? a ? ? log2 ? ? a ? , x1 x2 ? x1 ? ? x2 ?

所以 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上单调递减. 函数 f ? x ? 在区间 ?t , t ? 1? 上的最大值与最小值分别为 f ? t ? , f ? t ? 1? .

?1 ? ? 1 ? f ? t ? ? f ? t ? 1? ? log 2 ? ? a ? ? log 2 ? ? a ? ? 1 即 at 2 ? ? a ? 1? t ?1 ? 0 ,对任意 ?t ? ? t ?1 ? ?1 ? t ? ? ,1? 成立. ?2 ?
2 因为 a ? 0 ,所以函数 y ? at ? ? a ?1? t ?1 在区间 ? ,1? 上单调递增, t ?

?1 ? ?2 ?

1 时, y 2

有最小值

3 1 2 3 1 a ? ,由 a ? ? 0 ,得 a ? . 4 2 3 4 2
?2 ?3 ? ?

故 a 的取值范围为 ? , ?? ? . 4. 若无穷数列 {an } 满足:只要 a p ? aq ( p, q ? N * ) ,必有 a p?1 ? aq?1 ,则称 {an } 具有性质

P.
(1)若 {an } 具有性质 P ,且 a1 ? 1, a2 ? 2, a4 ? 3, a5 ? 2 , a6 ? a7 ? a8 ? 21 ,求 a3 ; (2)若无穷数列 {bn } 是等差数列,无穷数列 {cn } 是公比为正数的等比数列, b1 ? c5 ? 1 ,

b5 ? c1 ? 81 , an ? bn ? cn 判断 {an } 是否具有性质 P ,并说明理由;
(3)设 {bn } 是无穷数列,已知 an?1 ? bn ? sin an (n ? N ) .求证: “对任意 a1 ,{an } 都具有性
*

质 P ”的充要条件为“ {bn } 是常数列”. 4.解析: (1)因为 a5 ? a2 ,所以 a6 ? a3 , a7 ? a4 ? 3 , a8 ? a5 ? 2 . 于是 a6 ? a7 ? a8 ? a3 ? 3 ? 2 ,又因为 a6 ? a7 ? a8 ? 21,解得 a3 ? 16 .

(2) ?bn ? 的公差为 20 , ?cn ? 的公比为

1 , 3

所以 bn ? 1 ? 20 ? n ?1? ? 20n ?19 , cn ? 81? ? ?

?1? ? 3?

n ?1

? 35?n .

an ? bn ? cn ? 20n ?19 ? 35?n .

a1 ? a5 ? 82 ,但 a2 ? 48 , a6 ?
所以 ?an ? 不具有性质 ? . (3)[证]充分性:

304 , a2 ? a6 , 3

当 ?bn ? 为常数列时, an?1 ? b1 ? sin an . 对任意给定的 a1 ,只要 a p ? aq ,则由 b1 ? sin a p ? b1 ? sin aq ,必有 a p?1 ? aq?1 . 充分性得证. 必要性: 用反证法证明.假设 ?bn ? 不是常数列,则存在 k ? ? ,
?

使得 b1 ? b2 ? ??? ? bk ? b ,而 bk ?1 ? b . 下面证明存在满足 an?1 ? bn ? sin an 的 ?an ? ,使得 a1 ? a2 ? ??? ? ak ?1 ,但 ak ?2 ? ak ?1 . 设 f ? x ? ? x ? sin x ? b ,取 m ? ? ,使得 m? ? b ,则
?

f ? m? ? ? m? ? b ? 0 , f ? ?m? ? ? ?m? ? b ? 0 ,故存在 c 使得 f ? c ? ? 0 .
取 a1 ? c ,因为 an?1 ? b ? sin an ( 1 ? n ? k ) ,所以 a2 ? b ? sin c ? c ? a1 , 依此类推,得 a1 ? a2 ? ??? ? ak ?1 ? c . 但 ak ?2 ? bk ?1 ? sin ak ?1 ? bk ?1 ? sin c ? b ? sin c ,即 ak ?2 ? ak ?1 . 所以 ?an ? 不具有性质 ? ,矛盾. 必要性得证. 综上, “对任意 a1 , ?an ? 都具有性质 ? ”的充要条件为“ ?bn ? 是常数列” .

