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【优化方案】2016高中数学 第二章 平面向量 2.1向量的加法课件 新人教A版必修4


第二章

平面向量

§2 从位移的合成到向量的加法 2.1 向量的加法

1.问题导航 (1)任意两个向量都可以应用向量加法的三角形法则吗? (2)向量加法的三角形法则与平行四边形法则的使用条件有何 不同? 2.例题导读 教材P77例1,例2,P78例3.通过此三例的学习,熟悉向量加法 运算,学会利用向量加法解决实际

生活问题.

试一试:教材P81习题2-2 B组T1,T2,T3你会吗?

1.向量加法的定义及运算法则
定 义 三 法 则 角 形 法 则

两个向量和 的运算,叫做向量的加法 求 ____________
前 提 作 法 结 论 已知向量 a, b,在平面内任取一点 A → → → 作AB= a,BC= b,再作向量AC → 向量AC叫做 a 与 b 的和,记作 a+ b, → → → AB + BC AC 即 a+ b= _________=_________

法则三 角形

图 形

法 则

平 行 四 边 形 法 则

已知不共线的两个向量a,b,在平面内任 前提 取一点O 以同一点O为起点的两个已知向量a,b为 作法 邻边作?OACB → a与b的和 结论 对角线就是 OC 图形

规 定

0+a =a. 零向量与任一向量a的和都有a+0=_________

2.向量加法的运算律

交换律 运 算 律 结合律

b+a a+b=____________

a+(b+c) (a+b)+c=____________

1.判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)任意两个向量的和仍然是一个向量.( )√ (2)|a+b|≤|a|+|b|等号成立的条件是a∥b.( )× (3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线.( ) ×

解析:(1)正确.根据向量和的定义知该说法正确.
(2)错误.条件应为a∥b,且a,b的方向相同. (3)错误.当两个向量共线时,两向量的和向量与这两个向量

中的任意一个都共线.

2.若a,b为非零向量,则下列说法中不正确的是(
相同

)B A.若向量a与b方向相反,且|a|>|b|,则向量a+b与a的方向 B.若向量a与b方向相反,且|a|<|b|,则向量a+b与a的方向相
同 C.若向量a与b方向相同,则向量a+b与a的方向相同 D.若向量a与b方向相同,则向量a+b与b的方向相同 解析:因为a与b方向相反,|a|<|b|,所以a+b与a的方向相 反,故B不正确.

3.化简下列各向量: → → → AC (1)AB+BC=________. → → → → PM (2)PQ+OM+QO=________.
解析:根据向量加法的三角形法则及运算律得: → → → (1)AB+BC=AC. → → → → → → → → → (2)PQ+OM+QO=PQ+QO+OM=PO+OM=PM.

→ → → 0 4. 在△ ABC 中, AB= a, BC= b, CA= c, 则 a+ b+ c=________ .

→ → → 解析:由向量加法的三角形法则,得AB+ BC=AC,即 a+b → → → + c=AB+BC+CA= 0.

1.对向量加法的三角形法则的四点说明 (1)适用范围:任意向量. (2)注意事项:①两个向量一定首尾相连; ②和向量的起点是第一个向量的起点 ,终点是第二个向量的终点. (3)方法与步骤:第一步,将 b(或 a)平移,使一个向量的起点与另 一个向量的终点相连; 第二步:将剩下的起点与终点用有向线段相连,且有向线段的方 向指向终点,则该有向线段表示的向量即为向量的和.也称“首 尾相连,连首尾”. (4)图示:如图所示

2.对向量加法的平行四边形法则的四点说明 (1)适用范围:任意两个非零向量,且不共线. (2)注意事项:①两个非零向量一定要有相同的起点; ②平行四边形中的一条对角线所对应的向量为和向量. (3)方法与步骤: 第一步: 先把两个已知向量 a 与 b 的起点平移 到同一点; 第二步:以这两个已知向量为邻边作平行四边形,则两邻边所 夹的对角线所表示的向量即为 a 与 b 的和. (4)图示:如图所示

已知向量作和向量
如图,已知向量 a, b, c 不共线,求作向量 a+b+ c.

(链接教材 P81 习题 2- 2 A 组 T3)

→ → → [解 ] 法一:如图 (1),在平面内作OA= a,AB= b,则OB=a → → + b;再作BC= c,则OC= a+b+ c.

→ → 法二:如图 (2),在平面内作OA= a,OB= b,以 OA 与 OB 为 → → 邻边作平行四边形 OADB,则OD= a+b;再作OC= c,以 OD → 与 OC 为邻边作平行四边形 ODEC,则OE= a+ b+ c.

方法归纳 已知向量求作和向量的方法 (1)用三角形法则, 在平面内任取一点, 顺次作两个向量等于已 知向量,从起点到终点的向量就是两个向量的和. (2)用平行四边形法则, 在平面内任取一点, 从此点出发分别作 两个向量等于已知向量,以它们为邻边作平行四边形,共起点 的对角线对应的向量就是这两个向量的和.

1. (1)如图所示,已知向量 a 和 b,求作 a+b.

