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圆锥曲线中的斜率为定值问题


中 学 生 数 学 ? 0 0年 1 上 ? 4 3期 ( 中 ) 21 o月 第 0 高  

锥  线 中  斜 率 为定 
上海 市甘 泉外 国语 中学 (0 0 5  黄  近  2 0 6)

题 

问题 提 出 已知 椭 圆 c过 点 A( , ) 两    1詈 ,
厶 
<

br />一 忌( 一 1 z )+  3


代 荨 等 1  人 + 一, 得
麓  
毒  

个焦 点 为( , ) ( , ) 一1 0 , 1 0 .   ( )求 椭 圆 C的方 程 ;( )E, 是 椭 圆 C 1 2 F   上 的两 个 动 点 , 果 直 线 AE 的 斜 率 与 AF 的  如

( 4  432 +(一) 1 0 3k +( k 4 是 2 , q   k— ) 号   =  -)   一
设 E( , ) F(   , ,     , z , ) 因为 点 A( ,   1  3)

斜率 互为 相反 数 , 明直线 EF的斜 率 为定 值 , 证   并求 出这 个定 值.  
这是 2 0 0 9年 辽 宁卷 ( 理科 ) 中的 一道 解 析 

在椭 圆上 , 以 z 一 些  所 E

,  

一 尼  +  z

几何 题 , 证 的是 直 线 斜 率 为 定 值 问题 . 关  论 有 定值 问题 , 解 析 几 何 中 的 常 见 题 型 . 题 主  是 本
要 考查 直线 斜率 及 直 线 与 圆锥 曲线 相 交 问题 ,  

要 是 直 F 斜 与 E的 率 为   一 , 线A   率 A 斜 互 相 又 的
反 数 。 卜式 中 以 一  代 k。 得   在 可
F 一 一 是zF十  
,     l

3 l,    

十 走,  

考查数学运算求鲤能力和综合分析问题能力.  


2  





2  

所 以直 线 E 的斜率  F
是 一    一  E一 -F z 
2’  

问题分 析  由 ( ) 圆方 程 为  十 一l  1椭   ,
J 

第 ( ) 是 有 关 直 线 与 圆 锥 曲线 相 交 问 题 , 2问 解  析 几何 中常 用 的方 法 是 把 方 程联 立 , 过研 究  通 根 之 间的 关 系 再 结 合 斜 率 之 问 的 关 系 达 到解  决 问题 的 目的.  

即直线 E F的斜率为定值 , 其值为÷.  
解 法 2 设 直 线 EF 的方程 Y—k +  , x 根 

据“ 斜率 互 为相 反数 ” 立方程 忌 建 肛+点 一0   .  
y!  

解 法 1 设 直线 AE 方  程 , 出交 点 E 的 坐 标 , 求 再  根据 条 件 “ 率 互 为 相 反  斜
数” 可知 直 线 AF的 方 程 , ,  

解答 如 下

设直 线 EF的方 程 Y一是 +  , z  

代入  T y 一1得   Z

F  

( + 4   z + 8 mx+ 4 ~ 1 — 0   3 k)  k m  2 ,

求 出交 点 F 的坐标 , 用斜 率 公 式 计 算得 出直  利
线 EF 的 斜 率 .  



E( E Y ) F( F Y )  x ,E , x ,F ,

解 答 如下

设 直线 AE方 程为 :  

( 转 第 8页) 下  



( 接 第 6 页) 上  

们 用探 究 的方 式去 解决 .  
x_ J 第二点, 因为 分式 函数 -  ) a    - i  厂 ( -   q b , ̄

思 路 2 先 求 出反 函数 后 , 去 求 反 函 数  再
的图像 的对称 轴 方程 , 具体 过 程在 此 略.   3 .两点 反 思 

像 特 征是双 曲线 , 因此 , 们 还 可 以鼓 励 、 导  我 引 同学们 去 探 究 它 的 离 心 率 和 虚 轴 、 轴 之 长 , 实  
在 此 略.   ( 审 张 丽娟 ) 责    

第一点 , 凡是 同学 们 提 出的 问题 都 是合 理 
的 , 们都 要千 方 百 计 地 帮 助 、 导 、 我 引 鼓励 同 学 

?