四川卷
1.在平面内,定点 A,B,C,D 满足 DA = DB = DC , DAg DB = DBg DC = DC g DA =-2, 动点 P,M 满足 AP =1, PM = MC ,则 BM 的最大值是( B )

uuu r

uuu r

r uuu r uuu uuu r uu u r uuu r uuu r uuu r

uu u r

r uuu r uuu

uuuu r2

(A)

49 43 37 ? 6 3 37 ? 2 33 (B) ( C) (D) 4 4 4 4
*

2.已知数列{ an }的首项为 1,Sn 为数列{ an }的前 n 项和,Sn?1 ? qSn ? 1 , 其中 q>0,n ? N . (I)若 2a2 , a3 , a2 ? 2 成等差数列,求{ an }的通项公式; (ii)设双曲线 x 2 ?

5 y2 4n ? 3n e ? e 的离心率为 ,且 ,证明: e ? e ? ??? ? e ? ? 1 2 1 2 n n 2 3 3n ?1 . an

(Ⅰ)由已知, Sn+ 1 = qSn + 1, Sn+ 2 = qSn+ 1 + 1, 两式相减得到 an+ 2 = qan+ 1 , n ? 1 . 又由 S2 = qS1 + 1 得到 a2 = qa1 ,故 an+ 1 = qan 对所有 n ? 1 都成立. 所以,数列 {an } 是首项为 1,公比为 q 的等比数列. 从而 an =q n- 1 .
)( q 2) 0 = , ,则 (2 q+1 由 2a2,a3,a2 +2 成等差数列,可得 2a3 =3a2 + 2 ,即 2q2=3 q +2



由已知, q > 0 ,故 q =2 . 所以 an = 2n- 1 (n ? N* ) . (Ⅱ)由(Ⅰ)可知, an = qn- 1 . 所以双曲线 x 2 y2 = 1 的离心率 en = 1 + an2 = 1 + q2( n- 1) an 2

.

由 e2 = 1 + q2 =

5 4 解得 q = . 3 3

1 因为 1+q2( k - 1) > q2( k - 1) ,所以 1+q2(k- 1) > qk-( . k ? N*)

? en > 1+q + 鬃 ? q n- 1 = 于是 e1 + e2 + 鬃

qn - 1 , q- 1

故 e1 + e2 + 鬃 ? en >

4n - 3n . 3n- 1

3.已知椭圆 E:

的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的 3 个顶

点,直线 l:y=-x+3 与椭圆 E 有且只有一个公共点 T. (I)求椭圆 E 的方程及点 T 的坐标; (II)设 O 是坐标原点,直线 l’平行于 OT,与椭圆 E 交于不同的两点 A、B,且与直线 l 交于 点 P.证明:存在常数λ ,使得∣PT∣2=λ ∣PA∣·∣PB∣,并求λ 的值.

x2 y2 (I)由已知, a ? 2b ,则椭圆 E 的方程为 2 ? 2 ? 1 . 2b b

? x2 y2 ? 2 ? 2 ? 1, 有方程组 ? 2b 得 3x2 ? 12 x ? (18 ? 2b2 ) ? 0 .① b ? y ? ? x ? 3, ?
方程①的判别式为 ?=24(b2 ? 3) ,由 ? =0 ,得 b =3 ,
2

此时方程①的解为 x =2 , 所以椭圆 E 的方程为 点 T 坐标为(2,1). (II)由已知可设直线 l ? 的方程为 y ?

x2 y 2 ? ? 1. 6 3

1 x ? m(m ? 0) , 2

2m ? 1 x ? 2? , ? ? y ? x ? m , ? ? 3 有方程组 ? 可得 ? 2 ? y ? 1 ? 2m . ? ? y ? ? x ? 3, ? 3 ?
所以 P 点坐标为( 2 ?

