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4-2平面解析几何


第 9 讲 直线与圆的方程及应用

解析几何是江苏高考必考题之一, 它包含两个 C 级考点, 正常情况下, 考一小(填空)一大(解答). 小 题常涉及直线方程及应用,圆锥曲线方程及其性质,有一定的计算量;大题往往与圆有关,涉及到 方程,位置关系、定点、定值、定线等.圆与圆锥曲线的综合考查,对数学思想方法要求比较高, 能灵活使用待定系数法、定义法等求方程,能用配

方法、换元法等,结合图形将问题进行转化,通 过函数、方程、不等式等思想来解决问题. 1. 理解直线的斜率和倾斜角的概念;掌握过两点的直线斜率的计算公式;了解直线的倾斜角的 范围;理解直线的斜率和倾斜角之间的关系,能根据直线的倾斜角求出直线的斜率. 2. 掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式)的特点与适用范围; 能根据问题的具体条件选择恰当的形式求直线的方程;了解直线方程的斜截式与一次函数的关系. 3. 能根据斜率判定两条直线平行或垂直. 4. 了解二元一次方程组的解与两直线的交点坐标之间的关系,体会数形结合思想;能用解方程 组的方法求两直线的交点坐标. 5. 掌握两点间的距离公式和点到直线的距离公式及其简单应用;会求两条平行直线间的距离. 6. 掌握圆的标准方程与一般方程,能根据问题的条件选择恰当的形式求圆的方程;理解圆的标 准方程与一般方程之间的关系,会进行互化. 7. 能根据直线与圆的方程判断其位置关系(相交、相切、相离);能根据圆的方程判断圆与圆的 位置关系(外离、外切、相交、内切、内含).能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.

1. 与直线 x+ 3y-1=0 垂直的直线的倾斜角为________. 2.过点(2,1)且在两坐标轴截距相等的直线方程是________________. 3.直线 3x-y+m=0 与圆 x2+y2-2x-2=0 相切,则实数 m=________. 4.在平面直角坐标系 xOy 中, 已知圆 x2+y2=4 上有且仅有四个点到直线 12x-5y+c=0 的距离 为 1,则实数 c 的取值范围是________. 5.已知圆 C 过点(1,0),且圆心在 x 轴的正半轴上,直线 l:y=x-1 被圆 C 所截得的弦长为 2 2, 求过圆心且与直线 l 垂直的直线的方程. 6. 如图 ,平面 直角坐 标系 xOy 中 , △AOB 和△COD 为 两等腰 直角三角 形, A( - 2,0) , C(a,0)(a>0).△AOB 和△COD 的外接圆圆心分别为 M,N. (1) 若⊙M 与直线 CD 相切,求直线 CD 的方程; (2) 若直线 AB 截⊙N 所得弦长为 4,求⊙N 的标准方程; (3) 是否存在这样的⊙N,使得⊙N 上有且只有三个点到直线 AB 的 距离为 2,若存在,求此时⊙N 的标准方程;若不存在,说明理由.

7.已知圆 C:x2+(y-3)2=4,一动直线 l 过点 A(-1,0)与圆 C 相交于 P、Q 两点,M 是 PQ 的中 点,l 与直线 m:x+3y+6=0 相交于点 N. (1) 求证:当 l 与 m 垂直时,l 必过圆心 C; (2) 当 PQ=2 3时,求直线 l 的方程; → → (3) 探索AM· AN的值是否与直线 l 的倾斜角有关,若无关,请求出其值;若有关,请说明理由.