_ ? ~…    :     …. …  

中学生数学 ? 0 0年 1 21 o月上 ? 4 3 ( 第 0 期 高中 )   ( 接 第 7页 ) 上  
寸 
3  
E一   F一  

设 E( E Y ) F( F Y ) 由韦 达 定 理 z   x ,E , z ,F , E
3  
一  

镑 
础  妥  口
;= '  }
I , 

则 


2 7

F l   一  0 — +  一   }  Z 1 ,


(_a  6  k     ) 一 +
n 


, 是 , 用一 代忌得
’ ’     。   K 



a ( + k o  - a b    o x ) - 。 
却 一 —   ’  

基  韦达定 理 , 化简方 程为 

将 Y 一k E £ x +m, F x +m 代入 再利 用  Y —k F
1 k。 2 k+ 1 k 一 6 + 9— 0, 2 一 4 2i n    

KE  

二   一 — x ̄ x ) 2 x   k ( + F - k o


- E —— S z CF 

X E —— X F 

( k一 1 ( k 2 一 3 一 0  2 )2 + m ) .



2 a Y -a b -x b ) (    。。  ̄  


4 Xo   a。 Yo

当 忌= 时 为恒 等式 , 以 k =  = 所 =1 
.  


b zo 2  
a Yo‘  

解 法说 明  解 法 1利用 “ 斜率互 为相 反数 ”  
这 一 条 件 , 出两 条 直 线 方 程 , 出坐 标 求 出  设 得

问 题 推 广 

所 求直线 斜率 , 这类 方法 比较直 接 ; 法 2先设  解 出所 求直 线方程 , 借 助 “ 率互 为相 反数 ” 再 斜 这 


结论 l 过 椭 圆 上  + 2 1任   2—



定 点 

条 件建立 等式 , 过 研 究恒 等 式 求 出参 数 的  通

A( 。 Y ) 不 在 z轴 上 ) x ,。 ( 引两 条 斜 率互 为 相 反  数 的直线 与椭 圆交 于 E、 F两 点 , 直线 EF的  则 斜率 为定 值 
a 一、  ,

值. 然 两种 方 法 计算 都 有 一些 繁琐 , 是 这  虽 但 是解 析几 何 所 必 须 要 求 的学 生 应 具 备 一 定 的  运算 能力.  
题 后 思 考  这是 一 个偶 然 结论 , 还是 必 然  结论 ?  

. 利用 上面的 解法 , 曲线方 程  把

中 b 换 成 一6 , 。 。 可得 双 曲线 中的相应结 论 .  

结论 2 过 双 曲线  一 2 1上 任 2—



定 点 

① 问题特殊化: 若把椭圆上点 A( , _改  1_ ) 昙
为定点 A。0√ )则 由对 称性 结论 显然成 立 ,  ( ,3 , k
一 0  .

A( 。 ) 不 在 . 上 ) x, (   z轴 引两 条 斜 率 互 为 相 反  数 的直线 与双 曲线 交 于 E、 两点 , 直 线 EF F 则  
的斜 率为定 值 一  .  
“ Yo  

② 问题 一般 化 : 把 点 改 为 其 他 特 殊 点 , 若  

若 曲线方程 中的  换 成 a , 得 圆中 的相   可
应结论 .  

是 否也有 相应 的斜率 为定 值 的直 线 ?  
进而 猜想 : 圆 c: Z   z 椭   T y 一1 x




椭 圆上 一定 

结论 3 过 圆 z + y 一 a   。 。  上 任 一 定 点 
A( 。 Y ) 不 在 z轴 上 ) 两条 斜 率 互 为相 反  x ,。 ( 引
数 的直 线 与圆交 于 E、 F两 点 , 则直 线 EF的斜 
率为定 值  .  
结 论 4 抛 物 线 Y = 2 x, ( 。 Y ) 抛   = p A z , 。 是 =

点 A( 。Y ) E, x , 。 , F是椭 圆 C 上 的两 个 动点 , 如 

果直 线 AE 的斜 率 与 AF 的斜 率互 为相 反 数 ,  
那 么直线 E 的斜 率为 定值. F  
下 面 给 出证 明 :利 用 解 法 1  ( )

设 直线 AE: : (  = k —z ) 。  = 。 +  ,

物线上 一定 点 ( 是原 点 ) E, 是抛 物 线 上两  不 , F

代 人 

+  一1  ,

动点 , 线 AE、 直 AF 的斜 率 互 为相 反 数 , 线  直
E 的斜率 为定值 一旦 F
. 

得 (。 。。 z + 2 a ( o k o z+a 6 +Ⅱ k ) 。 k 。 Y — x )  
( - k o 一 n b 一 0    x)  。 .
一  

Y。  

( 审 余炯 沛) 责    

◇ 

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