2m 2m ,1 ? T ) ,P 3 3

2

8 ?m 9

2

.

设点 A,B 的坐标分别为 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ) .

? x2 y 2 ? ? 1, ? ?6 3 由方程组 ? 可得 3x2 ? 4mx ? (4m2 ?12) ? 0 .② ? y ? 1 x ? m, ? ? 2
方程②的判别式为 ?=16(9 ? 2m2 ) ,由 ? >0 ,解得 ?

3 2 3 2 . ?m? 2 2

由②得 x1 ? x2 = ?

4m 4m2 ? 12 . , x1 x2 ? 3 3

所以 PA ? (2 ?

2m 2m 5 2m ? x1 )2 ? (1 ? ? y1 )2 ? 2? ? x1 , 3 3 2 3

同理 PB ?

5 2m 2? ? x2 , 2 3
5 2m 2m (2 ? ? x1 )(2 ? ? x2 ) 4 3 3

所以 PA ? PB ?

?

5 2m 2 2m (2 ? ) ? (2 ? )( x1 ? x2 ) ? x1 x2 4 3 3

5 2m 2 2m 4m 4m2 ? 12 ? (2 ? ) ? (2 ? )(? )? 4 3 3 3 3
? 10 2 m . 9 4 2 ,使得 PT ? ? PA ? PB . 5

故存在常数 ? ?

天津卷
? x 2 ? (4a ? 3) x ? 3a, x<0 ? 1.已知函数 f ( x) ? ? ( a>0 , 学.科网且 a ? 1 ) 在 R 上单调递减, log ( x ? 1 ) ? 1 , x 0 ≥ ? ? a
且关于 x 的方程 f ( x) ? 2 ? x 恰好有两个不相等的实数解,则 a 的取值范围是( C ) (A) (0, ]

2 3

(B) [ , ]

2 3 3 4

(C)[ , ] U {

1 2 3 3

3 } 4

(D)[ , ) U {

1 2 3 3

3 } 4

2.设椭圆

1 1 3e x2 y 2 , ? ? 1 (a> 3) 的右焦点为 F ,右顶点为 A .已知 ? ? 2 a 3 OF OA FA

其中 O 为原点, e 为椭圆的离心率. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)设过点 A 的直线 l 与椭圆交于点 B ( B 不在 x 轴上) ,垂直于 l 的直线与 l 交于点

M ,与 y 轴交于点 H .若 BF ? HF ,且 ?MOA ≤ ?MAO ,求直线 l 的斜率的取值范围.

【答案】 (Ⅰ) 【解析】

x2 y 2 6 6 ? ? 1 (Ⅱ) (??,? ]?[ ,??) 4 3 4 4

试题分析: (Ⅰ) 求椭圆标准方程, 只需确定量, 由

1 1 3c 1 1 3 c , 得 ? ? ? ? | OF | | OA | | FA | c a a (a ? c) ,

再利用 a ? c ? b ? 3 ,可解得 c ? 1 , a ? 4 (Ⅱ)先化简条件:?MOA ? ?MAO ?
2 2 2 2 2

| MA |?| MO | ,即 M 再 OA 中垂线上, xM ? 1 再利用直线与椭圆位置关系,联立方程组
, 求 B ;利用两直线方程组求 H,最后根据 BF ? HF ,列等量关系解出直线斜率.取值范围 试题解析: ( 1 )解:设 F (c , 0) ,由

1 1 3c 1 1 3c ,即 ? ? ,可得 ? ? | OF | | OA | | FA | c a a (a ? c)

a 2 ? c 2 ? 3 c 2 , 又 a 2 ? c2 ? b2 ?3 , 所 以 c2 ? 1 , 因 此 a 2 ? 4 , 所 以 椭 圆 的 方 程 为
x2 y 2 ? ? 1. 4 3
(2) (Ⅱ) 解: 设直线 l 的斜率为 k( k ? 0 ) , 则直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2) .设 B( xB , y B ) ,

? x2 y 2 ?1 ? ? 由方程组 ? 4 ,消去 y ,整理得 (4k 2 ? 3) x 2 ?16k 2 x ? 16k 2 ?12 ? 0 . 3 ? y ? k ( x ? 2) ?
解得 x ? 2 ,或 x ?

