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2015年高中数学《空间直角坐标系及空间向量》自测试题


2015 年高中数学《空间直角坐标系及空间向量》自测试题 【梳理自测】 一、空间直角坐标系及空间向量的概念 1.在空间直角坐标系 O-xyz 中,点 P(3,2,-1)关于 x 轴的对称点的坐标为( ) A.(3,2,1) B.(-3,2,1) C.(3,-2,1) D.(-3,-2,1) 2.已知 a=(λ +1,0,2),b=(6,2μ -1,2λ ),若 a∥b,则 λ 与

μ 的值可以是( ) 1 1 1 A.2, B.- , 2 3 2 C.-3,2 D.2,2 →= 3.如图所示,在平行六面体 ABCD-A B C D 中,M 为 A C 与 B D 的交点.若→ AB=a,→ AD=b,AA
1 1 1 1 1 1 1 1 1

c,则下列向量中与→ BM相等的向量是(

)

1 1 1 1 A.- a+ b+c B. a+ b+c 2 2 2 2 1 1 1 1 C.- a- b+c D. a- b+c 2 2 2 2 答案:1.C 2.A 3.A ◆以上题目主要考查了以下内容: (一)(1)空间直角坐标系: 名称 内容 空间直 以空间一点 O 为原点,具有相同的单位长度,给定正方 角坐标 向,建立三条两两垂直的数轴:x 轴、y 轴、z 轴,这时 系 建立了一个空间直角坐标系 O-xyz 坐标原 点O 点 坐标轴 x 轴、y 轴、z 轴 坐标平 通过每两个坐标轴的平面 面 (2)空间中点 M 的坐标: 空间中点 M 的坐标常用有序实数组(x,y,z)来表示,记作 M(x,y,z),其中 x 叫做点 M 的横坐 标,y 叫做点 M 的纵坐标,z 叫做点 M 的竖坐标. 建立了空间直角坐标系后,空间中的点 M 和有序实数组(x,y,z)可建立一一对应的关系. (二)空间两点间的距离 (1)设点 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 则|→ AB|= x -x 2+ y -y 2+ z -z 2.
2 1 2 1 2 1

特别地,点 P(x,y,z)与坐标原点 O 的距离为 |→ OP|= x2+y2+z2. ?x1+x2 y1+y2 z1+z2? , , ?. (2)设点 A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2)是空间中两点, 则线段 AB 的中点坐标为? 2 2 ? ? 2

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(三)空间向量的有关概念 名称 零向量 单位向量 相等向量 相反向量 共线向量

概念 模为 0 的向量 长度(模)为 1 的向量 方向相同且模相等的向量 方向相反且模相等的向量

表示 0

a=b a 的相反向量 为-a a∥b

表示空间向量的有向线段所在的直线互 相平行或重合的向量 共面向量 平行于同一个平面的向量 (四)空间向量的线性运算及运算律

(1)定义:与平面向量运算一样,空间向量的加法、减法与数乘向量运算,如下:→ OB=→ OA+→ AB=a +b;→ BA=→ OA-→ OB=a-b;→ OP=λ a(λ ∈R). (2)运算律:①加法交换律:a+b=b+a; ②加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c); ③数乘分配律:λ (a+b)=λ a+λ b. (五)空间向量的有关定理 (1)共线向量定理:对空间任意两个向量 a,b(b≠0),a∥b 的充要条件是存在实数 λ ,使得 a =λ b. (2)共面向量定理:如果两个向量 a,b 不共线,那么向量 p 与向量 a,b 共面的充要条件是存在 实数 x,y 的有序实数对(x,y),使 p=xa+yb. (3)空间向量基本定理:如果三个向量 a,b,c 不共面,那么对空间任一向量 p,存在有序实数 组{x,y,z},使得 p=xa+yb+zc.其中,{a,b,c}叫做空间的一个基底. 二、空间向量的数量积及运算律 1.已知向量 a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且 ka+b 与 2a-b 互相垂直,则 k 的值为( ) 1 A.1 B. 5 3 7 C. D. 5 5 2.已知向量 a=(4,-2,-4),b=(6,-3,2),则(a+b)·(a-b)的值为________. 答案:1.D 2.-13 ◆以上题目主要考查了以下内容: (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角 → 已知两个非零向量 a, b, 在空间任取一点 O, 作→ OA=a, OB=b, 则∠AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角, 记作〈a,b〉 ,其范围是[0,π ],若〈a,b〉= π ,则称 a 与 b 垂直,记作 a⊥b. 2

