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【2010年高考精品】历届数学高考试题重组金卷——函数与不等式


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年高考精品】 【2010 年高考精品】历届数学高考试题重组金卷 函数与不等式( 函数与不等式(A)
请将正确答案的代号填入下表) 一、选择题:(每小题 5 分,计 50 分。请将正确答案的代号填入下表) 选择题:(每小题 :(
题号 答案
1.(2008 全国Ⅰ卷文 函数 y = 1 ? x + 全国Ⅰ卷文) A. {x | x ≤ 1} B. {x | x ≥ 0}

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x 的定义域为( ) C. {x | x ≥ 1或x ≤ 0} D. {x | 0 ≤ x ≤ 1}

2(2007 全国Ⅱ理)把函数 y=ex 的图象按向量 a=(2,3)平移,得到 y=f(x)的图象,则 f(x)= ( 全国Ⅱ ( ) (B) ex+3-2 (C) ex-2+3 (D) ex+2-3 (A) ex-3+2 3.(2005 山东文科 山东文科 文科)下列大小关系正确的是( A. 0.4 < 3
2 0.4

) B. 0.4 < log 4 0.3 < 3
2 0.4

< log 4 0.3 ;
2 0.4



C. log 4 0.3 < 0.4 < 3



D. log 4 0.3 < 3

0.4

< 0.42

4.(2007 山东文)设函数 y = x3 与 y = ? ( 山东文) 间是( ) A. (0, 1) B. (1, 2)
2

?1? ? ?2?

x ?2

的图象的交点为 ( x0,y0 ) ,则 x0 所在的区 C. (2, 3) D. (3, 4)

5.(2006 江西文、理)若不等式 x + ax + 1≥ 0 对一切 x ∈ ? 0, ? 成立,则 a 的最小值 ( 江西文、 为( ) A. 0 B. ?2 C. ?

? ?

1? 2?

5 D. ?3 2 ?(3a ? 1) x + 4a, x < 1 6.(2006 北京理) 是 ( ?∞, +∞ ) 上的减函数,那么 a 的取 6.(2006 北京理)已知 f ( x) = ? x ≥1 ?log a x,
值范围是( ) (B) (0, ) (C) [ , ) (A) (0,1)

1 3

1 1 7 3

(D) [ ,1)

1 7

7.(2008 陕西理 陕西理)定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) + 2 xy ( x,y ∈ R ),

f (1) = 2 ,则 f (?3) 等于(
A.2 B.3

) C.6

D.9

8(2007 四川文、理)函数 f(x)=1+log2x 与 g(x)=2-x+1 在同一直角坐标系下的图象大致是 ( 四川文、 ( )

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9.(2008 天津文 已知函数 f ( x) = ? 天津文) A. [ ?11] , B. [ ?2,] 2

? x + 2,x ≤ 0, 2 则不等式 f ( x) ≥ x 的解集为( ) ?? x + 2,x > 0,
C. [ ?2, 1] D. [ ?1 2] ,

? x ? y + 1≥ 0, ? x+2 y 北京理) 的最小值是( ) 10.(2008 北京理)若实数 x,y 满足 ? x + y ≥ 0, 则 z = 3 ( ? x ≤ 0, ? A.0 B.1 C. 3 D.9 填空题: 二、填空题:(每小题 5 分,计 35 分) 1 11、 2006 全国Ⅰ卷文) 全国Ⅰ卷文) 已知函数 f ( x ) = a ? x , f ( x ) 为奇函数, a = ________。 若 则 ( 2 +1
12.(2004 全国卷Ⅲ文科) 函数 y = 全国卷Ⅲ文科) ( 是 .

log 1 ( x ? 1) 的定义域
2

13.(2002 春招上海)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数. 若当 x≥0 时,f(x)=log3(1+x),则 ( 春招上海) . f(–2)=

14.(2004 浙江文、理)已知 f ( x ) = ? ( 浙江文、 ? 集是 。

1, x ≥ 0, 则不等式 x + ( x + 2) ? f ( x + 2) ≤5 的解 ? ? 1, x?0,

15.(2006 辽宁文、理)设 g ( x) = ? ( 辽宁文、

? e x , x ≤ 0.