(2011· 南京三模)(本小题满分 16 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知定点 A(-4,0)、B(4,0),动点 1 P 与 A、B 两点连线的斜率之积为- . 4 (1) 求点 P 的轨迹方程; (2) 设点 P 的轨迹与 y 轴负半轴交于点 C.半径为 r 的圆 M 的圆心 M 在线段 AC 的垂直平分线上, 且在 y 轴右侧,圆 M 被 y 轴截得的弦长为 3r. ① 求⊙M 的方程; ② 当 r 变化时,是否存在定直线 l 与动圆 M 均相切?如果存在,求出定直线 l 的方程;如果不 存在,说明理由. 解:(1) 设 P(x,y),则直线 PA、PB 的斜率分别为 k1= y y 1 x2 y2 由题意知 · =- ,即 + =1(x≠± 4). 4 16 4 x+4 x-4 x2 y2 所以动点 P 的轨迹方程是 + =1(x≠± 4).(4 分) 16 4 (说明:没有范围扣 1 分) (2) ①由题意知 C(0,-2),A(-4,0), 所以线段 AC 的垂直平分线方程为 y=2x+3.(6 分) 设 M(a,2a+3)(a>0),则⊙M 的方程为(x-a)2+(y-2a-3)2=r2. 圆心 M 到 y 轴的距离 d=a,由 r2=d2+? r 3r?2 ,得 a= . 2 ? 2 ? y y 、k = .(2 分) x+4 2 x-4

r ?2 2 2 所以⊙M 的方程为? ?x-2? +(y-r-3) =r .(10 分) ② 假设存在定直线 l 与动圆 M 均相切. 当定直线的斜率不存在时,不合题意. 当斜率存在时,设直线 l:y=kx+b,



?k× r -r-3+b? ? 2 ?
1+k2

=r 对任意 r>0 恒成立.(12 分)

2 ?k ? ? 由? ??2-1?r+?b-3??=r 1+k ,

k ?2 2 2 2 2 得? ?2-1? r +(k-2)(b-3)r+(b-3) =(1+k )r .

? ? ? ??2-1? =1+k , 所以? ?k-2??b-3?=0, ? ??b-3? =0.
2 2 2

k

? ?k=0, ?k=-3, ? 解得? 或? ?b=3 ? ? ?b=3.
所以存在两条直线 y=3 和 4x+3y-9=0 与动圆 M 均相切.(16 分) 提高训练 1. 若直线 3x+y+a=0 过圆 x2+y2+2x-4y=0 的圆心,则 a 的值为________. 2.在圆 x2+y2-2x-6y=0 内,过点 E(0,1)的最长弦和最短弦分别是 AC 和 BD,则四边形 ABCD 的 面积为________. 3.过点(-1, -2)的直线 l 被圆 x2+y2-2x-2y+1=0 截得的弦长为 2, 则直线 l 的斜率为________. 2 2 4.直线 y=kx+3 与圆(x-2) +(y-3) =4 相交于 M, N 两点, 若|MN|≥2 3, 则实数 k 的取值范围__. 5.已知直线 l:y=x+m,m∈R. (1) 若以点 M(2,0)为圆心的圆与直线 l 相切于点 P,且点 P 在 y 轴上,求该圆的方程; (2) 若直线 l 关于 x 轴对称的直线为 l′,问直线 l′与抛物线 C:x2=4y 是否相切?说明理由.

4

4 6.如图,设 P 是圆 x2+y2=25 上的动点,点 D 是 P 在 x 轴上投影,M 为 PD 上一点,且|MD|= |PD|. 5 (1) 当 P 在圆上运动时,求点 M 的轨迹 C 的方程; 4 (2) 求过点(3,0)且斜率为 的直线被 C 所截线段的长度. 5

7. 已知圆 M:x2+(y-2)2=1,Q 是 x 轴上的动点,QA,QB 分别切圆 M 于 A,B 两点. (1) 如果|AB|= 4 2 ,求直线 MQ 的方程;(2) 求动弦|AB|的最小值. 3

8.已知直线 m 的方程为 x+y-1=0,⊙C 的方程为 x2-2x+y2-2y-3=0,⊙C 关于直线 m 的对称 → → → 的⊙D 与直线 l 相交于 A、B 两点,若在⊙D 上存在点 P 使得OP=OA+OB=λa,又知 a=(-1,2). (1) 求⊙D 的方程;(2) 求点 P 的坐标;(3)求直线 l 的方程.