(2)如图,已知 a,b, c 三个向量,试求作和向量 a+b+ c.

解:(1)法一: (三角形法则 )如图所示.

→ → ①在平面上任取一点 O,作OA= a,AB=b; → ②连接 OB,则OB= a+ b. 法二: (平行四边形法则 )如图所示.

→ → ①在平面上任取一点 O,作OA= a,OB=b; ②以 OA,OB 为邻边作平行四边形 OACB,则 → OC= a+ b. (2)作出来的和向量如图,首先在平面内任取一 → → 点 O,作向量OA= a,再作向量AB= b,则得 → → → 向量OB=a+b, 然后作向量BC= c, 则向量OC 即为所求.

向量的加法运算
(1)下列等式不正确的是 ( B ) → → → → → → ① a+ (b+ c)=(a+ c)+ b;②AB+BA= 0;③AC=DC+AB+ BD . A.②③ C.① → → → ①AB+ CD +BC; → → → → ②DB+ AC+BD +CA. (链接教材 P81 习题 2- 2A 组 T5(1)(2)) B.② D.③

(2)设 A, B, C, D 是平面上任意四点,试化简:

[解 ]

→ → (1)由向量的加法满足结合律知①正确;因为AB+BA=

→ → → → → → → 0,故②不正确;DC+AB+ BD =AB+BD + DC=AC成立,故 ③正确. → → → → → → → → → (2)①AB+ CD +BC= (AB+BC)+CD =AC+ CD =AD . → → → → → → → → ②DB+ AC+BD +CA= (DB+BD )+ (AC+CA)= 0+ 0= 0.

方法归纳 向量加法运算律的意义和应用原则 (1)意义 向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据, 实现恰当利 用向量加法法则运算的目的. 实际上,由于向量的加法满足交换律和结合律,故多个向量的 加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行. (2)应用原则 利用代数方法通过向量加法的交换律,使各向量“首尾相 连”,通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序.

2.(1)在平行四边形 ABCD 中,O 是对角线的交点,下列结论 正确的是 ( C ) → → → → A.AB= CD ,BC=AD → → → B.AD +OD=DA → → → → C.AO + OD=AC+CD → → → → D.AB+ BC+CD =DA (2)化简下列各式: → AD → → → → ① (AD +MB)+ (BC+CM)= ________. → → → → → 0 ②AB+ DF+CD +BC+FA= ________.

→ → → → → → → → 解析:(1)因为AO +OD=AD ,AC+CD =AD ,所以AO +OD= → → AC+CD .

→ → → → → → → → → (2)① (AD +MB)+ (BC+CM)=AD + MB+BM=AD + 0=AD . → → → → → → → → → → ②AB+ DF+CD +BC+FA= (AB+ BC)+(DF+ FA)+CD = → → → → → → → → AC+DA+ CD = (AC+CD )+DA=AD +DA= 0.

向量加法的应用
(1)已知图中电线 AO 与天花板的夹角为 60°,电线 AO 所受拉力 |F1|= 24 N; 绳 BO 与墙壁垂直, 所受拉力 |F2|= 12 N, 12 3 竖直向上 则 F1 与 F2 的合力大小为 ________N ;方向为 ________.

(2)如图是中国象棋的部分棋盘, “马走日”是象棋中“马”的 走法,如果不从原路返回,那么“马”从 A 经过 B 再走回到 A 最少需几步?

(链接教材 P77 例 1,例 2, P78 例 3)

[解 ]

(1)如图,根据向量加法的平行四边形法则,得合力 F1+ F2= → OC. → 在△ OAC 中, |F1|= 24, |AC|= 12, ∠ OAC= 60°, 所以∠ OCA → = 90°, |OC|= 12 3, 所以 F1 与 F2 的合力大小为 12 3 N,方向为竖直向上.故填 12 3和竖直向上.

(2)如图,如果不从原路返回,那么所走路线为 A→ B→ C→ → → → → D→ A,即AB+ BC+CD +DA= 0,所以最少需四步.

本例(2)条件不变,若不限步数,那么“马”从 A 经过 B 再走 回 A 时,所走的步数有什么特点?
解:若不限步数,则“马”从 A 经过 B 再走回 A 时,不论如 何走,均需走偶数步,且不少于四步.

方法归纳 向量加法应用的关键及技巧 (1)三个关键: 一是搞清构成平面图形的向量间的相互关系; 二 是熟练找出图形中的相等向量; 三是能根据三角形法则或平行 四边形法则作出向量的和向量. (2)应用技巧: ①准确画出几何图形, 将几何图形中的边转化为 向量;②将所求问题转化为向量的加法运算,进而利用向量加 法的几何意义进行求解.

3. (1)若 a 表示向东走 8 km, b 表示向北走 8 km,则 |a+b|= 北偏东45° . 8 2 _____________km , a+ b 的方向是 ______________

(2)如图所示,在某次抗震救灾中,一架飞机从 A 地按北偏东 35°的方向飞行 800 km 到达 B 地接到受伤人员,然后又从 B 地按南偏东 55°的方向飞行 800 km 送往 C 地医院, 求这架飞 机飞行的路程及两次位移的和.