?lnx, x > 0.

则 g ( g ( )) = __________

1 2

16.(2006 天津文、理)某公司一年购买某种货物 400 吨,每次都购买 x 吨,运费为 4 万元 ( 天津文、 /次,一年的总存储费用为 4x 万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则 x = 吨.

17.(2007 湖北文、理)为了预防流感,某学校对教室用药熏消毒法进行消毒. 已知药物释 ( 湖北文、 放过程中,室内每立方米空气中的含药量 y(毫克)与时间 t(小时)成正比;药物释放完 毕后,y 与 t 的函数关系式为 y = ?

?1? ? ? 16 ?

t ?a

(a 为常数),如图所示,根据图中

提供的信息,回答下列问题: (Ⅰ)从药物释放开始,每立方米空气中的含药量 y(毫克)与时间 t(小时)

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之间的函数关系式为___________________________________ (Ⅱ)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到 0.25 毫克以下时,学生方可 进教室,那从药物释放开始,至少需要经过 ____ 小时后,学生才能回到教室.

21、 三、解答题:(18、19 题各 12 分,20 题 13 分,21、22 题各 14 分,满分为 65 解答题:(18、 分) 18.(2006全国 卷文)设 a ∈ R ,函数 f ( x) = ax 2 ? 2 x ? 2a. 若 f ( x ) > 0 的解集为A, 全国Ⅱ卷文 (2006全国 卷文) B = { x |1 < x < 3} , A I B ≠ φ ,求实数 a 的取值范围。

19.(2001 春招北京、内蒙古、安徽文、理)某摩托车生产企业,上年度生产摩托车的投入 ( 春招北京 内蒙古、安徽文、 成本为 1 万元/辆,出厂价为 1.2 万元/辆,年销售量为 1000 辆.本年度为适应市场需求,计 划提高产品档次,适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为 x (0 < x < 1) ,则出 厂价相应提高的比例为 0.75 x ,同时预计年销售量增加的比例为 0.6 x .已知年利润=(出厂 价–投入成本) × 年销售量. (Ⅰ)写出本年度预计的年利润 y 与投入成本增加的比例 x 的关系式; (Ⅱ)为使本年度的年利润比上年有所增加,问投入成本增加的比例 x 应在什么范围 内?

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20. 2007 山东文) ( 山东文) 本公司计划 2008 年在甲、 乙两个电视台做总时间不超过 300 分钟的广告, 广告总费用不超过 9 万元, 乙电视台的广告收费标准分别为 500 元/分钟和 200 元/分钟, 甲、 规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告,能给公司事来的收益分别为 0.3 万元和 0.2 万元.问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间,才能使公司的收益最大,最 大收益是多少万元?

21.(2005 全国卷Ⅰ文科 全国卷Ⅰ文科)已知二次函数 f (x ) 的二次项系数为 a,且不等式 f ( x ) > ?2 x 的解 集为(1,3). (1)若方程 f ( x ) + 6a = 0 有两个相等的根,求 f (x ) 的解析式; (2)若 f (x ) 的最大值为正数,求 a 的取值范围.

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22.(2006 江苏)设 a 为实数,设函数 f ( x) = a 1 ? x 2 + 1 + x + 1 ? x 的最大值为 g(a)。 ( 江苏) (Ⅰ)设 t= 1 + x + 1 ? x ,求 t 的取值范围,并把 f(x)表示为 t 的函数 m(t); (Ⅱ)求 g(a)的表达式。

函数与不等式单元测试题( 函数与不等式单元测试题(A)参考答案
请将正确答案的代号填入下表) 一、选择题:(每小题 5 分,计 50 分。请将正确答案的代号填入下表) 选择题:(每小题 :(
题号 答案 1 D 2 C 3 C 4 B 5 C 6 C 7 C 8 C
1 2

9 A

10 B

二、填空题:(每小题 5 分,计 35 分) 填空题: 1 3? ? 11. ; 12。 (1,2] ; 13。 -1 ; 14。 ? ? ∞, ? 2 2? ?