第 10 讲 圆锥曲线(含轨迹问题)

本节知识在江苏高考试题中要求比较低,椭圆的标准方程和几何性质是 B 级考点,其余都是 A 级考点,但高考必考.在理解定义的基础上,只需对标准方程及其性质熟悉,特别是圆锥曲线中的 离心率计算(含范围).要能准确建模(方程或不等式). 1. 掌握椭圆的标准方程,会求椭圆的标准方程;掌握椭圆的简单几何性质,能运用椭圆的标准 方程和几何性质处理一些简单的实际问题;了解运用曲线的方程研究曲线的几何性质的思想方法. 2. 了解双曲线的标准方程,会求双曲线的标准方程;了解双曲线的简单几何性质. 3. 了解抛物线的标准方程,会求抛物线的标准方程;了解抛物线的简单几何性质.

x2 y2 10 1. 若椭圆 + =1 的离心率 e= ,则 m 的值是________. 5 m 5 2.若抛物线 y2=2x 上的一点 M 到坐标原点 O 的距离为 3, 则 M 到该抛物线焦点的距离为________. 2 2 3.双曲线 2x -y +6=0 上一个点 P 到一个焦点的距离为 4,则它到另一个焦点的距离为________. x2 y2 PF1 4.已知椭圆 2 + 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,离心率为 e,若椭圆上存在点 P,使得 a b PF2 =e,则该椭圆离心率 e 的取值范围是________.

x2 y2 6 5.已知椭圆 G: 2 + 2=1(a>b>0)的离心率为 ,右焦点为(2 2,0),斜率为 1 的直线 l 与椭圆 G 交 a b 3 于 A、B 两点,以 AB 为底边作等腰三角形,顶点为 P(-3,2). (1) 求椭圆 G 的方程;(2) 求△PAB 的面积.

6. 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 B:(x-1)2+y2=16 与点 A(-1,0),P 为圆 B 上的动点, 线段 PA 的垂直平分线交直线 PB 于点 R,点 R 的轨迹记为曲线 C. (1) 求曲线 C 的方程; (2) 曲线 C 与 x 轴正半轴交点记为 Q, 过原点 O 且不与 x 轴重合的直线与曲线 C 的交点记为 M、 N,连结 QM、QN,分别交直线 x=t(t 为常数,且 t≠2)于点 E、F,设 E、F 的纵坐标分别为 y1、y2, 求 y1· y2 的值(用 t 表示).

(2011· 苏锡常镇二模)(本小题满分 16 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆的中心在原点 O,右 焦点 F 在 x 轴上, 椭圆与 y 轴交于 A、 B 两点, 其右准线 l 与 x 轴交于 T 点, 直线 BF 交椭圆于 C 点,P 为椭圆上弧 AC 上的一点. (1) 求证:A、C、T 三点共线; 6+2 → → (2) 如果BF=3FC,四边形 APCB 的面积最大值为 ,求此时椭圆 3 的方程和 P 点坐标. a2 ? x2 y2 (1) 证明:设椭圆方程为 2 + 2=1(a>b>0)①,则 A(0,b),B(0,-b),T? ? c ,0?.(1 分) a b x y x y AT: 2+ =1 ②,BF: + =1 ③,(3 分) a b c -b c

2a2c b3 联立①②③解得:交点 C?a2+c2,a2+c2?,代入①得(4 分) ? ? c ?2 ? b ?2 ? 2a 2 ?a +c2? ?a2+c2? 4a2c2+?a2-c2?2 a2 + b2 = ?a2+c2?2
2 3

=1,(5 分)

满足①式,则 C 点在椭圆上,A、C、T 三点共线.(6 分) (2) 解:过 C 作 CE⊥x 轴,垂足为 E,△OBF∽△ECF.

?4c?2 ?b?2 ?3 ? ?3? 4c b 1 1 → → , ?,代入①得 2 + 2 =1,∴ a2=2c2,b2=c2.(7 ∵BF=3FC,CE= b,EF= c,则 C? ? 3 3? 3 3 a b
分)
2 设 P(x0,y0),则 x0+2y0 =2c2.(8 分)