②两向量的数量积 已知空间两个非零向量 a,b,则|a|·|b|·cos〈a,b〉叫做向量 a,b 的数量积,记作 a·b, 即 a·b=|a||b|cos〈a,b〉 . (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律:(λ a)·b=λ (a·b); ②交换律:a·b=b·a;
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③分配律:a·(b+c)=a·b+a·c. 【指点迷津】 1.一种方法 用空间向量解决几何问题的一般方法步骤是: (1)适当的选取基底{a,b,c}; (2)用 a,b,c 表示相关向量; (3)通过运算完成证明或计算问题. 2.二个原则——建立空间直角坐标系的原则 (1)合理利用几何体中的垂直关系,特别是面面垂直; (2)尽可能地让相关点落在坐标轴或坐标平面上. 3.二个推论 ①共线向量定理推论 若→ OA,→ OB不共线,则 P,A,B 三点共线的充要条件是→ OP=λ → OA+μ → OB且 λ +μ =1. ②共面向量定理推论 →+yOA →+zOB →且 x+y+z=1. 若→ OM、→ OA、→ OB不共面,则 P、M、A、B 四点共面的充要条件是→ OP=xOM 考向一 空间向量的线性运算

→ =a,→ 例题 1 如图所示,在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,设AA AB=b,→ AD=c,M,N,P 分别是 1 AA1,BC,C1D1 的中点,试用 a,b,c 表示以下各向量: → → → → (1)AP;(2)A1N;(3)MP+NC1. 【审题视点】 逐步用三角形法则及向量运算法则 【典例精讲】 (1)∵P 是 C1D1 的中点, → +A → → → 1→ ∴→ AP=AA 1 1D1+D1P=a+AD+ D1C1 2 1 1 =a+c+ → AB=a+c+ b. 2 2 (2)∵N 是 BC 的中点, 1→ → → → → ∴A 1N=A1A+AB+BN=-a+b+ BC 2 1 1 =-a+b+ → AD=-a+b+ c. 2 2 (3)∵M 是 AA1 的中点, 1→ → ∴→ MP=→ MA+→ AP= A 1A+AP 2 1 ? 1 1 ? 1 =- a+?a+c+ b?= a+ b+c, 2 ? 2 2 ? 2 → =→ → =1→ → 又NC NC+CC BC+AA 1 1 1 2 1 → =1c+a, = → AD+AA 1 2 2
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→ ∴→ MP+NC 1 1 ? ?1 1 ? ? =? a+ b+c?+?a+ c? 2 ? ?2 2 ? ? 3 1 3 = a+ b+ c. 2 2 2 【类题通法】 用已知向量来表示未知向量,一定要结合图形,以图形为指导是解题的关键.要 正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义.首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的始点 指向末尾向量的终点的向量, 我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则.在立体几何中要灵活应 用三角形法则,向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立. 变式训练 1.(2014·舟山月考)如图所示,已知空间四边形 OABC,其对角线为 OB、AC,M、N 分别为 OA、 →+yOB →+zOC →,则 x,y,z 的值分别为________. BC 的中点,点 G 在线段 MN 上,且→ MG=2→ GN,若→ OG=xOA 解析:连结 ON, 2 → OG=→ OM+→ MG=→ OM+ → MN 3 2 =→ OM+ (→ ON-→ OM) 3 1 2 = → OM+ → ON 3 3 1 2 1 = → OM+ × (→ OB+→ OC) 3 3 2 1 1→ 1→ 1→ = × OA+ OB+ OC 3 2 3 3 1 1 1 = → OA+ → OB+ → OC 6 3 3 1 1 1 x= ,y= ,z= . 6 3 3 1 1 1 答案: , , 6 3 3 考向二 共线、共面向量定理及应用 例题 2 (2014·上饶调研)已知 E、F、G、H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB、 BC、CD、DA 的中点, (1)求证:E、F、G、H 四点共面; (2)求证:BD∥平面 EFGH; 1 (3)设 M 是 EG 和 FH 的交点,求证:对空间任一点 O,有→ OM= (→ OA+→ OB+→ OC+ 4 → OD). 【审题视点】 (1)利用向量共面与点共面的关系证明.(2)根据向量共线的关系证.(3)根据向 量运算求证. 【典例精讲】 (1)连接 BG, 1 则→ EG=→ EB+→ BG=→ EB+ (→ BC+→ BD) 2
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=→ EB+→ BF+→ EH=→ EF+→ EH, 由共面向量定理的推论知: E、F、G、H 四点共面. (2)因为→ EH=→ AH-→ AE 1 1 1 1 = → AD- → AB= (→ AD-→ AB)= → BD, 2 2 2 2 所以 EH∥BD. 又 EH?平面 EFGH,BD?平面 EFGH, 所以 BD∥平面 EFGH. (3)找一点 O,并连接 OM,OA,OB,OC,OD,OE,OG. → 1→ → 1→ 由(2)知EH= BD,同理FG= BD, 2 2 所以→ EH=→ FG,即 EH 綊 FG, 所以四边形 EFGH 是平行四边形. 所以 EG,FH 交于一点 M 且被 M 平分. 1 1 1 故→ OM= (→ OE+→ OG)= → OE+ → OG 2 2 2 1?1 → → ? 1?1 → → ? OA+OB ?+ ? OC+OD ? = ? 2?2 ? 2?2 ? 1 = (→ OA+→ OB+→ OC+→ OD). 4 【类题通法】 空间共线向量定理、共面向量定理的应用 三点(P,A,B)共线 空间四点(M,P,A,B)共面 → → →+yMB → PA=λ → PB MP=xMA → 对空间任一点 O,→ OP=→ OA+tAB →+(1-x)→ 对空间任一点 O,→ OP=xOA OB →+yMB → 对空间任一点 O,→ OP=→ OM+xMA → →+yOA →+(1-x 对空间任一点 O, OP=xOM -y)→ OB