;15。

;16。 20 ;

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17. y = ?? 1 ?

?10t , (0 ≤ t ≤ 0.1) t ? 0.1 ? , 0.6 。 ? ? , (t > 0.1) ?? 16 ? ?

21、 三、解答题:(18、19 题各 12 分,20 题 13 分,21、22 题各 14 分,满分为 65 解答题:(18、 分) 18. 解法一: 若 a=0, f(x)= -2x , f ( x ) > 0 的解集为 A={x|x<0},此时 A∩B=?, a ≠ 0 (1) 则 故 1 (2) 若 a≠0,则抛物线 y=f(x)的对称轴方程为 x = ,与 y 轴相交于点(0,-2a). a 1 当 a<0 时, < 0 ,-2a>0, 即 f(x)在区间(1,3)上是减函数,要使 A∩B≠?, a
只需 f(1)>0 即可,即 a-2-2a>0,解得 a<-2. 当 a>0 时, > 0 , -2a<0,要使 A∩B≠?, 只需 f(3)>0 即可, 9a-6-2a>0, 即 解得 a>

1 a

6 . 7

6 综上,使 A∩B≠?成立的 a 的取值范围为 (?∞, ?2) ∪ ( , +∞) 7
19.解:(Ⅰ)由题意得 y = [1.2 × (1 + 0.75 x) ? 1 × (1 + x)] × 1000 × (1 + 0.6 x)(0 < x < 1) , 整理得 y = ?60 x 2 + 20 x + 200 (0 < x < 1) . (Ⅱ)要保证本年度的利润比上年度有所增加,当且仅当

? y ? (1.2 ? 1) × 1000 > 0, ? ?0 < x < 1.
解不等式得 0 < x <

?? 60 x 2 + 20 x > 0, 即? ?0 < x < 1.

1 . 3

0 < x < 0.33 .

答:为保证本年度的年利润比上年度有所增加,投入成本增加的比例 x 应满足

20. 设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为 x 分钟和 y 分钟, 解: 总收益为 z 元,

? x + y ≤ 300, ? x + y ≤ 300, ? ? 由题意得 ?500 x + 200 y ≤ 90000, 等价于 ?5 x + 2 y ≤ 900, ? x ≥ 0,y ≥ 0. ? x ≥ 0,y ≥ 0. ? ? 目标函数为 z = 3000 x + 2000 y .
作出二元一次不等式组所表示的平面区域,即可行域.如图: 作直线 l : 3000 x + 2000 y = 0 , 即 3 x + 2 y = 0 . 平移直线 l ,从图中可知,当直线 l 过 M 点时, 目标函数取得最大值.

y
500

400

300 l 200 100 M

? x + y = 300, 联立 ? 解得 x = 100,y = 200 . ?5 x + 2 y = 900. ∴ 点 M 的坐标为 (100, . 200) ∴ zmax = 3000 x + 2000 y = 700000 (元)

0 100 答:该公司在甲电视台做 100 分钟广告,在乙电视台 做 200 分钟广告,公司的收益最大,最大收益是 70 万元. 21.解:(Ⅰ)Q f ( x) + 2 x > 0的解集为(1,3). f ( x) + 2 x = a( x ? 1)( x ? 3), 且a < 0.因而 第 6 页 共 14 页

200 300

x

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f ( x) = a ( x ? 1)( x ? 3) ? 2 x = ax 2 ? (2 + 4a ) x + 3a. ① 由方程 f ( x) + 6a = 0得ax 2 ? ( 2 + 4a ) x + 9a = 0. ② 2 因为方程②有两个相等的根,所以 ? = [ ?( 2 + 4a )] ? 4a ? 9a = 0 , 1 即 5a 2 ? 4 a ? 1 = 0. 解得a = 1或a = ? . 5 1 由于 a < 0, 舍去a = 1.将a = ? 代入①得 f (x ) 的解析式 5 1 2 6 3 f ( x) = ? x ? x ? . 5 5 5 1 + 2a 2 a 2 + 4a + 1 (Ⅱ)由 f ( x) = ax 2 ? 2(1 + 2a ) x + 3a = a ( x ? ) ? a a 2 a + 4a + 1 及 a < 0, 可得f ( x )的最大值为 ? . a
由 ??
? a 2 + 4a + 1 > 0 , 解得 a ? ?a < 0, ?

a < ?2 ? 3或 ? 2 + 3 < a < 0.