4c c? 2 1 4c 4 2 , ,AC= 5c,S△ABC= · 此时 C? 2c· = c ,(9 分) 3 3 ? ? 3 2 3 3 直线 AC 的方程为 x+2y-2c=0, |x0+2y0-2c| x0+2y0-2c P 到直线 AC 的距离为 d= = , 5 5 x0+2y0-2c 1 1 x0+2y0-2c 2 S△APC= d· AC= · · 5c= · c.(10 分) 2 2 3 3 5 只需求 x0+2y0 的最大值. 2 2 2 2 (解法 1)∵ (x0+2y0)2=x2 2x0y0≤x0 +4y2 0+4y0+2· 0+2(x0+y0)(11 分)
2 2 =3(x2 0+2y0)=6c ,∴ x0+2y0≤ 6c.(12 分)

当且仅当 x0=y0=

6 c 时,(x0+2y0)max= 6c.(13 分) 3

2 (解法 2)令 x0+2y0=t,代入 x2+2y0 =2c2 得 2 2 2 2 (t-2y0)2+2y2 0-2c =0,即 6y0-4ty0+t -2c =0.(11 分)

Δ=(-4t)2-24(t2-2c2)≥0,得 t≤ 6c.(12 分) 当 t= 6c,代入原方程解得:x0=y0= ∴ 四边形的面积最大值为 6 c.(13 分) 3

6-2 2 4 2 6+2 2 6+2 c+ c= c= ,(14 分) 3 3 3 3

∴ c2=1,a2=2,b2=1,(15 分) x2 6 6 此时椭圆方程为 +y2=1,P 点坐标为? , ?.(16 分) 2 3? ?3 提高训练 x2 y2 1.已知双曲线 2 - 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是 y= 3x,它的一个焦点在抛物线 y2=24x 的 a b 准线上,则双曲线的方程为__________. → → 2.已知 F 是椭圆 C 的一个焦点,B 是短轴的一个端点,线段 BF 的延长线交 C 于 D 点,且BF=2FD, 则 C 的离心率为________.

1? x2 y2 2 2 3.若椭圆 2 + 2=1 的焦点在 x 轴上,过点? ?1,2?作圆 x +y =1 的切线,切点分别为 A,B,直线 AB a b 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是__________. 4.设双曲线的左准线与两条渐近线交于 A,B 两点,左焦点在以 AB 为直径的圆内,则该双曲线的离 心率的取值范围为________. 5. 已知抛物线 y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A、B 两点,若线段 AB 的中点 的纵坐标为 2,则该抛物线的准线方程为________. x2 y2 6. 已知点 P(4,4),圆 C:(x-m)2+y2=5(m<3)与椭圆 E: 2 + 2=1(a>b>0)有一个公共点 A(3,1),F1、 a b F2 分别是椭圆的左、右焦点,直线 PF1 与圆 C 相切. → → (1) 求 m 的值与椭圆 E 的方程; (2) 设 Q 为椭圆 E 上的一个动点,求AP· AQ的取值范围.

7.如图,椭圆的中心为原点 O,离心率 e= (1) 求该椭圆的标准方程;

2 ,一条准线的方程为 x=2 2. 2

→ → → (2) 设动点 P 满足:OP=OM+2ON,其中 M,N 是椭圆上的点,直线 OM 与 ON 的斜率之积 1 为- ,问:是否存在两个定点 F1,F2,使得|PF1|+|PF2|为定值?若存在,求出 F1,F2 的坐标;若不 2 存在,说明理由.

x2 y2 8.如图,椭圆 C: + =1 的右顶点是 A,上、下两个顶点分别为 B、D,四边形 OAMB 是矩形(O 16 4 为坐标原点),点 E、P 分别是线段 OA、AM 的中点. (1) 求证:直线 DE 与直线 BP 的交点在椭圆 C 上; (2) 过点 B 的直线 l1、l2 与椭圆 C 分别交于点 R、S(不同于 B),且它们的斜率 k1、k2 满足 k1k2 1 =- ,求证:直线 RS 过定点,并求出此定点的坐标. 4

x2 y2 2 9.在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 2 + 2=1(a>b>0)的离心率为 ,其焦点在圆 x2+y2=1 上. a b 2 (1) 求椭圆的方程; → → → (2) 设 A、B、M 是椭圆上的三点(异于椭圆顶点),且存在锐角 θ,使OM=cosθOA+sinθOB. ① 求证:直线 OA 与 OB 的斜率之积为定值; ② 求 OA2+OB2.


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