变式训练 2.如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D 为 BC 边上的中点,求证:A1B∥平面 AC1D. → =c,→ 证明:设→ BA=a,BB BC=b,
1

→ =→ → =→ → 则BA BA+AA BA+BB
1 1

1

=a+c, 1 1 → AD=→ AB+→ BD=→ AB+ → BC=-a+ b, 2 2 → =→ → =→ → AC AC+CC BC-→ BA+BB
1 1 1

=b-a+c, → =AC → -2→ BA AD,
1 1

∵A1B?平面 AC1D, ∴A1B∥平面 AC1D.
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考向三 空间向量数量积的应用 例题 3 已知空间三点 A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5). (1)求以→ AB,→ AC为边的平行四边形的面积; (2)若|a|= 3,且 a 分别与→ AB,→ AC垂直,求向量 a 的坐标. 【审题视点】 ①利用向量夹角公式求 sin〈→ AB,→ AC〉 ,代入面积公式. ②向量垂直,数量积为 0. 【典例精讲】 (1)由题意可得: → AB=(-2,-1,3),→ AC=(1,-3,2), → AB·→ AC ∴cos〈→ AB,→ AC〉= → → |AB||AC| -2+3+6 7 1 = = = . 14× 14 14 2 3 ∴sin〈→ AB,→ AC〉= , 2 ∴以→ AB,→ AC为边的平行四边形的面积为 1 3 S=2× |→ AB|·|→ AC|·sin〈→ AB,→ AC〉=14× =7 3. 2 2

?x +y +z =3 (2)设 a=(x,y,z),由题意得?-2x-y+3z=0, ?x-3y+2z=0 ?x=1 解得?y=1 ?z=1 ?x=-1 或?y=-1, ?z=-1

2

2

2

∴向量 a 的坐标为(1,1,1)或(-1,-1,-1). 【类题通法】 (1)当题目条件有垂直关系时,常转化为数量积为零进行应用; (2)当异面直线所成的角为 α 时,常利用它们所在的向量转化为向量的夹角 θ 来进行计算; (3)通过数量积可以求向量的模. 变式训练 3.已知空间四边形 OABC 中,M 为 BC 的中点,N 为 AC 的中点,P 为 OA 的中点,Q 为 OB 的中点, 若 AB=OC,求证:PM⊥QN. 证明:连结 PB、PC 1 1 ∴→ PM= → PB+ → PC 2 2 1 1 1 1 1 1 1 = (→ OB- → OA)+ (→ OC- → OA)= → OB+ → OC- → OA 2 2 2 2 2 2 2 1 1 → QN= → QA+ → QC 2 2
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1 1 1 1 = (→ OA- → OB)+ (→ OC- → OB) 2 2 2 2 1 1 1 = → OA+ → OC- → OB 2 2 2 ?1→ 1 ∴→ PM·→ QN=? OC+ 2 ?2 1 2 ??1 → OB-→ OA ?? → OC- ??2