故当 f (x ) 的最大值为正数时,实数 a 的取值范围是 (?∞ ,?2 ? 3 ) U ( ?2 + 3 ,0). 20.解: t = 1 + x + 1 ? x 要使有 t 意义,必须 1+x≥0 且 1-x≥0,即-1≤x≤1, ∴ t 2 = 2 + 2 1 ? x 2 ∈ [2, 4], t≥0 t 的取值范围是 [ 2, 2]. 由①得 1 ? x =
2



1 2 t ?1 2

1 2 1 t ? 1 )+t= at 2 + t ? a, t ∈ [ 2, 2] 2 2 1 2 (2)由题意知 g(a)即为函数 m(t ) = at + t ? a, t ∈ [ 2, 2] 的最大值。 2 ①当 a=0 时,m(t)=t, t ∈ [ 2, 2] ,∴g(a)=2. 1 1 2 ② 当 a≠0 时,直线 t = ? 是抛物线 m(t ) = at + t ? a 的对称轴,分以下几种情况 a 2
∴m(t)=a( 讨论。 当 a>0 时,函数 y=m(t), t ∈ [ 2, 2] 的图象是开口向上的抛物线的一段,

1 <0 知 m(t)在 [ 2, 2]. 上单调递增,∴g(a)=m(2)=a+2 a 当 a<0 时,函数 y=m(t), t ∈ [ 2, 2] 的图象是开口向下的抛物线的一段, 1 1 1 若 t = ? ∈ [2,+∞ ) ,即 ? ≤ a < 0 ? < a < 0 则 a 2 2 g (a ) = m(2) = a + 2
由t = ? 若t = ?

1 2 1 1 1 ∈ 2 ,2 ,即 ? < a < ? 则 g ( a ) = m( ? ) = ? a ? a 2 2 a 2a 1 2 若 t = ? ∈ 0, 2 ,即 a ≤ ? 则 g ( a ) = m( 2) = 2 a 2

( (

)

]

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1 ? a ≥ ? ?a + 2, 2 ? 综上有 ? 1 2 1 g (a ) = ? ? a ? ,? < a < ? 2a 2 2 ? ? 2 a ≤ ? ? 2, 2 ?

函数与不等式单元测试题( 函数与不等式单元测试题(B)
请将正确答案的代号填入下表) 一、选择题:(每小题 5 分,计 50 分。请将正确答案的代号填入下表) 选择题:(每小题 :(
题号 答案
1.(2007 天津文)设 a = log 1 3 , b = ? ? , c = 2 3 ,则( ( 天津文) A. a < b < c B. c < b < a
2

1

2

3

4
0.2

5

6

7

8

9

10

?1? ?3? C. c < a < b

1



D. b < a < c

2.(2004 全国卷Ⅳ理科)设函数 f ( x )( x ∈ R ) 为奇函数, f (1) = 全国卷Ⅳ理科) 则 f (5) = ( A.0 ) B.1 C.

1 , f ( x + 2) = f ( x) + f (2), 2

5 2

D.5

3.(2008 湖北文 湖北文)已知 f ( x ) 在 R 上是奇函数,且

f ( x + 4) = f ( x), 当x ∈ (0, 2)时,f ( x) = 2 x 2 , 则f (7) = (
A.-2 B.2 C.-98 D.98

)

4.(2005 天津文 . 天津文)设 f (x ) 是定义在 R 上以 6 为周期的函数, f (x ) 在(0,3)内单调递减,且 y = f (x) 的 图象关于直线 x = 3 对称,则下面正确的结论是( ) B. f (3.5) < f (1.5) < f (6.5) A. f (1.5) < f (3.5) < f (6.5) C. f (6.5) < f (3.5) < f (1.5) D. f (3.5) < f (6.5) < f (1.5)

5.(2006 山东文、理)设 f(x)= ? ( 山东文、

?2e x ?1 , x < 2, ? 2 ?log 3 ( x ? 1), x ≥ 2, ?