→ → → 解:(1)设OA= a,OB= b,则OC= a+b. → → 又因为 |OA|= 8, |OB|= 8, → 所以 |OC|= |a+ b|= 8 2. 又因为∠ AOC= 45°, 所以 a+ b 的方向是北偏东 45° .故填 8 2和北偏东 45° .

→ → (2)设AB, BC分别表示飞机从 A 地按北偏东 35°的方向飞行 800 km,从 B 地按南偏东 55°的方向飞行 800 km, → → 则飞机飞行的路程指的是 |AB|+ |BC|; → → → 两次飞行的位移的和指的是AB+ BC=AC. → → 依题意有 |AB|+ |BC|= 800+ 800= 1 600(km), 又 α= 35°,β= 55°,∠ ABC= 35°+55°= 90°, → 所以 |AC|= → 2 → 2 |AB | + |BC |

= 8002+8002= 800 2(km).

易错警示

未能正确理解向量加法致误

小船以 10 3 km/h 的静水速度按垂直于对岸的方向行 驶,同时河水的流速为 10 km/h,则小船实际航行速度的大小 20 为________km/h.

[解析 ]

如图,

设船在静水中的速度为 |v1|=10 3 km/h,河水的流速为 |v2|= 10 km/h,小船实际航行速度为 v0,则由 |v1|2+ |v2|2= |v0|2,得 (10 3)2+102= |v0|2,所以 |v0|= 20 km/h,即小船实际航行速度 的大小为 20 km/h.

[错因与防范 ] 错.

(1)解答本题,易将船的实际速度当成河水的流

速与静水速度之和,导致得不到正确的实际航速关系式而出 (2)①向量的和一般不能直接用模作和; 要注意向量的方向的合 成,如本例中用两个速度不能直接作和; ②船在静水中的航行速度,水流的速度,船实际的航行速度三 者间当航行方向与水流方向不共线时不能直接求实际航行速 度,如本例中两个方向垂直,利用勾股定理求速度的大小.

4.(1)一艘船以 4 km/h 的速度沿着与水流方向成 120°的方向 航行,已知河水流速为 2 km/h,若船的实际航行方向与水流
6 3 方向垂直,则经过 3 h,该船的实际航程为 ________km.

(2)在静水中船的速度为 20 m/min,水流的速度为 10 m/min, 如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸, 求船行进的 方向.

→ → 解:(1)由题意,如图,OA表示水流速度,OB表示船在静水中 → 的速度,则OC表示船的实际速度. → → 因为 |OA|= 2, |OB|= 4, ∠ AOB= 120°, 则∠ CBO=60°, 又因为∠ AOC=∠ BCO=90°, → 所以 |OC|= 2 3, 所以船的实际航行速度为 2 3 km/h, 则实际航程为 2 3×3=6 3(km).故填 6 3.

(2)作出图形,如图.

船速 v 船与岸的方向成 α 角,由图可知 v 水+ v 船= v 实际,结合 已知条件,四边形 ABCD 为平行四边形, 在 Rt△ ACD 中, → → |CD |= |AB|= |v 水 |= 10 m/min, → |AD |= |v 船 |= 20 m/min,

→ |CD| 10 1 所以 cos α = = = , → 20 2 |AD| 所以 α= 60°,从而船与水流方向成 120°的角. 故船行进的方向是与水流的方向成 120°角的方向.

1.已知下面的说法: ①如果非零向量 a 与 b 的方向相同或相反,那么 a+ b 的方向 与 a 或 b 的方向相同; → → → ②在△ ABC 中,必有AB+BC+CA= 0; → → → ③若AB +BC+CA= 0,则 A,B,C 为一个三角形的三个顶点; ④若 a, b 均为非零向量,则 |a+ b|与 |a|+ |b|一定相等. 其中正确的个数为 ( B ) A. 0 C. 2 B.1 D. 3

解析:①当 a+b= 0 时,不成立;②说法正确;③当 A, B, → → → C 三点共线时, 也可以有AB +BC+ CA= 0, 故此说法不正确; ④当 a, b 共线时,若 a, b 同向,则 |a+ b|= |a|+ |b|;若 a,b 反向,则 |a+ b|= ||a|- |b||;当 a, b 不共线时, |a+ b|<|a|+ |b|, 故此说法不正确.

2.如图,D,E,F 分别是△ ABC 的边 AB,BC,CA 的中点, 则下列等式中正确的是( A ) → → → A.FD + DA=FA → → → B.FD +DE+FE= 0 → → → C.DE+ DA=EB → → → D.DA+ DE=FD
→ → → 解析:如题图,可知FD +DA=FA, → → → → → FD +DE+ FE=FE+FE≠0, → → → DE+DA= DF,故 A 正确.

→ AC → → → → → 3.化简 (AB+MB)+ (BO +BC)+OM= ________.

→ → → → → → → → 解析:原式=(AB+ BO )+(OM+ MB)+BC=AO +OB+BC= → → → AB+BC=AC.


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