? 12 k 8k 2 ? 6 8k 2 ? 6 ,由题意得 ,从而 yB ? . xB ? 2 2 4k 2 ? 3 4k ? 3 4k ? 3
9 ? 4k 2 12k , ) .由 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3

由(Ⅰ)知, F (1,0) ,设 H (0, yH ) ,有 FH ? (?1, yH ) , BF ? (

BF ? HF ,得 BF ? HF ? 0 ,所以

9 ? 4k 2 12kyH 9 ? 4k 2 ,解得 .因此直线 ? ? 0 y ? H 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 12k

1 9 ? 4k 2 MH 的方程为 y ? ? x ? . k 12k

? 1 9 ? 4k 2 20k 2 ? 9 ?y ? ? x ? y 设 M ( xM , yM ) , 由方程组 ? 消去 , 解得 .在 ?MAO 中, x ? k 12k M 2 12 ( k ? 1 ) ? y ? k ( x ? 2) ?
2 2 2 , 化 简 得 xM ? 1 , 即 ?MOA ? ?MAO ?| MA |?| MO | , 即 ( xM ? 2)2 ? yM ? xM ? yM

20k 2 ? 9 6 6 或k ? . ? 1 ,解得 k ? ? 2 4 4 12(k ? 1)
所以,直线 l 的斜率的取值范围为(??,? 3.已知函数 f ( x) ? sin
2

6 6 ] U[ ,??). 4 4

?x

1 1 x ? R .若 f ( x) 在区间 (? ,2? ) 内没有零 ? sin ?x ? (? ? 0) , 2 2 2

点,则 ? 的取值范围是(D) (A) ( 0, ]

1 8

(B)(0, ] U [ ,1)

1 4

5 8

(C) ( 0, ]

5 8

(D)(0, ] U [

1 8

1 5 , ] 4 8

浙江卷
1. 如图,点列{An},{Bn}分别在某锐角的两边上, 且 An An?1 ? An?1 An?2 , An ? An?2 , n ? N ,
*

(P? Q 表示点 P Q 与 不重合 ). Bn Bn?1 ? Bn?1Bn?2 , Bn ? Bn?2 , n ? N* , 若 dn ? An Bn ,Sn为△An Bn Bn?1的面积,则 ( )

A. {Sn } 是等差数列 C. {dn } 是等差数列 【答案】A

2 B. {Sn } 是等差数列 2 D. {dn } 是等差数列

【解析】 Sn 表示点 An 到对面直线的距离(设为 hn )乘以 Bn Bn?1 长度一半,即

Sn ?

1 hn Bn Bn ?1 ,由题目中条件可知 Bn Bn?1 的长度为定值,那么我们需要知道 hn 的关系 2

式,过 A 1 作垂直得到初始距离 h1 ,那么 A 1, A n 和两个垂足构成了等腰梯形,那么

hn ? h1 ? An A n?1 ? tan ? ,其中 ? 为两条线的夹角,即为定值,那么
1 1 (h1 ? A1 A n ? tan ? ) Bn Bn ?1 , Sn ?1 ? ( h1 ? A1 A n ?1 ? tan ? ) Bn Bn ?1 ,作差后: 2 2 1 Sn ?1 ? Sn ? ( An A n ?1 ? tan ? ) Bn Bn ?1 ,都为定值,所以 Sn?1 ? Sn 为定值.故选 A.学科& 2 Sn ?
网 2. 已知椭圆 C1:

x2 2 x2 2 + y =1( m >1) 与双曲线 C : –y =1(n>0)的焦点重合,e1,e2 分别为 C1, 2 m2 n2
C.m<n 且 e1e2>1
2 2