则不等式 f(x)>2 的解集为(



(A)(1,2) ∪ (3,+∞) (C)(1,2) ∪ ( 10 ,+∞)

(B)( 10 ,+∞) (D)(1,2)

? x ? y + 5 ≥ 0, ? 6.(2007 北京文 北京文)若不等式组 ? y ≥ a, 表示的平面区域是一个三角形,则 a 的取值范围 ?0 ≤ x ≤ 2 ?
是( ) A. a < 5 B. a ≥ 7 C. 5 ≤ a < 7 D. a < 5 或 a ≥ 7

福建文)若实数 x,y 满足 7.(2008 福建文

? x ? y+ ≤ 0 y ? x > 0 ,则 的取值范围是( ? x ? y≤2 ?



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A. (0, 2) B. (0, 2] C. (2, +∞ ) D. [2, +∞)

8.(2003 全国、广东、天津、江苏、辽宁)设函数 f ( x) = ? ( 全国、广东、天津、江苏、辽宁) ? 的取值范围是( ) (A)(-1,1) (C)(-∞,-2)∪(0,+∞)
2

?2 ? x ? 1, x ≤ 0, 若f ( x0 ) > 1, 则x 0 1 ?x 2 , x > 0 ?

(B) (?1, +∞) (D)(-∞,-1)∪(1,+∞)

江西理)已知函数 f ( x ) = 2mx ? 2 ( 4 ? m ) x + 1, g ( x ) = mx ,若对于任一实数 x , 9.(2008 江西理

f ( x ) 与 g ( x ) 的值至少有一个为正数,则实数 m 的取值范围是(
B.(0,8) C.(2,8)



A.(0,2)

D.(-∞,0)

10.(2006 重庆理)如图所示,单位圆中弧 AB 的长为 x,f(x)表示弧 AB 与弦 AB 所围成的弓 重庆理) 形面积的2倍,则函数 y=f(x)的图象是( )

二、填空题:(每小题 5 分,计 20 分) 填空题:
11.(2008 上海理)设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,若当 x∈(0,+∞)时,f(x)=lg x, (2008 上海理) 则满足 f(x)>0 的 x 的取值范围是 . 12.(2005 江苏卷 江苏卷)函数 y =

log 0.5 (4 x 2 ? 3 x) 的定义域为_____________________.

13.(2007 湖南文、理)设集合 ( 湖南文、

A = {( x, y ) | y ≥| x ? 2 |, x ≥ 0} , B = {( x, y ) | y ≤ ? x + b} , A ∩ B ≠ ? , b 的取值范围是 .

14.(2007 山东文)函数 y = a1? x ( a > 0,a ≠ 1) 的图象恒过定点 A ,若点 A 在直线 ( 山东文)

mx + ny ? 1 = 0(mn > 0) 上,则

1 1 + 的最小值为 m n



三、解答题:(15、16 题各 12 分,其余题各 14 分,满分为 80 分) 解答题:(15、 a 2 15.(2007 上海文)已知函数 f ( x ) = x + 上海文) ( x ≠ 0 ,常数 a ∈R ) . ( x (1)当 a = 2 时,解不等式 f ( x ) ? f ( x ? 1) > 2 x ? 1 ; (2)讨论函数 f ( x ) 的奇偶性,并说明理由.

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16.(2004 全国Ⅲ卷文、理)某村计划建造一个室内面积为 800 m 的矩形蔬菜温室。在温室 ( 全国Ⅲ卷文、 内,沿左.右两侧与后侧内墙各保留 1 m 宽的通道,沿前侧内墙保留 3 m 宽的空地。当 矩形温室的边长各为多少时?蔬菜的种植面积最大。最大种植面积是多少?

2

ex a 17.(2001 江西、山西、天津理科 a > 0, f ( x) = 江西、山西、天津理科)设 + 是 R 上的偶函数. a ex
(Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)证明 f(x)在(0,+∞)上是增函数.