1 ? 1 → OB-→ OA ?= |→ OC|2- (→ OB-→ OA)2 4 4 ? 1 1 = |→ OC|2- |→ AB|2=0 4 4 ∴PM⊥QN. 空间“向量平行”与“向量同向” 已知向量 a=(1,2,3), b=(x, x2+y-2, y), 并且 a、 b 同向, 则 x, y 的值分别为________. 2 x x +y-2 y 【正解】 由题意知 a∥b,所以 = = . 1 2 3 ① ?y=3x, 即? 2 ② ?x +y-2=2x, 2 把①代入②得 x +x-2=0,(x+2)(x-1)=0, 解得 x=-2,或 x=1. 当 x=-2 时,y=-6;当 x=1 时,y=3. ?x=-2 当? ?y=-6 时,b=(-2,-4,-6)=-2a,两向量 a,b 反向,不符合题意,所以舍去.

?x=1 ?x=1, 当? 时,b=(1,2,3)=a,a 与 b 同向,所以? ?y=3 ?y=3. 【答案】 1,3 【易错点】 两向量平行和两向量同向不是等价的,同向是平行的一种情况.两向量同向能推出 两向量平行,但反过来不成立,也就是说,“两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要条件.错 解就忽略了这一点. 【警示】 a 与 b 同向是 a∥b 的充分而不必要条件.a∥b 是 a 与 b 同向的必要而不充分条件. 真题体验 1.一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O-xyz 中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1), (0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以 zOx 平面为投影面,则得到的正视图可以为( )

解析:选 A.结合已知条件画出图形,然后按照要求作出正视图.
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根据已知条件作出图形:四面体 C1-A1DB,标出各个点的坐标如图(1)所示,

可以看出正视图是正方形,如图(2)所示.故选 A. 2.(2014·辽宁大连一模)长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=AA1=2,AD=1,E 为 CC1 的中点,则异 面直线 BC1 与 AE 所成角的余弦值为( ) 10 30 A. B. 10 10 2 15 3 10 D. 10 10 解析:选 B.建立坐标系如图,则 A(1,0,0),E(0,2,1), B(1,2,0),C1(0,2,2). C.

→ =(-1,0,2),→ BC AE=(-1,2,1), 1 → ,→ cos〈BC AE〉=
1

→ ·→ BC AE 1 → |·|→ |BC AE| 1



30 . 10

30 . 10 3. (2012·高考陕西卷)如图所示, 在空间直角坐标系中有直三棱柱 ABC-A1B1C1, CA=CC1=2CB, 则直线 BC1 与直线 AB1 夹角的余弦值为( ) 5 5 A. B. 5 3 所以异面直线 BC1 与 AE 所成角的余弦值为 2 5 3 D. 5 5 解析:选 A.不妨令 CB=1,则 CA=CC1=2. 可得 O(0,0,0),B(0,0,1),C1(0,2,0),A(2,0,0),B1(0,2,1), → =(0,2,-1),AB → =(-2,2,1), ∴BC C.
1 1

→ → → ,AB → 〉= BC1·AB1 ∴cos〈BC 1 1 → ||AB →| |BC 1 1 = 4-1 1 5 = = >0. 5× 9 5 5
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→ 与AB → 的夹角即为直线 BC 与直线 AB 的夹角, ∴BC 1 1 1 1 5 ∴直线 BC1 与直线 AB1 夹角的余弦值为 . 5 4.(2012·高考四川卷)如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分别是棱 CD、CC1 的中点,则异 面直线 A1M 与 DN 所成的角的大小是________. 1 1 解析:以 D 为原点,DA、DC、DD1 为坐标轴建系,设 A1(1,0,1),M(0, ,0),N(0,1, ), 2 2 1 1 → ∴→ DN=(0,1, ),A 1M=(-1, ,-1) 2 2 → ∴→ DN·A M=0,∴A M⊥DN.
1 1

答案:90°

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