C2 的离心率,则 ( ) A.m>n 且 e1e2>1 B.m>n 且 e1e2<1 【答案】A
2 2

D.m<n 且 e1e2<1

【解析】由题意知 m ? 1 ? n ? 1,即 m ? n ? 2 ,

(e1e2 )2 ?
选 A.

m 2 ? 1 n2 ? 1 1 1 ? 2 ? (1 ? 2 )(1 ? 2 ) ,代入 m 2 ? n2 ? 2 ,得 m ? n,(e1e2 )2 ? 1 .故 2 m n m n

3. 已知实数 a,b,c ( ) A.若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1,则 a2+b2+c2<100 B.若|a2+b+c|+|a2+b–c|≤1,则 a2+b2+c2<100 C.若|a+b+c2|+|a+b–c2|≤1,则 a2+b2+c2<100 D.若|a2+b+c|+|a+b2–c|≤1,则 a2+b2+c2<100 【答案】D

4. 如图,在△ABC 中,AB=BC=2,∠ABC=120°.若平面 ABC 外的点 P 和线段 AC 上的点 D, 满足 PD=DA,PB=BA,则四面体 PBCD 的体积的最大值是 .

【答案】

1 2

【解析】 ?ABC 中,因为 AB ? BC ? 2, ?ABC ? 120? ,

所以 ?BAD ? BCA ? 30 .
?

由余弦定理可得 AC ? AB ? BC ? 2 AB ? BC cos B
2 2 2

? 22 ? 22 ? 2 ? 2 ? 2cos120? ? 12 ,
所以 AC ? 2 3 . 设 AD ? x ,则 0 ? t ? 2 3 , DC ? 2 3 ? x . 在 ?ABD 中,由余弦定理可得 BD ? AD ? AB ? 2 AD ? AB cos A
2 2 2

? x2 ? 22 ? 2 x ? 2cos30? ? x2 ? 2 3x ? 4 .
故 BD ?

x 2 ? 2 3x ? 4 .

在 ?PBD 中, PD ? AD ? x , PB ? BA ? 2 . 由余弦定理可得 cos ?BPD ? 所以 ?BPD ? 30 .
?

PD2 ? PB 2 ? BD2 x 2 ? 22 ? ( x 2 ? 2 3x ? 4) 3 ? ? , 2 PD ? PB 2? x?2 2

P C

E D A B

过 P 作直线 BD 的垂线,垂足为 O .设 PO ? d

1 1 BD ? d ? PD ? PB sin ?BPD , 2 2 1 2 1 即 x ? 2 3 x ? 4 ? d ? x ? 2sin 30? , 2 2
则 S ?PBD ? 解得 d ?

x x ? 2 3x ? 4
2

.

1 1 1 CD ? BC sin ?BCD ? (2 3 ? x) ? 2sin 30? ? (2 3 ? x) . 2 2 2 设 PO 与平面 ABC 所成角为 ? ,则点 P 到平面 ABC 的距离 h ? d sin ? . 故四面体 PBCD 的体积
而 ?BCD 的面积 S ?

1 1 1 1 1 x V ? S? BcD ? h ? S? BcD d sin ? ? S? BcD ? d ? ? (2 3 ? x) ? 3 3 3 3 2 x 2 ? 2 3x ? 4

?

1 x(2 3 ? x) . 6 x 2 ? 2 3x ? 4
x 2 ? 2 3x ? 4 ? ( x ? 3) 2 ? 1 ,因为 0 ? x ? 2 3 ,所以 1 ? t ? 2 .

设t ?

则 | x ? 3 |? t 2 ?1 .