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上海文科)已知函数 f ( x ) = 18.(2003 上海文科 偶性和单调性.

1 1+ x ? log 2 ,求函数 f (x ) 的定义域,并讨论它的奇 x 1? x

19.(2004 北京理)某段城铁线路上依次有 A、B、C 三站,AB=5km,BC=3km,在列车运 北京理) ( 行时刻表上,规定列车 8 时整从 A 站发车,8 时 07 分到达 B 站并停车 1 分钟,8 时 12 分到 达 C 站,在实际运行中,假设列车从 A 站正点发车,在 B 站停留 1 分钟,并在行驶时以同 一速度 vkm / h 匀速行驶,列车从 A 站到达某站的时间与时刻表上相应时间之差的绝对值称 为列车在该站的运行误差。 (I)分别写出列车在 B、C 两站的运行误差 (II)若要求列车在 B,C 两站的运行误差之和不超过 2 分钟,求 v 的取值范围

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20.(2006 浙江理)设 f(x)=3ax +2bx + c.若a + b + c = 0 ,f(0)>0,f(1)>0,求证: ( 浙江理)
2

(Ⅰ)a>0 且-2<

b <-1; a

(Ⅱ)方程 f(x)=0 在(0,1)内有两个实根.

函数与不等式单元测试题( 函数与不等式单元测试题(B)参考答案
请将正确答案的代号填入下表) 一、选择题:(每小题 5 分,计 50 分。请将正确答案的代号填入下表) 选择题:(每小题 :(
题号 答案 1 A 2 C 3 A 4 B 5 C 6 C 7 D 8 D 9 B 10 D

二、填空题:(每小题 5 分,计 20 分) 填空题: ? 1 ? ?3 ? 11. (? 1,0 ) U (1,+∞ ) ; 12. ?? ,0 ? U ? ,1? ; ? 4 ? ?4 ?

13. [2,+∞ ) ;

14. 4

三、解答题:(15、16 题各 12 分,其余题各 14 分,满分为 80 分) 解答题:(15、 2 2 2 2 2 2 15. 解: (1)x + ? ( x ? 1) ? > 2x ?1, 整理, 得 ? > 0 , 即 x( x ? 1) < 0 . x x ?1 x x ?1 ∴ 原不等式的解为 0 < x < 1 . (2)当 a = 0 时, f ( x) = x 2 , 对任意 x ∈ ( ? ∞, ) U ( 0, ∞ ) , 0 +
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f ( ? x ) = ( ? x ) 2 = x 2 = f ( x) , ∴ f (x) 为偶函数.
a ( a ≠ 0, ≠ 0 ) , x x 取 x = ±1 ,得 f (?1) + f (1) = 2 ≠ 0, f (?1) ? f (1) = ?2a ≠ 0 , ∴ f (?1) ≠ ? f (1), f (?1) ≠ f (1) ,

当 a ≠ 0 时, f ( x) = x 2 +

∴ 函数 f (x) 既不是奇函数,也不是偶函数.
16.解:设矩形温室的左侧边长为 a m,后侧边长为 b m,则 ab = 800. 蔬菜的种植面积 S = ( a ? 4)(b ? 2)

= ab ? 4b ? 2a + 8 = 808 ? 2(a + 2b).
所以 S ≤ 808 ? 4 2ab = 648( m ).
2

当 a ? 2b, 即a ? 40( m), b = 20( m)时, S 最大值 = 648(m ).
2

答:当矩形温室的左侧边长为 40m,后侧边长为 20m 时,蔬菜的种植面积最大,最大种 植面积为 648m2.
x 17.解:(Ⅰ)依题意,对一切 x ∈ R 有 f ( x) = f (? x) ,即 e + a = 1 + ae x , x x

a

e

ae

所以 (a ? 1 )(e x ? 1 ) = 0 对一切 x ∈ R 成立. a ex 由此得到 a ?

1 = 0, 即 a2=1. a

又因为 a>0,所以 a=1.