(2)当 3 ? x ? 2 3 时,有 | x ? 3 |? x ? 3 ? t 2 ?1 , 故 x ? 3 ? t 2 ?1 . 此时, V ?

1 ( 3 ? t 2 ? 1)[2 3 ? ( 3 ? t 2 ? 1)] 6 t

1 4 ? t2 1 4 ? ? ? ( ? t) . 6 t 6 t
由(1)可知,函数 V (t ) 在 (1, 2] 单调递减,故 V (t ) ? V (1) ? 综上,四面体 PBCD 的体积的最大值为

1 4 1 ( ? 1) ? . 6 1 2

1 . 2

5. 已知向量 a、 b, |a| =1, |b| =2, 若对任意单位向量 e, 均有 |a· e|+|b· e| ? 则 a· b 的最大值是 .

6 ,

1 【答案】 2

【解析】| (a ? b) ? e |?| a ? e | ? | b ? e |? 6 ?| a ? b |? 6 ?| a |2 ? | b |2 ?2a ? b ? 6 ? a ? b ?

r

r r

r r

r r

r

r

r

r

r r

r r

1 ,即 2

最大值为

1 2

6 (本小题 15 分)已知 a ? 3 ,函数 F(x)=min{2|x?1|,x2?2ax+4a?2},
? p,p ? q, 其中 min{p,q}= ? ?q, p > q.

(I)求使得等式 F(x)=x2?2ax+4a?2 成立的 x 的取值范围; (II) (i)求 F(x)的最小值 m(a) ; (ii)求 F(x)在区间[0,6]上的最大值 M(a). 【试题分析】 ( I ) 分 别 对 x ? 1 和 x ? 1 两 种 情 况 讨 论 F? x? , 进 而 可 得 使 得 等 式 ( II ) ( i ) 先 求 函 数 f ? x ? ? 2 x ?1 , F ? x ? ? x2 ? 2ax ? 4a ? 2 成 立 的 x 的 取 值 范 围 ; (ii) g ? x ? ? x2 ? 2ax ? 4a ? 2 的最小值,再根据 F ? x ? 的定义可得 F ? x ? 的最小值 m ? a ? ; 分别对 0 ? x ? 2 和 2 ? x ? 6 两种情况讨论 F ? x ? 的最大值,进而可得 F ? x ? 在区间 ?0, 6? 上 的最大值 ? ? a ? .

(II) (i)设函数 f ? x ? ? 2 x ?1 , g ? x ? ? x ? 2ax ? 4a ? 2 ,则
2

f ? x ?min ? f ?1? ? 0 , g ? x ?min ? g ? a ? ? ?a2 ? 4a ? 2 ,
所以,由 F ? x ? 的定义知 m ? a ? ? min f ?1? , g ? a ? ,即

?

?

? ?0,3 ? a ? 2 ? 2 . m?a? ? ? 2 ? a ? 4 a ? 2, a ? 2 ? 2 ? ? (ii)当 0 ? x ? 2 时,

F? x ? ? f ? x ? ? max ? f ? 0? , f ? 2?? ? 2 ? F ? 2? ,
当 2 ? x ? 6 时,

F? x ? ? g ? x ? ? max ?g ? 2? , g ? 6?? ? max ?2,34 ? 8a? ? max ?F ? 2? ,F ?6?? .
所以,

?34 ? 8a,3 ? a ? 4 . ? ?a? ? ? ?2, a ? 4
7 (本题满分 15 分)如图,设椭圆

x2 ? y 2 ? 1 (a>1). a2

( I)求直线 y = kx+1 被椭圆截得的线段长(用 a、 k 表示) ; ( II)若任意以点 A( 0,1 )为圆心的圆与椭圆至多有 3 个公共点,求椭圆离 心率的取值范围 .