(II)证明一:设 0<x1<x2,

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? e ? e
x1

x2

1? e x1 x2 ? x1 1 1 1 ? 1) ? x + x + x ? x = (e x2 ? e x1 )( x + x ? 1) = e (e 1 2 1 2 e2 1 e e e

x2 + x1

,

由 x1 > 0, x 2 > 0, x 2 ? x1 > 0, 得x1 + x2 > 0, e x2 ? x1 ? 1 > 0,1 ? e x2 + x1 < 0.

∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) < 0, 即 f(x)在(0,+∞)上是增函数. 证明二:由 f ( x ) = e x + e ? x 得 f ′( x) = e x ? e ? x = e ? x (e 2 x ? 1).
当 x ∈ (0,+∞ ) 时,有 e ? x > 0, e 2 x ? 1 > 0, 此时 所以 f(x)在(0,+∞)上是增函数.

f ′( x ) > 0.

?x ≠ 0 1+ x ? 18.[解]x 须满足 ?1 + x ,由 > 0得 ? 1 < x < 1, ?1 ? x > 0 1 ? x ? 所以函数 f (x ) 的定义域为(-1,0)∪(0,1). 因为函数 f (x ) 的定义域关于原点对称,且对定义域内的任意 x,有 1 1? x 1 1+ x f (? x) = ? ? log 2 = ?( ? log 2 ) = ? f ( x) ,所以 f (x) 是奇函数. x 1+ x x 1? x 研究 f (x ) 在(0,1)内的单调性,任取 x1、x2∈(0,1),且设 x1<x2 ,则
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f ( x1 ) ? f ( x 2 ) = =( 由 1 + x1 1 1 + x2 1 ? log 2 ? + log 2 x1 1 ? x1 x 2 1 ? x2 1 1 2 2 ? ) + [log 2 ( ? 1) ? log 2 ( ? 1)], x1 x 2 1 ? x2 1 ? x1

1 1 2 2 ? > 0, log 2 ( ? 1) ? log 2 ( ? 1) > 0, x1 x 2 1 ? x2 1 ? x1 得 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) >0,即 f (x ) 在(0,1)内单调递减, 由于 f (x ) 是奇函数,所以 f (x ) 在(-1,0)内单调递减.
19. 解:(I)列车在 B,C 两站的运行误差(单位:分钟)分别是

|

300 480 ? 7| 和 | ? 11 | v v

(II)由于列车在 B,C 两站的运行误差之和不超过 2 分钟,所以

300 480 ? 7|+| ? 11 ≤ 2 | (*) v v 300 300 480 300 当0<v ≤ 时,(*)式变形为 ?7+ ?11 ≤ 2 , 解得 39 ≤ v ≤ 7 v v 7 300 480 300 480 300 480 当 <v ≤ 时, (*)式变形为 7 ? + ? 11 ≤ 2 , 解得 <v ≤ 7 11 v v 7 11 480 300 480 480 195 当v > 时,(*)式变形为 7 ? + 11? ≤ 2 , 解得 <v ≤ 11 v v 11 4 195 综上所述, v 的取值范围是[39, ] 4 |
20.证明:(错误!未找到引用源。)因为 f (0) > 0, f (1) > 0 ,所以 c > 0, 3a + 2b + c > 0 . 错误!未找到引用源。 错误 由条件 a + b + c = 0 ,消去 b ,得 a > c > 0 ; 由条件 a + b + c = 0 ,消去 c ,得 a + b < 0 , 2a + b > 0 . 故 ?2 <

b < ?1 . a b 3ac ? b 2 , ), 3a 3a

(错误!未找到引用源。)抛物线 f ( x ) = 3ax 2 + 2bx + c 的顶点坐标为 ( ? 错误!未找到引用源。 错误

b 1 1 b 2 < ?1 的两边乘以 ? ,得 < ? < . a 3 3 3a 3 b a 2 + c 2 ? ac 又因为 f (0) > 0, f (1) > 0, 而 f ( ? ) = ? < 0, 3a 3a b b 所以方程 f ( x ) = 0 在区间 (0, ? ) 与 (? ,1) 内分别有一实根。 3a 3a 故方程 f ( x ) = 0 在 (0,1) 内有两个实根.
在 ?2 <

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