? y ? kx ? 1 ? 【试题解析】 (I)设直线 y ? kx ? 1 被椭圆截得的线段为 ?? ,由 ? x 2 得 2 ? 2 ? y ?1 ?a

?1 ? a k ? x
2 2

2

? 2a 2 kx ? 0 , x1 ? 0 , x2 ? ?

2a 2 k . 1 ? a2k 2

?? ? 1 ? k x1 ? x2 ?
2

2a 2 k 1 ? a2k 2

? 1? k 2 .

(II) 假设圆与椭圆的公共点有 4 个, 由对称性可设 y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点 ? ,Q ,

?? ? ?Q .记直线 ?? , ?Q 的斜率分别为 k1 , k2 ,且 k1 , k2 ? 0 , k1 ? k2 .

8.(本题满分 15 分)设数列 ?an ? 满足 an ?
n ?1 a1 ? 2 , n ? ?? ; (I)证明: an ? 2

an?1 ? 1 , n ? ?? . 2

?

?

?3? ? ? (II)若 an ? ? ? , n ? ? ,证明: an ? 2 , n ? ? . ?2?
【试题分析】 (I)先利用三角形不等式得 an ?

n

a an ?1 1 1 an ?1 ? 1 ,变形为 n ? ? n ,再用 n n ?1 2 2 2 2

累加法可得

a1 an an am 1 n ?1 进而可证 an ? 2 ? a1 ? 2 ? ; (II) 由 (I) 可得 n ? m ? n ?1 , ? n ? 1, 2 2 2 2 2

进而可得 an ? 2 ? ? ? ? 2n ,再利用 m 的任意性可证 an ? 2 .

? 3? ? 4?

m

(II)任取 n ? ? ,由(I)知,对于任意 m ? n ,

?

an a ?a a ?1 ? ? an ?1 an ? 2 ? ? a ?1 am ? ? m ?? n ? n ? ? n ?1 ? n ? 2 ? ? ??? ? ? m ? m ? n m n n ?1 ? m ?1 2 2 2 ? ?2 2 ? 2 ? ?2 ?2

1 1 1 ? n ?1 ? ??? ? m ?1 n 2 2 2 1 ? n ?1 , 2 ?


? 1 a ? n an ? ? n?1 ? m ??2 2m ? ?2
? 1 1 ? ? n ?1 ? m 2 ?2 ?
m
m ?3? ? n ?? ? ? ? 2 ?2? ? ?

?3? ? 2 ? ? ? ? 2n . ?4?
从而对于任意 m ? n ,均有

9. 已知函数 f(x)=x2+bx,则“b<0”是“f(f(x) )的最小值与 f(x)的最小值相等”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 【答案】A B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件



考点:充分必要条件. 10. 已知函数 f ( x) 满足: f ( x) ? x 且 f ( x) ? 2x , x ? R .( A.若 f (a) ? b ,则 a ? b C.若 f (a) ? b ,则 a ? b 【答案】B 【解析】 B.若 f (a) ? 2b ,则 a ? b D.若 f (a) ? 2b ,则 a ? b )

试题分析: 由已知可设 f ( x ) ? ?

? 2 x ( x ? 0) ?2a (a ? 0) ? ? , 则 f (a ) ? ? , 因为 f ( x ) 为偶函数, ?a ?x ? ? ?2 (a ? 0) ? 2 ( x ? 0)

b a b 所以只考虑 a ? 0 的情况即可.若 f (a) ? 2 ,则 2 ? 2 ,所以 a ? b .故选 B.

考点:函数的奇偶性. 11.如图,已知平面四边形 ABCD,AB=BC=3,CD=1,AD= 5 ,∠ADC=90°.沿直线 AC 将 △ACD 翻折成△ACD',直线 AC 与 BD'所成角的余弦的最大值是______.

【答案】

6 9

uuur r uuur r BD ' ? n 所以 cos ? ? cos ? BD ', n ? ? uuur r = BD ' n
大值

6 3 ,所以 cos ? ? 1 时, cos ? 取最 9 ? 5cos ?

6 . 9

考点:异面直线所成角. 11.已知平面向量 a,b,|a|=1,|b|=2,a·b=1.若 e 为平面单位向量,则|a·e|+|b·e| 的最大值是______. 【答案】 7 【解析】

考点:平面向量的数量积和模. 12. (本题满分 15 分)设函数 f ( x) = x ?
3

1 , x ? [0,1] .证明: 1? x

(I) f ( x) ? 1 ? x ? x ;
2

(II)

3 3 ? f ( x) ? . 4 2

【答案】 (Ⅰ)证明详见解析; (Ⅱ)证明详见解析. 【解析】 试题分析:本题主要考查函数的单调性与最值、分段函数等基础知识,同时考查推理论证能

力、 分析问题和解决问题的能力.第一问, 利用放缩法, 得到
3 第二问,由 0 ? x ? 1 得 x ? x ,进行放缩,得到 f ? x ? ?

1 ? x4 1 , 从而得到结论; ? 1? x 1? x

3 , 再结合第一问的结论,得到 2

f ? x? ?

3 , 从而得到结论. 4
4 2 3

1? ??x? 1 ? x4 试题解析:(Ⅰ)因为 1 ? x ? x ? x ? ? , 1? ??x? 1? x

考点:函数的单调性与最值、分段函数.


推荐相关:

2016年全国各地高考卷中档压轴类题精选精练(浙江版改编)(带答案版) - 副本

2016年全国各地高考卷中档压轴类题精选精练(浙江版改编)(带答案版) - 副本_英语_高中教育_教育专区。2016 年全国各地高考卷中档压轴类题精选精练 (浙江版改编) ...


2016年职称英语考试必过技巧(完整版)

2016 年全国职称英语考试必过技巧 1、试题概况及答题顺序 1.1、必杀技:见下...2.1.2、教材练习不用做,把答案勾画出来,只需记住其中题目划线部分或者 答案是...


2016-2017高考化学化学反应原理综合习题精选练习(word练习版)

2016-2017高考化学化学反应原理综合习题精选练习(word练习版)_理化生_高中教育_教育专区。2016-2017 高考化学化学反应原理综合练习题 题型一 化学平衡与能量变化的...


2014年高考试题分类汇编:文言文阅读(含详细解答)

2014年高考试题分类汇编:文言文阅读(含详细解答)_高考_高中教育_教育专区。2014 年全国高考语文真题专题分类汇编:文言文阅读(含详细解答) 2014 年普通高等学校招生全...


2016年全国卷高考文科数学模拟试题(1)

k 1 ?? ? . 6 k ?1 (ak ? 1)(ak ?1 ? 1) 2 2016 年全国卷高考文科数学模拟试题(1)答案一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共 12 小题...


2016年浙江省高考理综化学部分第29题练习(4)

2016 年浙江省高考理综化学部分第 29 题练习(4) 1.钴氧化物可制备锂离子电池正极材料,利用钴渣[含 Co(OH)3、Fe(OH)3 等]制备钴 氧化物的工艺流程如下: ...


高考语文实用类文本阅读模拟试题及答案

高考语文实用类文本阅读模拟试题及答案_高考_高中教育_教育专区。实用类文本阅读——人物传记训练一《梁启超面面观》 梁启超很欣赏孔子所说的“智者不惑,仁者不忧,...


广东省广州市2016年高考备考冲刺训练历史试题 Word版含答案

广东省广州市2016年高考备考冲刺训练历史试题 Word版含答案_高三政史地_政史地_高中教育_教育专区。名校试题,价值高 广州市 2016 年冲刺阶段训练 高三说明: 1....


2016高考模拟-物理试题1(含答案)

2016高考模拟-物理试题1(含答案)_高三理化生_理化生_高中教育_教育专区。物理高考模拟题,限时训练2015 年高考模拟考试理综物理试题(一)二、选择题(本题共 8 小...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com